高等数学教案--函数

高等数学教案—函数 课 时 授 课 计 划

第一课时

教学过程及授课内容 教学过程

函数及其性质

一.函数的概念 1.函数的定义

定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.

当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数

)(x f y =在点0x 处的函数值，

记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.

.

2. 函数的两要素

函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.

（1）对应规律

例1. 132(22-+=x x x f ）

就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为 10)(4)()(23-+=f

例2.设).2

(,1sin 1)(π

f x x x f 求=

解 2

2sin 2)2(π

πππ==f

例3.设).(,3)1(2x f x x x f 求-=+ 解：令x+1=t,则x=t-1,所以

45)1(3)1()(22+-=---=t t t t t f 所以 45)(2+-=x x x f

（2）定义域：自变量的取值范围称为函数的定义域

例4.的定义域求函数7

1

2arcsin 62-+--=x x x y

解：

2

3,0)2)(3062-≤≥≥+-≥--x x x x x x 或既（

4

37

12717

1

2≤≤-≤-≤-≤-x x x 既 则函数的定义域为[][]4,32,3⋃--

函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：

(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；

(III)在对数中真数大于零；

(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；

(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.

(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 例5.下列函数是否相同，为什么 （1）x y x y ln 2ln 2==与 （2）x y u w ==与 3． 函数的记号

Y 是x 的函数，可以记作y=)(x f 也可以记作)()(x F x y 或ϕ=等，但同一函数在讨论中应取定记法，同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的记号分别表示它们个自的对应规律，有时也用 记号)(),(),(x v v x u x y y ===等表示函数.这种函数的记号称为函数的解析表达式.

4． 函数的三种表示方法, (1)图像法

用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观

性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.

(2)表格法

将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表

示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.

(3)公式法

用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法.

这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.

在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数

在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如

就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.

② 用参数方程确定的函数

用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)

()

(t y t x （t ∈Ι）

表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数

)]1,1[(12

-∈-=x x y 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨

⎧=t t

t

y 表示. ③ 隐函数

如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该

方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.

注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把

一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x 可以化成显

函数x

y x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .

定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为

B D f y x f →→: :或, y 称为x 对应的函数值，记为

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,

20,,

0,1)(2x x x x x x x f