复变函数2-2函数解析的充要条件
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复变函数解析的条件(一)
复变函数解析的条件(一)复变函数解析的条件什么是复变函数？复变函数是指定义在复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数既有实部也有虚部，可以用一个复数公式表示。
复变函数的解析性复变函数在某一个区域内解析指函数连续且可导。
解析性是复变函数的重要性质。
复变函数解析的条件复变函数解析的条件有以下几个方面：1.连续性：在某一个区域内，复变函数必须连续。
也就是说，函数在该区域内的实部和虚部分别都必须连续。
2.可导性：在某一个区域内，复变函数必须可导。
也就是说，函数在该区域内的实部和虚部分别都必须可导，且满足柯西—黎曼方程。
3.开区域：复变函数的解析性要求函数定义在某一个开区域内，即不包含边界上的点。
4.解析区域的连接性：复变函数解析的区域必须是连接的，不能存在不连续的点。
复变函数解析的充要条件通过以上条件的讨论，我们可以得出复变函数解析的充要条件为：在某一个区域内，复变函数的实部和虚部都是连续可导的，并且满足柯西—黎曼方程，该区域是一个开区域且连接。
总结复变函数的解析性是指函数在某一区域内连续且可导。
解析的条件包括连续性、可导性、开区域和区域的连接性。
充要条件是函数的实部和虚部都是连续可导，并满足柯西—黎曼方程，该区域是开区域且连接。
复变函数解析的条件是复变函数理论研究和实际应用的基础。
复变函数解析的条件详解1. 连续性在复变函数的解析性中，连续性是首要的条件之一。
连续性要求函数在某一个区域内的实部和虚部都必须连续。
连续函数在数学中是一个基本的概念，它表示函数在取某个点的极限时会无限接近这个点的函数值。
在复变函数的连续性中，实部和虚部的连续性都是必需的，只有实部和虚部都连续，复变函数才能在该区域内连续。
2. 可导性在复变函数的解析性中，可导性是另一个重要的条件。
可导性要求函数在某一个区域内的实部和虚部都必须可导，且满足柯西—黎曼方程。
柯西—黎曼方程是指复变函数的实部和虚部的偏导数满足一定关系，即实部的y偏导数等于虚部的x偏导数的相反数，实部的x偏导数等于虚部的y偏导数。
复变函数22函数解析充要条件
黎曼介绍
课件
2
证 (1) 必要性. 设 f(z)u(x,y)iv (x,y)定义在 D 内 , 区域 且 f(z)在 D 内一 zx点 y可 i ,导 则对于充 z分 xi小 y的 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
其l中 im ( z)0, z 0
令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,
f(z)aib , ( z )1 i2 ,
课件
3
所 u 以 i v
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
(a x b y1 x2 y) i(b xa y2 x1 y)
于 u a x 是 b y 1 x 2 y ,
[证毕]
课件
8
根据 ,可 定得 理 f(z)函 一 u (x ,y 数 )i(v x ,y)在 点 zxy处 i 的导 : 数公式
f(z)uiv1uv. x x iy y
函数在区 D内域解析的充要条件 定理二 函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在其定义 域D内解析的充:要 u(x条 ,y)与 件 v(x是 ,y)在 D内可,并 微且满足柯西 程.－黎曼方
课件
11
(2 )f(z) ex (cy o issiy )n 指数函数
u exco y, s v exsiy,n
uexcoy,suexsiyn ,
x
y
四个偏导数
vexsiyn, vexcoy,s 均连续
x
y
即uv, uv. x y y x
故f(z)在复平面内处 ,处处 处可 解 . 导 析
且 f ( z ) e x (c y i s o y ) i s n f ( z ).
