12+高斯过程(正态过程)
高斯过程控制
高斯过程控制高斯过程控制（Gaussian Process Control，简称GPC）是一种基于高斯过程模型的控制方法，它在控制系统中具有广泛的应用。
本文将从高斯过程的基本原理、GPC的核心思想以及其在实际应用中的优势等方面进行介绍和探讨。
高斯过程是一种概率模型，常用于对连续函数进行建模和预测。
它的基本思想是将函数看作是一组随机变量的集合，这些随机变量服从多变量高斯分布。
通过观测已知数据点，可以利用高斯过程模型对未知数据点进行预测和估计。
高斯过程模型具有灵活性和鲁棒性，可以适用于各种不同类型的数据。
在控制系统中，GPC利用高斯过程模型来对系统的动态特性进行建模和预测，并根据预测结果来进行控制决策。
GPC的核心思想是通过不断地观测和学习系统的反馈信息，来优化控制策略，使系统能够实现预期的控制目标。
与传统的控制方法相比，GPC具有以下几个优势：1. 鲁棒性：由于高斯过程模型的灵活性，GPC对系统的建模误差和不确定性具有较强的鲁棒性。
即使在模型存在误差的情况下，GPC 仍能够通过不断地学习和调整来实现优化的控制效果。
2. 适应性：GPC能够根据实时的反馈信息对系统进行动态调整，以适应系统动态特性的变化。
这使得GPC在应对复杂、非线性系统时具有较好的适应性和性能。
3. 高效性：由于高斯过程模型的特性，GPC能够通过较少的观测点来进行预测和估计。
这使得GPC在实际应用中具有较高的计算效率和实时性。
在实际应用中，GPC广泛应用于各种控制领域，例如工业过程控制、自动驾驶、机器人控制等。
以工业过程控制为例，GPC可以通过对生产过程中的关键参数进行实时监测和控制，实现生产过程的优化和稳定。
GPC还可以与其他控制算法和方法相结合，以进一步提高控制系统的性能和效果。
例如，可以将GPC与模糊控制、神经网络控制等方法相结合，以实现更精确、更鲁棒的控制效果。
总结起来，高斯过程控制是一种基于高斯过程模型的控制方法，它通过对系统的动态特性进行建模和预测，来优化控制策略并实现预期的控制目标。
第4讲高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声
r(t) Acos (ct ) n(t)
其中：
(2.7.1)
Acos (ct )
---正弦载波:假定A、ωc为常数;θ为随机变量，其一维 pdf 均匀分布，即： f(θ)=1/(2π)， 0≤θ≤2π
n(t) nc (t) cosct ns (t) sin ct (t) c (t) cosct s (t)sin ct
(x) 1
x
ez2 / 2dz
2
(2.5.9)
则正态分布函数可表示为：
F (x) （ x a ）
(2.5.8)
通信原理
第2章 随机过程
xa
x
x
F(x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz 1
et2 / 2dt
2
2 2
2
（3) 用误差函数表示
正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。
通信原理
第2章 随机过程
2. 表达式－－两种！
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
c (t) cosct s (t)sinct
(2.6.1/2)
c (t)=a (t) cos (t) (t)的同相分量 s (t)=a (t) sin (t) (t)的正交分量
R c s (0)=0 , f (c ,s )=f (c ) f (s )
通信原理
第2章 随机过程
2.5.3 已知ξ(t)的统计特性，求 aξ(t)、φξ(t)的统计特性
结论2
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
若ξ(t)：均值为0、方差为δ2、窄带平稳高斯随机过程。
则：
（1）其包络aξ(t)的一维分布呈瑞利分布； （2）其相位φξ(t)的一维分布呈均匀分布； （3） aξ(t)与φξ(t)统计独立。
通信原理第3章(樊昌信第七版)
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
f (x) 1 2
f (x)dx 1
a
1
f (x)dx f (x)dx
Байду номын сангаас
随机过程-正态马尔可夫过程
所以， 是马尔可夫过程。 所以， ξ(t) 是马尔可夫过程。
例3.6
图示电路，输入为零均值平稳正态白噪声， 图示电路， 输入为零均值平稳正态白噪声，求
输出过程的特性。 输出过程的特性。
R
ξ(t)
C
η(t)
解：系统传递函数的模平方为
α2 H( jf ) = 2 α + (2π f )2
