二次函数图像信息题
二次函数有关的中考图像信息题
与二次函数有关的中考图像信息题1、如图（ 1）是某公共汽车线路收支差额y(票价总收人减去运营成本）与乘客量x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会.乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图（ 1）分别改画成图（ 2）和图（ 3）．（ 1）说明图（ 1）中点 A 和点 B 的实际意义：（ 2）你认为图（ 2）和图（ 3）两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是．（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（4）中画出符合这种办法的y 与 x 的大致函数关系图象。
下列问题：（ 1）乙队开挖到30 米时，用了 _____小时．开挖 6 小时时，甲队比乙队多挖了______米；（ 2）请你求出：①甲队在0≤ x≤ 6 的时段内， y 与 x 之间的函数关系式；②乙队在2≤ x≤ 6 的时段内， y 与 x 之间的函数关系式；③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？（ 3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖 6 小时后，施工速度增加到12 米 /时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？y(米 )60甲50乙30O26x(时 ) 4、某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和2、某种内燃动力机车在青藏铁路实验运行前，测得该种机车机械效率η和海拔高加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10 升时，机器自动停止加工进入加油过度 h（ 0≤ h≤ 6.5，单位 km ）的函数关系式如图所示。
程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185 分钟才能将这批工件（ 1）请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h（ km）的函数关系：加工完．下图是油箱中油量y(升 )与机器运行时间x(分 )之间的函数图象．根据图象（ 2）求在海拔3km 的高度运行时，该机车的机械效率为多少？回答下列问题：(1)求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升 )与机器运行时间x(分) 之间的函数关系式 (不必写出自变量x 的取值范围 ) ；(2)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止?(3)加工完这批工件，机器耗油多少升?3、有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．下图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答5、某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元 ,经销过程中测出销售量 y(万件 )与销售单价 x(元) 存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支 z( 万元 )( 不含进价 ) 与年销量 y( 万件 ) 存在函数关系z=10y+42.5.(1) 求 y关于 x的函数关系式 ;7、百舸竞渡，激情飞扬。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一21．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿yax＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
12222．关于，yx，y3x的图像，下列说法中不正确的是（）yx3A．顶点相同B．对称轴相同C．图像形状相同D．最低点相同223．两条抛物线yx与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）yxA．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相反D．都有最小值24．在抛物线上，当y＜0时，x的取值范围应为（）yxA．x＞0B．x＜0C．x≠0D．x≥0225．对于抛物线yx与yx下列命题中错误的是（）xA．两条抛物线关于轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点26．抛物线y=－bx＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
127．抛物线y=－(x2)－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿2＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
28．抛物线y2(x1)3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，3）C．（1，3）D．（1，3）为（）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过达式（1，10），则这条抛物线的表22A．y=3(x1)－2B．y=3(x1)＋222C．y=3－2D．y=－3－2(x1)(x1)210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达yax式为（）22A．y=a＋3B．y=a－3(x2)(x2)22C．y=a(x2)＋3D．y=a(x2)－324411．抛物线的顶点坐标是（）yxxA．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）2212．对抛物线y=2(x2)－3与y=－2(x2)＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反213．函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）x243243214．化yxx为y=xx为ya(x h)k的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
二次函数图像信息题
二次函数图像信息题(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数图表信息题一．选择题（共18小题）1．已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，m ），B （3，m ），若点M （﹣2，y 1），N （﹣1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=x 2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ． y 1＜y 2＜y 3 B ． y 2＜y 1＜y 3 C ． y 3＜y 1＜y 2 D ． y 1＜y 3＜y 22．抛物线y=x 2﹣2x+1与坐标轴交点为（ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点 C ． 无交点 D ． 三个交点3．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ） A ．B ．C ．D ．4．抛物线y=2x 2，y=﹣2x 2，共有的性质是（ ）A ． 开口向下B ． 对称轴是y 轴C ． 都有最高点D ． y 随x 的增大而增大5．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，对称轴是直线x=1． ①b 2＞4ac ； ②4a﹣2b+c ＜0；③不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是x≥；④若（﹣2，y 1），（5，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2．上述4个判断中，正确的是（ ）A ． ①②B ． ①④C ． ①③④D ． ②③④6．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个7．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a﹣b+c=0②b 2＞4ac③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x=﹣．其中结论正确的个数有（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个8．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b 2＜0；②4a+c＜2b ；③3b+2c＜0；④m（am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个9．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c ＜0；③a﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2， 其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①②④ D ． ②③④10．（2014?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．311．如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc ＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③④D．①②12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．413．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．417．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A．2B．3C．4D．518．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2014?承德二模）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（）A．y＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y21考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：利用A点与B点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解．解答：解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，∵M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3），∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，∴y2＜y1＜y3．故选B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式．2．（2014?宁波一模）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点考点：抛物线与x轴的交点．分析：因为x2﹣2x+1=0中，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，有两个相等的实数根，图象与x轴有一个交点，再加当y=0时的点即可．解答：解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．故选：A．点评：解答此题要明确抛物线y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数与方程x2﹣2x+1=0解的个数有关，还得考虑与y轴相交．3．（2014?宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）解答：解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．4．（2014?毕节地区）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最高点D．y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．故选：B．点评：考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．5．（2014?达州）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．专题：数形结合．分析：根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故选：B．点评：主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．6．（2014?孝感）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．专题：数形结合．