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
复变函数解析的条件
复变函数解析的条件
复变函数解析的条件是指函数在某个区域内能够解析（即可导）。
在复平面上，复数可以表示为z=x+iy，其中x和y分别是实部和虚部。
复变函数是指将复数映射到其他复数的函数。
复变函数解析的条件包括以下几个方面：
1. 实部和虚部的偏导数存在且连续：如果一个复变函数在某个区域内的实部和虚部的一阶偏导数都存在且连续，那么该函数在这个区域内是解析的。
也就是说，函数对于复平面上的每个点都是可导的。
2. 柯西—黎曼方程：柯西—黎曼方程是解析函数的一个重要条件。
它要求函数的实部和虚部满足一定的关系。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个复变函数，如果f(z)在某个区域内解析，那么它的实部和虚部满足以下柯西—黎曼方程：
u/x = v/y
u/y = -v/x
这些方程表明了实部和虚部的偏导数之间的关系。
3. 单连通区域：如果一个区域是单连通的，那么在这个区域内的函数都是解析的。
单连通区域是指没有孔洞或环绕的区域，其中任意两点之间都可以通过一条连续的路径相连。
例如，一个圆形区域就是单连通的。
4. 几何性质：解析函数在某个区域内具有一些重要的几何性质，比如保持角度和保持面积。
总之，复变函数解析的条件包括实部和虚部的连续性、柯西—黎曼方程的满足、区域的单连通性以及几何性质的保持。
这些条件保证了函数在区域内的解析性质，使得我们可以进行复变函数的分析和计算。
复变函数课件2-2
t
36
极坐标方程
双纽线
2 a2 cos 2
( x2 y2 )2 a2( x2 y2 )
37
三叶玫瑰线 a sin 3
38
a sin 2
四 叶 玫 瑰 线
39
a cos 2t
40
对数螺线
e0.4
41
心脏线 a(1 cos )
3
ln 5 (2k arctan 4 ) i (k为 整 数);
3 Ln(3 4i)的主值为ln(3 4i) ln 5 arctan 4 i.
3
53
性质
(1)Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz 2 ,
Ln
z1 z2
Lnz 1
Lnz 2 .
应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的
y
sin
t
t
cost
33
x 8cos t 5cos 4t
y
8sin t
3 sin
4t
34
x 8 cos t 5 cos 4t
y
8 sin
t
3 sin
4t
35
x
16 cos
t
5 cos
47 3
t
y
12 sin
t
3 sin
44 3
其辐角主值argez 为区间(-,]内的一个辐角. (1) Arge2i 1 2k, arge2i 1; (2) Arge23i 3 2k, arge23i 3;
第2节：函数解析的充要条件
vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得
2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且
f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2) =(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D
证 ) 显然 ) f (z) u i v v i u 0 x x y y
故 u u v v 0 x y x y
所以u=常数, v=常数, 因而 f(z)在D内是常数.
例4. 设函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域D内解析, 并 满足下列条件之一，那么 f(z)是常数: [书P67: 10]
u v , u v
(*)
x y y x
这时f (z) u i v 1 u v x x i y y
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2)
在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f (z) x 2iy; 2) w z 2 ;
3) f (z) x2 y2 x i(2xy y2 ).
4) f (z) ex (cos y i sin y).
解. 1) 因为 u=x, v=2y,
复变函数第二章(第三讲)
∂u ∂v 1 ∂u ∂v iii) 求导数： f '(z) = ∂x + i ∂x = i ∂y + ∂y 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函 数分别关于x, 求导简单拼凑成的 求导简单拼凑成的. 数分别关于 ,y求导简单拼凑成的.实可微与复可微 是完全不同的概念。 是完全不同的概念。
§2.2 解析函数的充要条件
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理 2. 举例
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在 在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微, ∂u ∂v ∂u ∂v z0处可导⇔ . (2) = , = − 在( x0 , y0 )成立 ∂x ∂y ∂y ∂x 定义 方程
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系. 的联系.
