高等数学教案--函数
数学教案高中函数
数学教案高中函数
教学目标：
1. 熟练掌握高中函数的定义和基本性质；
2. 能够灵活运用函数的概念解决实际问题；
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 函数的定义；
2. 函数的图像和性质；
3. 函数的运算。
教学难点：
1. 函数的复合运算；
2. 函数的图像的绘制。
教学准备：
1. 教师准备教学课件和教学用具；
2. 学生准备笔记本和铅笔。
教学过程：
第一步：引入问题
教师通过一个实际问题引入函数的概念，让学生了解函数的定义和意义。
第二步：讲解函数的定义和性质
教师简要介绍函数的定义和性质，包括定义域、值域、自变量和因变量等概念。
第三步：举例说明函数
教师通过一些例题让学生掌握函数的基本性质和运算规则。
第四步：绘制函数的图像
教师示范如何绘制函数的图像，并要求学生根据函数的公式自行绘制函数的图像。
第五步：巩固练习
教师出一些练习题让学生巩固所学的内容，提高解题能力。
第六步：课堂讨论
教师组织学生互相讨论解题方法和答案，促进学生思维的交流。
第七步：作业布置
教师布置相关作业，巩固所学知识。
教学反思：
通过这节课的教学，学生能够熟练掌握函数的基本概念和运算方法，提高数学解题能力和思维能力。
学生在课后应多做练习，巩固所学内容，提高数学学习的效果。
大学高数函数教案设计
教学目标：1. 理解函数的概念和性质；2. 掌握函数的表示方法，包括解析式、图像和表格；3. 学会运用函数的性质解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念和性质；2. 函数的表示方法；3. 函数的应用。
教学难点：1. 函数性质的运用；2. 函数在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学生准备：笔记本、笔。
教学过程：一、导入1. 教师简要介绍函数的概念，引导学生回顾初中阶段学习的函数知识；2. 引出本节课的学习内容：大学高数函数。
二、新授课1. 函数的概念（1）教师讲解函数的定义，强调函数的对应关系和确定性；（2）举例说明函数的表示方法，如解析式、图像和表格；（3）组织学生讨论函数的表示方法，加深理解。
2. 函数的性质（1）教师讲解函数的奇偶性、周期性、单调性等性质；（2）举例说明函数性质的应用，如判断函数的奇偶性、周期性、单调性等；（3）组织学生进行练习，巩固函数性质的应用。
3. 函数的应用（1）教师举例说明函数在实际问题中的应用，如物理学中的运动学、经济学中的需求函数等；（2）组织学生进行小组讨论，尝试解决实际问题；（3）教师点评学生的解答，总结函数在实际问题中的应用方法。
三、巩固练习1. 教师布置课后作业，要求学生完成相关练习题；2. 组织学生进行课堂练习，巩固所学知识。
四、总结与反思1. 教师总结本节课的学习内容，强调函数的概念、性质和应用；2. 组织学生进行课堂反思，提出自己的疑问和建议。
教学评价：1. 课后作业完成情况；2. 课堂练习正确率；3. 学生对函数概念、性质和应用的掌握程度。
函数的数学教案范文
函数的数学教案范文一、教学目标1. 了解函数的概念，理解函数的表示方法，包括列表法、图象法和解析式法。
2. 掌握函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
3. 学会运用函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及表示方法1.1 函数的定义1.2 函数的表示方法：列表法、图象法、解析式法2. 函数的性质2.1 单调性2.2 奇偶性2.3 周期性3. 函数的实际应用3.1 线性函数的应用3.2 非线性函数的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数的概念、表示方法及性质。
2. 难点：函数的单调性、奇偶性、周期性的理解和应用。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法。
2. 使用多媒体课件、图形计算器等教学手段，直观展示函数的图象和性质。
五、教学安排1. 课时：本章共计10课时。
2. 教学安排：第1-2课时：函数的概念及表示方法第3-4课时：函数的单调性第5-6课时：函数的奇偶性第7-8课时：函数的周期性第9-10课时：函数的实际应用教案内容请参考下述教学设计：一、导入新课1. 复习相关概念：变量、常量2. 提问：什么是函数？3. 学生回答，教师总结并板书函数的定义二、自主学习1. 学生自主学习函数的表示方法，包括列表法、图象法、解析式法2. 学生展示学习成果，教师点评并讲解三、课堂讲解1. 讲解函数的单调性，引导学生理解并掌握单调性的概念及判断方法2. 讲解函数的奇偶性，引导学生理解并掌握奇偶性的概念及判断方法3. 讲解函数的周期性，引导学生理解并掌握周期性的概念及判断方法四、巩固练习1. 学生练习判断给定函数的单调性、奇偶性、周期性2. 教师点评并讲解答案五、课堂小结1. 学生总结本节课所学内容2. 教师补充并强调重点知识点六、课后作业1. 完成课后练习题2. 运用函数解决实际问题教学设计请根据实际教学情况进行调整。
六、教学目标1. 理解函数的图像特征，包括直线、二次函数、指数函数、对数函数等的基本图像。
高一数学函数教案
高一数学函数教案一、教学目标通过本次课程的学习，学生应该能够：1. 掌握函数的一些基本概念，如定义域、值域、奇偶性等。
2. 理解函数图像的特点，掌握函数图像的绘制方法。
3. 掌握函数的性质，如单调性、最值、零点等。
4. 理解函数的数学意义，如函数在实际问题中的应用。
二、教学准备1. 教师应提前准备好PPT以便于展示和讲解。
2. 教师应提前准备好相关练习，如填空、选择等。
3. 教师应对各种题型有充分的准备，并准备针对性的讲解。
