含字母参数的一元一次不等式组问题
人教版数学一元一次不等式(组)求字母系数综合练习及答案解析
一元一次不等式(组)求字母系数综合练习1.若不等式组的解集是2<x<3.则a.b的值是()A.2;﹣3 B.3;﹣2 C.3;2 D.2;32.不等式ax>b的解集是x<.则a的取值范围是.3.若a≠0.则不等式ax>b的解集是.4.若关于x的不等式组的解集为﹣1<x<1.那么代数式ab 的值是.5.若a>b>0.关于x的不等式组的解集是.6.不等式组的解集为x>2.则a的取值范围是.7.若不等式组的解集是空集.则a的取值范围是.8.不等式组的解集是0<x<2.则a+b的值等于.9.如果不等式组的解集是0≤x<1.那么a+b的值为.10.如果不等式组的解集是0≤x≤1.那么a+b的值为.11.若不等式组的解集是0≤x<1.则代数式a﹣b的值是.12.若不等式组的解集是﹣1<x<1.则2a+b的值为.13.如果不等式组的解集是0≤x≤1.那么a+b的值为.14.如果不等式组的解集是0≤x<1.那么a+b的值为.15.已知a>b>0.不等式组的解集是.16.不等式(a﹣2)x>b的解集是x<.求a的取值范围.17.已知直线y=3x+b经过点A(2.7).求不等式组3x+b≤0的解集.18.已知a是自然数.关于x的不等式组的解集是x>2.求a的值.19.若不等式组:的解集是5<x<22.求a.b的值.20.如果不等式组的解集是1<x<2.求:a+b的值21.若不等式组的解集是﹣1<x<1.求(a+b)2012的值.22.若不等式组的解集是0≤x<1.求a、b的值.23.已知不等式组的解集为﹣1<x<1.求a、b的值.24.若不等式组的解集为1<x<3.求a+b的值.25.若不等式组的解集为1<x<2.求a.b的值.26.若不等式组的解集为1<x<6.求a.b的值.27.已知关于x的一元一次不等式组的整数解是0和1.求a、b的取值范围.28.已知不等式组的解集是3<x<a+2.求a的取值范围.29.如果不等式组的解集是x>4.求a的取值范围.一元一次不等式(组)求字母系数综合练习一.选择题(共1小题)1.(2015•伊春模拟)若不等式组的解集是2<x<3.则a.b的值是()A.2;﹣3 B.3;﹣2 C.3;2 D.2;3解答:解:∵不等式组的解集是2<x<3.∴a=2.b=3.故选:D.点评:本题考查了一元一次不等式组的解集.解题的关键是:正确理解不等式组的解集的表示.2.(2009春•天长市期末)不等式ax>b的解集是x<.则a的取值范围是a<0 .考点:不等式的解集.专题:计算题.分析:不等式的两边同时除以一个数.不等号的方向改变.则这个数为负数.解答:解:∵ax>b的解集是x<.方程两边除以a时不等号的方向发生了变化.∴a<0.故答案为a<0.点评:本题考查了不等式的性质:不等式两边同乘以(或除以)同一个负数.不等号的方向改变.3.若a≠0.则不等式ax>b的解集是x>或x<.考点:解一元一次不等式.专题:计算题.分析:不等式ax>b的解集即是求x的取值范围.因为x等于0时不等式ax>b不成立.所以x的解集是x>或x<.解答:解:∵a≠0.∴当a>0时.不等式ax>b的解集是:x>;当a<0时.不等式ax>b的解集是:x<;所以.不等式的解为x>或x<.点评:解不等式依据不等式的基本性质.在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化.4.(2009春•北京期中)若关于x的不等式组的解集为﹣1<x<1.那么代数式ab的值是15 .考点:解一元一次不等式组.专题:计算题.分析:先用字母a、b表示出不等式组的解集为<x<.然后再根据已知解集是﹣1<x<1.对应得到相等关系=﹣1.=1.求出a、b的值再代入所求代数式中即可求解.解答:解:解不等式组的可得解集为<x<.因为不等式组的解集为﹣1<x<1.所以=﹣1.=1.解得a=5.b=3代入ab=3×5=15.点评:主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值.同样也是利用口诀求解.注意:当符号方向不同.数字相同时(如:x>a.x<a).没有交集也是无解但是要注意当两数相等时.在解题过程中不要漏掉相等这个关系.求不等式组解集的口诀:同大取大.同小取小.大小小大中间找.大大小小找不到(无解).5.若a>b>0.关于x的不等式组的解集是<x<.考点:不等式的解集.分析:先解答组成不等式组的两个不等式的解集.然后再取两个不等式的解集的交集.即为不等式组的解集.解答:解:①∵a>b>0.∴由不等式ax>b的两边同时除以a.得x>;②∵a>b>0.∴由不等式bx<a的两边同时除以b.得x<;综合①②.故原不等式组的解集为:<x<.故答案是:<x<.点评:解答本题的难点是:不等式的两边同时除以小于0的数时.不等号的方向要发生改变.6.(2009春•榕江县校级期末)不等式组的解集为x>2.则a的取值范围是a≤2.考点:解一元一次不等式组.专题:计算题.分析:求解规律是:大大取较大.小小取较小.大小小大中间找.大大小小无解.解答:解:因为不等式组的解集为x>2.所以a≤2.点评:本题考查了不等式组解集表示.注意.这里的a可以等于2的.7.(2012春•城区校级期末)若不等式组的解集是空集.则a的取值范围是a≤1.考点:不等式的解集.分析:根据不等式组解集是空集.可得出a的取值范围.解答:解:∵不等式组解集是空集.∴a≤1.故答案为:≤1.点评:本题考查了不等式的解集.注意掌握“大大取大.小小取小.大小中间找.大大小小找不到”.8.不等式组的解集是0<x<2.则a+b的值等于 1 .考点:解一元一次不等式组.专题:计算题.分析:先求得不等式组中两个不等式的解集.由已知条件求出a.b的值即可.解答:解:解第一个不等式得.x<.解第二个不等式得.x>4﹣2a.∵不等式组的解集是0<x<2.∴4﹣2a=0.=2.解得a=2.b=﹣1.∴a+b=1故答案为1.点评:本题考查了一元一次不等式组的解法.求不等式组解集的口诀:同大取大.同小取小.大小小大中间找.大大小小找不到(无解).9.(2009•烟台)如果不等式组的解集是0≤x<1.那么a+b的值为 1 .考点:解一元一次不等式组.专题:计算题;压轴题.分析:先用含有a、b的代数式把每个不等式的解集表示出来.然后根据已告知的解集.进行比对.得到两个方程.解方程求出a、b.解答:解:由得:x≥4﹣2a由2x﹣b<3得:故原不等式组的解集为:4﹣2a≤又因为0≤x<1所以有:4﹣2a=0.解得:a=2.b=﹣1于是a+b=1.故答案为:1.点评:本题既考查不等式的解法.又考查学生如何逆用不等式组的解集构造关于a、b的方程.从而求得a、b.10.如果不等式组的解集是0≤x≤1.那么a+b的值为﹣3 .考点:解一元一次不等式组.专题:计算题.分析:由题意分别解出不等式组中的两个不等式.由题意不等式的解集为0≤x≤1.再根据求不等式组解集的口诀:大小小大中间找.用a.b表示出不等式的解集.再由不等式解集是0≤x≤1.代入求出a.b的值.解答:解:由a﹣得.2a﹣x≤﹣4.∴x≥2a+4.由2x﹣b≤3得.2x≤b+3.∴x≤.∵不等式组的解集是0≤x≤1.∴2a+4=0..解得a=﹣2.b=﹣1.∴a+b=﹣3.点评:主要考查了一元一次不等式组解集的求法.将不等式组解集的口诀:同大取大.同小取小.大小小大中间找.大大小小找不到(无解)逆用.已知不等式解集反过来求a.b的值.11.(2011•成华区二模)若不等式组的解集是0≤x<1.则代数式a﹣b的值是 3 .考点:解一元一次不等式组.专题:计算题.分析:先求出两个不等式的解集.再根据已知解集与求出的解集是同一个解集.列式求出a、b的值.然后代入代数式进行计算即可得解.解答:解:.解不等式①得.x≥4﹣2a.解不等式②得.a<+.∴不等式组的解集为4﹣2a≤x<+.∵不等式组的解集是0≤x<1.∴4﹣2a=0.+=1.解得a=2.b=﹣1.a﹣b=2﹣(﹣1)=2+1=3.故答案为:3.点评:本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法.根据所求不等式组的解集与已知解集是同一个解集列出关于a、b的等式是解题的关键.12.(2012春•新罗区校级月考)若不等式组的解集是﹣1<x<1.则2a+b 的值为0 .考点:解一元一次不等式组.分析:求出不等式组的解集.根据已知得出3+2b=﹣1.=1.求出a b的值代入即可.解答:解:∵解不等式①得:x<.解不等式②得:x>3+2b.∴不等式组的解集为:3+2b<x<.∵不等式组的解集是﹣1<x<1.∴3+2b=﹣1.=1.∴b=﹣2.a=1.∴2a+b=2×1﹣2=0.故答案为:0.点评:本题考查了一元一次不等式组.解一元一次方程的应用.关键是能求出3+2b=﹣1.=1.13.(2014春•金坛市校级月考)如果不等式组的解集是0≤x≤1.那么a+b 的值为 1 .考点:解一元一次不等式组.分析:先用字母a、b表示出不等式组的解集为4﹣2a≤x<.然后再根据已知解集是0≤x≤1.对应得到相等关系4﹣2a=0.=1.求出a、b的值再代入所求代数式中即可求解.解答:解:∵不等式组的解集为4﹣2a≤x<.是0≤x≤1.∴4﹣2a=0.=1.解得:a=2.b=﹣1.∴a+b=1.故答案为:1.点评:本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法.其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大.同小取小.大小小大中间找.大大小小找不到(无解).14.如果不等式组的解集是0≤x<1.那么a+b的值为 1 .考点:解一元一次不等式组.专题:计算题.分析:先分别解两个不等式得到x≥4﹣2a和x<.再利用不等式组的解集是0≤x<1得到4﹣2a=0.=1.解方程求出a和b的值.然后计算a+b.解答:解:.解①得x≥4﹣2a.解②得x<.而不等式组的解集是0≤x<1.所以4﹣2a=0.=1.解得a=2.b=﹣1.所以a+b=2﹣1=1.故答案为1.点评:本题考查了解一元一次不等式组:解一元一次不等式组时.一般先求出其中各不等式的解集.再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.15.已知a>b>0.不等式组的解集是﹣a<x<﹣b .考点:不等式的解集.专题:计算题.分析:由原题可知﹣a<﹣b<0.根据“小大大小中间找”原则求不等式组的解即可.解答:解:∵a>b>0.∴﹣a<﹣b<0.不等式组的解集是﹣a<x<﹣b.点评:求不等式的解集须遵循以下原则:同大取较大.同小取较小.小大大小中间找.大大小小解不了.三.解答题(共14小题)16.不等式(a﹣2)x>b的解集是x<.求a的取值范围.考点:不等式的性质.分析:根据不等式的性质3.可得答案.解答:解:由不等式(a﹣2)x>b的解集是x<.得a﹣2<0.解得a<2.点评:本题考查了不等式的性质.不等式的两边都乘以或除以同一个负数.不等号的方向改变.17.(2014•硚口区一模)已知直线y=3x+b经过点A(2.7).求不等式组3x+b≤0的解集.考点:一次函数与一元一次不等式.专题:计算题.分析:先根据一次函数图象上点的坐标特征得到6+b=7.解得b=1.然后解不等式3x+1≤0即可.解答:解:∵一次函数y=3x+b图象过点A(2.7).∴6+b=7.解得b=1.∴一次函数解析式为y=3x+1.解不等式3x+1≤0得x≤﹣.即不等式kx+2≤0的解集为x≤﹣.点评:本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看.就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看.就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.18.已知a是自然数.关于x的不等式组的解集是x>2.求a的值.考点:解一元一次不等式组.分析:先把a当作已知条件表示出不等式组的解集.再与已知解集相比较即可得出a的值.解答:解:.由①得.x≥.由②得.x>2.∵不等式组的解集是x>2.∴≤2.解得a≤2.∵a是自然数.∴a=0或a=1或a=2.点评:本题考查的是解一元一次不等式组.熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.19.若不等式组:的解集是5<x<22.求a.b的值.考点:解一元一次不等式组.专题:计算题.分析:先用字母a.b表示出不等式组的解集(6b﹣5a)<x<(3a+7b).然后再根据已知解集是5<x<22.对应得到相等关系联立成方程组.求出a.b的值.解答:解:原不等式组可化为依题意得(6b﹣5a)<x<(3a+7b).由题意知:5<x<22.∴解得.点评:主要考查了一元一次不等式组的解定义.解此类题是要先用字母a.b表示出不等式组的解集.然后再根据已知解集.对应得到相等关系.解关于字母a.b的一元一次方程求出字母a.b的值.再代入所求代数式中即可求解.20.(2014秋•万州区校级期末)如果不等式组的解集是1<x<2.求:a+b 的值考点:解一元一次不等式组.分析:解出不等式组的解集.根据不等式组的解集是1<x<2.可以求出a、b的值.解答:解:(3分)∵1<x<2∴(4分)∴(5分)∴=(6分)点评:本题是反向考查不等式组的解集.也就是在已知不等式组解集的情况下确定不等式中字母的取值范围.21.(2012春•启东市校级期末)若不等式组的解集是﹣1<x<1.求(a+b)2012的值.考点:解一元一次不等式组.分析:分别解出每个不等式的解集.得到不等式组的解集.再根据不等式组解集的唯一性求出a、b的值.从而得到(a+b)2012的值.解答:解:.由①得.x>a+2;由②得.x<;不等式的解集为a+2<x<.由于不等式解集是﹣1<x<1.可见a+2=﹣1.=1.解得.a=﹣3;b=2.则(a+b)2012=(﹣3+2)2012=1.点评:本题考查了一元一次不等式组的解集.知道不等式组的唯一性是解题的关键.22.(2012春•丰县校级月考)若不等式组的解集是0≤x<1.求a、b的值.考点:不等式的解集.专题:计算题.分析:将a与b看做已知数.表示出不等式组的解集.根据已知解集即可求出a与b的值.解答:解:.由①得:x≥4﹣2a.由②得:x<(b+3).则不等式组的解集为4﹣2a≤x<(b+3).∴4﹣2a=0.(b+3)=1.解得:a=2.b=﹣1.点评:此题考查了不等式的解集.熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键.23.已知不等式组的解集为﹣1<x<1.求a、b的值.考点:解一元一次不等式组.分析:解出不等式组的解集.根据不等式组的解集为﹣1<x<1.可以求出a、b的值.解答:解:由得.∵﹣1<x<1.∴=1.3+2b=﹣1.解得.a=1.b=﹣2.点评:本题考查了解一元一次不等式组.解此类题是要先用字母a.b表示出不等式组的解集.然后再根据已知解集.对应得到相等关系.解关于字母a.b的一元一次方程求出字母m.n的值.再代入所求代数式中即可求解.24.若不等式组的解集为1<x<3.求a+b的值.考点:解一元一次不等式组.分析:先求出每个不等式的解集.再求出不等式组的解集.即可得出关于a、b的方程.求出即可.解答:解:∵解不等式①得:x>a+6.解不等式②得:x<b﹣2.∴不等式组的解集是a+6<x<b﹣2.∵不等式组的解集为1<x<3.∴a+6=1.b﹣2=3.解得:a=﹣5.b=5.∴a+b=0.点评:本题考查了解一元一次不等式组.一元一次方程的应用.解此题的关键是得出关于a、b的方程.25.(2014春•颍上县校级月考)若不等式组的解集为1<x<2.求a.b的值.考点:解一元一次不等式组.分析:根据已知不等式组的解集得出方程组.求出方程组的解即可.解答:解:∵不等式组的解集为1<x<2.∴a+b=2.a﹣b=1.即.解方程组得:a=1.5.b=0.5.点评:本题考查了解一元一次不等式组合解二元一次方程组的应用.解此题的关键是能根据题意得出关于a、b的方程组.26.若不等式组的解集为1<x<6.求a.b的值.考点:解一元一次不等式组.分析:先把a、b当作已知把x的取值范围用a、b表示出来.再与已知解集相比较得到关于a、b的二元一次方程组.再用加减消元法或代入消元法求出a、b的值.解答:解:原不等式组可化为.∵它的解为1<x<6.∴.解得.点评:本题考查的是解一元一次不等式组及二元一次方程组.根据题意得到关于a、b的二元一次方程组是解答此题的关键.27.已知关于x的一元一次不等式组的整数解是0和1.求a、b的取值范围.考点:一元一次不等式组的整数解.分析:先求出不等式组中每个不等式的解集.然后求出其公共解集.最后根据其整数解来求a、b的取值范围.解答:解:由原不等式组.得.解得 a﹣3<x<1+b.∵关于x的一元一次不等式组的整数解是0和1.∴a﹣3=﹣1.1+b=2.解得 a=2.b=1.点评:本题考查了一元一次不等式组的整数解.解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集.然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件.再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.28.已知不等式组的解集是3<x<a+2.求a的取值范围.考点:解一元一次不等式组.专题:计算题.分析:解第一个不等式得到a﹣1<x<a+2.由于等式组的解集为3<x<a+2.根据不等式解集的确定方法得到a﹣1≤3且a+2≤5.然后解关于a的不等式组即可.解答:解:.解①得a﹣1<x<a+2.∵不等式组的解集为3<x<a+2.∴a﹣1≤3且a+2≤5.∴a≤3.点评:本题考查了解一元一次不等式组:求不等式组的解集的过程叫解不等式组.解一元一次不等式组时.一般先求出其中各不等式的解集.再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.29.如果不等式组的解集是x>4.求a的取值范围.考点:解一元一次不等式组.分析:分别求出各不等式的解集.再根据不等式的解集是x>4求出a的取值范围即可.解答:解:.由①得.x>4.∵不等式组的解集是x>4.∴a≤4.点评:本题考查的是解一元一次不等式组.熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.。
含字母系数的_一元一次不等式组111111111111111111111
x 2m 1 • 若不等式 x 2m 3 的解集中的任
• 何一个x值均不在1<x<3范围内, 则m的取值范围为 .