分析：由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．7．（2014?十堰）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a﹣b+c=0；②b2＞4ac；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x=﹣．其中结论正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：常规题型．分析：将点（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，即可判断①正确；将点（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，又由①得a﹣b+c=0，两式相加，得a+c=，两式相减，得b=．由b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，当a=时，b2﹣4ac=0，即可判断②错误；③由b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，得出抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1?x==﹣1，即x=1﹣，再由a＜0得出x＞1，即可判断③正确；④根据抛物线的对称轴公式为x=﹣，将b=代入即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1，又a﹣b+c=0，两式相加，得2（a+c）=1，a+c=，两式相减，得2b=1，b=．∵b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，当2a﹣=0，即a=时，b2﹣4ac=0，故②错误；③当a＜0时，∵b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，则﹣1?x===﹣1，即x=1﹣，∵a＜0，∴﹣＞0，∴x=1﹣＞1，即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；④抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=﹣，故④正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．8．（2014?资阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．9．（2014?聊城）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a，∴b﹣2a=0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵b=2a，∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．10．（2014?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11．（2014?齐齐哈尔）如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣=，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，∵抛物线经过点（2，0），∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，∴y1＜y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．12．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．13．（2014?南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选：D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．14．（2014?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：代数几何综合题；数形结合．分析：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．（2014?贵港）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，解答：解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．16．（2014?莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x=﹣＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，（故①正确）；∵﹣1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，（故②正确）；∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）；∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）．综上所述，正确的个数有4个；故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．17．（2014?深圳）二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A．2B．3C．4D．5考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口向上可得a＞0，结合对称轴在y轴右侧得出b＜0，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得c＜0，再根据有理数乘法法则判断①；再由不等式的性质判断②；根据对称轴为直线x=1判断③；根据图象与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；由x=1时，y＜0判断⑤；根据二次函数的增减性判断⑥．解答：解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号即b＜0，∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴c＜0，∴bc＞0，故①正确；②∵a＞0，c＜0，∴2a﹣3c＞0，故②错误；③∵对称轴x=﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确；④由图形可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0，故④正确；⑤由图形可知x=1时，y=a+b+c＜0，故⑤错误；⑥∵a＞0，对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共3个．故选：B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．18．（2014?黔东南州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c ＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c ＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选：B．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 5．对于抛物线与下列命题中错误的是（ ） A ．两条抛物线关于轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线各自关于轴对称 D ．两条抛物线没有公共点 6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
8．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=3－2 B ．y=3＋22y ax =213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-x y 2x 21(2)2x +22(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a ＋3B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a －3 11．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
人教版数学九年级上册：专题训练 二次函数图象信息题归类(含答案)
专题训练二次函数图象信息题归类►类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3－ZT－1所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是()图3－ZT－1图3－ZT－22．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是()图3－ZT－3►类型二二次函数的图象与系数a，b，c的关系3．2018·枣庄如图3－ZT－4是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论正确的是()图3－ZT－4A．b2＜4acB．ac＞0C．2a－b＝0D．a－b＋c＝04．2018·深圳二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3－ZT－5所示，下列结论正确是()图3－ZT－5A．abc＞0B．2a＋b＜0C．3a＋c＜0D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3－ZT－6所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是()图3－ZT－6A．①④B．②④C．①②③D．①②③④6．[2019·成都] 如图3－ZT－7，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，则下列说法正确的是()图3－ZT－7A．c<0B．b2－4ac<0C．a－b＋c<0D．图象的对称轴是直线x＝37．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3－ZT－8所示，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中正确结论的个数是()图3－ZT－8A．1 B．2 C．3 D．4►类型三利用二次函数图象求二次函数的解析式8．已知某二次函数的图象如图3－ZT－9所示，则这个二次函数的解析式为()图3－ZT－9A．y＝－3(x－1)2＋3B．y＝3(x－1)2＋3C．y＝－3(x＋1)2＋3D．y＝3(x＋1)2＋39.如图3－ZT－10，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，5)，且OA∶OB＝1∶4，则这个二次函数的解析式是________________．图3－ZT－1010．如图3－ZT－11，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.(1)求抛物线的函数解析式．(2)P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△P AB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT－11►类型四利用二次函数图象求一元二次方程的根11．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为()A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝－5D．x1＝－1，x2＝512．二次函数y＝2x2－4x＋m的部分图象如图3－ZT－12所示，则关于x的一元二次方程2x2－4x＋m＝0的解是()图3－ZT－12A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝5D．x1＝－1，x2＝2.513．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象如图3－ZT －13所示，则方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根之和( )图3－ZT －13A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定► 类型五 利用二次函数图象解不等式14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图3－ZT －14所示，则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是( )图3－ZT －14A ．x <－1B ．x >3C ．－1<x <3D ．x <－1或x >315．如图3－ZT －15是二次函数y ＝－x 2＋2x ＋4的图象，使y ≤1成立的x 的取值范围是( )图3－ZT －15A ．－1≤x ≤3B ．x ≤－1C ．x ≥1D ．x ≤－1或x ≥316．如图3－ZT－16所示，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为()图3－ZT－16A．－1≤x≤9B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9D．