三、教学过程1. 引入：引导学生回顾之前所学知识——数列；然后，引出函数的概念。
引导学生体验函数与数列的区别。
2. 提高：让学生自主观察函数图像，并发现其中的规律，引导学生总结出函数图像的一些特点，并学习绘制函数图像。
3. 拓展：通过讲解函数的一些基本概念和性质，引导学生理解函数的数学意义，并且方便学生在实际问题中进行应用。
4. 实践：通过练习巩固所学内容，提高学生的应用能力，并检查学生的掌握程度。
5. 总结：通过对本课程进行总结，梳理所学内容，加深学生对函数的理解，为下一步的拓展打下基础。
四、教学手段1. PPT2. 练习册3. 黑板五、教学评估评估方式：1. 组织开展小组讨论，让学生在小组中及时互相交流与探讨。
2. 不定期进行口头提问，并鼓励学生踊跃回答。
3. 每一小节结束后安排一定时间，让学生自行完成所设计的小练习，以便于教师检查学生的掌握情况和授课效果。
六、教学反思在本次教学中，我尝试采用了以学生为主角的教学方式，通过图片和图表直观地展示了函数的特点，让学生更直观地感受到了函数的概念。
同时，我注重了对知识点的理解，使学生不仅掌握函数的基本概念，还可以将函数应用到实际生活中。
但是，在未来的教学里，我应该注重开发更多的教学方式，以便于让学生在更多的机会下去进一步探索和发现。
高等数学教案--函数
高等数学教案—函数 课 时 授 课 计 划第一课时教学过程及授课内容 教学过程函数及其性质一.函数的概念 1.函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域..2. 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.（1）对应规律例1. 132(22-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为 10)(4)()(23-+=f例2.设).2(,1sin 1)(πf x x x f 求=解 22sin 2)2(ππππ==f例3.设).(,3)1(2x f x x x f 求-=+ 解：令x+1=t,则x=t-1,所以45)1(3)1()(22+-=---=t t t t t f 所以 45)(2+-=x x x f（2）定义域：自变量的取值范围称为函数的定义域例4.的定义域求函数712arcsin 62-+--=x x x y解：23,0)2)(3062-≤≥≥+-≥--x x x x x x 或既（4371271712≤≤-≤-≤-≤-x x x 既 则函数的定义域为[][]4,32,3⋃--函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 例5.下列函数是否相同，为什么 （1）x y x y ln 2ln 2==与 （2）x y u w ==与 3． 函数的记号Y 是x 的函数，可以记作y=)(x f 也可以记作)()(x F x y 或ϕ=等，但同一函数在讨论中应取定记法，同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的记号分别表示它们个自的对应规律，有时也用 记号)(),(),(x v v x u x y y ===等表示函数.这种函数的记号称为函数的解析表达式.4． 函数的三种表示方法, (1)图像法用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.(2)表格法将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.(3)公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法.这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x x y 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示. ③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x 可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或, y 称为x 对应的函数值，记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f=),Dy∈(,xxf其中，x称为自变量，y称为因变量.二．函数的四种特性设函数)y=的定义域为区间D，函数的四种特性如下表所示.f(x思考题答案1．①对应规则; ②定义域．2．提示：考虑函数的四种特性在函数图像上反映的特点．3．①是; ②在同一坐标系中)()(y x x f y ϕ==与的图像相同，与)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称．习作题答案1．①是; ②是; ③不是; ④不是 （提示：考虑每个x 值是否有y 值与之对应，且y 值是否惟一）．2．提示：可取横轴为时间，纵轴为路程来描述四.小结1.函数的概念2.函数的性质 五.布置作业 9P习题一 1. 2. 4. 5. 6. 7. 8.第二课时教学过程一． 基本初等函数六种基本初等函数见下表二. 反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数的定义见下表例 1. 函数21x y -=是由21,x u u y -==复合成的，其定义域为[]的是不能复合成一个函数的一部分；，它是由222,arcsin 11,1x u u y x u +==-=- 例2.分析下列复合函数的结构：(1) y =2cot x； (2) y =1sin2+x e .例3.设)].