x 2 1.若不等式组 x a 只含有六个整数解-1,0,1,2,3和4,
4a5 则a, 2.若不等式组 x a
解:由方程组得
∵x+y<0
1 解之得 k 3
1 k 1 7k 0 4 4
1 k x 4 1 7 k y 4
x y 1 a (2)求使方程组: 的 x y 3a 5 解x为正数,y是非负数,求a的取值范
围。
的解集是-1<x<2,则m=____, n=____. 这里是一个含x 的一元一次不等 解: 解不等式①,得,x>m-2 解不等式②,得,x < n + 1 因为不等式组有解,所以 m-2 <x< n + 1 又因为 -1<x<2
-1
式组,将m,n看 作两个已知数, 求不等式的解集
<
x
<
2
m-2 n+1 m-2= -1 , n + 1 = 2 所以, m=1 , n=1
方法总结: 把已知或能算出的解表示在数轴上, 让 带字母的解在数轴上移动,观察何时满足 题目要求,尤其注意界点能否取到.
例4、已知不等式组
的整数 解只有5、6。求a和b的范围.
x 2 a • 解:解不等式组得 b 1 , x 2
•
x 2 a 2 x 1 b
m为何值时,关于x、y的方程组 2 x 3 y 3m 1 的解满足x 0, y 0? 4 x 5 y m 9 9m-16
x= 11 解:解此法方程组得 y 5m 7 11
含字母的不等式与不等式组的解法 含答案
4--2.关于 x 的不等式(2a-b)x>a-2b 的解集是 x< 5 ,则关于 x 的不等式 ax+b<0 的解集为 2
。x<-8
解:当不等式中 x 前的系数为字母参数时,我们在除以系数前必须对含字母参数的系数进行讨论。分为大于 0 和小于
0 两种情况讨论,如果大于 0,不等式不变号,如果小于 0,除以系数后不等式要反号。则(2a-b)x>a-2b 的解集为
等号的方向改变了,即是运用了不等式的基本性质 3,因此应有 a 1 0 ,解得 a 1 .故选 D.
评注:当一元一次不等式的解集给出时,可以通过对比不等式的性质和解集法则,求出有关参数的取值范围或值.
4--1.已知关于 x 的不等式(3a-2)x<2-3a 的解集是 x>-1,求 a 的取值范围.
不等式的基本性质 3,因此应有 2a-1<0,解得 a < 1 .故选 B. 2
评注:当一元一次不等式的解集给出时,可以通过对比不等式的性质和解集法则,求出有关参数的取值范围或值.
2--2.若不等式(a-1)x>1-a 的解集是 x<-1,则 a 的取值范围是 。a<1
解析:当不等式中 x 前的系数为字母参数时,我们在除以系数前必须对含字母参数的系数进行讨论。分为大于 0 和小
含有字母的不等式与不等式组的解法
一、含有字母的不等式 注:含字母系数的不等式的标准形式为 ax>b, ax<b, ax≥b, ax≤b,四种形式。其中的 a,b 都可以代表一个字母 a,b, 也可代表含字母的多项式如 2a,5b,2a+3,b-2,等。 因为未知数的系数含字母,它的值可以为正数,也可以为负数,也可以为 0;所以必须分三种情况讨论,以 ax>b 为 例:
评注:当一元一次不等式的解集给出时,可以通过对比不等式的性质和解集法则,求出有关参数的取值范围或值.
一元一次不等式含参问题
一元一次不等式含参问题一元一次不等式含参问题类型一:根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围。
例1:已知不等式组begin{cases}4x+2>3(x+a)\\2x>3(x-2)+5\\5x+2>3(x-1)end{cases}有3个整数解,则$m$的取值范围是什么?变式练1:已知不等式组,如果有3个整数解,则$m$的取值范围是什么?变式练2:已知关于$x$的不等式组,如果解集为$x>3$,则$a$的取值范围是什么?变式练3:已知关于$x$的不等式组begin{cases}4x+2>3(x+a)\\2x>3(x-2)+5\\5x+2>3(x-1)end{cases}如果只有4个整数解,则实数$a$的取值范围是什么?变式练4:已知关于$x$的不等式组begin{cases}3x\leq 8-x+2a\\22a\leq xend{cases}如果仅有4个整数解,则实数$a$的取值范围是什么?类型二:根据不等式组的解集确定字母的取值范围。
例2:已知关于$x$的不等式组无解,则$a$的取值范围是什么?变式练1:若关于$x$的不等式组有解,则实数$a$的取值范围是什么?变式练2:若不等式组的解集为$x>3$,则$a$的取值范围是什么?变式练3:若关于$x$的不等式组的解集为$x<2$,则$a$的取值范围是什么?变式练4:已知不等式组无解,则$a$的取值范围是什么?类型三:根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围。
例3:已知方程组begin{cases}2x+y=1+3m\\x+2y=1-mend{cases}满足$x+y<2$,求$m$的取值范围。
变式练1:若关于$x,y$的二元一次方程组begin{cases}x+2y=4k\\2x+y=2k+1end{cases}的解满足$x+y<1$,则$a$的取值范围是什么?变式练2:已知关于$x$的不等式$1-a)x>3$的解集为$x<2$,则$a$的值为多少?变式练3:若不等式$3m-2x3$,则实数$m$的值为多少?变式练4:若不等式组的解集为$3\leq x\leq 4$,则不等式$ax+b<0$的解集为什么?综合练:1.关于$x$的一元一次不等式$7x-14\leq 0$的解集是什么?A。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-一元一次不等式(组)(解析版)
专题10一元一次不等式(组)【专题目录】技巧1:一元一次不等式组的解法技巧技巧2:一元一次不等式的解法的应用技巧3:含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念,理解不等式的基本性质;2、会解简单的一元一次不等式(组);并能在数轴上表示出其解集.3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)不等式或组不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变(2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变(3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变解法①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤未知数的系数化为1.在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.一元一次不等式组定义一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.解法先求出各个不等式的解再确定其公共部分,即为原不等式组的解集。
四种不等式组(a<b)解集图示口诀【注意】1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系:1)不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2)不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3)不等式的所有解组成了这个不等式的解集,不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2.用数轴表示不等式的解集:大于向右,小于向左,有等号画实心圆点,无等号画空心圆图。
2.列不等式或不等式组解决实际问题,要注意抓住问题中的一些关键词语,如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等.这些都体现了不等关系,列不等式时,要根据关键词准确地选用不等号.另外,对一些实际问题的分析还要注意结合实际.3.列不等式(组)解应用题的一般步骤:(1)审题;(2)设未知数;(3)找出能够包含未知数的不等量关系;(4)列出不等式(组);(5)求出不等式(组)的解;(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值;(7)写出答案(包括单位名称).【技巧归纳】基本不等式组的解集⎩⎨⎧≥≥b x a x x ≥b 大大取大⎩⎨⎧≤≤b x a x x ≤a 小小取小⎩⎨⎧≤≥bx a x a ≤x ≤b 大小小大中间找⎩⎨⎧≥≤b x a x 无解大大小小解不了技巧1:一元一次不等式组的解法技巧【类型】一、解普通型的一元一次不等式组12x <6,-2≤0的解集,在数轴上表示正确的是()2.解不等式组,并把解集表示在数轴上.(x +2),①+15>0.②【类型】二、解连写型的不等式组3.满足不等式组-1<2x -13≤2的整数的个数是()A .5B .4C .3D .无数4.若式子4-k 的值大于-1且不大于3,则k 的取值范围是____________.5.用两种不同的方法解不等式组-1<2x -13【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解.6.解不等式|3x -12|≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解7.解不等式3x -62x +1<0.参考答案1.C2.解:由①得,x≥-1.由②得,x <45.∴不等式组的解集为-1≤x <45.表示在数轴上,如图所示.3.B 4.1≤k <55.解:方法1解不等式①,得x>-1.解不等式②,得x≤8.所以不等式组的解集为-1<x≤8.方法2:-1<2x -13≤5,-3<2x -1≤15,-2<2x≤16,-1<x≤8.6.分析:由绝对值的知识|x|<a(a >0),可知-a <x <a.解:由|3x -12|≤4,得-4≤3x -12≤4.-4,①②解不等式①,得x≥-73.解不等式②,得x≤3.所以原不等式的解集为-73≤x≤3.点拨:7.解:∵3x -62x +1<0,∴3x -6与2x +1异号.即:-6>0,+1<0或<0,+1>0.解(Ⅰ)>2,<-12.∴此不等式组无解.解(Ⅱ)<2,>-12.∴此不等式组的解集为-12<x <2.∴原不等式的解集为-12<x <2.技巧2:一元一次不等式的解法的应用【类型】一、直接解不等式1.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.(1)x >13x -2;(2)4x -13-x >1;(3)x +13≥2(x +1).2.下面解不等式的过程是否正确?如不正确,请找出开始错误之处,并改正.解不等式:4-3x 3-1<7+5x 5.解:去分母,得5(4-3x)-1<3(7+5x).①去括号,得20-15x -1<21+15x.②移项,合并同类项,得-30x <2.③系数化为1,得x >-115.④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式3.解关于x 的不等式ax -x -2>0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4.当m 取何值时,关于x 的方程23x -1=6m +5(x -m)的解是非负数?5+3y =10,-3y =2的解满足不等式ax +y >4,求a 的取值范围.【类型】四、解与新定义综合的不等式6.定义新运算:对于任意实数a ,b ,都有a ★b =a(a -b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2★5=2×(2-5)+1=-5.(1)求(-2)★3的值;(2)若3★x 的值小于13,求x 的取值范围,并在数轴上表示出来.【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7.已知关于x 的不等式3x -m ≤0的正整数解有四个,求m 的取值范围.8.关于x 的两个不等式①3x +a 2<1与②1-3x>0.(1)若两个不等式的解集相同,求a 的值;(2)若不等式①的解都是②的解,求a 的取值范围.参考答案1.解:(1)x>13x-2,23x>-2,x>-3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.(2)4x-13-x>1,4x-1-3x>3,x> 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.(3)x+13≥2(x+1),x+1≥6x+6,-5x≥5,x≤-1.2.解:第①步开始错误,应该改成:去分母,得5(4-3x)-15<3(7+5x).去括号,得20-15x-15<21+15x.移项,合并同类项,得-30x<16.系数化为1,得x>-8 15 .3.解:移项,合并同类项得,(a-1)x>2,当a-1>0,即a>1时,x>2a-1;当a-1=0,即a=1时,x无解;当a-1<0,即a<1时,x<2a-1.4.解:解方程得x =-313(m +1),由题意得-313(m +1)≥0,解得m ≤-1.5.解:2x +3y =10,-3y =2,=2,=2.代入不等式得2a +2>4.所以a >1.6.解:(1)(-2)★3=-2×(-2-3)+1=-2×(-5)+1=10+1=11.(2)∵3★x <13,∴3(3-x)+1<13,去括号,得9-3x +1<13,移项,合并同类项,得-3x <3,系数化为1,得x >-1.在数轴上表示如图所示.7.解:解不等式得x ≤m 3,由题意得4≤m 3<5,解得12≤m <15.方法规律:已知一个不等式的解集满足特定要求,求字母参数的取值范围时,我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集,然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式,从而可求出字母参数的取值范围.8.解:(1)由①得x <2-a 3,由②得x <13,由两个不等的解集相同,得2-a 3=13,解得a =1.(2)由不等式①的解都是②的解,得2-a 3≤13,解得a ≥1.技巧3:含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【类型】一、与方程组的综合问题1.已知实数x ,y 同时满足三个条件:①x -y =2-m ;②4x -3y =2+m ;③x >y.那么实数m 的取值范围是()A .m >-2B .m <2C .m <-2D .m >22+y =-7-a ,-y =1+3a的解中,x 为非正数,y 为负数.(1)求a 的取值范围;(2)化简|a -3|+|a +2|.3.在等式y =ax +b 中,当x =1时,y =-3;当x =-3时,y =13.(1)求a ,b 的值;(2)当-1<x <2时,求y 的取值范围.【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题题型1:已知解集求字母系数的值或范围4.已知不等式(a -2)x >4-2a 的解集为x <-2,则a 的取值范围是__________.5-a <1,-2b >3的解集为-1<x <1,求(b -1)a +1的值.题型2:已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6>2,<a 的解集中共有5个整数,则a 的取值范围为()A .7<a ≤8B .6<a ≤7C .7≤a <8D .7≤a ≤87-a ≥0,-b <0的整数解是1,2,3,求适合这个不等式组的整数a ,b 的值.题型3:已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8-1>0,-a <0无解,则a 的取值范围是__________.91<a ①,+5>x -7②有解,求实数a 的取值范围.参考答案1.B2.解:(1)=-3+a ,=-4-2a.∵x 为非正数,y 3+a ≤0,4-2a <0,解得-2<a ≤3.(2)∵-2<a ≤3,即a -3≤0,a +2>0,∴原式=3-a +a +2=5.3.解:(1)将x =1时,y =-3;x =-3时,y =13代入y =ax +b +b =-3,3a +b =13,=-4,=1.(2)由y =-4x +1,得x =1-y 4.∵-1<x <2,∴-1<1-y 4<2,解得-7<y <5.4.a <25.-a <1.①,-2b >3.②,解①得x <a +12;解②得x >2b +3.根据题意得a +12=1,且2b +3=-1,解得a =1,b =-2,则(b -1)a +1=(-3)2=9.6.A7.解:解不等式组得a 2≤x <b 3.∵不等式组仅有整数解1,2,3,∴0<a 2≤1,3<b 3≤4.解得0<a ≤2,9<b ≤12.∵a,b为整数,∴a=1,2,b=10,11,12. 8.a≤19.+1<a①,+5>x-7②,解不等式①得x<a-1.解不等式②得x>-6.∵不等式组有解,∴-6<x<a-1,则a-1>-6,a>-5.【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a>b,则下列等式一定成立的是()A.a>b+2B.a+1>b+1C.﹣a>﹣b D.|a|>|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可.【详解】A、由a>b不一定能得出a>b+2,故本选项不合题意;B、若a>b,则a+1>b+1,故本选项符合题意;C、若a>b,则﹣a<﹣b,故本选项不合题意;D、由a>b不一定能得出|a|>|b|,故本选项不合题意.故选:B.【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解不等式x+2>0,得:x>-2,解不等式2x-4≤0,得:x≤2,则不等式组的解集为-2<x≤2,将解集表示在数轴上如下:故选C.