x≤－1或x≥917．如图3－ZT－17，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一直角坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．图3－ZT－17答案1．A[解析] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0.∴一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、三象限．故选A.2．C[解析] 当a＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限，二次函数的图象在x 轴上方，四个选项中没有符合条件的；当a<0时，一次函数图象经过第一、二、四象限，二次函数的图象与y轴负半轴相交，满足条件的是选项C.3．D[解析] ∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac.∴A选项错误．∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.∴ac＜0.∴B选项错误．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴－b2a＝1.∴2a＋b＝0.∴C选项错误．∵抛物线过点A(3，0)，其对称轴是直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个公共点为(－1，0)．∴a－b＋c＝0.∴D选项正确．故选D.4．C5．C[解析] ①抛物线开口向上，所以a＞0；抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，所以b<0.所以ab＜0.所以①正确．②抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0.所以b2＞4ac.所以②正确．③由图象知，当x＝1时，y＝a＋b＋c<0，又抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0.所以a ＋b＋2c＜0.所以③正确．④由图象知，当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0.又－b2a＝1，所以b＝－2a.所以3a＋c＞0.所以④错误．综上，正确的是①②③.故选C . 6．D7．C [解析] ∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根． ∴b 2－4ac ＞0.∴4ac －b 2＜0.∴①正确．∵－b 2a ＝－1，∴b ＝2a.∵a ＋b ＋c ＜0，∴12b ＋b ＋c ＜0，即3b ＋2c ＜0.∴②正确．∵当x ＝－2时，y ＞0，∴4a －2b ＋c ＞0.∴4a ＋c ＞2b.∴③错误．∵由图象可知当x ＝－1时该二次函数取得最大值，∴a －b ＋c ＞am 2＋bm ＋c(m≠－1)． ∴m(am ＋b)＜a －b.∴④正确． 故正确的有①②④，共3个． 8．A9．y ＝－54x 2＋154x ＋5 [解析] ∵A(－1，0)，OA ∶OB ＝1∶4，∴B(4，0)．设图象经过A ，B ，C 三点的二次函数的解析式为y ＝a(x －4)(x ＋1)． ∵点C(0，5)在函数图象上， ∴5＝a×(0－4)×(0＋1)，即a ＝－54.∴所求的二次函数解析式为y ＝－54(x －4)(x ＋1)，即y ＝－54x 2＋154x ＋5.10．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3.∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)存在．∵点A 与点C 关于直线x ＝2对称， ∴连接BC 与直线x ＝2交于点P ，则点P 即为所求．根据抛物线的对称性可知，点C 的坐标为(3，0)，抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴的交点为(0，3)．设直线BC 的函数解析式为y ＝kx ＋b 1，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b 1＝0，b 1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b 1＝3. ∴直线BC 的函数解析式为y ＝－x ＋3. ∵当x ＝2时，y ＝－x ＋3＝－2＋3＝1， ∴点P 的坐标为(2，1)． 11．D12．A [解析] 观察图象可知，抛物线y ＝2x 2－4x ＋m 与x 轴的一个公共点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一公共点坐标为(3，0)．∴一元二次方程2x 2－4x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3.13．A [解析] 方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0可转化为ax 2＋bx ＋c ＝23x ，二次函数与一次函数图象的两个交点的横坐标即为该方程的两根．不妨设这两根分别为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－b －23a .由二次函数的图象开口向上，得a ＞0.由图象的对称轴在y 轴右侧，得－b2a ＞0，所以b<0，所以－b －23a＞0，即x 1＋x 2＞0.故选A .14．D [解析] 根据图象可知，当y ＝0时， 对应的x 的值分别为－1，3.当y ＞0时，函数的图象在x 轴的上方， 由左边一段图象可知x ＜－1， 由右边一段图象可知x ＞3.因此，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是x ＜－1或x ＞3.故选D . 15．D [解析] 当y ＝1时，－x 2＋2x ＋4＝1， 解得x 1＝－1，x 2＝3.结合二次函数的图象，知使y≤1成立的x 的取值范围是x≤－1或x≥3.故选D .16．A [解析] 由图象可以看出：二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 1＝kx ＋n 的图象的交点的横坐标分别为－1，9.而当y 1≥y 2时，对应的图象正好在两交点之间，所以－1≤x≤9.故选A .17．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1. ∴二次函数的解析式为y ＝12x 2－12x －1.(2)当y ＝0时，得12x 2－12x －1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1. ∴点D 的坐标为(－1，0)．(3)经过D(－1，0)，C(4，5)两点的直线即为直线y ＝x ＋1，画图如图．由图象，得当－1<x<4时，一次函数的值大于二次函数的值．。
专题1 与二次函数有关的图象信息题(解析版)
专题1 与二次函数有关的图象信息题（解析版）类型一二次函数图象与其他函数图象共存1．（2022秋•仪陇县校级月考）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）A．B．C．D．【思路引领】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＜0，b＞0，c＞0，由此即可得出：二次函数y＝a2x+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴正半轴．故选：D．【总结提升】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．2．（2023•青岛二模）二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【思路引领】求得抛物线的对称轴和直线与x轴的交点即可判断A、B、C不合题意，然后根据D中二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a＞0，b＜0，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．解：∵二次函数y＝4ax2+4bx+1，∴对称轴为直线x=−4b2×4a=−b2a，∵一次函数y＝2ax+b，∴当y＝0，则x=−b2a，∴直线y＝2ax+b与二次函数y＝4ax2+4bx+1的对称轴交于x轴上同一点，故A、B、C不合题意，D、由抛物线可知，a＞0，x=−b2a＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项正确；故选：D．【总结提升】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据抛物线的对称轴、直线与x轴的交点以及函数图象经过的象限判断是解题的关键．类型二二次函数图象与字母系数之间的关系3．（2023•滕州市校级模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路引领】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．解：∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =−b 2a=1，∴b ＝﹣2a ＞0，∵图象与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，∴①说法错误，∵−b 2a =1，∴2a ＝﹣b ，∴a ﹣b ＝3a ＜0，∴②说法错误，由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），∵当x ＝﹣1时，y ＜0，∴当x ＝3时，y ＜0，∴9a +3b +c ＜0，∴③说法错误，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴b 2＞4ac ，∴④说法正确；当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∴⑤说法正确，∴正确的为④⑤，故选：B．【总结提升】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．4．（2023•未央区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞13；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（12，y2），（2，y3），在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论是 ①② ．【思路引领】①正确，判断出a，b，c的正负，可得结论；②正确．利用对称轴公式可得，b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＞0，解不等式可得结论；③错误．当m＝1时，m（am+b）＝a+b；④错误．应该是y2＜y3＜y1；⑤错误．当有四个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为4．当有3个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k 的所有根的和为4，当有2个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为2即可．解：观察图象得：抛物线开口向上，∴a＞0，∵与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．∴c＝﹣1，−b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确；∵y＝ax2+bx+c，与y轴交于（0，﹣1），b＝﹣2a，∴c＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，当x＝﹣1时，y＞0，即a+2a﹣1＞0，∴a＞13，故②正确；当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误；∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∵点(12，y2)到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故④错误；∵方程|ax2+bx+c|＝k的解是函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝k的交点的横坐标，∵b＝﹣2a，c＝﹣1，∴ax2﹣2ax﹣1﹣k＝0或ax2﹣2ax﹣1+k＝0，当有4个交点时，设函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝k的交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，∴x1+x2=−−2aa=2，x3+x4=−−2aa=2，∴x1+x2+x3+x4＝4，即此时方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为4．当有3个交点时，设函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝k的交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，∴x1+x2=−−2aa=2，x3＝x4＝1，此时方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为3．