֠ 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
基本步骤: 偏导数的连续性， 基本步骤 i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ， ii) 验证 验证C-R条件 条件. 条件
由以上讨论得 函数； P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 是整个复平面上的解析 函数； P(z) R( z ) = 是复平面上 ( 除分母为 0点外 )的解析函数 . Q( z)
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
f(z)Ae
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
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第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
复变函数
y i z x yi 1 ki x z x yi 1 y i 1 ki x h z0 z h z0 不趋于一个确定的值。所以，当z 0时，比值 z 的极限不存在。 1
趋于z0，由于k的任意性，
因此，h( z ) z 仅在z 0处可导，而在其它点都不可导。由定义， 它在复平面内处处不解析。
(1) f(z)=z2 (2) g(z)=Im(z) (3) h(z)= |z|2
2 由解析函数的定义与前面例 1 、例 2 可知， f ( z ) z 在复平面内 解: 2
是解析的，而g ( z ) Im( z )却处处不解析。下面研究h( z ) z 的解析性。
h z0 z h z0 z0 z z0 由于 z z
函数 f(z) 的导数定义为
如果函数 f ( z) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z)在区域D内可导 . 2
例1:
求f ( z ) z 2的导数 .
( z z )2 z 2 f ( z z ) f ( z ) lim ( 2 z z ) 2 z . lim lim 解: f ( z ) z 0 z 0 z 0 z z
u u x y 1x 2 y, x y v v v x y 3 x 4 y, 其中 lim k 0, x 0 x y y 0
于 是 u
( k 1,2,3,4)
u v v u i x i y ( 1 i 3 )x ( 2 i f ( z z ) f ( z ) 4 )y . 13 x y x y
f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g ( z ). 其中 w g( z )
趋于z0，由于k的任意性，
因此，h( z ) z 仅在z 0处可导，而在其它点都不可导。由定义， 它在复平面内处处不解析。
(1) f(z)=z2 (2) g(z)=Im(z) (3) h(z)= |z|2
2 由解析函数的定义与前面例 1 、例 2 可知， f ( z ) z 在复平面内 解: 2
是解析的，而g ( z ) Im( z )却处处不解析。下面研究h( z ) z 的解析性。
h z0 z h z0 z0 z z0 由于 z z
函数 f(z) 的导数定义为
如果函数 f ( z) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z)在区域D内可导 . 2
例1:
求f ( z ) z 2的导数 .
( z z )2 z 2 f ( z z ) f ( z ) lim ( 2 z z ) 2 z . lim lim 解: f ( z ) z 0 z 0 z 0 z z
u u x y 1x 2 y, x y v v v x y 3 x 4 y, 其中 lim k 0, x 0 x y y 0
于 是 u
( k 1,2,3,4)
u v v u i x i y ( 1 i 3 )x ( 2 i f ( z z ) f ( z ) 4 )y . 13 x y x y
f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g ( z ). 其中 w g( z )
第2节：函数解析的充要条件
今后将知道这个函数就是指数函数ez.
例2. 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 问 常数a,b,c,d 取何值时, f(z)在复平面内处处解析?
解. 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得 2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且 f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2)
=(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D 证 ) 显然
)
u v v u f ( z ) i i 0 x x y y
(4) C-R方程在极坐标下的形式为[书P67:9]:
u 1 v v 1 u , r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f ( z
2
3) f ( z ) x y x i(2 xy y ). 4) f ( z ) ex (cos y i sin y ).
u v u v , x y y x u v 1 u v 这时f ( z ) i x x i y y
(*)
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2) 在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
例2. 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 问 常数a,b,c,d 取何值时, f(z)在复平面内处处解析?
解. 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得 2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且 f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2)
=(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D 证 ) 显然
)
u v v u f ( z ) i i 0 x x y y
(4) C-R方程在极坐标下的形式为[书P67:9]:
u 1 v v 1 u , r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f ( z
2
3) f ( z ) x y x i(2 xy y ). 4) f ( z ) ex (cos y i sin y ).