【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【详解】解:12x-≤,解得:3x≤,则不等式12x-≤的非负整数解有:0,1,2,3共4个.故选:D.【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1<x≤1,则a=_____,b=_____.【答案】-2-3【详解】解:由题意得:130 x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式①得:x>1+a,解不等式②得:x≤3 b-不等式组的解集为:1+a<x≤3b- 不等式组的解集是﹣1<x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为:-2,-3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x >3,则m 的取值范围是().A .m >3B .m≥3C .m≤3D .m <3【答案】C【解析】详解:841x x x m +<-⎧⎨>⎩①②,解①得,x>3;解②得,x>m ,∵不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x>3,则m ⩽3.故选:C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题,答对一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分要超过120分,他至少要答对的题的个数为()A .13B .14C .15D .16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数,根据本次竞赛得分要超过120分,列出不等式即可.【详解】解:设要答对x 道.10(5)(20)120x x +-⨯->,10 1005 120x x -+>,15 220x >,解得:443x >,根据x 必须为整数,故x 取最小整数15,即小华参加本次竞赛得分要超过120分,他至少要答对15道题.故选C .一元一次不等式(组)(达标训练)一、单选题1.若m n >,则下列不等式一定成立的是().A .2121m n -+>-+B .1144m n ++>C .m a n b+>+D .am an-<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答.不等式的性质:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.【详解】解:A 、∵m >n ,∴-2m <-2n ,则-2m +1<-2n +1,故该选项不成立,不符合题意;B 、∵m >n ,∴m +1>n +1,则1144m n ++>,故该选项成立,符合题意;C 、∵m >n ,∴m +a >n +a ,不能判断m +a >n +b ,故该选项不成立,不符合题意;D 、∵m >n ,当a >0时,-am <-an ;当a <0时,-am >-an ;故该选项不成立,不符合题意;故选:B .【点睛】本题考查了不等式的性质,掌握不等式的基本性质是解答本题的关键.2.北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱,某网店出售这两种吉祥物礼品,售价如图所示.小明妈妈一共买10件礼品,总共花费不超过900元,如果设购买冰墩墩礼品x 件,则能够得到的不等式是()A .100x +80(10﹣x )>900B .100+80(10﹣x )<900C .100x +80(10﹣x )≥900D .100x +80(10﹣x )≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件,则购买雪容融礼品(10﹣x )件,根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式.【详解】解:设购买冰墩墩礼品x 件,则购买雪容融礼品(10﹣x )件,根据题意,得:100x +80(10﹣x )≤900,故选:D .【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式,解题的关键是理解题意,找到其中蕴含的不等关系.3.不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是()A .3x >-B .5x ≤C .35x -<≤D .无解【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集,再结合起来即可得到不等式组的解集.【详解】由30x +>得:3x >-由50x -≤得:5x ≤∴35x -<≤故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解,掌握方法是关键.4.不等式3﹣x <2x +6)A .x <1B .x >1C .x <﹣1D .x >﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法,移项、合并同类项、系数化1求解即可.【详解】解:326x x -<+,移项得362x x -<+,合并同类项得33x -<,系数化1得1x >-,∴不等式326x x -<+的解集是1x >-,故选:D .【点睛】本题考查一元一次不等式的解法,熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键.5.在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是()A.B.C.D.【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断.【详解】解:在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A.故选:A.【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集,正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点,是解题的关键.二、填空题6.超市用1200元钱批发了A,B两种西瓜进行销售,两种西瓜的批发价和零售价如下表所示,若计划将这批西瓜全部售完后,所获利润率不低于40%,则该超市至少批发A种西瓜__________kg.名称A B批发价(元/kg)43零售价(元/kg)64【答案】120【分析】设批发A种西瓜x kg,根据“利润率不低于40%”列出不等式,求解即可.【详解】解:设批发A种西瓜x kg,则(6-4)x+120043x-×(4-3)≥1200×40%,解得x≥120.答:该超市至少批发A种西瓜120kg.故答案为:120.【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,找出合适的不等关系,列不等式求解.7.不等式2103x--<的解集为____.【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1;本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解.【详解】解:去分母,得:230x --<,移项,得:23x <+,合并同类项,得:5x <.∴不等式的解集为:5x <.故答案为:5x <.【点睛】本题考查了解一元一次不等式.严格遵循解不等式的基本步骤是关键,尤其需要注意∶不等式两边都乘以或除以同一个负数时,不等号方向改变;在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别.三、解答题8.解不等式组:()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示.【答案】3x ≥,数轴表示见解析【详解】解:解不等式36x x -≤,得:3x ≥,解不等式312(1)x x +>-,得:3x >-,∵3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥,∴不等式组的解集是:3x ≥.在数轴上表示解集如下:【点睛】本题考查了一元一次不等式组,熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键.一元一次不等式(组)(提升测评)1.2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20:00在国家体育馆举行,嘉淇利用相关数字做游戏:①画一条数轴,在数轴上用点A ,B ,C 分别表示﹣20,2022,﹣24,如图1所示;②将这条数轴在点A 处剪断,点A 右侧的部分称为数轴I ,点A 左侧的部分称为数轴Ⅱ;③平移数轴Ⅱ使点A 位于点B 的正下方,如图2所示;④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍,使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧.则整数k 的最小值为()A .511B .510C .509D .500【答案】A 【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >,列出不等式,求得最小整数解即可求解.【详解】解:依题意,4AC =,2042AB =∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍,使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧,∴k ⋅AC AB >,即42042k >,解得15102k >, k 为正整数,∴k 的最小值为511,故选A .【点睛】本题考查了数轴上两点距离,一元一次不等式的应用,根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键.2.不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是()A .B .C .D .【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集,继而可得答案.【详解】解:去括号,得:21<3x x -,移项,得:3+2<1x x -,合并同类项,得:<1x -,系数化为1,得>1x -,在数轴上表示为:故选:A .【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力,严格遵循解不等式的基本步骤是关键,尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.3.已知实数a ,b ,c 满足2a c b +=,112a c b +=.则下列结论正确的是()A .若0a b >>,则0c b >>B .若1ac =,则1b =±C .a ,b ,c 不可能同时相等D .若2a =,则28b c=【答案】B【分析】A.根据0a b >>,则11a b <,根据112a c b +=,得出c b <;B.根据112a c b+=,得出()2ac b a c =+,把2a c b +=代入得:21b ac ==,即可得出答案;C.当a b c ==时,可以使2a c b +=,112a c b +=,即可判断出答案;D.根据解析B 可知,22b ac c ==,即可判断.【详解】A.∵0a b >>,∴11a b<,∵112a c b+=,∴11c b,∴c b <,故A 错误;B.∵112a c b +=,即2a c ac b+=,∴()2ac b a c =+,把2a c b +=代入得:222ac b =,21b ac ∴==,解得:1b =±,故B 正确;C.当a b c ==时,可以使2a c b +=,112a c b+=,∴a ,b ,c 可能同时相等,故C 错误;D.根据解析B 可知,2b ac =,把2a =代入得:22b c =,故D 错误.故选:B .【点睛】本题主要考查了分式的化简,等式基本性质和不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质,是解题的关键.4.若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解,且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩>至少有3个整数解,则符合条件的所有整数a 的和是()A .﹣5B .﹣3C .0D .2【答案】D 【分析】解不等式组,根据题意确定a 的范围;解出分式方程,根据题意确定a 的范围,根据题意计算即可.【详解】解:3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩>①②,解不等式①得:y >﹣8,解不等式②得:y ≤a ,∴原不等式组的解集为:﹣8<y ≤a ,∵不等式组至少有3个整数解,∴a ≥﹣5,1133x a x x++=--,去分母得∶1﹣x ﹣a =x ﹣3,解得:x 42a -=,∵分式方程有非负整数解,∴x ≥0(x 为整数)且x ≠3,∴42a -为非负整数,且42a -≠3,∴a ≤4且a ≠﹣2,∴符合条件的所有整数a 的值为:﹣4,0,2,4,∴符合条件的所有整数a 的和是:2,故选:D .【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法,掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键.5.已知三个实数a 、b 、c ,满足325a b c ++=,231a b c +-=,且0a ≥、0b ≥、0c ≥,则37+-a b c 的最小值是()A .111-B .57-C .37D .711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c =5和2a +b ﹣3c =1.可用其中一个未知数表示另两个未知数,然后由条件:a ,b ,c 均是非负数,列出c 的不等式组,可求出未知数c 的取值范围,再把m =3a +b ﹣7c 中a ,b 转化为c ,即可得解.【详解】解:联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩,解得,73711a c b c=-⎧⎨=-⎩,由题意知:a ,b ,c 均是非负数,则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩,解得37711c ≤≤,∴3a +b ﹣7c=3(﹣3+7c )+(7﹣11c )﹣7c=﹣2+3c ,当c =37时,3a+b ﹣7c 有最小值,即3a+b ﹣7c =﹣2+3×37=﹣57.故选:B .【点睛】此题主要考查代数式求值,考查的知识点相对较多,包括不等式的求解、求最大值最小值等,另外还要求有充分利用已知条件的能力.二、填空题6.一元二次方程x 2+5x ﹣m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是_____.【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >-【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式,可得254()0m =-->Δ,进行计算即可得.【详解】解:根据题意得254()0m =-->Δ,解得,254m >-,故答案为:254m >-.【点睛】本题考查了根的判别式,解题的关键是掌握根的判别式并认真计算.7.若关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数,则m 的取值范围是________.【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解,利用已知条件列出不等式,解不等式即可求解.【详解】解:关于x 的分式方程232x m x -=-的解为:x =6−m ,∵分式方程有可能产生增根2,∴6−m ≠2,∴m ≠4,∵关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数,∴6−m ≥0,解得:m ≤6,综上,m 的取值范围是:m ≤6且m ≠4.故答案为:m ≤6且m ≠4.【点睛】本题主要考查了分式方程的解,解一元一次不等式,解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况,这是解题的关键.三、解答题8.2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆,三名航天员平安归来,神舟十三号任务取得圆满成功.飞箭航模店看准商机,推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元,同样花费100元,购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个.(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元?(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个,且每个“神舟”模型的售价为30元,“天宫”模型的售价为15元.设购买“神舟”模型a 个,销售这批模型的利润为w 元.①求w 与a 的函数关系式(不要求写出a 的取值范围);②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13,则购进“神舟”模型多少个时,销售这批模型可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元,“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+②购进“神舟”模型50个时,销售这批模型可以获得最大利润,最大利润为1250元【分析】(1.(2)①设“神舟”模型a 个,则“天宫”模型为200a -()个,根据利润关系即可表示w 与a 的关系式.②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13,即可找到a 的取值范围,利用一次函数性质即可求解.(1)解:设“天宫”模型成本为每个x 元,则“神舟”模型成本为每个10x +()元.依题意得100100510x x =++.解得10x =.经检验,10x =是原方程的解.答:“天宫”模型成本为每个10元,“神舟”模型每个20元;(2)解:① “神舟”模型a 个,则“天宫”模型为200a -()个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.② 购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13.()12003a a ∴≤-.解得:50a ≤.51000w a =+ .50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时,元.即:购进“神舟”模型50个时,销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质,关键在于找到等量关系,建立方程,不等式,函数模型.9.解不等式组:3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集,然后根据“同大取大、同小取小,小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解.【详解】解:3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②,解不等式①,得1x ≥-,解不等式②,得>7x -,∴该不等式组的解集为1x ≥-.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组,理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小,小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键.。