([)],([2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求==将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例4 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin 22+=x y ， （2） )eln(tan sin 22xx y +=.解 (1) 最外层是二次方，即2u y =，次外层是正弦，即 v u sin = ，从外向里第三层是幂函数 ，即21-=wv ，最里层是多项式，即 12+=x w ,所以，分解得 2u y = ，v u sin = ，21-=w v ，12+=x w .(2) 最外层是对数，即,ln u y =次外层是正切，即v u tan =, 从外向里第三层是指数函数，即w v e = ，最里层是简单函数，即 2x w =+2x sin , 所以，分解得 u y ln =，v u tan =，w v e =，2x w =+2x sin .小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 4.建立实际问题的函数模型的方法例5. 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.解 设某产品年产量为x 台，收益函数为.)(x y .因为产量超过600台时，售价要打8折，而超过800台时，多余部分本年销售不出去，从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意，有⎪⎩⎪⎨⎧⨯⨯+⨯-⨯+⨯=,2003008.0600300),600(3008.0600300,300)(x xx y ,800,800600,6000>≤<≤≤x x x即收益函数模型为⎪⎩⎪⎨⎧-+=,228000,)600(240180000,300)(x x x y .800,800600,6000>≤<≤≤x x x 例4 . 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。
函数教学教案设计
函数教学教案设计函数教学教案设计（通用9篇）函数教学教案设计篇1教学目标：1．进一步理解指数函数的性质；2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；教学重点：指数函数的性质的应用；教学难点：指数函数图象的平移变换．教学过程：一、情境创设1．复习指数函数的概念、图象和性质练习：函数＝ax(a＞0且a≠1)的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为．若a＞1，则当x＞0时，1；而当x＜0时， 1．若0＜a＜1，则当x＞0时， 1；而当x＜0时， 1．2．情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a＞0且a≠1，函数＝ax的图象恒过(0，1)，那么对任意的a＞0且a≠1，函数＝a2x1的图象恒过哪一个定点呢？二、数学应用与建构例1 解不等式：（1）；（2）；（3）；（4）．小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围．例2 说明下列函数的图象与指数函数＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）；（2）；（3）；（4）．小结：指数函数的平移规律：＝f(x)左右平移＝f(x＋)(当＞0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移＝f(x)＋h(当h＞0时，向上平移，反之向下平移)．练习：（1）将函数f (x)＝3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数的图象．（2）将函数f (x)＝3x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数的图象．（3）将函数图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是．（4）对任意的a＞0且a≠1，函数＝a2x1的图象恒过的定点的坐标是．函数＝a2x－1的图象恒过的定点的坐标是．小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口．（5）如何利用函数f(x)＝2x的图象，作出函数＝2x和＝2|x2|的图象？（6）如何利用函数f(x)＝2x的图象，作出函数＝|2x－1|的图象？小结：函数图象的对称变换规律．例3 已知函数＝f(x)是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f(x)＝1－2x，试画出此函数的图象．例4 求函数的最小值以及取得最小值时的x值．小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．练习：（1）函数＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于；（2）函数＝2x的值域为；（3）设a＞0且a≠1，如果＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值为14，求a的值；（4）当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，求实数a的取值范围．三、小结1．指数函数的性质及应用；2．指数型函数的定点问题；3．指数型函数的草图及其变换规律．四、作业：课本P71-11，12，15题．五、课后探究（1）函数f(x)的定义域为(0，1)，则函数的定义域为．（2）对于任意的x1，x2R ，若函数f(x)＝2x ，试比较的大小．函数教学教案设计篇2教学目标1.使学生了解反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