当有2个交点时，设函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝k的交点的横坐标为x1，x2，∴x1+x2=−−2aa=2，此时方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为2．故⑤错误；故答案为：①②．【总结提升】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2023•秦皇岛一模）如图所示，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a +b ＝0；②2c ＜3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，a 的值有4个；其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路引领】由图象可得对称轴为直线x =−b 2a=1，可得b ＝﹣2a ，可判断①；将点A 坐标代入解析式可得c ＝﹣3a ，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a 的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求a ＝﹣1或④，即可求解．解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴对称轴为直线x =−b 2a=1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故①正确，当x ＝﹣1时，0＝a ﹣b +c ，∴a +2a +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴2c ＝3b ，故②错误；∵二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0），∴点C （0，﹣3a ），当BC ＝AB 时，4=∴a=当AC＝BA时，4=∴a=∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，﹣4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a=若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或∴a的值有2个，故④错误，故选：B．【总结提升】本题考查了二次函数图象与系数关系，掌握抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．类型三根据情境判断二次函数图象6．（2022•南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路引领】过O 点作OM ⊥AB 于M ，由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AB ，AC 的长，结合平行四边形的性质可得AO 的长，进而求得OM ，AM 的长，设BE ＝x ，则EM ＝5﹣x ，利用勾股定理可求得y 与x 的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值的取值，即可判断函数的图象求解．解：过O 点作OM ⊥AB 于M ，∵AC ⊥BC ，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∵BC ＝4，∴AB ＝8，AC =∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO =12AC =∴OM =12AO =∴AM =3，设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB﹣AM﹣BE＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵OE2＝OM2+EM2，∴y＝（x﹣5）2+3，∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（5，3），与y轴的交点为（0，28），∵0≤x≤8，∴当x＝8时y＝12，故符合解析式的图象为：故选：C．【总结提升】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，二次函数的图象，求解函数解析式及函数值的范围是解题的关键．7．（2023•菏泽二模）如图，△ABC为等边三角形，边长为8cm，矩形DEFG的长和宽分别为8cm和cm，点C和点E重合，点B，C（E），F在同一条直线上，令矩形DEFG不动，△ABC以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）A．B ．C ．D ．【思路引领】先根据AC 经过点D 和AB 经过点D 时计算出x ＝1和x ＝3，再分0≤x ≤1，1＜x ≤3和3＜x ≤4三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可．解：当AC 经过点D 时，如图所示：∵△ABC 为等边三角形，∴∠DCE ＝60°，∵DE ＝DEC ＝90°，∴EC =DE tan60°=2；∵∠B ＝60°，DE ＝∴BE ＝2，∴EC ＝BC ﹣BE ＝8﹣2＝6；①当0≤x ≤2时，如图所示：此时EC ＝x ，∠HCE ＝60°，∴HE ＝tan60°•EC =，∴y =12EC •HE =12x =2；②当2＜x ≤6时，如图所示：过M 作MN ⊥BC 于N ，此时，MN ＝MCN ＝60°，∴CN ＝2，∵EC ＝x ，∴EN ＝EC ﹣NC ＝x ﹣2，∵四边形DENM 是矩形，∴DM ＝EN ＝x ﹣2，∴y =12（DM +EC ）•DE =12（x ﹣2+x ）×﹣此时IR ＝ICR ＝60°，∴CR ＝2，∵EC ＝x ，∴ER ＝DI ＝x ﹣2，BE ＝BC ﹣EC ＝8﹣x ，∵∠B ＝60°，∴TE ＝BE •tan60°=8﹣x ），∵DE ＝∴DT ＝DE ﹣TE ＝8﹣x ）=x ﹣6），∵DG ∥BC ，∴∠DKT ＝60°，∴DK =DT tan60°==x ﹣6，∴y ＝S 四边形DERI +S △IRC ﹣S △DTK＝x ﹣2）+12×2×−12×x ﹣6）2=2﹣=x ﹣8）2故选：A ．【总结提升】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质，矩形的性质等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．类型四 根据函数图象获取信息8．（2023•莱山区一模）如图1，在菱形ABCD 中，∠C ＝120°，M 是AB 的中点，N 是对角线BD 上一动点，设DN 长为x ，线段MN 与AN 长度的和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，图象右端点F 的坐标为（9），则图象最低点E 的坐标为（ ）A．（3）B．C．D．3)【思路引领】根据点F的坐标可得BD=BM＝3，AB＝6，连接AC，连接CM交BD于点N′，连接AN′，由两点之间线段最短可知，当点N在点N′时，MN+AN取得最小值为CM，根据菱形的性质易得三角形ABC为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出CM，由平行线和菱形的性质易得∠DCM＝∠AMC＝90°，∠BDC＝30°，进而求出DN′，以此即可求解．解：∵图象右端点F的坐标为（9），M是AB的中点，∴BD=MN+AN＝3BM＝9，∴BM＝3，AB＝6，如图，连接AC，连接CM交BD于点N′，连接AN′，∴当点N在点N′时，MN+AN取得最小值，最小值为MN′+CN′＝CM，∵四边形ABCD为菱形，∠BCD＝120°，∴三角形ABC为等边三角形，AC＝AB＝6，∴CM⊥AB，∠ACM＝30°，在Rt△ACM中，CM＝AC•cos∠ACM＝6=∵AB∥CD，∴∠DCM＝∠AMC＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠BDC＝30°，在Rt △CDN ′中，DN ′=CDcos∠CDN′=∴点E 的坐标为．故选：C ．【总结提升】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是理解函数图象中最低点坐标所表示的实际意义，并利用数形结合思想解决问题．9．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm /s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t（s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则CD BE 的值为（ ）A B C D 【思路引领】从图2可以看出，0≤t ≤8时，△BPQ 的面积的表达式为二次函数，8＜t ＜10时，函数值不变，故BC ＝BE ，即可求解．解：从图2可以看出，0≤t ≤8时，△BPQ 的面积的表达式为二次函数，8＜t ＜10时，函数值不变，故BC ＝BE ，当10≤t 后函数表达式为直线表达式；①0≤t ≤8时，BC ＝BE ＝2t ＝2×8＝16；②当10≤t 时，y =12×BC ×CD =12×16×CD ＝即CD ＝故CD BE =故选：D ．【总结提升】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10．（2021秋•文峰区期中）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O ﹣A ﹣D ﹣O ，点Q 的运动路线为O ﹣C ﹣B ﹣O ．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A ﹣D 段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为（ ）厘米．A ．B ．C ．+3D ．4【思路引领】当点P 运动到D 点，Q 运动到B 点，结合图象，易知此时，y ＝BD ＝2cm ，当P 在AD 上时，Q 在BC 上，PQ 距离最短时，PQ 连线过O 点且垂直于BC ，进而求解．解：由图分析易知：当点P 从O →A 运动时，点Q 从O →C 运动时，y 不断增大，当点P 运动到A 点，点Q 运动到C 点时，由图象知此时y ＝PQ ＝，∴AC ＝，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC =12=，当点P 运动到D 点，Q 运动到B 点，结合图象，易知此时，y ＝BD ＝2cm ，∴OD ＝OB =12BD ＝1cm ，在Rt △ADO 中，AD =2（cm ），∴AD ＝AB ＝BC ＝DC ＝2cm ，P 在AD 上时，Q 在BC 上，PQ 距离最短时，PQ 连线过O 点且垂直于BC ．此时，P 、Q 两点运动路程之和S ＝2（OC +CQ ），∵CQ =OC ⋅cos∠ACB =32（厘米），∴S =32)=（厘米）， 故选：C ．【总结提升】本题考查动点问题的函数图象以及菱形的基本性质和特征，能结合动点的函数图象分析出菱形的两条对角线长，结合图象找到当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q的位置关系是解题的关键．。
解题技巧专题：二次函数图像信息题归类
解题技巧专题：二次函数图像信息题归类◆类型一 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的图像如图所示，a ，b ，c 的取值范围分别是( )A ．a<0，b<0，c<0B ．a<0，b>0，c<0C ．a>0，b>0，c<0D ．a>0，b<0，c<0第1题图 第2题图 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则点⎝⎛⎭⎫b ，c a 在第________象限( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四3．(保定高阳县期末)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像如图所示，顶点坐标为(－1，0)，下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac ＝0；③a ＞2；④4a －2b ＋c ＞0.其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第3题图 第4题图4．已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则a ＋b ＋c________0，a －b ＋c________0，2a ＋b________0.◆类型二 利用二次函数的图像解方程或不等式5．已知函数y ＝x 2－2x －2的图像如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．－1≤x ≤3B ．－3≤x ≤1C ．x ≥－3D ．x ≤－1或x ≥3第5题图 第6题图 第7题图6．已知 二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为________________．【方法13】7．★如图是函数y ＝x 2＋bx －1的图像，根据图像提供的信息，确定使－1≤y ≤2的自变量x 的取值范围是________________.◆类型三 根据抛物线的特征确定其他函数的图像8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图像大致是()第8题图第10题图9．二次函数y＝ax2＋b(b＞0)与反比例函数y＝ax在同一坐标系中的图像可能是【方法8】()10．如图，一次函数y1＝x的图像与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图像相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图像可能是()参考答案与解析1．