u v u v , x y y x u v 1 u v 这时f ( z ) i x x i y y
(*)
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2) 在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
复变函数
1)u( x , y )，v ( x , y )在点( x , y )可微; 2)满足柯西- 黎曼方程：
u v u v ， 。 x y y x
证明:
必要性
f(z)在D内一点z可导，则：
f f ( z z ) f ( z ) f '( z )z ( z )z
比较两边实部与虚部得：
u ax by 1x 2 y v bx ay 2 x 1y
由于 lim ( z ) 0 ，所以
z 0
x 0 y 0
lim 1 0 lim 2 0
x 0 y 0
所以u，v可微，且
lim 其中，A与z无关， z0 ( z ) 0. 则称f(z)在z0处可微。
并称Az为f(z)在z0处的微分。记作 dw Az 可以证明， f(z)在z0处可微的充要条件是f(z)在z0处 可导。且 A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z 由于在dz z ，故dw f ( z0 )dz。
f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) , ( g ( z ) 0) 2 g( z ) [ g( z )]
{ f [ g( z )]} f ( w ) g( z ), 其中w g( z ).
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w )是两个互为反 ( w ) 函数的单值函数，且 ( w ) 0.
h( z0 z ) h( z0 ) z 的极限不存在。 因此，函数h(z)=|z|2仅在z0=0处可导，而在其它点 均不可导. 故它在整个复平面上不解析。
几个重要结论： 1、两个解析函数的和、差、积 、商（分母不为零） 是解析函数。
u v u v ， 。 x y y x
证明:
必要性
f(z)在D内一点z可导，则：
f f ( z z ) f ( z ) f '( z )z ( z )z
比较两边实部与虚部得：
u ax by 1x 2 y v bx ay 2 x 1y
由于 lim ( z ) 0 ，所以
z 0
x 0 y 0
lim 1 0 lim 2 0
x 0 y 0
所以u，v可微，且
lim 其中，A与z无关， z0 ( z ) 0. 则称f(z)在z0处可微。
并称Az为f(z)在z0处的微分。记作 dw Az 可以证明， f(z)在z0处可微的充要条件是f(z)在z0处 可导。且 A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z 由于在dz z ，故dw f ( z0 )dz。
f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) , ( g ( z ) 0) 2 g( z ) [ g( z )]
{ f [ g( z )]} f ( w ) g( z ), 其中w g( z ).
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w )是两个互为反 ( w ) 函数的单值函数，且 ( w ) 0.
h( z0 z ) h( z0 ) z 的极限不存在。 因此，函数h(z)=|z|2仅在z0=0处可导，而在其它点 均不可导. 故它在整个复平面上不解析。
几个重要结论： 1、两个解析函数的和、差、积 、商（分母不为零） 是解析函数。
工程数学-复变函数 2-2 函数解析的充要条件
x y
y x
第 条件的充分性 由于w u iv , 而u( x, y)、v( x, y)
二 章
在点 ( x, y)
处可微， 则
解 析 函
u
u x
x
u y
y
1x
2y
数
v
v x
x
v y
y
3x
4y
在这里 lim x0
k
u C2 ,v C3 , f (z) C2 iC3
- 11 -
y0
其中 lim x0 y0
(x)2 (y)2
0 ,但
显然不满足此式。
所以函数在原点不可导。
- 10 -
第二节 解析函数的充要条件
例4 设函数 w f (z) 在区域 D 解析，且 | f (z) |
为常数，证明： f (z) 在区域 D 为常数函数。
证 由于 | f (z) | C1 ，因此 u2 v2 C, 即
u v , u v
得 wu(xuxuxiyxxv)yzuy(y1x1ix3 )x2(y2 i4 )y
数
由于
xv z
1, xvyz x1
v , y
故y