2
1 α 其中， 输入平稳正态白噪声， 1。 其中， = 。输入平稳正态白噪声，即Sξ ( f ) = 1。于 RC
2 n
设 a= C(1)/C(0)，由于 C(1) ≤C(0)，故|a|≤1 ，因此 ， ，
C(n) = anC(0)(n ≥ 0)
充分性：如果 C(n)/C(0)=an，设n=n1+n2，则 充分性：
C(n1) C(n2 ) C(n1)C(n2 ) C(n) = an1 an2 = ⇒ C(n) = C(0) C(0) C(0) C(0)
C(τ ) = eaτ C(0)
因为|C(τ)|<C(0)，故τ >0 时，a<0 ， 因为 充分性：如果 充分性：如果C(τ)=eaτC(0) ，则
C(τ + s) C(τ ) C(s) = ea(τ +s) = eaτ eas = C(0) C(0) C(0)
即
C(τ )C(s) C(τ + s) = C(0)
是输出为
α2 Sη ( f ) = H( jf ) Sξ ( f ) = 2 α + (2π f )2
2
由此可得
Rη (τ ) =
α
2
e
−α τ
由E{ξ(t)}=0得E{η(t)}=0 ，因此 得
高斯过程回归算法的原理与应用
高斯过程回归算法的原理与应用高斯过程回归(Gaussian Process Regression, GPR)是一种基于贝叶斯概率理论的非参数回归方法，具有优秀的预测能力和不确定性估计能力，近年来在机器学习和数据挖掘领域得到广泛应用。
本文将介绍高斯过程回归算法的原理和应用，并分析其优缺点。
一、高斯过程回归原理高斯过程(Gaussian Process, GP)是一种能描述随机变量之间的关系的方法，通常被用于回归和分类问题中。
高斯过程回归将所研究的现象看作是一个随机过程，并假设该随机过程服从一个高斯分布。
换言之，对于任意输入$x$，函数$f(x)$的取值服从一个以$f(x)$为均值、以$k(x,x')$为协方差矩阵的高斯分布，即：$$f(x) \sim \mathcal{N}(m(x), k(x,x'))$$其中$m(x)$为均值函数，$k(x,x')$为协方差函数。
协方差函数描述了$f(x)$和$f(x')$之间的相关性，通常使用一些特定的函数形式来表示，例如：1.线性函数：$k(x,x')=x^T x'$2.多项式函数：$k(x,x')=(x^T x' + c)^d$3.高斯核函数：$k(x,x')=exp(-||x-x'||^2/(2\sigma^2))$高斯核函数是高斯过程回归中最常用的协方差函数，它是基于欧几里得距离的指数衰减函数。
对于训练数据集$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}$，我们可以根据高斯过程回归的原理计算出先验分布$p(f)$和后验分布$p(f|D)$，并得到对新数据点$x$的预测结果$f_*$和预测误差$\sigma_*^2$：$$p(f)=\mathcal{N}(m_0,k_0)$$$$p(f|D)=\mathcal{N}(m(x),\sigma^2(x))$$$$f_*=\mathbf{K}_*^T (\mathbf{K}+\sigma^2_n \mathbf{I})^{-1} \mathbf{y}$$$$\sigma_*^2=k(x,x)-\mathbf{K}_*^T (\mathbf{K}+\sigma^2_n \mathbf{I})^{-1} \mathbf{K}_*$$其中$\mathbf{K}$为$K_{ij}=k(x_i,x_j)$的矩阵形式，$\mathbf{y}=(y_1,y_2,...,y_n)^T$为训练数据的向量形式，$\mathbf{K}_*$为$k(x,x_i)$的向量形式，$\sigma_n^2$为噪声的方差，通常假设为常数。
通信原理重点知识总结
1. 离散信道容量
编码信道是一种离散信道，可以用离散信道的信道 容量来表征。
香农公式
对于带宽有限、平均功率有限的高斯白噪声连续信道，
可证，其信道容量为
S Ct Blog2 1 N (b/s)
信息熵定义
设：一个离散信源是由M个符号组成的集合，其中每个符号xi (i = 1, 2, 3, …, M)按一定的概率P(xi)独立出现，即
x1,
x2, , xM
Px1,
Px2,
,
PxM
且有
M
则x1 ,
x2,
x3,…i 1,
P( xM
x所i ) 包 1含的信息量分别为
l o g 2 P ( x 1 ) ， l o g 2 P ( x 2 ) ， ， l o g 2 P ( x M )
• 能量信号和功率信号的定义 • 广义平稳与严平稳的关系 • 高斯随机过程 • 高斯白噪声
能量信号和功率信号的定义
信号分成两类：
能量信号：能量等于一个有限正值， 但平均功率为0.