D 2.D3．B 解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵对称轴在y 轴左边，∴b ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在(0，2)上方，∴c ＋2＞2，∴c ＞0，∴abc ＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像与x 轴只有一个交点，∴Δ＝0，即b 2－4a (c ＋2)＝0，∴b 2－4ac ＝8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1，∴b ＝2a .∵b 2－4ac ＝8a ，∴4a 2－4ac ＝8a ，∴a ＝c ＋2.∵c ＞0，∴a ＞2，∴结论③正确；∵对称轴是直线x ＝－1，而且当x ＝0时，y ＞2，∴x ＝－2时，y ＞2，∴4a －2b ＋c ＋2＞2，∴4a －2b ＋c ＞0，∴结论④正确．综上所述，可知正确结论的个数是2个．故选B.4．< > < 解析：当x ＝1时，对应抛物线上的点在x 轴的下方，故a ＋b ＋c <0；当x ＝－1时，对应抛物线上的点在x 轴的上方，故a －b ＋c >0；因为图像开口向下，所以a <0，又因为对称轴在y 轴的左侧，所以－b 2a<1，所以2a ＋b <0. 5．D6．x 1＝3，x 2＝－17．－1≤x ≤0或2≤x ≤3 解析：∵y ＝x 2＋bx －1经过点(3，2)，∴2＝9＋3b －1，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2.当y ＝2时，即(x －1)2－2＝2，解得x ＝3或x ＝－1.当y ＝－1时，即(x －1)2－2＝－1，解得x ＝2或x ＝0.根据图像可得当－1≤y ≤2时，x 的取值范围是－1≤x ≤0或2≤x ≤3.8．B 9.B10．A 解析：∵一次函数y 1＝x 的图像与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图像相交于P ，Q 两点，∴方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个不相等的根，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图像与x 轴有两个交点．∵方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两个不相等的根x 1＞0，x 2＞0，∴x 1＋x 2＝－b －1a ＞0，∴－b －12a ＞0，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图像的对称轴直线x ＝－b －12a ＞0.∴选项A 符合条件．故选A.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
二次函数图象信息题的四种常见类型
类型 4 根据抛物线的特征确定其他函数的图象
5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所 示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( C)
同类变式
6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两 点在一次函数y1
＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx －3的图象上．
(1)求m的值和二次函数的解析式． (2)设二次函数的图象交y 轴于点C，求△ABC的 面积．
类型 3 利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集
3．【中考·黄石】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象如图所示，则当函数值y＞0时，x的3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
同类变式
4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3 的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元 二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．
习题课
专训 二次函数图象信息题 的四种常见类型
阶段方法技巧训练（一）
汇报人姓名
利用图象信息解决二次函数的问题主要是运 用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌 握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键．
类型
1 根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号
1.【2015·孝感】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的
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二次函数图像信息题例析
二次函数图像信息题例析
二次函数是一种重要的函数，它在数学领域中有着重要的应用。
它的定义是：若y = ax² + bx + c（a ≠ 0），则y为x的
二次函数。
图像信息是一种重要的形式，可以更加直观地理解函数的性质和特征。
二次函数的图像信息可以用来表示函数的性质，具有不同的形状特征。
当a>0时，二次函数的图像信息呈凸型，其曲线在原点处最低，在两个极点处最高，曲线经历一次凹性的变化。
当a<0时，二次函数的图像信息呈凹型，其曲线在原点处最高，在两个极点处最低，曲线经历一次凸性的变化。
此外，二次函数的图像信息还可以反映函数的极点和拐点，即函数的最大值和最小值。
当a>0时，曲线的极点在x轴负半轴处，而当a<0时，极点在x轴正半轴处。
此外，二次函数的拐点位于x轴上，其位置为x=-b/2a。
通过分析二次函数的图像信息，我们可以了解二次函数的性质和特征，为解决函数问题提供重要的信息。
因此，研究和掌握二次函数的图像信息对于理解数学知识和解决数学问题非常重要。
26.1 二次函数图象信息题析课件 (新人教版九年级下)
4、C＞0
16
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0 2、b ＝0
o
x
3、△=b² -4ac＝0
4、C＝0
17
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＜0 2、 b＞0
设正方形的对角线长为2n， 根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）² +2n、c=2n，
1 1 ∴a=，∴ac=2n*（- ） n n
=-2
23
仔细想一想：
6.（06.浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上， 图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答， 则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论： ①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号 是 ①④ （答对得3分，少选、错选均不得分）． 第(2)问：给出四个结论： ① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序 号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）． y
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0 2、b ＞ 0
o
x
3、△=b² -4ac＞0 4、C＝0
15
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武汉中考复习：二次函数的图像与性质(15题)
专题四：二次函数的图像与性质（中考15题）1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a +b ＝0；②9a +c ＞3b ；③4a +2b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；④当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而增大；⑤若（−12，y 1），（133，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，⑥若点B （m ，y 1），C （4﹣m ，y 2）在此函数图象上，则y 1＝y 2．其中正确的结论有 （填序号）．第1题图 第2题图 第5题图2．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x ＜3时，y ＞0；②﹣1＜a ＜﹣．③当m ≠1时，a +b ＞m （am +b ）；④b 2﹣4ac ＝15a 2．其中正确的结论的序号 ．3．抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，与y 轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不包括这两点）．下列结论：①a +b +c ＜0；②若点M （0.5，y 1）、N （2.5，y 2）在图象上，则y 1＜y 2；③若m 为任意实数，则a （m 2﹣4）+b （m ﹣2）≥0；④﹣24≤5（a +b +c ）＜﹣16．其中正确结论的序号为 ．4．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与轴的交点分别（﹣3，0），（1，0），且函数与y 轴交点在（0，﹣1）的下方，现给以下结论：①abc ＜0：②关于方程a （x 2﹣1）+b （x ﹣1）+c ＝0始终有两个不相等的实数解；③当﹣2≤x ≤3时，y 的取值范围是﹣≤y ≤6b ；则上述说法正确的是 ．（填序号）5．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，对称轴为直线x ＝1，则下列结论：①abc ＜0；②a +12b +14c ＝0；③当m ＜﹣1时，关于x 的方程ax 2+bx +c +m ＝0无实根；④ac ﹣b +1＝0；⑤OA •OB =c a ，⑥2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个根．其中正确的结论有 （填序号）．6．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，对称轴为，与x 轴负半轴交点在（﹣4，0）与（﹣3，0）之间，以下结论：①3a ﹣b ＝0；②b 2﹣4ac ＞0；③5a ﹣2b +c ＞0；④4b +3c ＞0．其中一定正确的是 （填序号）．7．如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．以下结论：①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中一定正确的是（填序号）．第6题图第7题图第8题图8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），0＜x0＜1，与y轴正半轴相交，且交点在（0，1）的上方，下列结论：①2a＜b；②（a+c）2＜b2；③a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m 为任意实数）；④b＞2a+．其中一定成立的结论的序号是．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n ＜1，则m+n＜﹣；④＜16，其中正确的序号是．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①﹣a＜b＜﹣2a；②b2+8a＞4ac；③a＜﹣1；④方程ax2+（b+c﹣2）x＝0的解为x1＝0，x2＝1．其中正确的是．第9题图第10题图第11题图11．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣b＝0；②关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；③c≤3a．其中正确的序号是．12．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣3 01 y 4 4 n当n ＜0时，下列结论：①abc ＜0；②当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而减小；③a ＜﹣1；④n ＞4a ；⑤当n =−43时，关于x 的不等式ax 2+（b +43）x +c ＜0的解集为x ＜﹣3或x ＞1．其中一定正确的是 （填序号即可）．13．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 01 2 … y ＝ax 2+bx +c …t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x ＝时，与其对应的函数值y ＞0，下列结论：①abc ＞0；②﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c＝t 的两个根；③0＜m +n ＜；④4a +c ＞n +2b ；其中，正确结论的是 ． 14．