3x
4y
liz m0(1
v bx ay 2x 2y
由于 lim (z) 0 , z0
所以
lim
x0
1
0,
lim
x0
2
0
,因此
复变函数的解析函数性质
复变函数的解析函数性质复变函数是数学中的一个基本分支，它将实数域扩展到了复数域。
复变函数的解析性质是研究复变函数的核心内容之一。
在本文中，我们将介绍复变函数的解析函数性质。
一、解析函数的定义解析函数是指在某个区域内处处可导的复函数。
具体来说，设函数f(z)在复平面上的区域D内有定义，如果对于D内的每个点z0，f(z)在z0的某个邻域内处处可导，那么称f(z)在D内是解析函数。
二、解析函数的必要条件解析函数的必要条件是可微。
如果在领域内发现实部和虚部的一阶偏导数不连续，那么不满足解析函数的必要条件。
三、解析函数的充分条件解析函数的充分条件为柯西—黎曼方程式。
如果在一个区域内，解析函数f(z)同时具有以下两个条件：（1）f(z)在区域内可导；（2）f(z)的实部和虚部都满足柯西—黎曼方程式，则f(z)在该区域内解析。
柯西—黎曼方程式如下：∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = −∂v/∂x其中u(x,y)和v(x,y)分别表示解析函数f(x+iy)的实部和虚部。
四、解析函数的特征解析函数具有以下特征：（1）自由度：对于解析函数f(z)，在其定义域D内的每个点z处，它的复值仅由z的自变量确定。
（2）局部性：如果f(z)在某个区域内解析，则它在这个区域内处处解析。
（3）解析函数的导数：解析函数f(z)的导数可以直接用求偏导的方式求得。
（4）零点与奇点：如果f(z)在某个点z0处为零，则称z0为f(z)的零点。
如果f(z)在某个点z0处不解析，则称z0为f(z)的奇点。
五、解析函数的应用1. 解析函数在物理学中的应用在物理学领域，解析函数是很重要的工具。
特别是在热物理、电磁学、流体力学等领域，解析函数有广泛的应用。
例如，解析函数在热传导中的应用，可以用来描述一个材料中热能的传导方式。
2. 解析函数在工程学中的应用在工程学中，解析函数也是一个重要的工具。
解析函数在电路分析、控制系统、信号处理等领域有广泛的应用。
2.2 函数解析的充要条件
后面还将看到对于解析函数的实部(或虚部)本身也有要求。
15
§2.2 函数解析的充要条件
附：知识广角 —— 关于 C - R 条件
第 二 章 解 析 函 数
1746年，达朗贝尔(D’Alemert)研究流体力学时首先提出
如下关系式：
u v , x y
u v - . y x
1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。
P42 例1 (2)
第 解 由 u e x cos y , v e x sin y , 有 二 ux e x cos y , uy - e x sin y , 四个偏导数连续， 章 解 v y e x cos y , vx e x sin y , 且满足 C - R 方程， 析 x 函 故 f ( z ) e (cos y i sin y ) 在全平面上处处可导， 数 x i v e (cos y i sin y ) . 处处解析，且 f ( z ) u x x 注 函数 f ( z ) e (cos y i sin y ) e e 本例结果表明： (e z ) e z . 9
1777年，欧拉的两篇研究报告(1793与1794年才发表)中 ,
证明了条件的必要性，即 若函数 f ( z ) u iv 是解析函数，则上述关系式成立。
16
§2.2 函数解析的充要条件
附：知识广角 —— 关于 C - R 条件
第 二 章 解 析 函 数 1851年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文) “复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析 函数定义的基础，并且在此基础上建立了相应的理论。
o(|z|)
3
§2.2 函数解析的充要条件
复变函数课件2-2函数解析的充要条件
(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
解 (1) w z ,
u x, v y,
u u v v 1, 0, 0, 1. x y x y 不满足柯西－黎曼方程,
5
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
6
例2 解
函数 f ( z ) xy 在点 z 0 不可导.
18
例5 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在区域 D 内解
析, 并且 v u , 求 f ( z ).