功率信号：平均功率是一个有限值， 但能量为无限大。
广义平稳与严平稳的关系
把同时满足（1）和（2）的过程定义为 广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程 必定是广义平稳的，反之不一定成立。
• 1.2 通信系统的一般模型
Terminal
信 源
MODEM
发送设备
PSTN
信道
MODEM
接收设备
Host
信 宿
•把各种 •对原始发信端号
消息转换 完成某种变
12高斯过程(正态过程)
yi
dyi
n i 1
exp{
1 2
vivi }
exp{
1 2
vT
v}
于是
Y (ν)
exp{
1 2
vT v}
x = Ly + a,
(x)
=
L
=
1
C2
(y)
X (ν) exp{ jaT v}Y (Lν)
exp{
jaT v}exp{
1 2
(Lv)T
Lv}
exp{
jaT v}exp{
2
v T LT Lv}
本次作业
P189
– 第5, 7练习题。
谢谢大家
exp
1 2
y
T F -1 y
等价定义 — 重要
X1, X 2 , , X n 为联合正态分布的
充分必要条件
a1, a2 ,
n
, an ak X k k 1
正态分布
8、n维高斯随机矢量各阶矩
一阶矩 二阶矩
EE[[XXkk
]]
11 jj
nn((vv1,1,
vvk k
vnv)n ) akak
]T
,
aTv
=
[a1TaT2
]
v1 v2
=
a1T v1
+
aT2 v2
n (v) exp
jaT
v
-
1 2
vTPv
exp
ja1T v1
+
aT2 v2
-
1 2
(v1TP11v1
+
v
T 2
P22
v
2
)
(v1)(v2 )
高斯过程分类方法
高斯过程分类方法
高斯过程（Gaussian Process，GP）是一种基于概率模型的非参数方法，常用于回归和分类问题。
以下是几种基于高斯过程的分类方法：
1. 基于最大边缘化（Maximum Marginal）的分类方法：对于二分类问题，通过对训练数据集进行最大边缘化（Maximum Marginalization）来得到分类器。
该方法需要先估计高斯过程的超参数，然后利用最大边缘化得到后验概率密度函数，再通过概率阈值判断分类结果。
2. 基于拉普拉斯近似（Laplace approximation）的分类方法：将高斯过程的先验概率密度函数通过拉普拉斯近似转化为一个近似的正态分布，然后利用训练数据集计算出后验概率密度函数的平均值和方差。
最终分类结果通过对后验概率密度函数的平均值应用概率阈值得到。
3. 基于期望传播（Expectation Propagation，EP）的分类方法：通过近似方法得到近似的高斯分布，然后利用期望传播算法进行高斯分布的近似，并使用近似的高斯分布来计算分类器。
以上是基于高斯过程的几种分类方法，具体应用时需要根据数据集的特征和需求灵活选择。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
为是白噪声
物理意义：表明该随机过程上任何两个随
2、自相关函数
机变量之间都是不相关的，只有当τ＝0时 例外
白噪声的功率谱密度(a)和自相关函数 (b)
3、限带白噪声
限带白噪声概念：白噪声被限制在（f1,f2）之内，即在该频率 区上功率谱密度Pn(ω)＝ n0/2，而在该区间之外Pn(ω)＝0，则
这样的白噪声被称为限带白噪声
常见的限带白噪声有两种： a.理想低通型白噪声 b.理想带通型白噪声
理想低通白噪声：
概念：就是白噪声经过理想低通滤波器。
H(ω)为滤波器的系统函数
限带白噪声的自相关函数为
由R(τ)可见，若以1/(2f0)
的时间间隔对理想低通型
白噪声n(t) 进行抽样，则
噪声的样值之间是不相关
的
理想白噪声和限带白噪声的相关函数与谱密度
已知：
求： 解：先求反函数
利用概率论中的边际分布知识，aξ的概率密度函数
结论：aξ服从瑞利分布。
瑞利分布的特点：最大值发生在aξ＝σξ处。
要想计算误码率，必须知道抽样判决前信号和噪声的pdf，而噪声的pdf则为 上式。 aξ概率分布的用途：在数据通信系统中用来求解误码率。如2ASK的非相干 接收，接收机结构如图2.6-4所示。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
误差函数的定义： erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数的定义： erfc (x) 1 erf (x)
2
ez2 dz
x
概率积分函数：F (x) 1 x exp[ (z a)2 ]dz ((x a))
几类重要的随机过程
C
C(t1, C (t2 ,
t1) t1)
C(t1,t2 ) C(t2,t2 )
2
2 cos(t2
t1)
2
cos(t2 2
t1
)
f
( x1 ,
x2 , t1, t2 )
2
1 |C
|1
2
exp
1 2
x1
x2
C1
x1 x2
4.2 独立过程
定义：如果随机过程{X(t), t∊T}，对应于任意n个时刻t1, t2,…, tn ∊T的n个随机变量X(t1), X(t2),…, X(tn)相互独立，则称该
4 几种重要的随机过程
正态过程（高斯过程） 独立过程 独立增量过程 维纳过程 泊松过程 马尔可夫过程 生灭过程
4.1 正态过程(高斯过程)
4.1.1 正态分布（高斯分布）