【最新试题库含答案】一元一次不等式组练习题(有答案)
一元一次不等式组练习题(有答案):篇一:一元一次不等式组练习题及答案一元一次不等式组1、下列不等式组中,解集是2<x<3的不等式组是( )A、??x?3B、?x?3C、??x?2??x??x?32D、??x?2?x?3x?2?2、在数轴上从左至右的三个数为a,1+a,-a,则a的取值范围是()A、a<1 B、a<0C、a>0 D、a<-1223、(2007年湘潭市)不等式组??x?1≤0,2x?3?5的解集在数轴上表示为()?ABCD4、不等式组??3x?1?02x?5的整数解的个数是()?A、1个B、2个C、3个D、4个5、在平面直角坐标系内,P(2x-6,x-5)在第四象限,则x的取值范围为()A、3<x<5 B、-3<x<5 C、-5<x<3 D、-5<x<-36、(2007年南昌市)已知不等式:①x?1,②x?4,③x?2,④2?x??1,从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组是() A、①与②B、②与③C、③与④D、①与④7、如果不等式组??x?a?x?b无解,那么不等式组的解集是()A.2-b<x<2-aB.b-2<x<a-2C.2-a<x<2-bD.无解8、方程组??4x?3m?2的解x、y满足x>y,则m的取值范围是()?8x?3y?mA.m?9101910B. m?9 C. m?1010D. m?19二、填空题9、若y同时满足y+1>0与y-2<0,则y的取值范围是______________.10、(2007年遵义市)不等式组??x?3?0?x?1≥0的解集是.11、不等式组??2x≥?0.5的解集是 .??3x≥?2.5x?212、若不等式组??x?m?1?x?2m?1无解,则m的取值范围是.?x?13、不等式组??1?x≥2的解集是_________________??x?514、不等式组??x?2的解集为x>2,则a的取值范围是_____________.?x?a?2x?a?115、若不等式组?的解集为-1<x<1,那么(a+1)(b-1)的值等于________.x?2b?3?16、若不等式组??4a?x?0无解,则a的取值范围是_______________.3?x?(2x?1)≤4,??218、(2007年滨州)解不等式组?把解集表示在数轴上,并求出不等式组的?1?3x?2x?1.??2?x?a?5?0三、解答题17、解下列不等式组(1)??3x?2?8x?1?2?2(3)2x<1-x≤x+5?5?7x?2x?42)????1?34(x?1)?0.5 ?3(1?x)?2(x4)??9)??x?3?0.5?x?40.2??14整数解.19、求同时满足不等式6x-2≥3x-4和2x?13?1?2x2?1的整数x的值.20、若关于x、y的二元一次方程组??x?y?m?5y?3m?3中,x的值为负数,y的值为正数,求m的?x?取值范围.((参考答案1、C2、D3、C4、B5、A6、D7、A8、D9、1<y<210、-1≤x <3 11、-14≤x≤412、m>2 13、2≤x<5 14、a<2 15、-6 16、a≤11310?x?(2)无解(3)-2<x<(4)x>-318、2,1,0,-13232719、不等式组的解集是-?x?,所以整数x为031017、(1)20、-2<m<0.5篇二:一元一次不等式组测试题及答案(加强版)一元一次不等式组测试题一、选择题1.如果不等式??2x?1?3(x?1)?x?m的解集是x<2,那么m的取值范围是( )A.m=2 B.m>2 C.m<2 D.m≥2 2.(贵州安顺)若不等式组??5?3x?0 x?m?0有实数解.则实数m的取值范围是 ( )? A.m?53 B.m?5553 C.m?3 D.m?33.若关于x的不等式组??x?3(x?2)?4无解,则a的取值范围是 ?3x?a?2x( )A.a<1 B.a≤l C.1 D.a≥14.关于x的不等式??x?m?07?2x?1的整数解共有4个,则m的取值范围是 ( )?A.6<m<7 B.6≤m<7 C.6≤m≤7 D.6<m≤75.某班有学生48人,会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人,两种棋都会下的至多9人,但不少于5人,则会下围棋的人有()A.20人 B.19人C.11人或13人 D.20人或19人 6.某城市的一种出租车起步价是7元(即在3km以内的都付7元车费),超过3km后,每增加1km加价1.2元(不足1km按1km计算),现某人付了14.2元车费,求这人乘的最大路程是() A.10km B.9 kmC.8km D.7 km 7.不等式组??3x?1?2的解集在数轴上表示为().?8?4x?08.解集如图所示的不等式组为().A.??x??1?x?2 B.??x??1?x??1?x??1?x?2 C.??x?2 D.??x?2二、填空题1.已知??x?2y?4k2k?1,且?1?x?y?0,则k的取值范围是________.?2x?y?2.某种药品的说明书上,贴有如右所示的标签,一次服用这种药品的剂量设为x,则x范围是 .?3.如果不等式组?x?2?a?2的解集是??2x?b?30≤x<1,那么a+b的值为_______.4.将一筐橘子分给几个儿童,若每人分4个,则剩下9个橘子;若每人分6个,则最后一个孩子分得的橘子将少于3个,则共有_______个儿童,_______个橘子.5.对于整数a、b、c、d,规定符号ababdc?ac?bd.已知1?dc?3 则b+d的值是________.6. 在△ABC中,三边为a、b、c,(1)如果a?3x,b?4x,c?28,那么x的取值范围是;(2)已知△ABC的周长是12,若b是最大边,则b的取值范围是;(3)a?b?c?b?c?a?c?a?b?b?a?c?.7. 如图所示,在天平右盘中的每个砝码的质量都是1g,则物体A 的质量m(g)的取值范围为.三、解答题13.解下列不等式组.?x?2(1)???3?3?x?1 (2) 2?1?3(x?1)?6?x2x?1?1?2x?1?0(3)??3x?1?0(4)?2x?1??3x?2?03≤5114.已知:关于x,y的方程组??x?y?2a?7x?2y?4a?3的解是正数,且x的值小于y的值.?(1)求a的范围;(2)化简|8a+11|-|10a+1|.17.某市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐赠一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元????3(x?2)?5(x?4)?2.......(1)18. 不等式组??2(x?2)?5x?6?3?1,........(2)是否存在整数解?如果存在请求出它的解;如果不存在??x?2?2?1?2x?13............(3)要说明理由.19,“5.12”四川地震后,怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作.拟派30名医护人员,携带20件行李(药品、器械),租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,日夜兼程赶赴灾区.经了解,甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李,乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李. (1) 设租用甲种汽车x辆,请你设计所有可能的租车方案;(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元,请你选择最省钱的租车方案.2【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ;【解析】原不等式组可化为??x?2,又知不等式组的解集是x<?x?m2根据不等式组解集的确定方法“同小取小”可知m≥2. 2. 【答案】A;?【解析】原不等式组可化为??x?5?3而不等式组有解,根据不等式组解集的确定方法“大小小大中?x?m间找”可知m≤53. 3. 【答案】B;【解析】原不等式组可化为??x?1,a.根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解了”可知a≤1.?x?4. 【答案】D;【解析】解得原不等式组的解集为:3≤x<m,表示在数轴上如下图,由图可得:6<m≤7.5. 【答案】D;6. 【答案】B;7,A 8,A【解析】设这人乘的路程为xkm,则13<7+1.2(x-3)≤14.2,解得8<x≤9. 二、填空题 1. 【答案】12<k<1;【解析】解出方程组,得到x,y 分别与k的关系,然后再代入不等式求解即可. 2. 【答案】10≤x≤30; 3.【答案】1 【解析】由不等式x2?a?2解得x≥4—2a.由不等式2x-b<3,解得x?b?32.∵ 0≤x<1,∴ 4-2a=0,且b?32?1,∴ a=2,b=-1.∴ a+b=1.4.【答案】7, 37;【解析】设有x个儿童,则有0<(4x+9)-6(x-1)<3. 5.【答案】3或-3 ;【解析】根据新规定的运算可知bd=2,所以b、d的值有四种情况:①b=2,d=1;②b=1,d=2;③b=-2,d=-1;④b=-1,d=-2.所以b+d的值是3或-3.6,【答案】(1) 4<x<28 (2)4<b<6(3)2a; 7.【答案】1<m<2;三、解答题?x?213.解:(1)解不等式组??3?3?x?1①??1?3(x?1)?6?x②解不等式①,得x>5,解不等式②,得x≤-4.因此,原不等式组无解.(2)把不等式xx12x?1?1进行整理,得2x?1?1?0,即?x2x?1?0,则有①??1?x?02x?1?0或②?1?x?01??解不等式组①得?2x?1?02?x?1;解不等式组②知其无解,故原不等式的解集为12?x?1. ?2x?1?0①(3)解不等式组??3x?1?0②??3x?2?0③解①得:x?12,解②得:x??13,解③得:x?23,将三个解集表示在数轴上可得公共部分为:12≤x<23所以不等式组的解集为:12≤x<23??2x?1?5①(4) 原不等式等价于不等式组:???3??2x?1??3??5②解①得:x??7,解②得:x?8,3所以不等式组的解集为:?7?x?8?8a?1114.解:(1)解方程组??x?y?2a?7?2y?4a?3,得??x?3?x? ?y?10?2a??3??8a?113?0①?14,根据题意,得??10?2a3?0② ???8a?1110?2a?3?3③解不等式①得a??118.解不等式②得a<5,解不等式③得a??110,①②③的解集在数轴上表示如图.∴上面的不等式组的解集是?118?a??110.(2)∵ ?118?a?110.∴ 8a+11>0,10a+1<0.∴ |8a+11|-|10a+1|=8a+11-[-(10a+1)]=8a+11+10a+1=18a+12.15,解:由不等式xx?12?3?0,分母得3x+2(x+1)>0,去括号,合并同类项,系数化为1后得x>?25.由不等式x?5a?43?43(x?1)?a去分母得 3x+5a+4>4x+4+3a,可解得x<2a.所以原不等式组的解集为?25?x?2a,因为该不等式组恰有两个整数解:0和l,故有:1<2a≤2,所以:12?a≤1. 16,解:设这件商品原价为x元,根据题意可得:??88%x?30?30?10%?90%x?30?30?20%解得:37.5?x?40答:此商品的原价在37.5元(包括37.5元)至40元范围内.17.解:(1)设饮用水有x件,蔬菜有y件,依题意,得??x?y?320,?x?y?80,解得??x?200,?y?120.所以饮用水和蔬菜分别为200件和120件.(2)设租用甲种货车m辆,则租用乙种货车(8-m)辆.依题意得??40m?20(8?m)?200,?10m?20(8?m)?120. 解得2≤m≤4.又因为m为整数,所以m=2或3或4.所以安排甲、乙两种货车时有3种方案.设计方案分别为:①2×400+6×360=2960(元);②3×400+5×360=3000(元);③4×400+4×360=3040(元).所以方案①运费最少,最少运费是2960元. 18,解:解不等式(1),得:x<2;解不等式(2),得:x?-3;解不等式(3),得:x?-2;在数轴上分别表示不等式(1)、(2)、(3)的解集:∴原不等式组的解集为:-2≤x<2.∴有两种租车方案,分别为:方案1:租甲种汽车7辆,乙种汽车1辆;方案2:租甲种汽车8辆,乙种汽车0辆.(2)租车费用分别为:方案1: 8000×7+6000×1=62000(元);方案2:8000×:8=64000(元).方案1花费最低,所以选择方案1.4∴篇三:一元一次不等式练习题及答案一元一次不等式一、选择题1. 下列不等式中,是一元一次不等式的有()个.①x -3;②xy≥1;③x?3;④2xxx?1??1;⑤?1.A. 1 B. 2 C. 3D .4 23x2. 不等式3(x-2)≤x+4的非负整数解有()个.. A. 4B. 5C. 6D. 无数3. 不等式4x-111?x?的最大的整数解为().A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在 444. 与2x 6不同解的不等式是()A. 2x+1 7B. 4x 12C. -4x -12D. -2x -65. 不等式ax+b 0(a 0)的解集是()A. x -bbbbB. x -C. xD. x aaaa6. 如果不等式(m-2)x 2-m的解集是x -1,则有()A. m 2B. m 2C. m=2D. m≠27. 若关于x的方程3x+2m=2的解是正数,则m的取值范围是()A. m 1B. m 1C. m≥1D. m≤18. 已知(y-3)2+|2y-4x-a|=0,若x为负数,则a的取值范围是()A. a 3B. a 4C. a 5D. a 6二、填空题9. 当x________时,代数式x?35x?1?的值是非负数. 2610. 当代数式x-3x的值大于10时,x的取值范围是________. 23(2k?5)的值不大于代数式5k-1的值,则k的取值范围是________. 211. 若代数式12. 若不等式3x-m≤0的正整数解是1,2,3,则m的取值范围是________.13. 关于x的方程kx?1?2x的解为正实数,则k的取值范围是14、若关于x的不等式2x+a≥0的负整数解是-2 ,-1 ,则a的取值范围是_________。
如何求解含字母系数的不等式(组)问题
由图 1可知 , 应在 1 6 ( 包括 1 6 ) 到1 7 ( 不 包 括 1 7 ) 之间, 即1 6 ≤2 - 3 o <1 7 , 解得 一5 <0 ≤一
1 4
一
.
故 选 C.
例7 若 不等 式组f > 3 m 2 的 解 集是
l > , n+ 斗
.
— —
一 一 一 翟 蠢 箜 警 垂 蛐
利 用不等式 的性质
B. a < 0 C. 一1
例 3 如 果 不 等 式 组 { 争 + n ≥ 2 的 鳃 集 是
分 析 : 先 求 出 不 等 式 组 j 2 - + 。 ≥ 2 的 解 集 ,
i 一 6 < 3
数 式解集的意义, 可 将其解集写 成m ≤ ≤ 昙,
学 j
I
> 一 3
篇
, 、
即m ≤昙 教 应选A .
等 式 组 1 童 。 ’ 得
{ x > < 2 1 — 3 。 . 其 解 集 为 2 — 3 n < < 2 1 . 由 于 解 集 中
评注 : 数形 结合 思想的特点就是 以数助形 、
> 一 l , 那么 m的值是(
A. 5 B.1 C. 一5
) .
D. 一1
以形释数 、 直观形 象. 本题借助 数轴 来说 明字母
的取 值 范 围 .