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表：x…… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 t …… y …… 0 m n m0 …… 下列结论中一定正确的有 ．（填序号即可）①9a ﹣3b +c ＝0；②t ＝1；③关于x 的一元二次方程a （x ﹣1）2+bx +c ＝2a 的解是x 1＝﹣2，x 2＝2；④若方程ax 2+bx +c ＝p 有两个实数根x 1，x 2，则二次函数y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+p 与x 轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0）．15．定义[a 、b 、c ]为二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于；③当m ＜0时，函数在x ＞时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点，正确的结论是 ．16．已知，抛物线y ＝﹣x 2+mx +m （其中m 是常数）．下列结论：①无论m 取何实数，它都经过定点P （﹣1，﹣1）；②它的顶点在抛物线y ＝x 2+2x 上运动；③当它与x 轴有唯一交点时，m ＝0；④当x ＜﹣1时，﹣x 2+mx +m ＜x ．其中一定正确的是 （填序号即可）．17．二次函数y ＝（m +1）x 2﹣2mx +m ﹣2的图象与x 轴有两个交点（x 1，0）和（x 2，0），下列结论：①该函数图象过点（1，﹣1）；②当m ＝0时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是2；③若该函数的图象开口向下，则m 的取值范围为﹣2＜m ＜﹣1；④当m ＞0，且﹣2≤x ≤﹣1时，y 的最大值为（9m +2）．其中一定正确的是 （填序号即可）．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的图象经过点（，m），（3，n），与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧）．若7a+3b+2c＝0，则有下列结论：①m＜0，n＞0；②x1+x2＜；③＜x2＜3．其中一定正确的是（填序号即可）．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞a；②若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；③3|a|+|c|＜2|b|．其中一定正确的是（填序号即可）．第19题图第20题图第21题图20．数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为21．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中一定正确的是（填序号即可）．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B．下列结论：①m的取值范围是m＞0；②抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；③若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是＜m≤；④若抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，在5＜x＜6这一段位于x轴上方，则m的值为．其中一定正确的是（填序号即可）．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，3）和（0，4）之间（包含这两个点）．有下列结论：①abc＜0；②关于x的方程ax2+bx+c ＝2a有两个不等的实数根；③﹣≤a≤﹣1．其中一定正确的是（填序号即可）．。
专题11 二次函数图表信息题及常规计算求解题型(解析版)
专题11 二次函数图表信息题及常规计算求解题型题型一、图表信息题型1.（2019·甘肃中考）如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a +b ＞0，③4ac ＜b 2，④a +b +c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤【答案】C .【解析】解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0， ∴ac ＜0，故①错误； ②由于对称轴可知：2ba-＜1， ∴2a +b ＞0，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故③正确； ④由图象可知：x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0， 故④正确； ⑤当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故答案为：C ．2.（2019·四川遂宁中考）二次函数y ＝x 2﹣ax +b 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2，下列结论不正确的是（ ）A ．a ＝4B ．当b ＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C ．当x ＝﹣1时，b ＞﹣5D ．当x ＞3时，y 随x 的增大而增大【答案】C .【解析】解：∵二次函数y ＝x 2﹣ax +b ，对称轴为直线x ＝2a＝2， ∴a ＝4，所以A 选项正确；当b ＝﹣4时，y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8， ∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B 选项正确； 当x ＝﹣1时，由图象知此时y ＜0， 即1+4+b ＜0，∴b ＜﹣5，故C 选项不正确； ∵对称轴为直线x ＝2且图象开口向上∴当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确； 故答案为：C ．3.（2019·四川遂宁中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数y ＝12x经过点B ．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过C （0，3）、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）【答案】见解析.【解析】解：点C （0，3），反比例函数y ＝12x经过点B ，则点B （4，3）， 则OC ＝3，OA ＝4， 由勾股定理得：AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，PA ＝2， 由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2， 解得：x ＝32，即点G （32，0）， 将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：164039342a b c c a b c ⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪++=⎩， 解得：121143a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故答案为：y ＝12x 2﹣114x +3． 4.（2019·湖北荆门中考）抛物线2y ax bx c =++ (c b a ,,为常数）的顶点为P ,且抛物线经过点)0,1(-A ,)0,(m B ， )0,31)(,2(<<<-n m n C .下列结论：①0>abc ，②03<+c a ，③,02)1(>+-b m a ④a =－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形.其中正确结论的序号为 . 【答案】②③.【解析】解：根据题意作出抛物线的示意图， 可知，a <0，b >0，c >0， ∴abc <0，即①错误；当x =－1时，y =0，即a －b +c =0， 由对称轴x =2b a -=12m -，0<12m -<1，得：－b >2a ，∴0=a －b +c >a +2a +c ，即3a +c <0，即②正确； 由2b a -=12m -知，a （m －1）=－b ，即a （m －1）+2b =b >0，即③正确； a =－1时，代入A ，B 两点坐标，可得：－1－b +c =0，即c =b +1，－m 2+bm +c =0，得（m +1）（m －b －1）=0，即m =－1（舍）或m =b +1，即b =m －1，c =m ，顶点纵坐标为：()221444m ac b a +-=，若△PAB 是直角三角形，则：()21124m AB +=，即()21124m m +-=，此方程无实数解，即不存在点P ，故④错误； 综上，答案为：②③.5.（2019·湖北鄂州中考）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线x =1.下列结论：①abc ﹤0 ②3a +c ﹥0 ③(a +c )2－b 2﹤0 ④a +b ≤m (am +b )(m 为实数). 其中结论正确的个数为（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】C .【解析】解：由题意知，a >0，b =－2a <0，c <0， ∴abc >0，即①正确；由图象知，当x =－1时，y >0，即a －b +c >0， ∴a +2a +c =3a +c >0，即②正确； (a +c )2－b 2=(a +c +b ) (a +c －b )，由图象知，a +c +b <0，a +c －b >0，∴(a +c )2－b 2<0，即③正确； 当x =1时，函数有最小值，即y ≤a +b +c ，即a +b +c ≥am 2+bm +c ， ∴a +b ≥am 2+bm ，即④错误； 综上，答案为：C .6.（2019·台州模拟）如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．B．4C D【答案】C．【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，∴AE⊥BC，∵A、C关于BD对称，∴PA＝PC，∴PC+PE＝PA+PE，∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，∴在Rt△AEB中，BE＝∴PC+PE的最小值为∴点H的纵坐标a＝∵BC∥AD，∴AD PDBE PB=＝2，∵BD＝∴PD，∴点H的横坐标b，∴a+b；故答案为：C．7.（2019·河南三门峡二模）如图1，则等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC的面积．【答案】．【解析】解：由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴AB PC BP CD=，设AB＝a，则a a xx y-=，∴y＝221122x axx aa a-+⎛⎫=--+⎪⎝⎭，当x＝12a时，y取得最大值2，即P为BC中点时，CD的最大值为2，∴此时∠APB＝∠PDC＝90°，∠CPD＝30°，∴PC＝BP＝4，∴等边三角形的边长为为8，∴根据等边三角形的性质，可得S×82＝故答案为：8.（2019·开封一模）如图，菱形ABCD的边长是4 cm，∠B=60°，动点P以1 cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动至点B停止，动点Q以2 cm/s的速度从点B出发沿折线BCD运动至点D停止．若点P，Q 同时出发，运动了t s，记△BPQ的面积为S cm2，则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：当0≤t≤2时，点Q在边BC上，点P在边AB上，此时AP=t，BQ=2t，BP=4－t，过P作PE⊥BC于E，∵∠B=60°，∴∠BPQ=30°，∴BE=12BP=12（4－t），PE（4－t），∴S=12 BQ·PE=12×2t（4－t）=（t－2）2D函数图象为抛物线，开口朝下；当2<t≤4时，点Q在边CD上，点P在边AB上，过C作CH⊥AB于H，可得：CHS=12 BP·CH=12（4－t4－t），此段函数图象为一条线段，S随t的增大而减小，综上所述，答案为：D.9.（2019·开封一模）如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1，-4)，下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥-6；③若点(-2，m)，(-5，n)在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1，其中正确的是__________．【答案】D.【解析】解：由图象知，函数图象与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，即①正确；函数最大值为－6，即ax2+bx+c≥-6，②正确；函数对称轴为x=－3，点(-2，m)，(-5，n)在抛物线上，所以m＞n，③正确；x=－1时y=－4，由对称性知，x=－5时，y=－4，∴④正确.故答案为：①②③④.题型二、图象与不等式的结合题型10.（2019·浙江宁波中考）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围．【答案】见解析.【解析】解：（1）把点P （﹣2，3）代入y ＝x 2+ax +3中， ∴a ＝2， ∴y ＝x 2+2x +3，∴顶点坐标为（﹣1，2）； （2）①当m ＝2时，n ＝11， ②点Q 到y 轴的距离小于2， ∴|m |＜2， ∴﹣2＜m ＜2， 由图象知，2≤n ＜11.11.