2
解
u v u 2u , x y y u v u 2 u , y x x
2 2
2
4
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
所以 u 常数, v 常数,
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
21
参照以上例题可进一步证明:
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 . (1) f ( z ) 恒取实值;
复变函数在区域d内解析的充要条件
复变函数在区域d内解析的充要条件函数分析学中存在一类特殊的函数，叫做复变函数，它是复数函数的一种，能够在一个复平面（即具有复数的区域d）上连续和结构上连续的定义，这一类函数具有极大的用途。
本文将从数学的角度来分析复变函数在某一复平面上解析的充要条件。
首先，要确定一个区域d，它是一个复平面，其中包含复数z和复数黎曼空间Rn。
如果想在这个区域d上定义一个复变函数，必须满足的充要条件是：(1)域d上的复变函数必须连续可导。
也就是说，复变函数在其所在的区域d上必须满足极限和连续性的充分条件，以此来证明函数的连续性。
(2)变函数在区域d上的偏导数必须有界。
第二个充要条件就是偏导数的有界性，也就是说，复变函数在区域d上的偏导数必须有一个有限的上界。
这一条件可以说明函数在区域d内可以达到一定的稳定性。
(3)域d上的复变函数必须满足可积性和可分离性。
可积性指的是，函数在区域d上必须可以表示成一个可积函数，即在区域d上可以求出可积函数，从而得出函数的定义域。
可分离性指的是，函数在区域d上必须满足可分离性，即在区域d上可以把函数分解为可分离的积分，从而得出函数的定义域。
最后，要想在一个复平面上定义一个复变函数，满足的充要条件就是上述三个条件：复变函数在其所在的区域d上必须满足极限和连续性的充分条件，偏导数必须有界，可积性和可分离性也必须得到满足。
如果这些充分条件不被满足，则不可能在这个区域d上定义一个复变函数。
复变函数在区域d上的解析性具有重要的地位，它能够有效地研究函数的变化状态，以及函数在区域d上的行为特性，同时也有助于函数的极限性分析和复数变换的相关结论，特别是对于函数变换的数学分析有着重要的应用。
总之，复变函数在区域d内解析的充要条件包括函数在其所在的区域d上必须满足极限和连续性的充分条件，偏导数必须有界，可积性和可分离性也必须得到满足。
复变函数的解析性不仅对复数函数的研究有着重要的意义，也为复数变换的数学分析和应用提供了重要的依据。
复变函数02
u + i v = ( a x b y + ρ 1 x ρ 2 y ) 于是 u = a x b y + ρ 1 x ρ 2 y v = (bx + ay + ρ 2 x + ρ 1 y ) + i (bx + ay + ρ 2 x + ρ 1 y )
5
由于z→0时ρ (z)→0，所以 → 时 → ， 当x→0，y→0 时 ρ1→0, ρ2→0。 → ， → 。 由二元函数可微的定义知, 由二元函数可微的定义知 u(x,y)与v(x,y) 与 在点(x,y)可微，且满足方程 可微， 在点 可微
z1 z2 z1 + z 2
e
z + 2 kπ i
= e e
z
2 kπ i
=e
z
18
对数函数 对数函数是指数函数的反函数. 对数函数是指数函数的反函数 若 ew = z (z≠0) ≠ 则称复数w为复数 的对数函数, 则称复数 为复数 z 的对数函数 记为 w = Ln z 对数函数的主值与分支 对数函数的主值与分支 设w = u + iv, 把它代入 ew = z = reiθ 有
2
函数可导的充要条件 定理2.1（ 定理 （书P16) 在区域D内有定 设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 内有定 在区域 内一点z 义，则f(z)在D内一点 = x + iy可导的充 在 内一点 可导的充 要条件是: u(x, y)与v(x, y)在点 y)可微， 要条件是 与 在点(x, 可微， 在点 可微 且满足柯西－黎曼方程(C－R方程 。 且满足柯西－黎曼方程 － 方程)。 方程
20
的值及其主值. 例 求Ln 2，Ln(－1)的值及其主值 ， － 的值及其主值 为整数) 解 Ln2 = ln2 + 2kπ i (k为整数 为整数 主值为ln2. 主值为 Ln(－1) = ln|1| + i Arg(1) － 为整数) = π i + 2kπ i (k为整数 为整数 主值为 ln(1) = π i. 在实变函数中，负数没有对数， 在实变函数中，负数没有对数，而在复 数范围内，负数有对数， 数范围内，负数有对数，并且正实数的 对数也是无穷多值. 对数也是无穷多值
5
由于z→0时ρ (z)→0，所以 → 时 → ， 当x→0，y→0 时 ρ1→0, ρ2→0。 → ， → 。 由二元函数可微的定义知, 由二元函数可微的定义知 u(x,y)与v(x,y) 与 在点(x,y)可微，且满足方程 可微， 在点 可微
z1 z2 z1 + z 2
e
z + 2 kπ i
= e e
z
2 kπ i
=e
z
18
对数函数 对数函数是指数函数的反函数. 对数函数是指数函数的反函数 若 ew = z (z≠0) ≠ 则称复数w为复数 的对数函数, 则称复数 为复数 z 的对数函数 记为 w = Ln z 对数函数的主值与分支 对数函数的主值与分支 设w = u + iv, 把它代入 ew = z = reiθ 有
2