解析 :由于 m的值未确定 ,所 以 3 m+ 2与
m+ 4 无 法 比较 大 小 , 因此 ,需进 行 以 下 分 类 讨
论 :
五、 构造方程求解
若3 m+ 2 =一1 , 即 m-  ̄ -I时 , 则 m+ 4 = 5, 那么 例 5 已 知 方 程 组 ( 篙 + l 的 解 、 ) , 不等式组 的解集应是 x >5 ,这与 已知相 矛盾 ,
北师大版数学八年级下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第6节一元一次不等式组课后练习
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第6节一元一次不等式组课后练习学校:___________姓名:___________班级:___________考生__________评卷人得分一、单选题1.若关于x的一元一次不等式组122x ax x->⎧⎨->-⎩无解,则a的取值范围是()A.1a≥B.1a>C.1a≤-D.1a<-2.若关于x的不等式组()212xa x⎧->⎨-<⎩的解集为x>a,则a的取值范围是() A.a<2B.a≤2C.a>2D.a≥23.已知关于x 的不等式组255332xxxt x+⎧->-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩恰有5个整数解,则t的取值范围是()A.﹣6<t<112-B.1162t-≤<-C.1162t-<≤-D.1162t-≤<-4.把不等式组21123xx+>-⎧⎨+≤⎩的解集表示在数轴上,下列选项正确的是()A.B.C.D.5.若方程组3133x y kx y+=+⎧⎨+=⎩的解x,y满足01x y<+<,则k的取值范围是()A.10k-<<B.40k-<<C.08k<<D.4k>-6.如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集,则这个不等式组可能是()A.31215xx-≥⎧⎨->⎩B.31526xx->⎧⎨⎩C.35215xx+≥⎧⎨-<⎩D.322313x xxx<+⎧⎪+⎨--⎪⎩7.已知点M(1﹣2m,1﹣m)关于x轴的对称点在第四象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是()A.B .C.D.8.已知关于x的不等式组()()25513322xxxt x+⎧->⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩恰有5个整数解,则t的取值范围是()A.1992t<<B.1992t≤<C.1992t<≤D.1992t≤≤9.关于x的不等式组12xx m⎧≤-⎪⎨⎪>⎩的所有整数解的积为2,则m的取值范围为()A.m>-3B.m<-2C.m-3≤<-2D.m-3<≤-2 10.不等式组111324(1)2()xxx x a-⎧-<-⎪⎨⎪-≤-⎩有3个整数解,则a的取值范围是()A.65a-≤<-B.65a-<≤-C.65a-<<-D.65a-≤≤-评卷人得分二、填空题11.不等式组273(1)2342363x xxx+>+⎧⎪+⎨-≤⎪⎩的非负整数解有_____个.12.运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否>18”为一次程序操作,若输入x 后程序操作进行了两次停止,则x的取值范围是______.13.在平面直角坐标系中,已知点A(7-2m,5-m)在第二象限内,且m为整数,则点A的坐标为_________.14.不等式组2425x a x b +>⎧⎨-<⎩的解集是0<x <2,那么a+b 的值等于_____. 15.关于x 的不等式组,22213x b x b -≥⎧⎨-≤⎩无解,则常数b 的取值范围是__________ 16.关于x 的不等式组1234x m x +⎧⎨-≥-⎩有3个整数解,则m 的取值范围是_____. 17.同时满足332x x ->-和34x x +>的最大整数是_______. 18.若关于x 的不等式组1423x x x m+⎧-≥⎪⎨⎪>⎩的所有整数解的和是﹣9,则m 的取值范围是_____.19.已知x =3是方程2x a -—2=x—1的解,那么不等式(2—5a )x <13的解集是______.20.若数m 使关于x 的不等式组2122274x x x m -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩,有且仅有三个整数解,则m 的取值范围是______.评卷人得分 三、解答题 21.某校计划组织师生共310人参加一次野外研学活动,如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个.(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数;(2)由于最后参加活动的人数增加了20人,学校决定调整租车方案,在保持租用车辆总数不变的情况下,为将所有参加活动的师生装载完成,求租用小客车数量的最大值.22.解下列不等式(组):(1)4123x x -<-(2)()543113125x x x x ⎧+<+⎪⎨--≥⎪⎩.23.涡阳苏果超市计划购进甲,乙两种商品共100件,这两种商品的进价、售价如表所示:进价(元/件)售价(元/件)甲种商品1015乙种商品2030设其中甲种商品购进x件,售完此两种商品总利润为y元.(1)写出y与x的函数关系式;(2)该商场计划最多投入1500元用于购进这两种商品共100 件,则至少要购进多少件甲种商品?若售完这些商品,商场可获得的最大利润是多少元?24.某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售.已知A型汽车每辆成本34万元,售价39万元;B型汽车每辆成本42万元,售价50万元.若该公司对此项计划的投资不低于1536万元,不高于1552万元.请解答下列问题:(1)该公司有哪几种生产方案?(2)该公司按照哪种方案生产汽车,才能在这批汽车全部售出后,所获利润最大,最大利润是多少?(3)在(2)的情况下,公司决定拿出利润的2.5%全部用于生产甲乙两种钢板(两种都生产),甲钢板每吨5000元,乙钢板每吨6000元,共有多少种生产方案?(直接写出答案)25.如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程.(1)在方程320x -=①,210x +=①,()315x x -+=-①中,写出是不等式组25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的相伴方程的序号 . (2)写出不等式组213133x x x -<⎧⎨+>-+⎩的一个相伴方程,使得它的根是整数: . (3)若方程1, 2x x ==都是关于x 的不等式组22x x m x m <-⎧⎨-≤⎩的相伴方程,求m 的取值范围.26.阅读下面的材料,回答问题:如果(x-2)(6+2x)>0,求x 的取值范围. 解:根据题意,得20620x x ->⎧⎨+>⎩或20620x x -<⎧⎨+<⎩,分别解这两个不等式组,得第一个不等式组的解集为x >2,第二个不等式组的解集为x <-3.故当x >2或x <-3时,(x-2)(6+2x)>0.(1)由(x-2)(6+2x)>0,得出不等式组20620x x ->⎧⎨+>⎩或20620x x -<⎧⎨+<⎩,体现了_____思想; (2)试利用上述方法,求不等式(x-3)(1-x)<0的解集.27.某超市准备购进A、B两种品牌台灯,其中A每盏进价比B进价贵30元,A售价120元,B售价80元.已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同.(1)求A、B的进价;(2)超市打算购进A、B台灯共100盏,要求A、B的总利润不得少于3400元,不得多于3550元,问有多少种进货方案?(3)在(2)的条件下,该超市决定对A进行降价促销,A台灯每盏降价m(8<m<15)元,B不变,超市如何进货获利最大?参考答案:1.A【解析】【分析】先求出不等式组中的每个不等式的解集,然后根据不等式组无解即可得出答案.【详解】解:解不等式122x x ->-,得1x <,解不等式0x a ->,得x a >,①不等式组1220x x x a ->-⎧⎨->⎩无解, ①1a ≥.故选:A .【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键.2.D【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集,然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案.【详解】 ()2120x a x ⎧->⎨-<⎩①②, 由①得2x >,由①得x a >,又不等式组的解集是x >a ,根据同大取大的求解集的原则,①2a >,当2a =时,也满足不等式的解集为2x >,①2a ≥,故选D.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的解集,熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了”是解题的关键.3.C【解析】【分析】本题首先求解不等式组的公共解集,继而按照整数解要求求解本题.【详解】①2553x x +->-, ①20x <;①32x t x +->, ①32x t >-;①不等式组的解集是:2032t x <<-.①不等式组恰有5个整数解,①这5个整数解只能为 15,16,17,18,19,故有143215t ≤-<,求解得:1162t -<≤-. 故选:C .【点睛】本题考查含参不等式组的求解,解题关键在于求解不等式时需将参数当做常量进行运算,其次注意运算仔细即可.4.B【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集,再根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则逐个判断即可.【详解】解:解不等式2x +1>-1,得:x >-1,解不等式x +2≤3,得:x ≤1,①不等式组的解集为:-1<x ≤1,故选:B .【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.5.B【解析】【分析】理解清楚题意,运用二元一次方程组的知识,解出k 的取值范围.【详解】①0<x+y <1,观察方程组可知,上下两个方程相加可得:4x+4y=k+4,两边都除以4得,x+y=44k +, 所以44k +>0, 解得k >-4;44k +<1, 解得k <0.所以-4<k <0.故选B .【点睛】当给出两个未知数的和的取值范围时,应仔细观察找到题中所给式子与它们和的关系,进而求值.6.C【解析】【分析】数轴上表示的解集是2≤x <3,再根据不等式组的求法,先分别求出不等式组中每个不等式的解,即可得到不等式的解集,最后根据所求不等式组的解集是否与题干中的解集进行判断,即可得到答案.【详解】解:数轴上表示的解集是2≤x <3, A 、31215x x -≥⎧⎨->⎩①②,①解不等式①得:x≤2,解不等式①得:x>3,①不等式组无解,故本选项不符合题意;B、31526xx->⎧⎨⎩①②①解不等式①得:x>2,解不等式①得:x≤3,①不等式组的解集是2<x≤3,故本选项不符合题意;C、35 215 xx+≥⎧⎨-<⎩①②①解不等式①得:x≥2,解不等式①得:x<3,①不等式组的解集是2≤x<3,故本选项符合题意;D、322313x xxx<+⎧⎪⎨+--⎪⎩①②①解不等式①得:x<2,解不等式①得:x≥3,①不等式组无解,故本选项不符合题意;故选C.【点睛】本题考查数轴和求不等式组的解集,解题的关键是读懂数轴,掌握解不等式组的方法. 7.D【解析】【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标,进而利用第四象限内点的性质得出答案.【详解】解:①点M(1﹣2m,1﹣m)关于x轴的对称点在第四象限,①对称点坐标为:(1﹣2m,m﹣1),则1﹣2m>0,且m﹣1<0,解得:m<12,如图所示:.故选D .【点睛】本题考查了关于x 轴对称点的性质以及不等式的解法,正确得出m 的取值范围是解题的关键.8.C【解析】【分析】先求出不等式的解集,再根据x 有5个整数解确定含t 的式子的值的范围,特别要考虑清楚是否包含端点值,这点极易出错.再求出t 的范围即可.【详解】解:由(1)得x<-10,由(2)x>3-2t,,所以3-2t<x<-10, ①x 有5个整数解,即x=-11,-12,-13,-14,-15,①163215t -≤-<-①1992t <≤ 故答案为C .【点睛】本题考查根据含字母参数的不等式组的解集来求字母参数的取值范围,关键是通过解集确定含字母参数的式子的范围,特别要考虑清楚是否包含端点值,这点极易出错. 9.C【解析】【详解】分析:首先确定不等式组的解集,先利用含m 的式子表示,可表示出整数解,根据所有整数解的积为2就可以确定有哪些整数解,从而求出m 的范围.详解:原不等式组的解集为m <x ≤12-.整数解可能为-1,-2,-3…等又因为不等式组的所有整数解的积是2,而2=-1×(-2),由此可以得到-3≤m<-2.故选C.点睛:本题主要考查了一元一次不等式组的整数解,是一道较为抽象的中考题,利用数轴就能直观的理解题意,列出关于m的不等式组,要借助数轴做出正确的取舍.10.B【解析】【分析】解不等式组,可得不等式组的解,根据不等式组有3个整数解,可得答案.【详解】解:不等式组11132412xxx x a-⎧--⎪⎨⎪-≤-⎩<()(),由13x-﹣12x<﹣1,解得:x>4,由4(x﹣1)≤2(x﹣a),解得:x≤2﹣a,故不等式组的解为:4<x≤2﹣a,由关于x的不等式组11132412xxx x a-⎧--⎪⎨⎪-≤-⎩<()()有3个整数解,得:7≤2﹣a<8,解得:﹣6<a≤﹣5.故选B.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,利用不等式的解得出关于a的不等式是解题的关键.11.4【解析】【分析】首先正确解不等式组,根据它的解集写出其非负整数解.【详解】解不等式2x+7>3(x+1),得:x<4,解不等式2342363xx+-≤,得:x≤8,则不等式组的解集为x<4,所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个,故答案为4.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.12.148 3x<≤【解析】【分析】根据运行程序,第一次运算结果小于等于18,第二次运算结果大于18列出不等式组,然后求解即可.【详解】解:由题意得:36183(36)618xx-≤⎧⎨-->⎩①②,解不等式①,得:8x≤,解不等式①,得:143 x>,则x得取值范围是:148 3x<≤;故答案为148 3x<≤.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用,读懂题目信息,理解运行程序并列出不等式组是解题的关键.13.(-1,1)【解析】【详解】根据平面直角坐标系的象限特点,第二象限的点的符号为(-,+),所以可得720 50mm-⎧⎨-⎩<>,解不等式可得72<m <5,由于m 为整数,所以m=4,代入可得7-2m=-1,5-m=1,即A 点的坐标为(-1,1).故答案为(-1,1).14.1【解析】【详解】试题分析:先分别用a 、b 表示出各不等式的解集,然后根据题中已知的解集,进行比对,从而得出两个方程,解答即可求出a 、b .24{25x a x b >①<②+-, ①由①得,x >4-2a ;由①得,x <5+2b , ①此不等式组的解集为:4-2a <x <5+2b , ①不等式组24{25x a x b +-><的解是0<x <2, ①4-2a=0,5+2b =2, 解得a=2,b=-1,①a+b=1考点:解一元一次不等式组.15.b >-3【解析】【分析】先求出不等式的解集,再根据不等式无解可得出b 的取值范围.【详解】22213x b x b -≥⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得:22≥+x b解不等式①得:312+≤b x所以不等式组的解集为31222++≤≤b b x ①此不等式无解,①31222++>b b 解得:3b >-故答案为:3b >-.【点睛】本题考查不等式组无解问题,关键是掌握不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小找不到(无解).16.01m ≤<【解析】【分析】解不等式组的两个不等式,根据其整数解的个数得m 的取值范围可得.【详解】解:解不等式x+1≥m ,得:x≥m ﹣1,解不等式2﹣3x≥﹣4,得:x≤2,①不等式组有3个整数解,①110m ≤﹣<﹣,即01m ≤<,故答案为0<m≤1.【点睛】本题是对不等式知识的考查,熟练掌握不等式知识是解决本题的关键.17.2【解析】【分析】根据题意列出不等式组,求出x 的取值范围,再找出符合条件的x 的整数值即可.【详解】根据题意得33234x x x x -⎧>-⎪⎨⎪+>⎩ 解得:-2<x<3.同时满足x 3x 32->-和3x 4x +>的最大整数是2, 故答案为2【点睛】本题考查的是求不等式组解集的方法,即同大取较大,同小去较小,大小小大中间找,大大小小解不了的原则.18.-5≤m <-4.【解析】【分析】先求出不等式的解集,根据已知不等式组的整数解得和为-9即可得出答案.【详解】解:1423x x x m +⎧-≥⎪⎨⎪>⎩①②解不等式①得:x≤-2,①m <x≤-2又①不等式组的所有整数解得和为-9,①-4+(-3)+(-2)=-9①-5≤m <-4;故答案为-5≤m <-4.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组,是一道较为抽象的题,利用数轴就能直观的理解题意,列出关于m 的不等式组,临界数-5的取舍是易错的地方,要借助数轴做出正确的取舍.19.x <19 【解析】【详解】先根据x=3是方程2x a --2=x-1的解,代入可求出a=-5,再把a 的值代入所求不等式(2—5a )x <13,由不等式的基本性质求出x 的取值范围x <19. 故答案为x <19.20.114m -<≤-【解析】【分析】先解不等式组,求出解集,再根据“有且仅有三个整数解的条件”确定m 的范围.【详解】解:解不等式组2122274x x x m-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩ 得:437m x +-< 由有且仅有三个整数解即:3,2,1.则:4017m +-< 解得:114m -<≤-【点睛】本题考查了一元一次不等式组,利用不等式的解得出关于m 的不等式组是解题关键. 21.(1)每辆小客车的乘客座位数是20个,大客车的乘客座位数是35个(2)3【解析】【分析】(1)根据“每辆大客车的乘客座位数-小客车乘客座位数=15;6辆大客车乘客+5辆小客车乘客=310”列出二元一次方程组解之即可.(2)根据题意,设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成,利用“大客车乘客+小客车乘客≥310+20”解之即可.【详解】(1)设每辆小客车的乘客座位数是x 个,大客车的乘客座位数是y 个,根据题意,得1556310y x x y -=⎧⎨+=⎩解得2035x y =⎧⎨=⎩ 答:每辆小客车的乘客座位数是20个,大客车的乘客座位数是35个.