（2019·浙江温州中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数21262y x x =-++的图象交x 轴于点A ，B （A 在B 的左侧）.（1）求点A 、B 的坐标，并根据该函数图象直接写出y ≥0时x 的取值范围；（2）把点B 向上平移m 个单位得到点B 1，若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移（n +6）个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合. 已知m >0，n >0，求m ，n 的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵二次函数21262y x x =-++的图象交x 轴于点A ，B （A 在B 的左侧）， ∴令y =0，得2126=02x x -++， 解得：x 1=－2，x 2=6， 即A (－2,0)，B (6,0),由图象知，y ≥0时x 的取值范围是－2≤x ≤6.（2）由题意知，B 1(6，m )，B 2(6－n ，m )，B 3(－n ，m )， 点B 2与点B 3纵坐标相等，即两点关于抛物线对称轴对称， ∴621222n n--=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 解得：n =1，将x =－n =－1代入21262y x x =-++得，m =72， 即m =72，n =1. 12.（2019·山东济宁中考）如图，抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集是 ．【答案】x ＜﹣3或x ＞1.【解析】解：∵抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点， ∴﹣m +n ＝p ，3m +n ＝q ，∴抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝﹣mx +n 交于P （1，p ），Q （﹣3，q ）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．题型三、二次函数图象与三角函数13.（2019·江苏泰州中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图像的顶点坐标为（4，－3），该图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1.（1）求该二次函数的表达式；（2）求tan∠ABC.【答案】见解析.【解析】解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x－h）2+k，∵抛物线的顶点坐标为（4，－3），∴h=4，k=－3，即y=a（x－4）2－3，将点（1,0）代入上式，得：0=a×（1－4）2－3，解得：a=13，∴二次函数的解析式为：y=13（x－4）2－3.（2）在y=13（x－4）2－3中，当y=0时，x=1或7，x=0时，y=73即A(1,0), B(7，0)，∴OB=7，OC=73，∴tan∠ABC=13 OCOB.题型四、二次函数与一元二次方程的关系14.（2019·四川凉山州中考）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且2212111x x +=，求a 的值． 【答案】见解析.【解析】解：y ＝x 2+x +a 的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点， ∴=140a ∆-≥，x 1+x 2＝﹣1，x 1•x 2＝a ， ∵()()212122222121221112=1x x x x a x x a x x +--+==， 解得：a ＝﹣（舍）或a ＝﹣1， 综上所述，a ＝﹣1。
二次函数图像和性质习题大全
如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1，0)及点B．小题1.求二次函数与一次函数的解析式．小题2.根据图象，写出满足(x+2)2+m＞kx+b的x的取值范围．已知二次函数y=x2+2x-3．小题1.求该函数图象的顶点坐标．小题2.当0≤x≤3时，求函数值y的最小值．已知抛物线经过点(1，-2)．小题1.求的值．小题2.若点A(m，y1)、A(n，y2) (m<n<3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．已知二次函数的图象经过点(2，-2)．小题1.求这个二次函数的表达式．小题2.当为何值时，y的值最大（或最小）？小题3.求此函数图象与轴的交点个数．二次函数的图象的对称轴是，它有最小值-7，且它的图象形状与函数的形状完全相同，求此函数表达式．已知直线上有两点A，B，它们的横坐标分别是3，-1，若二次函数的图象经过A，B两点，请求出一次函数的解析式．已知二次函数．小题1.当k为何值时，对称轴为y轴？小题2.当k为何值时，抛物线的顶点在轴上？将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点的横坐标为-2，且新抛物线经过(1，3)，求新抛物线的解析式．写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标．小题1.．2 小题2.．二次函数的图象如图所示，已知，OA=OC，试求该抛物线对应的函数表达式．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3)．小题1.求抛物线的解析式和顶点坐标．小题2.请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．若二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点在第二象限，且经过点A(1，0)、B(0，1)，求实数a 的取值范围．根据下列条件求m的取值范围．小题1.已知函数y=(m+3)x2，当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大．小题2.函数y=(2m-1)x2有最小值．小题3.抛物线y=(m+2)x2与抛物线y=-x2的形状相同．已知抛物线y=a(x-h)2向右平移3个单位后，得到抛物线y=2(x+1)2，求a，h的值．已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数．小题1.求k的值．小题2.当k为何值时，抛物线有最低点？此时，当x为何值时，y随x的增大而增大？二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，A，B，C三点为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1．试判断a与b的符号，并求a-b的值．解答下列问题：小题1.用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形式．小题2.在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象．小题3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点，且x1<x2<1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写出结果）不画图象，说出抛物线y=x2与y=(1-)x2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，及当x<0时y随x的变化情况．已知顶点为P的抛物线a：y=(x+2)2上有一点A(1，3)．小题1.试写出抛物线a的顶点坐标和对称轴．小题2.将抛物线a沿着水平方向怎样平移才能得到抛物线b（要求抛物线b也经过A点）？小题3.在(2)中，抛物线b的顶点为B，抛物线a上的A点与抛物线b上的C点对应，求四边形APBC的面积．如图，点P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点，点A的坐标是(3，0)．小题1.令点P的坐标为(x，y)，求△POA的面积S（用含y的式子表示）．小题2.S是y的什么函数？小题3.S是x的什么函数？4小题4.当S=6时，求点P的坐标．小题5.当PO=PA时，试求点P的坐标．已知将二次函数y=ax2+c的图象向下平移2个单位后，得到二次函数y=-3x2+2的图象．求a，c的值．已知抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1相交于点(m，3)．小题1.求m和n的值．小题2.写出抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴．小题3.当x取何值时，二次函数y=2x2+n中y随x的增大而减小？已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2．小题1.当实数k为何值时，图象经过原点？小题2.当实数k在何取值范围时，函数图象的顶点在第四象限？已知二次函数y=a(x+b)2的图象的对称轴为直线x=3，且该函数图象过点(1，4)，求a，b 的值．已知抛物线y=x2+2m-m2，根据下列条件分别求m的值．小题1.抛物线过原点．小题2.函数的最小值是-3．如图，已知二次函数y=a(x-h)2+的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．小题1.写出该函数图象的对称轴．小题2.若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？如果把抛物线y=mx2+n向下平移3个单位后，得到抛物线y=-x2+2，试求m，n的值．已知抛物线y=ax2与直线x=-1，x=-2，y=-1，y=-2围成的正方形有交点，求a的取值范围．若二次函数y=ax2+2的图象经过点(-2，10)，求a的值和这个函数的最值．把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图象．小题1.试确定a，h，k的值．小题2.指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y=-x2+6x上一点，且在x轴上方，求△BCD面积的最大值．如图，抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线y2，回答下列问题：小题1.抛物线y2的解析式是____，顶点坐标为____．小题2.阴影部分的面积S=____．小题3.若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为____，开口方向____，顶点坐标为____．已知函数（m为常数）．小题1.该函数的图象与轴公共点的个数是小题2.求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上．小题3.当-2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．已知点在抛物线的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．小题1.求点B的坐标．小题2.求∠AOB度数．当时，二次函数有最大值4，求实数m的值．把函数的图象向右平移4个单位．1小题1.请直接写出平移后所得的抛物线的函数解析式．小题2.若平移后抛物线的顶点为C，并与直线分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），求△ABC的面积．。
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二次函数图表信息题一．选择题（共18小题）1．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（ ） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y22．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（ ） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点3．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ） A．B．C．D．4．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（ ） A．开口向下B．对称轴是y轴 C．都有最高点D．y随x的增大而增大5．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（ ） A．①②B．①④C．①③④D．②③④6．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a﹣b+c=0②b2＞4ac③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x=﹣．其中结论正确的个数有（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ） A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④10．（2014•天津）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．