定义1：如果随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
则称X为服从参数的正态分布，记为 X N (, 2，)
E[Y ] aμ, D[Y ] aCa 。
若e=(ejk)是m × n矩阵, Z eX 是m × 1的列矩阵，即m 维向量，则， E[Z] eμ, D[Z] eCe 。
4.1.1 正态分布（高斯分布）
n维正态随机变量的性质：
（3）（线性变换）
定理1：X ( X1, X 2 , , X n )服从n维正态分布N(μ,C)
次试验结果互不影响，伯努利随机序列{X(n), n=1,2,…}是
独立随机序列。 定义概率分布：
P[ X (n) 0] q, P[ X (n) 1] p,
12随机过程一般概念
一、随机过程的定义 二、随机过程的分类 三、随机过程的概率分布 四、二维随机过程
随机过程
引言
现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与 发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类： (1)确定性的变化过程：例如 (2)不确定的变化过程：例如
如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形成） 的作用下，那么质点运动的位置也是随机的。
称为{(X(t),Y(t)),tT}的互协方差函数.
显然
CXY (s,t) RXY (s,t) X (s)Y (t)
若对于任意的s,t∈T,有CXY(s,t)=0, 称{X(t)},{Y(t)}不相关. 若{X(t)},{Y(t)}相互独立，且二阶矩存在，
则{X(t)},{Y(t)}不相关.
例9: 设有两个随机过程X(t)=Ucost+Vsint和 Y(t)=Usint +Vcost，其中U和V独
(t)
E[ X
2
(t)]
为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X
(t)
DX
(t)
D[ X (t)]
为{X(t),tT}的方差函数.
④ C X (s, t) Cov(X (s), X (t)) 为{X(t),tT}的协方差函数.
E[X (s) X (s)][X (t) X (t)]
⑤ Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]为{X(t),tT}的自相关函数，
定义2：设E是一随机实验，样本空间为Ω={}，参数
T(-,+),如果对任意t T ，有一定义在Ω上的随机变量
X(,t)与之对应,则称{X(,t),t T}为随机过程，简记为
X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
高斯随机过程
高斯随机过程高斯分布•中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。
•特殊地位：无线电技术理论中最重要的概率分布。
•噪声理论、信号检测理论、信息理论•高斯过程-统计特性最简单{}{}ik X i k X X i k X Xk i X k i X ik X i k X X X k i X k i X ik n n ikn n ik C m t t R m t t R m t t R t t C C m t t R m m t t R t t C C C C C C =−−=−+−+=′−++=++=′−−=−==′=′=××2222)()]()[(),(),()(),(),(..,.........εεεεεεv v Q Xi X i X X m t m t m m ==+=′)()(εQ ),...,;,...,(),...,;,...,(1111n n X n n X t t x x f t t x x f =++∴εε所以，高斯随机过程的宽平稳↔等价严平稳。
C C v v =′XX M M =′∴如果高斯过程X(t)在n 个不同时刻的状态两两互不相关，即则这些状态之间也是互相独立的。
n t t ,...,1)(),...,(1n t X t X )(,0)])()()([(),(k i m t X m t X E t t C C k k i i k i X ik ≠=−−==0=ik C ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(0...0:...:::...)(00...0)(22212n t t t C σσσv 2、互不相关↔互相独立证明：由于则:t B t A t X 00sin cos)(ωω+=0][][==B E A E 222][][σ==B E A E 0ω1.已知随机过程其中A 与B 是相互独立的高斯变量，且, ,为常数。
求此过程的一、二维概率密度。
独立增量过程
四 高斯过程（正态过程）
一、定义：
设{X(t)}为随机过程，如果对任意的正整数n及任意 t1,t2,…,tnT，n 维随机变量(X(t1),X(t2),…,X(tn))服 从n维正态分布，则称{X(t)}为正态过程。
正态过程是二阶矩过程。 记其均值函数为μX(t),协方差函数为CX(s,t)。
二、正态过程的性质：
(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协
方差函数为 C X (s, t) DX (min( s, t)).