(2)设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成,则20a+35(11-a)≥310+20,解得a≤323,符合条件的a 的最大整数为3.答:租用小客车数量的最大值为3.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用,解决本题的关键是找到题目中蕴含的数量关系.22.(1)x<-1;(2)x≤-3.【解析】【分析】(1)由移项,合并,系数化为1,即可得到答案;(2)先分别求出每个不等式的解集,然后取解集的公共部分,即可得到不等式组的解集.【详解】解:(1)4123x x -<-,①4231x x -<-+,①22x <-,①1x <-;(2)()543113125x x x x ⎧+<+⎪⎨--≥⎪⎩①②, 解不等式①,得:12x <-; 解不等式①,得:3x ≤-;①不等式组的解集为:3x ≤-.【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组,解一元一次不等式,解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤.23.(1)y=-5x+1000(0≤x≤100),(2)至少要购进50件甲种商品,商场可获得的最大利润是750元.【解析】【分析】(1)根据题意建立函数模型,利用利润=一件的利润×数量即可解题,(2)根据最多投入1500元建立不等式,再根据一次函数的性质求出最值即可.【详解】解:(1)①购进甲,乙两种商品共100件,设其中甲种商品购进x 件,①乙种商品购进(100-x )件,①y=(15-10)x+(30-20)(100-x)=-5x+1000(0≤x≤100),(2)由题意得,10x+20(100-x)≤1500,解得:x≥50,①至少要购进50件甲种商品,①y=-5x+1000,k=-5<0,①y 随着x 的减小而增大,①当x=50时,y 最大=750,①若售完这些商品,商场可获得的最大利润是750元.【点睛】本题考查了一次函数的实际应用,不等式的实际应用,函数的性质,中等难度,运用销售问题的等量关系求出一次函数的解析式是解题关键.24.(1)共有三种方案,分别为①A 型号16辆时, B 型号24辆;①A 型号17辆时,B 型号23辆;①A 型号18辆时,B 型号22辆;(2)当16x =时,272W =最大万元;(3)甲钢板4吨,乙钢板8吨;甲钢板10吨,乙钢板3吨两种生产方案.【解析】【分析】(1)设A 型号的轿车为x 辆,可根据题意列出不等式组,根据问题的实际意义推出整数值;(2)根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式,然后根据一次函数的性质解答即可; (3)根据(2)中方案求出利润,然后设生产甲钢板m 吨,乙钢板n 吨,列方程求解即可.【详解】(1)设生产A 型号x 辆,则B 型号(40-x )辆,得:1536≤34x +42(40-x )≤1552,解得1618x ≤≤,x 可以取值16,17,18,共有三种方案,分别为:A 型号16辆时,B 型号24辆,A 型号17辆时,B 型号23辆,A 型号18辆时,B 型号22辆.(2)设总利润W 万元,则W =()5840x x +-=3320x -+30k =-<∴w 随x 的增大而减小当16x =时,272W =最大万元;(3)272 2.5%=6.8⨯(万元),设生产甲钢板m 吨,乙钢板n 吨,①50006000 6.810000m n +=⨯,化简得:5668m n +=,①当m =4,n =8时,甲钢板4吨,乙钢板8吨;当m =10,n =3时,甲钢板10吨,乙钢板3吨.【点睛】本题主要考查了一次函数的应用,以及一元一次不等式组的应用,此题是典型的数学建模问题,要先将实际问题转化为不等式组解应用题.25.(1)①;(2)1x =;(3)01m ≤<.【解析】【分析】(1)先求出方程的解和不等式组的解集,再判断即可;(2)解不等式组求得其整数解,根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可; (3)先求出方程的解和不等式组的解集,即可得出答案.【详解】(1)由不等式组25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩得,3 3.54x <<, 由320x -=,解得,x =23,故方程①320x -=不是不等式组的相伴方程, 由210x +=,解得,x =1-2,故方程①210x +=不是不等式组25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的相伴方程,由 ()315x x -+=-,解得 x =2,故方程①()315x x -+=- 是不等式25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的相伴方程,故答案为①;(2)由不等式组213133x x x -<⎧⎨+>-+⎩,解得,122x << ,则它的相伴方程的解是整数, 相伴方程x=1故答案为1x =;(3)解不等式组22x x m x m <-⎧⎨-≤⎩得2m x m <≤+ 方程12x x ==,都是不等式组的相伴方程 122m m ∴<<≤+01m ∴≤<【点睛】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组,熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键.26.(1)转化;(2)x >3或x <1【解析】【分析】(1)将一个二次不等式转化为不等式组的形式,该过程体现了转化的数学思想; (2)根据两式相乘,同号得正,异号得负,则转化为30301010x x x x ->-<⎧⎧⎨⎨-<->⎩⎩或 ,再分别解两个不等式组即可.【详解】解:(1)转化;(2)由(x -3)(1-x )<0,可得3010x x -⎧⎨-⎩>,<或3010.x x -⎧⎨-⎩<,> 分别解这两个不等式组,得x >3或x <1.所以不等式(x -3)(1-x )<0的解集是x >3或x <1.【点睛】本题目是一道新型材料题目,考察学生的知识的迁移能力,根据两数相乘,同号得正,异号得负,将二次不等式转化为两个不等式组,解这两个不等式组,即可.27.(1)A 进价80元,B 进价50元;(2)16种;(3)当8<m<10时,A40盏,B60盏,利润最大;当m=10时,A 品牌灯数量在40至55间,利润均为3000;当8<m<10时,A55盏,B45盏,利润最大.【解析】【详解】试题分析:(1)根据:“1040元购进的A 品牌台灯的数量=650元购进的B 品牌台灯数量”相等关系,列方程求解可得;(2)根据:“3400≤A 、B 品牌台灯的总利润≤3550”不等关系,列不等式组,可知数量范围,确定方案数;(3)利用:总利润=A 品牌台灯利润+B 品牌台灯利润,列出函数关系式,结合函数增减性,分类讨论即可.试题解析:(1)设A 品牌台灯进价为x 元/盏,则B 品牌台灯进价为(x-30)元/盏,根据题意得104065030x x -=, 解得x=80,经检验x=80是原分式方程的解.则A 品牌台灯进价为80元/盏,B 品牌台灯进价为x-30=80-30=50(元/盏),答:A 、B 两种品牌台灯的进价分别是80元/盏,50元/盏.(2)设超市购进A 品牌台灯a 盏,则购进B 品牌台灯有(100-a )盏,根据题意,有 ()()()()()()12080805010034001208080501003550a a a a ⎧-+--≥⎪⎨-+--≤⎪⎩解得,40≤a≤55.①a 为整数,①该超市有16种进货方案.(3)令超市销售台灯所获总利润记作w ,根据题意,有w=(120-m-80)a+(80-50)(100-a )=(10-m)a+3000①8‹m‹15①①当8<m<10时,即10-m<0,w随a的增大而减小,故当a=40时,所获总利润w最大,即A品牌台灯40盏、B品牌台灯60盏;①当m=10时,w=3000;故当A品牌台灯数量在40至55间,利润均为3000;①当10<m<15时,即10-m>0,w随a的增大而增大,故当a=55时,所获总利润w最大,即A品牌台灯55盏、B品牌台灯45盏.。
含参数的一元一次不等式组讲课教案
自主学习
1. 不等式 x ? 4 ? 2(1? x) 的解集为 x ? 2 .
2. 问题1中不等式的解集表示在数轴上为( B )
A
B
C
D
3. 问题1 中不等式非负的整数解为 0 ,1 .
类型1:系数含参数的一元一次不等式
问题1 :求关于x 的一元一次不等式 mx ? 2的解集.
不等式式 x ? a(x ? a )
分析: (1)如果 m ? 0,那么 x ? 2 m
(2)如果 m ? 0,那么 x ? 2 m
练习
1. 已知a ? 3 ,求不等式 2 xa? x ??2
0 的解集.
x
?
2 2?a
变式
1. 关于x 的不等式 (3 ? a )x ?
求a 的范围.
2
的解集为 x ?
问题3 :关于x 的不等式组
?5? 2x ? ?1
? ?
x
?
a
?
0
无解,
求a 的取值范围.
变
式:关于x 的不等式组
?2x ??3 x
? ?
3x a?
? 5
3
有解,
求a 的取值范围.
a? 4
类型2:已知不等式组的特殊解,确定参数取值范围
问题1 :关于x 的不等式组
?x? m ? 0
? ?7
?
2
x
?
1
?x?a ? 0 ??? 2x ? 2 ?
?6
的解集为
x
?
4
求a 的取值范围.
练习
1 :关于x 的不等式组
?x
? ?
x
? ?
2 ?m
一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一元一次不等式组含参问题是指在一元一次不等式组中引入一个或多个参数,求解参数使得不等式组成立或不成立的问题。
解决这类问题的一般方法是通过对参数的取值范围进行讨论,将不等式系统转化为关于参数的方程或不等式,然后解方程或不等式来确定参数的取值范围。
下面通过几个例子来说明如何解决一元一次不等式组含参问题。
【例1】求参数m的取值范围,使得不等式组 3x - 2 < mx + 1和 2x + 3 < 4m + 1 同时成立。
解:首先,我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数m的方程组,然后解方程来确定参数的范围。
将不等式组化简得到:3x - mx < 3 + 2 和 2x - 4m < -2。
化简后的不等式组可以写成关于参数m的方程组:3 - m > 0和 -4m - 2 < 2x。
解这个方程组可以得到参数m的取值范围。
对不等式3 - m > 0,我们可以将m移到左边得到m < 3。
因此,参数m的取值范围是m < 3。
这是因为当m小于3时,不等式3 - m > 0成立。
对于不等式-4m - 2 < 2x,我们可以将m移到右边得到2x > -4m - 2,再除以2得到x > -2m - 1。
这说明在参数m小于3时,也必须满足x > -2m - 1,才能使得不等式组成立。
综上所述,参数m的取值范围是m < 3,并且在这个范围内,x > -2m - 1。
【例2】求参数a的取值范围,使得不等式组 2x + a - 1 < 3 和5 - 3x < 2a 同时成立。
解:首先,我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数a的方程组,然后解方程来确定参数的范围。
化简不等式组得到:a + 2x < 4 和 3x + 5 < 2a。
化简后的不等式组可以写成关于参数a的方程组:a - 4 < -2x和 2a - 3x > 5。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式(组)知识图谱含参数一元一次不等式(组)知识精讲含字母的一元一次不等式(组)未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式(组) 未知数的系数含有字母若0a >,axb >的解为b x a >; 若0a <,ax b >的解为bx a<;若0a =,则当0b ≥时,ax b >无解, 当0b <时,ax b >的解为任何实数已知23a ≠,解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为:()()13214a x a x +--<--()325a x -<-(1)当320a ->时,即23a >时,不等式的解为523x a <-;(2)当320a -<,即23a <时,不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来,然后把它与已知解集联系起来求解,在求解过程中可以利用数轴进行分析.五.易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题.2.分清参数和未知数,不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一.考点:含参的一元一次方程(组).二.重难点:参数与解集之间的关系,整数解问题,不等式与方程综合. 三.易错点:注意参数取值范围导致的变号问题.解含参一元一次不等式(组)例题1、 解关于x 的不等式:ax ﹣x ﹣2>0. 【答案】 当a ﹣1=0,则ax ﹣x ﹣2>0为空集,当a ﹣1>0,则x >21a -,当a ﹣1<0,则x <21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2>0. (a ﹣1)x >2,当a ﹣1=0,则ax ﹣x ﹣2>0为空集,当a ﹣1>0,则x >21a -,当a ﹣1<0,则x <21a -.例题2、 已知a 、b 为常数,解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时,()212b x a +>- 2a <时,()212b x a +<-2a =时,①如果10b +≥,不等式无解;②如果10b +<,则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+,(1)当20a ->,即2a >时,不等式的解为()212b x a +>-; (2)当20a -<,即2a <时,不等式的解为()212b x a +<-;(3)当20a -=,即2a =时,有 ①:如果10b +≥,不等式无解;②如果10b +<,则不等式的解为任何实数.例题3、 已知a 、b 为常数,若0ax b +>的解集为23x >,则0bx a -<的解集是( ) A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式.0ax b +>的解集为23x >,化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >,32x >-.所以该题的答案是C .例题4、 已知23a ≠,解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时,不等式的解为523x a <-;当23a <时,不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为:()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-,因为23a ≠,所以320a -≠,即32a -为正数或负数.(1)当320a ->时,即23a >时,不等式的解为523x a <-;(2)当320a -<,即23a <时,不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx ->12x ﹣1.(1)当m=1时,求该不等式的解集;(2)m 取何值时,该不等式有解,并求出解集.【答案】 (1)x <2(2)当m≠﹣1时,不等式有解,当m >﹣1时,不等式解集为x <2;当x <﹣1时,不等式的解集为x >2【解析】 (1)当m=1时,不等式为22x ->2x﹣1,去分母得:2﹣x >x ﹣2, 解得:x <2;(2)不等式去分母得:2m ﹣mx >x ﹣2, 移项合并得:(m+1)x <2(m+1), 当m≠﹣1时,不等式有解,当m >﹣1时,不等式解集为x <2; 当m <﹣1时,不等式的解集为x >2.随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+.【答案】当2a >-且0a ≠时,有2x a ≤-;当2a =-时,x 为任意数不等式都成立; 当2a <-时,有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠,所以20a >,将原不等式去分母,整理得()224a x a +≤-.当2a >-且0a ≠时,有2x a ≤-;当2a =-时,x 为任意数不等式都成立;当2a <-时,有2x a ≥-.随练2、 已知23a ≠,解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--.【答案】 当23a >时,不等式的解为523x a <-;当23a <时,不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为:()325a x -<-,因为23a ≠,所以320a -≠,即32a -为正数或负数. (1)当320a ->时,即23a >时,不等式的解为523x a <-;(2)当320a -<,即23a <时,不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组:()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩;【答案】 13a >时,32x a >+;13a ≤时,3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩.当323a +>,即13a >时,不等式组的解集为32x a >+.当323a +≤,即13a ≤时,不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ,b 为实数,若不等式ax +b <0的解集为12x >,则不等式b (x -1)-a <0的解集为( )A.x >-1B.x <-1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->, 移项得:()232a b x a b ->-,由已知解集为1x >,得到20a b ->,变形得:322a bx a b ->-,可得:3212a ba b-=-,整理得:a b =, ()4230a a x a a ∴-+->,即0a >,∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得:31x ->,解得:13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数,解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥()< ,并依据a 的取值情况写出其解集. 【答案】 当a >3时,不等式组的解集为x ≤3,当a <3时,不等式组的解集为x <a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥(①②)<, 解①得:x ≤3,解①得:x <a ,∵实数a 是不等于3的常数,∴当a >3时,不等式组的解集为x ≤3, 当a <3时,不等式组的解集为x <a .随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩.(1)若不等式组的解集是1<x <2,求a 的值;(2)若不等式组无解,求a 的取值范围. 【答案】 (1)a=3;(2)a≤2【解析】 (1)解不等式2x+1>3得:x >1, 解不等式a ﹣x >1得:x <a ﹣1, ∵不等式组的解集是1<x <2,∴a ﹣1=2, 解得:a=3;(2)∵不等式组无解, ∴a ﹣1≤1, 解得:a≤2.参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解,则a 的取值范围是 .【答案】 a≥2.【解析】 由x ﹣a >0得,x >a ;由1﹣x >x ﹣1得,x <1, ∵此不等式组的解集是空集, ∴a≥1.例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解,求实数a 的取值范围,并写出该不等式组的解集.【答案】 a <﹣6,3a≤x <﹣2.【解析】 解不等式3x ﹣a≥0,得:x≥3a,解不等式12(x ﹣2)>3x+4,得:x <﹣2,由题意得:3a<﹣2,解得:a <﹣6,∴不等式组的解集为3a≤x <﹣2.例题3、 如果关于x 的不等式(a+1)x >a+1的解集为x <1,那么a 的取值范围是( ) A.a <﹣1 B.a <0 C.a >﹣1 D.a >0或a <﹣1 【答案】 A【解析】 (a+1)x >a+1, 当a+1>0时,x >1, 当a+1<0时,x <1, ∵解集为x <1, ∴a+1<0, a <﹣1. 故选:A .例题4、 当1≤x≤4时,mx ﹣4<0,则m 的取值范围是( ) A.m >1 B.m <1 C.m >4 D.m <4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4,由题意得,当x=1时,y <0,即m ﹣4<0, 解得m <4,当x=4时,y <0,即4m ﹣4<0, 解得,m <1,则m 的取值范围是m <1,例题5、 若不等式(a ﹣3)x >1的解集为x <13a -,则a 的取值范围是 .【答案】 a <3.【解析】 ∵(a ﹣3)x >1的解集为x <13a -, ∴不等式两边同时除以(a ﹣3)时不等号的方向改变, ∴a ﹣3<0, ∴a <3.故答案为:a <3.例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <,则a 的取值范围是( ) A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较,在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三,因此有10a +<,故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2<x <4,求出a 、b 的值.【答案】 a=﹣10,b=3.【解析】 解不等式10﹣x <﹣(a ﹣2),得:x >a+8,解不等式3b ﹣2x >1,得:x <312b -,∵解集为﹣2<x <4, ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩,解得:a=﹣10,b=3.随练1、 已知关于x 的不等式(m -2)x >2m -4的解集为x <2,则m 的取值范围是________. 【答案】 m <2【解析】 不等式(m -2)x >2m -4的解集为x <2, ∴m -2<0,m <2.随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x <3,那么m 的取值范围是 .【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②,解①得x <3,∵不等式组的解集是x <3, ∴m≥3.故答案是:m≥3.随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解,则m 的取值范围为( )A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②,解不等式①得,x <2m , 解不等式②得,x >2-m , ∵不等式组有解, ∴2m >2-m ,∴23m >.随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解,则实数a 的取值范围是( )A.a≥-2B.a <-2C.a≤-2D.a >-2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥,解不等式x +a≥0得,x≥-a ,由不等式4-2x >x -2得,x <2,∵不等式组:不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解,∴a >-2,随练5、 已知不等式31(x ﹣m )>2﹣m . (1)若上面不等式的解集为x >3,求m 的值.(2)若满足x >3的每一个数都能使上面的不等式成立,求m 的取值范围. 【答案】 (1)23(2)m≥23 【解析】 (1)解不等式可得x >6﹣2m ,∵不等式的解集为x >3, ∴6﹣2m=3,解得m=23;(2)∵原不等式可化为x >6﹣2m ,满足x >3的每一个数都能使不等式成立, ∴6﹣2m≤3,解得m≥23.整数解问题例题1、 关于x 的不等式-1<x≤a 有3个正整数解,则a 的取值范围是________. 【答案】 3≤a <4【解析】 ∵不等式-1<x≤a 有3个正整数解, ∴这3个整数解为1、2、3, 则3≤a <4.例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解,则b 的取值范围是( ) A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
一元一次不等式字母取值范围专题知识讲解
类型一 已知不等式组的解集求字母的取值
例1 .若关于x的不等式组 2 x a 1
x
2b
3
解集为-1<x<1,则(a+1)(b-1)的值是__。
练习1
若不等式组
x x
m m
n n
的解是 3x5
,求不等式 mxn 的解.
解题步骤:
1、求出未知数x的取值范围形如 bxa
方法总结 1、把方程中的未知数用含待定字母的代数式表示;
2、把两个代数式代入已知不等式,转化成含待定字母的 不等式;
3、解不等式求出范围。
类型三 已知不等式组的解的情况求字母的取值范围
•例3不等式组
x x
9 5x m1
1,
的解集是x>2,求m的取值范围.
a 练习3
若不等式组
x a 0 1 2x x 2
•练习4
若关于x的不等式组
x 15 2
x 3,
2
x 3
2
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
只有4个整数解,求a的取值范围.
解题步骤
1、求出未知数x的取值范围形如 bxa
2、根据整数解的个数,借助数轴,确定字母a、b的值;
(a、b一定是两个相邻整数)
3、确定哪边取等号。 (很重要,不能忘记,用数值代入检验确定)
巩固练习 x a 2
有解,则
的取值范围是( ).
解题步骤:
1、分别求出不等式组中两个不等式的解;
2.再 确定“<”还是“>” 3.最后确定”=“是否取到
注意:借助数轴分析第2步骤
(
类型四 已知不等式组的整数解个数求字母的取值范围
析解含字母系数的不等式组问题
析解含字母系数的不等式组问题在初中数学学习中,我们已经学习了不等式的基本概念和解法,例如一次不等式、二次不等式、绝对值不等式等等。
然而,当不等式中的系数含有字母时,我们就需要运用代数方法来解决问题。
本文将详细介绍含字母系数的不等式组问题的解法和应用。
一、含字母系数的一元一次不等式对于含字母系数的一元一次不等式,我们可以先将其转化为一元一次方程,然后解出方程的解集,再根据解集判断不等式的解集。
例如:解:将不等式两边乘以2,得到 $2x-4leqslant 2x+1$,化简得$-4leqslant 1$,显然不成立。
因此,原不等式无解。
二、含字母系数的一元二次不等式对于含字母系数的一元二次不等式,我们可以将其化为标准形式,即 $ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$,其中 $a,b,c$ 均为含字母的实数系数。
然后我们可以通过求解二次方程的解集来确定不等式的解集。
例如:解:将不等式两边移项,得到 $2x^2-5x+2leqslant 0$。
将其化为标准形式,得到 $2x^2-5x+2=0$。
解出方程 $2x^2-5x+2=0$ 的解集为 $x_1=frac{1}{2}$,$x_2=2$。
根据二次函数的图像,我们可以画出其图像:由于 $a>0$,因此该二次函数的开口朝上。
从图像可以看出,当$xin (frac{1}{2},2)$ 时,函数的取值小于等于0,满足原不等式。
因此,原不等式的解集为 $xin (frac{1}{2},2)$。
三、含字母系数的一元二次不等式组对于含字母系数的一元二次不等式组,我们需要先将其化为标准形式,然后运用解方程组的方法来求解。
例如:解:将不等式组两边移项,得到 $begin{cases}2x^2-5x+2leqslant 0 x^2-2x+1>0 end{cases}$。
将第二个不等式化为标准形式,得到 $(x-1)^2>0$。
一元一次不等式(组)培优训练(参数问题)
一元一次不等式(组)培优训练(参数问题) 拔高级训练:1、已知关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=++=-222323t y x t y x ,当A=x -2y 且-1<t ≤2,求A 的取值范围.2、若关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+333y x a t y x 的解满足x+y<505,则a 的取值范围是( )A. a>2016B.a<2016C.a>505D.a<5053、已知关于x ,y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+m y x m y x 12312的解x ,y 满足x+y1<1,且m 为正数,求m 的取值范围.4、已知关于x ,y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+34272a y x a y x . (1)若a=2,求方程组的解;(2)若方程组的解x ,y 满足x>y ,求a 的取值范围并化简110118+-+a a5、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥-≥-0250x m x 有解,则m 的取值范围是?6、关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-<-)1(2130x x m x 无解,那么m 的取值范围为( ) A. m ≤-1 B.m<-1 C.-1<m ≤0 D.-1≤m<07、(1)若不等于组⎩⎨⎧>≤<k x x 21无解,则k 的取值范围是( ) A.k ≤2 B.k<1 C.k ≥2 D.1≤k<2(2)已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-1250x a x 只有四个整数解,则实数a 的取值范围是________. (3)定义[]x 表示不大于x 的最大整数,即x 的整数部分,例如[]47.4=.①根据定义,[][][]______;4.1_____,2_____,=-==π②比较[][]1,,1,++x x x x 的大小关系,按照从小到大的顺序用不等号连接的结果为____________________________; ③解方程:412213+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x8、若整数使关于的x 方程x +2a=1的解为负数,且使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≥->--31210)(21x x a x 无解,则所有满足条件的整数a 的值之和是( )A.5B.7C.9D.109、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=+-=+ky x k y x 13233的解满足x+y>0,且关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--x x k x x 323)1(2有解,则符合条件的整数k 的值的和为( )A.2B.3C.4D.510、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧<+>-13430x a x 有且只有3个整数解,则a 的取值范围是( ) A.a>-1 B.-1≤a<0 C.-1<a ≤0 D.a ≤0培优级训练:1、已知⎩⎨⎧+=+=+12242k y x k y x 且0<y -x<1,则k 的取值范围是( )A.211-<<-kB.210<<kC.10<<kD.121<<k 2、如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->-0809b x a x 的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a ,b 的有序数对(a ,b )共有______个.3、阅读以下材料:对于三个数a,b,c ,用M{a ,b ,c}表示这个三个数中最小的数,例如:M{-1,2,3}=343321-=++;⎩⎨⎧->--≤=--=-)1(1)1(},2,1min{;1}3,2,1min{a a a a 解决下列问题:(1)填空:如果min{2,2x+2,4-2x}=2,则x 的取值范围为_________.(2)如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x.4、社会主义核心价值观"富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善"体现了社会主义核心价值理念.我们用"核心符号"[x]来表示不大于x 的最大整数(如[1.5]=1,[-1.5]=-2,我们把满足[x]=a (a 为常数)的x 取值范围叫做的核心范围)(如[x]=3的x 的核心范围为3≤x<4,[x]=-1的x 的核心范目-1≤ x<0).(1)请直接写出[2.6]的值和[x]=1的的核心范围;(2)己知关于x 的不等式⎩⎨⎧<->a x x ]2.1[有且只有两个整数解,写出这两个整数解并求出a 的取值范围.5、先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:例题:对于(x -2)(x -4)>0,这类不等式我们可以通过下面的解题思路来分析:由有理数的乘法法则"两数相乘,同号得正",可得①⎩⎨⎧<->-0402x x ,②⎩⎨⎧<-<-0402x x .从而将陌生的高次不等式化为学过的一元一次不等式年解不等式组,分别去解两个不等式组即可求得原不等式的解集,即:解不等式组①得x>4,解不等式组②得x<2,所以(x -2)(x -4)>0的解集为x>4或x<2.请利用上述解题思想解决下面的问题:(1)请直接写出(x -2)(x -4)<0的解集;(2)对于0>nm ,请根据除法法则化为我们学过的不等式(组); (3)求不等式013>-+x x 的解集.6、先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:例题:解一元二次不等式x ²-4>0.解:∵x ²-4=(x +2)(x -2),∴x ²-4>0可化为(x +2)(x -2)>0.由有理数的乘法法则"两数相乘,同号得正",得①⎩⎨⎧>->+0202x x ,②⎩⎨⎧<-<+0202x x 解不等式组①,得x >2,解不等式组②,得x<-2.∴x ²-4>0的解集为x >2或x<-2,即一元二次不等式x ²-4>0的解集为x >2或x<-2.(1)一元二次不等式x ²-16>0的解集为______________.(2)分式不等式031>--x x 的解集为______________.课堂检测:1、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=++=-ay x a y x 523的解满足x>y>0,求a 的取值范围.2、已知a>1,则a x x a -=-2)2(2中x 的取值范围是多少?3、若关于x 不等式组⎩⎨⎧≥-≥-0035m x x 有实数解,则实数m 的取值范围是( )A.35≤m B.35<m C.35>m D.35≥m4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧+≥++≤)1(341m x m x 无解,则m 的取值范围是__________.5、已知关于x 的不等式a ≤x<b 的整数解为7,8,9,10.当a 、b 为实数时,a 、b 的取值范围分别为________、__________.。
一元一次不等式与一元一次不等式组典型例题
一元一次不等式与一元一次不等式组的解法知识点回顾1.不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式.常见的不等号有五种: “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”. 2.不等式的解与解集不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集.不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点,是实心圆点;不包含边界点,则是空心圆圈;再确定方向:大向右,小向左。
说明:不等式的解与一元一次方程的解是有区别的,不等式的解是不确定的,是一个范围,而一元一次方程的解则是一个具体的数值. 3.不等式的基本性质(重点)(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.不等号的方向不变.如果a b >,那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.如果,0a b c >>,那么__ac bc (或___a b c c) (3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.如果a b >,0c <那么__ac bc (或___a b c c) 说明:常见不等式所表示的基本语言与含义还有:①若a -b >0,则a 大于b ;②若a -b <0,则a 小于b ;③若a -b ≥0,则a 不小于b ;④若a -b≤0,则a 不大于b ;⑤若ab >0或0a b >,则a 、b 同号;⑥若ab <0或0ab<,则a 、b 异号。
任意两个实数a 、b 的大小关系:①a -b>O ⇔a>b ;②a -b=O ⇔a=b ;③a-b<O ⇔a<b .不等号具有方向性,其左右两边不能随意交换:但a <b 可转换为b >a ,c ≥d 可转换为d ≤c 。