函数可导的充要条件 定理2.1（ 定理 （书P16) 在区域D内有定 设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 内有定 在区域 内一点z 义，则f(z)在D内一点 = x + iy可导的充 在 内一点 可导的充 要条件是: u(x, y)与v(x, y)在点 y)可微， 要条件是 与 在点(x, 可微， 在点 可微 且满足柯西－黎曼方程(C－R方程 。 且满足柯西－黎曼方程 － 方程)。 方程
20
的值及其主值. 例 求Ln 2，Ln(－1)的值及其主值 ， － 的值及其主值 为整数) 解 Ln2 = ln2 + 2kπ i (k为整数 为整数 主值为ln2. 主值为 Ln(－1) = ln|1| + i Arg(1) － 为整数) = π i + 2kπ i (k为整数 为整数 主值为 ln(1) = π i. 在实变函数中，负数没有对数， 在实变函数中，负数没有对数，而在复 数范围内，负数有对数， 数范围内，负数有对数，并且正实数的 对数也是无穷多值. 对数也是无穷多值
复变函数课件02章 解析函数
试求： f (i)
答案：－3
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
定理2.3（解析的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是： u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
和、差、积、商（除z 去0 分母为0点）仍为解析函数；
由解析函数构成的复合函数也是解析函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
§2.2 复变函数可导与 解析的充要条件
定理2.2（可导的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的 充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足柯 西——黎曼方程。
u v , v u x y x y 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。
定理2.6
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内是解析的函数的充 要条件为：虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
例2.12 试求一解析函数f(z) ，使其实部为 u(x,y)=x2+y2-2xy.
第2章 解析函数
例2.1 求函数 f (z) zn 的导数(n为正
整数)。
f (z) (zn ) lim (z z)n zn nzn1
z 0
z
例2.2 求函数 f (z) z2 的导数(n为正
整数)。
(z2 ) 2z
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
某点可导
该点连续
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证 因为 f (z) 2xy , 所以 u 2xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
25
但在点 z 0 , f (z) f (0) 2xy
黎曼方程
u v , u v . x y y x
掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.
27
思考题
用柯西－黎曼条件判断 f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
28
思考题答案
首先判断 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内是否可微; 其次再看是否满足C - R条件 : u v , u v ;
z
x iy
因为 lim f (z) f (0) 2 ,
xy00
z
1 i
lim f (z) f (0) 0,
x0,y0
z
故函数 f (z) 在点 z 0 不可微.
26
三、小结与思考
在本课中我们得到了一个重要结论—函数
解析的充要条件:
u( x, y)与 v( x, y) 在D内可微, 并且满足柯西－
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
3
所以 u iv
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
于是 u ax by 1x 2y, v bx ay 2x 1y.
(3) f (z) 常数;
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
22
例7 设 f (z) u iv 为一解析函数, 且 f (z) 0, 那末曲线族u( x, y) c1 与 v( x, y) c2 必相互正交, 其中c1 , c2 为常数. 证 因为 f (z) v 1 u 0,
因为 lim (z) 0, z0
所以
lim
x0
1
lim
x0
2
0,
y0
y0
4
由此可知 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 且满足方程 u v , u v . x y y x
(2) 充分性. 由于 f (z z) f (z) u( x x, y y) u( x, y)
uy vy
1,
故曲线族 u( x, y) c1 与 v( x, y) c2 相互正交.