证明: 记Y(t )=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时， Y(t )也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t )]=0, DY(t)= E[Y2(t )]=DX(t) .所以，当0s＜t 时，有
生的次数。
例如：若用N1(t)表某电话交换台在[0,t]内接到的电话呼 唤次数；
若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数；
若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数；
若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等, 这些Ni(t)均为计数过程。
为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现 一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点 出现的个数。
例.设{X(t)}是强度为的泊松过程，定义Y(t)=X(t+L)-
X(t),其中L>0为常数，求Y(t),RY(s,t).
解： Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=(t+L)-t=L；
RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t),
对任意0≤s<t，有
CY (s, t) Cov(Y (s),Y (t)) Cov( X(s L) X(s), X(t L) X(t)) Cov( X (s L), X (t L)) Cov( X (s), X (t L)) Cov( X (s L), X (t)) Cov( X (s), X (t))
13第六章正态随机过程
则称X1,X2为二维正态随机变量。其中ρ 为X1和X2的相 关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函 数可表示为
1 f X1 ( x ) e 2 1
( x1 a1 )2 212
1 f X 2 ( x) e 2 2
( x2 a2 )2 2 22
2 2 X ~ N ( a , X ~ N ( a , ) 因此其边际分布为一维正态分布 1 ， 2 2 2) 1 1
若E[ X K Y l ]存在，K，l 1 ， 2... ，则称它为 X和Y的K l阶混合矩。
K l 若E（ [ X - EX） （Y - EY） ]存在，K，l 1 ， 2... ，
则称它为X和Y的K l阶混合中心矩。
E[X n ] ( j ) n
证明：
d nC X (u ) |u 0 n du
]e
jv T b
E[e
j ( v T A)X
]
e
比较： Y=aX+b
jv T b
C X T (v T A)
CY (u) e jubCX (ua)
一维正态随机变量的概念： 一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示 为 ( x a )2 1 2 2 f X ( x) e 2 记为
当n=1时
d jux 1 dC X (u ) 1 j |u 0 j [e f ( x)dx] |u 0 du du j 1 jxe jux f ( x)dx |u 0
xf ( x)dx E[ X ]
证明：
三、多维随机变量的特征函数 1）定义 若
CY T (v T ) e jV b C X T (v T A) e jV b e e jV
高斯过程核函数
高斯过程核函数高斯过程是一种基于根据数据来预测随机变量的方法。
在这种方法中，于是需要用到核函数来定义随机变量之间的相关性。
核函数顾名思义，是为了实现卷积或相关的用途而被使用的函数。
它们通常在模式识别和机器学习中出现，可以表示为x和x'之间的内积，其中x和x'表示随机变量在观察空间中的值。