4.一元一次不等式(重点)只含有一个未知数,且未知数的次数是1.系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式. 注:其标准形式:ax+b <0或ax+b ≤0,ax+b >0或ax+b ≥0(a ≠0). 5.解一元一次不等式的一般步骤(重难点)(1)去分母;(2)去括号;(3)移项; (4)合并同类项;(5)化系数为1.例:131321≤---x x 解不等式:6.一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.说明:判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件:①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同;②不等式组中不等式的个数至少是2个,也就是说,可以是2个、3个、4个或更多.7.一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定.9.解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.(三)常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) A.x1+1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5D.21(x -3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为 .a 与6的和小于5; x 与2的差小于-1;1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空:a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a -b __________0; a +b __________a -b ; ab __________a .2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( )A 、ab >0B 、a b >C 、a -b >0D 、a +b >01.与2x <6不同解的不等式是( )A.2x +1<7B.4x <12C.-4x >-12D.-2x <-6): (这类试题在中考中很多见)1.(2010湖北随州)解不等式组110334(1)1x x +⎧-⎪⎨⎪--<⎩≥ 2.(2010福建宁德)解不等式215312+--x x ≤1,并把它的解集在数轴上表示出来. 3.(2006年绵阳市)12(1)1,1.23x x x -->⎧⎪⎨-≥⎪⎩此类试题易错知识辨析(1)解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >(或ax b <)(0a ≠)的形式的解集:当0a >时,b x a >(或b x a<) 当0a <时,bx a <(或b x a >)当0a <时,b x a <(或b x a>) 4 若不等式(a +1)x >a +1的解集是x <1,则a 必满足( ).(A)a <0 (B)a >-1 (C)a <-1 (D)a <15 若m >5,试用m 表示出不等式(5-m )x >1-m 的解集______.6.如果不等式(m -2)x >2-m 的解集是x <-1,则有( ) A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠27.如果不等式(a -3)x <b 的解集是x <3-ab,那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x -2)≤x +4的非负整数解有几个.( ) A.4 B.5 C.6D.无数个2.不等式4x -41141+<x 的最大的整数解为( ) A.1B.0C.-1D.不存在|x |<37的整数解是________.不等式|x |<1的解集是________. 已知ax <2a (a ≠0)是关于x 的不等式,那么它的解集是( )A.x <2B.x >-2C.当a >0时,x <2D.当a >0时,x <2;当a <0时,x >21. 若x +y >x -y ,y -x >y ,那么(1)x +y >0,(2)y -x <0,(3)xy ≤0,(4)yx<0中,正确结论的序号为________。
一元一次不等式含参问题
一元一次不等式(组)专项培优【学习目标】1.理解不等式组的概念;2.会解一元一次不等式组,并会利用数轴正确表示出解集;3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题,感受不等式组在实际生活中的作用. 要点一、不等式组的概念定义:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组.如,等都是一元一次不等式组.一元一次不等式的解法【学习目标】1.理解并掌握一元一次不等式的概念及性质;2.能够熟练解一元一次不等式;3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,是一个一元一次不等式. 要点诠释:(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式);②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式. 不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”、“≤”、“≥”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向.要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式.2.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:(或)的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)化为(或)的形式(其中);(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.要点诠释:(1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用. 2562010x x ->⎧⎨-<⎩7021163159x x x ->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩2503x >a x <a x >ax b >ax b <0a ≠(2)解不等式应注意:①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项;②移项时不要忘记变号;③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号;④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变.要点三、不等式的解及解集1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.2.不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集.要点诠释:3.不等式的解集的表示方法(1)用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x ≤8.(2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解.如图所示:(3)要点诠释:借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:一是确定“边界点”,二是确定方向.(1)确定“边界点”:若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”:对边界点a 而言,x >a 或x ≥a 向右画;对边界点a 而言,x <a 或x ≤a 向左画.注意:在表示a 的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念1.下列式子哪些是一元一次不等式?哪些不是一元一次不等式?为什么?(1) (2)(3) (4) (5)0x >1x1->2x 2>3y x ->+1x -=类型二、解一元一次不等式2.求不等式﹣≤的非负整数解,并把它的解在数轴上表示出来.举一反三:【变式1】解不等式:【变式2】代数式的值不大于的值,求x 的范围.3.m 为何值时,关于x 的方程:的解大于1?举一反三:【变式】已知关于方程的解是非负数,是正整数,则 .4.(2016•杭州模拟)若关于x ,y 的二元一次方程组的解满足x ﹣y >﹣3.5,求出满足条件的m 的所有正整数解. 2x ]2)14x (32[23<---6151632x m m x ---=-x 3x 23m x 2x -=--m =m类型二、不等式的解及解集5.若关于的不等式只有三个正整数解,求的取值范围.举一反三:【变式】已知的解集中的最大整数为3,则的取值范围是 .类型四、逆用不等式的解集6. 若关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集 .一元一次不等式组【典型例题】类型一、解一元一次不等式组1.(2016•深圳)解不等式组:.x a x ≤a a x <a x n m x >53x <x 0n 5m x )n m 2(>-+-2. 不等式组是否存在整数解?如果存在请求出它的解;如果不存在要说明理由.举一反三:【变式】(2015•北京)解不等式组,并写出它的所有非负整数解.3.试确定实数a 的取值范围.使不等式组 恰好有两个整数解.3(2)5(4) 2.......(1)562(2)1,........(2)32211............(3)23x x x x x x ⎧⎪++-<⎪+⎪+≥+⎨⎪++⎪-≤⎪⎩1023544(1)33x x a x x a +⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩类型二、解特殊的一元一次不等式组4.(2015•黔西南州)求不等式(2x﹣1)(x+3)>0的解集.解:根据“同号两数相乘,积为正”可得:①或②.解①得x>;解②得x<﹣3.∴不等式的解集为x>或x<﹣3.请你仿照上述方法解决下列问题:(1)求不等式(2x﹣3)(x+1)<0的解集.(2)求不等式≥0的解集.课堂练习类型一根据不等式租的整数解情况确定字母的取值范围例1.不等式组有3个整数解,则m的取值范围是.变式练习1.不等式组有3个整数解,则m的取值范围是.变式练习2.已知关于x的不等式组只有3个整数解,则实数a的取值范围是.变式练习3. 已知关于x 的不等式组{4x +2>3(x +a)2x >3(x −2)+5,仅有4个整数解,则实数a 的取值范围是 .变式练习4. 已知关于x 的不等式组{5x +2>3(x −1)12x ≤8−32x +2a ,仅有4个整数解,则实数a 的取值范围是 .类型二 根据不等式组的解集确定字母的取值范围例2.已知关于x 的不等式组无解,则a 的取值范围是 .变式练习1.若关于x 的不等式组有解,则实数a 的取值范围是 .变式练习2.若不等式的解集为x >3,则a 的取值范围是 .变式练习3.若关于x 的不等式的解集为x <2,则a 的取值范围是 .变式练习4.已知不等式组无解,则a 的取值范围是 .类型三 根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围例3. 已知方程组⎩⎨⎧-=++=+my x m y x 12312满足x +y <0,求m 的取值范围变式练习1.若关于x ,y 的二元一次方程组的解满足x +y <2,则a 的取值范围为 .2.已知⎩⎨⎧+=+=+12242k y x k y x 且的取值范围为则k y x ,01-〈-〈 .例4. 已知关于x的不等式(1﹣a)x>2的解集为x<,则a的取值范围是.变式练习1.不等式(x﹣m)>3﹣m的解集为x>1,则m的值为.2.若关于x的不等式3m﹣2x<5的解集是x>3,则实数m的值为.3.若不等式ax+b<0的解集是x>﹣1,则a,b应满足的条件有.综合练习1.关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4,则m的值为()A.14B.7C.﹣2D.22.不等式组的解集是x>﹣1,则a的取值范围是.3.若关于x的一元一次不等式组无解,则a的取值范围是.4.若不等式组的解集为3≤x≤4,则不等式ax+b<0的解集为.5.已知关于x的不等式组无解,则a的取值范围是.6.不等式组的解是0<x<2,那么a+b的值等于.7.已知关于x的不等式组只有3个整数解,则实数a的取值范围是.8.已知关于x的不等式组的整数解共有6个,则a的取值范围是.。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
.
解:(2)去分母,得:8﹣(7x﹣1)>2(3x﹣2),
去括号,得:8﹣7x+1>6x﹣4,
移项,得:﹣7x﹣6x>﹣4﹣1﹣8,
合并同类项,得:﹣13x>﹣13,
系数化1,得:x<1.
考点二:解不等式(组)并在数轴上表示解(集)
5.(2021•武汉)解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一:不等式的性质
C 1.(2021•常德)若a>b,下列不等式不一定成立的是( )
A.a﹣5>b﹣5
B.﹣5a<﹣5b
C. a b
cc
D.a+c>b+c
考点一:不等式的性质
2.(2021•临沂)已知a>b,下列结论:①a2>ab;②a2>b2;③若b<0,
A 则a+b<2b;④若b>0,则 1 1 ,其中正确的个数是( ) ab
性质3:不等式两边同时乘或除同一个负数,不等号的。方向改变
知识点梳理:
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3.(2021•南京)解不等式1+2(x﹣1)≤3,并在数轴上表示解集. 解: 1+2(x﹣1)≤3, 去括号,得1+2x﹣2≤3. 移项、合并同类项,得2x≤4. 化系数为1,得x≤2.
表示在数轴上为:
考点二:解不等式(组)并在数轴上表示解(集)
Hale Waihona Puke 4.(2021•泰安)(2)解不等式: 1- 7x 1 3x 2
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x y m 2 x y 6中,已知x>0,y<0
x y m 2x y 6 中,已知xy<0
求m的取值范围. x y m 二变: 在方程组 2 x y 6 中,已知 xy<0 且x,y都是整数,求m的值. x y m 已知在方程组 2 x y 6中,xy<0 三变: 化简: m 6 m 3
练一练
关于的不等式组
x>3 的解集是 x a
xa
)
C
,则 a 的
取值范围是(
A a 3 B a> 3
a3
D
a3
x a b 例4、已知关于x的不等式组 2 x a < 2b 1 b 的解集为3≤x<5,求 的值 a
变式训练
x 3 关于x的不等式组 的解集是3 x a x a
则 a 的取值范围是 (B) B D
A C
a3
a3
a3 a3
的解集是 x 2, 则m的取值范围是( (A)m≤2 (C)m≤1
x 9 5x 1, 关于x的不等式组 x m 1
)
(B)m≥2 (D)m>1
小结
达标检测
x a 1、若关于x的不等式组 x 3 0 只有三个整数解,求a的取值范围
(1)若不等式组
x m (较小) 1 x 2 m 1 (较大)
无解,则
m≥2 m的取值范围为_______________
m+1≤ 2m - 1
(较小) x m 1 x 3 (较大)
(2)若不等式组
的解集为x>3,
则m的取值范围为_知a,b为常数,关于x的不 b 等式ax>b的解集是x< ,求a的 a 取值范围。
分析:1.利用那条不等式性质? 2.注意什么? 方法总结:在系数为字母的不等式的解 集给出时,要根据不等号是否变化分 析在将系数化为1时,系数的正负,从 而确定字母系数的范围。
练一练
1.如果不等式(m﹣2)x>m﹣2的解集 为x<1,那么( ) A.m≠2 B.m>2 C.m<2 D.m为任意有理数
思考题
综合拓展:
x y 1 例1、方程组 的解满足 x y 2a
①x>0,y<0,求a的取值范围。
②x、y异号。
•
是否存在这样的整数,使关于 3x 4 y a x,y 的二元一次方程组 4x 3y 5 的解是一对非负数?如果存在,求 出它的解,如果不存在,请说明理 由.
1 x 2 2、若关于x的不等式组 x m 有解,求m的取值范围。
x m 1 3、若关于x的不等式组 x 2m 1
无解,则m的取值范围是_______
4、若不等式4x-a≤0的正整数解是 1,2,则a的取值范围是______
x a>0 5、已知关于x的不等式组 3 2 x>0 的整数解共有6个,求a的取值范围。
小结
• 你有哪些收获?说出来,大家共同分享 • 你还有什么疑惑?提出来,我们一起讨论
自主练习:
3x y k 1 1、若方程组 x 3 y 3
的解x,y满足0<x+y<1,求k的取 值范围。
自主练习: 2、m为何值时,关于x、y的方程组
2 x 3 y 3m 1 ① 的解满足x 0, y 0? 4 x 5 y m 9 ②
例2.关于x的不等式3m-x<5 的解集x>2,是求的值。
分析:1.如何让不等式从形式上接近解集 ? 2. 根据什么确定m的取值? 方法总结: 1.解出不等式含有字母参数的形式的解集 2.根据不等式解集的唯一性建立关于字母 参数的方程,求出字母的取值范围。
练一练
2.不等式 x-m﹥6-3m的解集为x>2,那 么m的值是( ) A. 4 B.2 C.1 D.1.5
x-y=2k ① 已知方程组 的解x与y x+3y=1-5k ② 的和是负数,求k的取值范围。
解:由方程组得
∵x+y<0
1 解之得 k 3
1 k 1 7k 0 4 4
1 k x 4 1 7 k y 4
在方程组 求m的取值范围.
• 一变: 在方程组
完成下列表格
不等式组
x a, x b.(a b) x a, x b.(a b) x a, x b.(a b)
数轴表示
b b b b a
解 集
x>a
a a
a
x<b b<x < a 无解
x a, x b.(a b)
.
解不等式组:
x 1 0 x 3 0
变式1:两个代数式x-1与x+3的值的 符号相同,则x的取值范围是多少?
变式2:若 a 1 b 3 0 ,不等式 组 x a 0 的解集是多少? xb 0
2
3x 2 y a 0 变式3:方程组 2 x y b 0 的解是 x 1 x 2a 0 则不等式组 的 解是多少? y 1 x b 0
解题后的归纳
小
结
1. 由几个一元一次不等式组所组成的不等式组 叫做一元一次不等式组 2. 几个一元一次不等式的解集的公共部分, 叫做由它 们所组成的一元一次不等式组的解集. 3. 求不等式组的解集的过程, 叫做 解不等式组. 4. 解简单一元一次不等式组的方法: (1) 利用数轴找几个解集的公共部分: (2) 利用规律: 1. 大大取大, 2.小小取小; 3.大小小大中间找, 4.大大小小解不了(是空集)。
临西县第一中学
邓冬夏
学习目标
解决一元一次不等式(组)中 含有字母参数的问题。
知识回顾
1.解一元一次不等式的基本依据是什么? 2.解一元一次不等式的主要步骤是什么? 3.解一元一次不等式组的主要步骤是什么?
(1)分别解不等式组中的各个不等式; (2)在数轴上表示各个不等式的解集; (3)求出这几个不等式解集的公共部分.
(3)设a b, 则不等式组 解集为
A.x>b
xa x b
的
C
C.无解
B.x<a
D.a <x<b
例3
x 3 若不等式组 的解集是x ≤ a,则a的取值范围 x a
是(
c
) B、a=3 C、a≤3 D、a≠3
A、a<3
方法总结:1、先将不等式组的每个不等式 化为解集的形式, 2、在数轴上表示出能确定的不等式的解集, 3、根据组的解集的特点确定字母参数的取 值,注意关键点。