高一数学函数的教案优秀5篇
高一数学函数的教案优秀5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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函数教案大学
课时：2课时年级：大学教学目标：1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质。
2. 通过实例，使学生能够运用函数知识解决实际问题。
3. 培养学生运用数学思维分析问题的能力。
教学重点：1. 函数的概念及其性质。
2. 函数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 函数性质的理解和运用。
2. 函数在实际问题中的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中所学的函数知识，引导学生回顾函数的定义。
2. 引出本节课的主题——函数。
二、讲授新课1. 函数的概念：函数是数学中一个重要的概念，它表示两个变量之间的关系。
其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
2. 函数的定义域和值域：定义域是指自变量可以取的所有值的集合，值域是指因变量可以取的所有值的集合。
3. 函数的单调性：函数的单调性是指函数在定义域内，随着自变量的增加（或减少），因变量也相应地增加（或减少）。
4. 函数的奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴的对称性。
三、课堂练习1. 判断下列函数的定义域和值域。
2. 判断下列函数的单调性和奇偶性。
四、小结1. 回顾本节课所学内容，总结函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质。
2. 强调函数在实际问题中的应用。
第二课时一、导入1. 回顾上一节课所学内容，提问学生函数在实际问题中的应用。
2. 引出本节课的主题——函数在实际问题中的应用。
二、讲授新课1. 函数在实际问题中的应用实例：a. 一次函数：描述直线上的变化规律，如速度、距离等。
b. 二次函数：描述抛物线上的变化规律，如物体的运动轨迹、经济增长等。
c. 反比例函数：描述双曲线上的变化规律，如电流、电阻等。
d. 三角函数：描述周期性变化规律，如正弦波、余弦波等。
2. 案例分析：a. 一个物体以匀速直线运动，求物体在不同时间的位置。
b. 一个企业生产的产品数量与成本之间的关系。
c. 一个电路中的电流与电阻之间的关系。
三、课堂练习1. 根据实例，分析函数在实际问题中的应用。
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高等数学教案—函数 课 时 授 课 计 划第一课时教学过程及授课内容 教学过程函数及其性质一.函数的概念 1.函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域..2. 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.（1）对应规律例1. 132(22-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为 10)(4)()(23-+=f例2.设).2(,1sin 1)(πf x x x f 求=解 22sin 2)2(ππππ==f例3.设).(,3)1(2x f x x x f 求-=+ 解：令x+1=t,则x=t-1,所以45)1(3)1()(22+-=---=t t t t t f 所以 45)(2+-=x x x f（2）定义域：自变量的取值范围称为函数的定义域例4.的定义域求函数712arcsin 62-+--=x x x y解：23,0)2)(3062-≤≥≥+-≥--x x x x x x 或既（4371271712≤≤-≤-≤-≤-x x x 既 则函数的定义域为[][]4,32,3⋃--函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 例5.下列函数是否相同，为什么 （1）x y x y ln 2ln 2==与 （2）x y u w ==与 3． 函数的记号Y 是x 的函数，可以记作y=)(x f 也可以记作)()(x F x y 或ϕ=等，但同一函数在讨论中应取定记法，同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的记号分别表示它们个自的对应规律，有时也用 记号)(),(),(x v v x u x y y ===等表示函数.这种函数的记号称为函数的解析表达式.4． 函数的三种表示方法, (1)图像法用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.(2)表格法将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.(3)公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法.这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x x y 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示. ③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x 可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或, y 称为x 对应的函数值，记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f=),Dy∈(,xxf其中，x称为自变量，y称为因变量.