在高斯过程中，核函数通常也被用作协方差函数，用于在不同随机变量之间建立相关性。
高斯过程的核函数也称为协方差函数（Covariance Function），用于度量两个点之间的相似度，并且可以通过测量它们距离来计算协方差值。
通常情况下，协方差函数在增加到无穷大之前，它们具有精确度和光滑度的形式。
这种类型的函数通常是正定核函数，即它们不仅是光滑的，还可以保证矩阵是半正定的，这使得在训练和测试中可能发生的错误较少。
高斯过程的核函数的一般形式可以写为：k（x，x'）= exp（- || x-x'||~2）/（2h^2）其中，|| x-x'||~2 表示x和x'之间的距离的平方，h是一个控制相关程度的参数。
这种核函数通常被称为径向基函数（RBF）或高斯核函数，并且是高斯过程中最常用的核函数之一。
除此之外，还有其他不同的核函数也被用于高斯过程中，包括线性核函数，多项式核函数，sigmoid核函数等。
这些核函数的不同之处在于它们在计算相关性中使用的数学公式，因此它们可能在不同类型的数据集上产生更好的性能。
在实际应用中，核函数的选择可能会对高斯过程的性能产生重大影响。
通常情况下，人们需要按照特定问题的需求和数据集属性来选择核函数。
例如，当数据集应具有平稳性或周期性时，暴露到噪声或数据点之间存在较大差异时，径向基函数通常表现良好。
对于其他类型的数据集，可能需要使用其他类型的核函数来实现更精准的预测。
在总体上，核函数对于高斯过程的实现至关重要，因为它们提供从数据中生成预测的关键方法。
因此，研究人员需要深入研究核函数的工作原理，以便选择最适合他们问题的核函数，并提高高斯过程的性能。
通信面试问题汇总知识分享
通信面试问题汇总通信原理基本问题1、什么是数字信号，什么是模拟信号？两者的根本区别是什么？答：按照信号参量取值方式的不同，可把信号分为模拟和数字信号。
取值连续为模拟信号，取值离散为数字信号。
两者根本区别：携带消息的信号参量（如幅度、频率、相位）取值是连续的还是离散的。
2、数字通信的优缺点？答：优点：抗干扰能力强、噪声不积累、差错可控；缺点：需要较大的传输带宽。
3、按照调制方式，通信系统可以分为？答：基带传输系统和带通传输系统4、信号的复用方式？答：时分、频分、码分5、按照信号特征分类：模拟、数字通信系统6、按照通信方式：单工（广播）、半双工（对讲机）、双工（电话）7、按照数字码元排列顺序：并行、串行传输8、通信系统的主要性能指标：有效性、可靠性9、模拟信号：有效性：带宽可靠性：信噪比10、信源编码目的：提高传输有效性；信道编码目的：提高信号传输可靠性；11、数字信号：有效性：传码率、传信率、频带利用率可靠性：误码率、误信率12、随机过程的统计特性：分布函数或概率密度表示。
13、广义平稳随机过程：与时间起点无关（严平稳），只与时间间隔有关。
（广义包含严）14、各态历经：用一次实现的“时间平均”值来代替“统计平均”值，从而大大简化。
15、高斯过程（正态分布）经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。
16、窄带平稳高斯过程，均值为零，方差ð2,其包络为瑞利分布，相位均匀分布。
17、“窄带”：频带宽度远小于中心频率，中心频率远离零频。
18、“加性噪声”：噪声以相加的形式作用在信号上。
19、“白”：指他的功率谱在频率范围内分布均匀（大于工作频带）。
20、“高斯白噪声”：白噪声其概率分布服从高斯分布。
21、“低通白噪声”：白噪声通过理想低通滤波器。
22、正弦载波信号加窄带高斯噪声的包络一般为：莱斯分布。
23、 R(0)=平均功率 R(无穷)=直流功率24、码间串扰：相邻码元波形之间发生部分重叠。
25、衰落：信号包络因传播有了起伏的现象。
高斯过程的性质
高斯过程的性质
高斯过程是一种随机过程，它的性质主要有以下几点：
1.
高斯过程是一种无界的连续随机过程，它的值可以在无限的范围内取值。
2.
高斯过程是一种非确定性过程，它的值是随机变化的，不能确定其未来的取值范围。
3.
高斯过程是一种马尔可夫过程，它的值在每一个时刻都是独立的，不受前一个时刻的影响。
4.
高斯过程是一种平稳过程，它的均值和方差在时间上是恒定的。
5.