如图，二次函y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc ＜0；②a+b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣2，y 1），（，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是（ ） A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①②12．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③当m ≠1时，a+b ＞am 2+bm ；④a ﹣b+c ＞0；⑤若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤14．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c ＞3b ；③8a+7b+2c ＞0；④当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（ ） A．1B．2C．3D．417．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（ ）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小． A．2B．3C．4D．518．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（ ） A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④ 参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2014•承德二模）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（ ） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：利用A点与B点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解．解答：解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，∵M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3），∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，∴y2＜y1＜y3．故选B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式．2．（2014•宁波一模）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（ ） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点考点：抛物线与x轴的交点．分析：因为x2﹣2x+1=0中，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，有两个相等的实数根，图象与x轴有一个交点，再加当y=0时的点即可．解答：解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．故选：A．点评：解答此题要明确抛物线y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数与方程x2﹣2x+1=0解的个数有关，还得考虑与y 轴相交．3．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ） A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）解答：解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．4．（2014•毕节地区）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（ ） A．开口向下B．对称轴是y轴 C．都有最高点D．y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．故选：B．点评：考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．5．（2014•达州）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（ ） A．①②B．①④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．专题：数形结合．分析：根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故选：B．点评：主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．6．（2014•孝感）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．专题：数形结合．分析：由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．7．（2014•十堰）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a﹣b+c=0；②b2＞4ac；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x=﹣．其中结论正确的个数有（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：常规题型．分析：将点（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，即可判断①正确；将点（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，又由①得a﹣b+c=0，两式相加，得a+c=，两式相减，得b=．由b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，当a=时，b2﹣4ac=0，即可判断②错误；③由b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，得出抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1•x==﹣1，即x=1﹣，再由a＜0得出x＞1，即可判断③正确；④根据抛物线的对称轴公式为x=﹣，将b=代入即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1，又a﹣b+c=0，两式相加，得2（a+c）=1，a+c=，两式相减，得2b=1，b=．∵b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，当2a﹣=0，即a=时，b2﹣4ac=0，故②错误；③当a＜0时，∵b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，则﹣1•x===﹣1，即x=1﹣，∵a＜0，∴﹣＞0，∴x=1﹣＞1，即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；④抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=﹣，故④正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．8．（2014•资阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．9．（2014•聊城）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ） A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a，∴b﹣2a=0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵b=2a，∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用． 10．（2014•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（ ） A．0B．1C．2D．3考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11．（2014•齐齐哈尔）如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ） A．①②④B．③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣=，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，∵抛物线经过点（2，0），∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，∴y1＜y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．12．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（ ） A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．13．（2014•南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（ ） A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选：D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．14．（2014•烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：代数几何综合题；数形结合．分析：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c ＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．（2014•贵港）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，解答：解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．16．（2014•莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（ ） A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c ＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x=﹣＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，（故①正确）；∵﹣1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，（故②正确）；∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）；∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）．综上所述，正确的个数有4个；故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．17．（2014•深圳）二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（ ）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小． A．2B．3C．4D．5考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口向上可得a＞0，结合对称轴在y轴右侧得出b＜0，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得c＜0，再根据有理数乘法法则判断①；再由不等式的性质判断②；根据对称轴为直线x=1判断③；根据图象与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；由x=1时，y＜0判断⑤；根据二次函数的增减性判断⑥．解答：解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号即b＜0，∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴c＜0，∴bc＞0，故①正确；②∵a＞0，c＜0，∴2a﹣3c＞0，故②错误；③∵对称轴x=﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确；④由图形可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0，故④正确；⑤由图形可知x=1时，y=a+b+c＜0，故⑤错误；⑥∵a＞0，对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共3个．故选：B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．18．（2014•黔东南州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（ ） A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选：B．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．。