二．函数的四种特性设函数)y=的定义域为区间D，函数的四种特性如下表所示.f(x思考题答案1．①对应规则; ②定义域．2．提示：考虑函数的四种特性在函数图像上反映的特点．3．①是; ②在同一坐标系中)()(y x x f y ϕ==与的图像相同，与)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称．习作题答案1．①是; ②是; ③不是; ④不是 （提示：考虑每个x 值是否有y 值与之对应，且y 值是否惟一）．2．提示：可取横轴为时间，纵轴为路程来描述四.小结1.函数的概念2.函数的性质 五.布置作业 9P习题一 1. 2. 4. 5. 6. 7. 8.第二课时教学过程一． 基本初等函数六种基本初等函数见下表二. 反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数的定义见下表例 1. 函数21x y -=是由21,x u u y -==复合成的，其定义域为[]的是不能复合成一个函数的一部分；，它是由222,arcsin 11,1x u u y x u +==-=- 例2.分析下列复合函数的结构：(1) y =2cot x； (2) y =1sin2+x e .例3.设)].([)],([2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求==将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例4 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin 22+=x y ， （2） )eln(tan sin 22xx y +=.解 (1) 最外层是二次方，即2u y =，次外层是正弦，即 v u sin = ，从外向里第三层是幂函数 ，即21-=wv ，最里层是多项式，即 12+=x w ,所以，分解得 2u y = ，v u sin = ，21-=w v ，12+=x w .(2) 最外层是对数，即,ln u y =次外层是正切，即v u tan =, 从外向里第三层是指数函数，即w v e = ，最里层是简单函数，即 2x w =+2x sin , 所以，分解得 u y ln =，v u tan =，w v e =，2x w =+2x sin .小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 4.建立实际问题的函数模型的方法例5. 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.解 设某产品年产量为x 台，收益函数为.)(x y .因为产量超过600台时，售价要打8折，而超过800台时，多余部分本年销售不出去，从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意，有⎪⎩⎪⎨⎧⨯⨯+⨯-⨯+⨯=,2003008.0600300),600(3008.0600300,300)(x xx y ,800,800600,6000>≤<≤≤x x x即收益函数模型为⎪⎩⎪⎨⎧-+=,228000,)600(240180000,300)(x x x y .800,800600,6000>≤<≤≤x x x 例4 . 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。
这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s ，底宽为x ，试建立s 与x 的函数模型.解 设矩形高为h ，根据等量关系写关系式x h x s π212++= ①显见，在关系式①中有两个变量x 及h ，此外我们应把s 表成x 的一元函数.为此，需把 变量h 也表示成与x 有关的量.根据题中所给限制条件——截面积为A , 建立x 与h 的关系.2)2(π21x xh A += 即 2π81x x A h -= ②将②代入①得xAx s 2)4π1(++= )0(>x此式即为我们所要找的周长与底宽x 的函数模型.小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型的具体步骤可为 ：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3) 具体写出解析式)(x f y =，并指明其定义域.四、学法建议1．本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及定义域的求法. 2．本章所介绍的内容虽然绝大部分属于基本概念，并且在中学已经学过，但它们是微积分学本身研究问题时的主要依据.因次，学习本章的内容应在原有的基础上进行复习提高.3．从实际问题中建立函数模型是解决实际问题关键性的一步，也是比较困难的一步，因为要用到几何学、物理学、经济学等方面的知识与定律.但我们仍要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题和解决问题的能力.五.课堂练习 思考题 习作题 思考题答案 答：不是． 习作题1．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π<<π=Z k k x k x D ,4| 提示：（令x u tan =，则应有10<<u ）．2．()0,111)]([≠-=x xx f f , ()1,0)]}([{≠=x x x f f f 六.布置作业 习题一 10P 10. 11. 12. 18. 19. 29。