高斯过程是一种非平凡过程，它的均值和方差在时间上是变化的。
通信面试问题汇总
通信原理基本问题1、什么是数字信号，什么是模拟信号？两者的根本区别是什么？答：按照信号参量取值方式的不同，可把信号分为模拟和数字信号。
取值连续为模拟信号，取值离散为数字信号。
两者根本区别：携带消息的信号参量（如幅度、频率、相位）取值是连续的还是离散的。
2、数字通信的优缺点？答：优点：抗干扰能力强、噪声不积累、差错可控；缺点：需要较大的传输带宽。
3、按照调制方式，通信系统可以分为？答：基带传输系统和带通传输系统4、信号的复用方式？答：时分、频分、码分5、按照信号特征分类：模拟、数字通信系统6、按照通信方式：单工（广播）、半双工（对讲机）、双工（电话）7、按照数字码元排列顺序：并行、串行传输8、通信系统的主要性能指标：有效性、可靠性9、模拟信号：有效性：带宽可靠性：信噪比10、信源编码目的：提高传输有效性；信道编码目的：提高信号传输可靠性；11、数字信号：有效性：传码率、传信率、频带利用率可靠性：误码率、误信率12、随机过程的统计特性：分布函数或概率密度表示。
13、广义平稳随机过程：与时间起点无关（严平稳），只与时间间隔有关。
（广义包含严）14、各态历经：用一次实现的“时间平均”值来代替“统计平均”值，从而大大简化。
15、高斯过程（正态分布）经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。
16、窄带平稳高斯过程，均值为零，方差e2,其包络为瑞利分布，相位均匀分布。
17、“窄带”：频带宽度远小于中心频率，中心频率远离零频。
18、“加性噪声”：噪声以相加的形式作用在信号上。
19、“白”：指他的功率谱在频率范围内分布均匀（大于工作频带）。
20、“高斯白噪声”：白噪声其概率分布服从高斯分布。
21、“低通白噪声”：白噪声通过理想低通滤波器。
22、正弦载波信号加窄带高斯噪声的包络一般为：莱斯分布。
23、 R(0)=平均功率 R(无穷)=直流功率24、码间串扰：相邻码元波形之间发生部分重叠。
25、衰落：信号包络因传播有了起伏的现象。
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T 1 -1 exp x - a C x - a 12 2 C
2
n2
f x
1
2
n2
T 1 -1 exp x - a C x - a 12 2 C
a1 x1 C11 C12 a x C C 2 2 21 22 a C x M L L M C C a x n 1 n2 n n
i 1
n
1
R1
2
1/ 2
1 2 exp - xi dxi 1 2
3、 n 维高斯联合概率密度
p x 1
2
n2
1 T -1 exp - (x - a) C (x - a) 12 2 C
Rn
p x dx 1
1 2
X ( ν ) exp{ ja v}Y (Lν )
T
exp{ ja T v}exp{ exp{ ja v}exp{
T
1 2 1 2
(Lv)T Lv} v L Lv}
1 2 T
T T
X (ν) exp{ ja v - v Cv}
T
5、多维高斯随机矢量的边沿分布 T X [ X1，X 2， L ，X n ]
为什么？ n边形n个内角之和等于(n-2)180度 n边形n个外角之和等于360度
3、 n维高斯联合概率密度
先看n元完全独立标准高斯随机变量
p x
1
2
n2
1 T -1 exp - (x - a) C (x - a) 12 2 C
n 1 1 a 0, C In 2 exp x d x i n n 2 R 2 2 k 1
r1 2 1 1 2 2 C 2 2 1 2 (1 r ) r1 2 1
2 2
2、二维高斯分布的矩阵形式
x1 引入：x x2
2
a1 a a2
2
x1 a1 x2 a2 ( x2 a2 ) 1 ( x1 a1 ) 2r 2 2 2 1 r 1 2 1 2
(x - a) C (x - a)
T -1
2、二维高斯分布的矩阵形式
于是： 于是： 1 T T 11 1 1 -1 p( x ) exp ( x a) C (x a ) p exp ( x a ) C ( x a ) X 2 1/ 2 1/ 2 ( 2 C |C| 2 （ 2) |） 2
L L L L
C1n C2 n L Cnn
C ji Cij E X t a j j X ti ai i, j 1, 2, L , n
2、高斯过程的重要性
广泛性
– 中心极限定理：大量独立的，均匀微小的随 机变量总和近似地服从高斯分布 – 例如，无线电设备中的热噪声（前置放大 器）、通信信道中噪声信号、大气湍流、宇 宙噪声、维纳过程（布朗运动）等等
jvx
特别地
1 1 2 p( x) exp x 2 2 1 2 ( ) exp v 2
2、二维高斯（正态）分布
p( x1 , x2 ) 1 2 1 2 1 r 2 exp
2 2 ( x1 a1 ) ( x1 a1 ) ( x2 a2 ) ( x2 a2 ) 1 2r 2 2 2 1 2 2 2(1 r ) 1 1 2 2 2 2 ( 1 , 2 ) exp j (a1v1 a2v2 ) ( 1 v1 2r 1 2v1v2 2 v2 ) 2
p x
1
2
n2
1 T -1 exp - (x - a) C (x - a) 12 2 C
n
p x 0, x R ;
R
n
p x dx 1
【补充】 陈省身“ 好数学”
三角形三个内角之和等于180度
三角形三个外角之和等于360度
数学优点
– 二阶矩、广义平稳与狭义平稳等价，高斯随 机过程通过线性系统还是高斯随机过程
二、多维高斯随机变量
一维高斯（正态）分布 二维高斯（正态）分布
n维高斯（正态）分布
1、一维高斯（正态）分布
1 ( x a) 2 1 p ( x) exp 2 2 2 1 2 2 ( ) e p( x)dx exp jav v 2 1 jvx p( x) e ( )dv 2
p ( x) 1 ( x a) 2 1 exp 2 2 2
与一元高斯分布相比，可以推 测n元高斯分布的形式
3、 n维高斯联合概率密度
L ，X n 均值 n维高斯随机变量 X1，X 2，
矢量 a ，且它的协方差矩阵 C 是 正定矩阵，则概率密度函数为：
在数学中：以高斯命名的有
高斯公式、高斯曲率、高斯分布、
高斯方程、高斯曲线、高斯平面、 高斯记号、高斯概率、高斯变换、 高斯分解、高斯和、高斯素数、高 斯级数、高斯系数、高斯准则、高 斯原理、高斯消元法、高斯映射、 高斯测度、高斯二次型、高斯多项 式、高斯不等式、高斯随机过程、 高斯随机变量……等等.