如果 uy 和 v y 中有一个为零, 则另一个必不为零,
两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的, 另
一条是铅直的, 它们仍然相互正交.
24
例8 证明函数 f (z) Im z2 的实、虚部在点 z 0 满足柯西－黎曼方程, 但在点 z 0 不可微.
点满足柯西－黎曼方程
柯西介绍
u v , u v . x y y x
黎曼介绍
2
证 (1) 必要性. 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域 D内, 且 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导, 则对于充分小的z x iy 0,
有 f (z z) f (z) f (z)z (z)z, 其中 lim (z) 0,
i[v( x x, y y) v( x, y)] u iv, 又因为 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微,
5
于是
u
u x
x
u y
y
1x
2
y,
v
v x
x
v y
y
3x
4y,
其中
lim
x0
k
0,
(k 1,2,3,4)
y0
因此 f (z z) f (z)
x y y x 最后判定 f (z)的解析性.
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29
证 (1) z 2 x2 y2 2xyi,
u x2 y2, v 2xy,
u 2x, u 2 y, v 2 y, v 2x.
x
y
x
y
仅当 x 0时, 满足柯西－黎曼方程 ,
故函数 w z 2 仅在直线 x 0 上可导, 在复平面内不解析.
14
(2) sin z sin x cosh y i cos x sinh y,
证 因为 f (z) xy , 所以 u xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
17
但当 z 沿第一象限内的射线 y kx 趋于零时,
u sin x cosh y, v cos x sinh y,
u cos x cosh y, v cos x cosh y,
x
y
仅当 x k 2
u v . x y
(k 0, 1, 2, )时,
sin z 在复平面上不解析.
15
例3 设 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ), 问常数 a, b, c, d 取何值时, f (z) 在复平面内处处
解析? 解 u 2x ay,
x
u ax 2by, y
v 2cx dy, v dx 2 y,
x
y
欲使 u v , u v , x y y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
16
例4 证明函数 f (z) xy 在点 z 0 满足柯 西－黎曼方程但在点z 0 不可导.
12
(3) w z Re(z) x2 xyi, u x2, v xy,
u 2x, u 0, v y, v x.
x
y
x
y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0时, 满足柯西－黎曼方程,
故函数 w z Re(z) 仅在 z 0 处可导,
在复平面内处处不解析.
13
例2 证明(1) z 2; (2) sin z 在复平面上不解析.
(
2
i 4
)
y z
.
7
因为 x 1, y 1,
z
z
lim
z0
(1
i
3
)
x z
(
2
i
4
)
y z
0,
所以 f (z) lim f (z z) f (z) u i v .
z0
z
x x
即函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 可导.
[证毕]
8
根据定理一, 可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z x yi 处的导数公式:
u x
i
v x
x
u y
i
v y
y
(1
i
3
)x
(
2
i
4
)y.
6
由柯西－黎曼方程 u v , u v i2 v , x y y x x
f (z z) f (z)
u x
i
v x
(x
iy)
(1
i
3
)x
(
2
i 4
)y.
f (z z) f (z) z
u x
i
v x
(1
i 3
)
x z
第二节 函数解析的充要条件
一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理
定理一
设函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域
D 内, 则 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导的充要条
件是 : u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 并且在该
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) f (z).
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D内 的各一阶偏导数都存在、连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f (z) 在 D内解析.
10
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f (z) e x (cos y i sin y); (3) w z Re(z).
解 u v 2u u ,
(1)
x y y
u v 2u u , (2)
y x
x
将(2)代入(1)得 u (4u2 1) 0, x
由 (4u2 1) 0 u 0, x
19
由(2)得 u 0, 所以 u c (常数), y
于是 f (z) c ic2 (常数). 课堂练习 设 my 3 nx 2 y i( x3 lxy2 ) 为解析 函数, 试确定 l, m, n的值. 答案 l n 3, m 1.