3、n维高斯联合概率密度
协方差矩阵C为对称正定的，根据矩阵论定 理，存在可逆线性变换Ｌ，可以对角化，也即：
C = LL
线性变换
雅可比：
-1
T
y = L (x - a) x = Ly + a
1 (x) T 1 T 2 = L = C (x - a) C (x - a) y y (y)
6、不相关＝独立
L ，X n 互不相关， n维高斯随机变量 X1，X 2，
则协方差矩阵为对角矩阵，于是
|C|
1/ 2
i
i 1
n
2 n ( x a ) 1 1 T -1 i i exp (x - a) C (x - a) exp 2 i 2 i 1 2
第12讲
高斯随机过程
北京航空航天大学 主讲人：张有光 电话：82314978，F806
高斯 — 数学王子
他的思想深入数学、
空间、大自然的奥 秘.……他推动了数 学的进展直到下个 世纪。 数学是科学的皇后 1777～1855 德国
拉普拉斯认为：高斯是世界上最伟大的数学家
主要贡献
数据拟合中最小二乘法 正态分布公式
1 T T ( v ) exp ja v v Cv 2
子矢量
[ X k1，X k 2， L ，X km ] m n
T
1 T T (vk 1 , vk 2 , L , vkm ) exp jak v k - v k Ck v k 2 1 T p ( xk 1 , xk 2 , L , xkm ) exp( j v （v k ）d v k k x k ) m R m (2 ) 1 1 T -1 exp ( x a ) C (x a ) k k k k k m/2 1/ 2 (2 ) | Ck | 2
T
n 2
1 exp jvi yi yi yi dyi R 2 i 1 n 1 1 T exp{ vi vi } exp{ v v} 2 2 i 1
n
1 2
于是 Y ( ν) exp{ v v}
1 2 T
(x) x = Ly + a, = L = C (y)
标准化可得：
1 2 2 p( x1 , x2 ) exp ( x1 2rx1 x2 x2 ) 2 2 2 1 r 2(1 r ) 1 2 2 ( ) exp (v1 2rv1v2 v2 ) 2 1
1 1 2 2 p( x1 , x2 ) exp ( x1 x2 ) 2 2 1 2 2 ( ) exp (v1 v2 ) 2
n2
1
n2
1
2
1 T L exp y y dy L dy 1 n 2
1
4、n 维高斯分布－特征函数
1 T T ( ) exp ja v v Cv 2
p x 1
2
n2
1 T 1 exp (x - a) C (x - a) 12 2 C
和高斯曲线 代数基本定理：多项式解的存在性 对数论、复变函数、椭圆函数、超几 何级数、统计数学等各个领域都有卓 越的贡献 第一个成功地运用复数和复平面几何
《算术探究》奠定了近代数论的基础
《一般曲面论》开创了近代微分几何；
最先领悟到存在非欧几何的数学家 现代数学分析学大师，《无穷极数的 一般研究》，引入了高斯级数的概念， 对级数的收敛性第一次作了系统的研 究，从而开创了关于级数收敛性研究 的新时代，开辟了通往19世纪中叶分 析学的严密化道路。
特别地 r=0
n维联合分布？
( v 2r1 2v1v2 v )
2 2 1 1 2 2 2 2
r 1 2
2 1Байду номын сангаас
2
r 1 2 2 2
C
2
( x1 a1 ) ( x2 a2 ) ( x2 a2 ) 1 ( x1 a1 ) 2r 2 2 2 (1 r ) 1 1 2 2