复变函数2-2函数解析的充要条件

证 因为 f (z) 2xy , 所以 u 2xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
25
但在点 z 0 , f (z) f (0) 2xy
黎曼方程
u v , u v . x y y x
掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.
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思考题
用柯西－黎曼条件判断 f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
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思考题答案
首先判断 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内是否可微; 其次再看是否满足C - R条件 : u v , u v ;
z
x iy
因为 lim f (z) f (0) 2 ,
xy00
z
1 i
lim f (z) f (0) 0,
x0,y0
z
故函数 f (z) 在点 z 0 不可微.
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三、小结与思考
在本课中我们得到了一个重要结论—函数
解析的充要条件:
u( x, y)与 v( x, y) 在D内可微, 并且满足柯西－
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
3
所以 u iv
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
于是 u ax by 1x 2y, v bx ay 2x 1y.
(3) f (z) 常数;
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
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例7 设 f (z) u iv 为一解析函数, 且 f (z) 0, 那末曲线族u( x, y) c1 与 v( x, y) c2 必相互正交, 其中c1 , c2 为常数. 证 因为 f (z) v 1 u 0,
因为 lim (z) 0, z0
所以
lim
x0
1
lim
x0
2
0,
y0
y0
4
由此可知 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 且满足方程 u v , u v . x y y x
(2) 充分性. 由于 f (z z) f (z) u( x x, y y) u( x, y)
uy vy
1,
故曲线族 u( x, y) c1 与 v( x, y) c2 相互正交.
如果 uy 和 v y 中有一个为零, 则另一个必不为零,
两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的, 另
一条是铅直的, 它们仍然相互正交.
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例8 证明函数 f (z) Im z2 的实、虚部在点 z 0 满足柯西－黎曼方程, 但在点 z 0 不可微.
点满足柯西－黎曼方程
柯西介绍
u v , u v . x y y x
黎曼介绍
2
证 (1) 必要性. 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域 D内, 且 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导, 则对于充分小的z x iy 0,
有 f (z z) f (z) f (z)z (z)z, 其中 lim (z) 0,
i[v( x x, y y) v( x, y)] u iv, 又因为 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微,
5
于是
u
u x
x
u y
y
1x
2
y,
v
v x
x
v y
y
3x
4y,
其中
lim
x0
k
0,
(k 1,2,3,4)
y0
因此 f (z z) f (z)
x y y x 最后判定 f (z)的解析性.
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证 (1) z 2 x2 y2 2xyi,
u x2 y2, v 2xy,
u 2x, u 2 y, v 2 y, v 2x.
x
y
x
y
仅当 x 0时, 满足柯西－黎曼方程 ,
故函数 w z 2 仅在直线 x 0 上可导, 在复平面内不解析.
14
(2) sin z sin x cosh y i cos x sinh y,
证 因为 f (z) xy , 所以 u xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
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但当 z 沿第一象限内的射线 y kx 趋于零时,
u sin x cosh y, v cos x sinh y,
u cos x cosh y, v cos x cosh y,
x
y
仅当 x k 2
u v . x y
(k 0, 1, 2, )时,
sin z 在复平面上不解析.
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例3 设 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ), 问常数 a, b, c, d 取何值时, f (z) 在复平面内处处
解析? 解 u 2x ay,
x
u ax 2by, y
v 2cx dy, v dx 2 y,
x
y
欲使 u v , u v , x y y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
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例4 证明函数 f (z) xy 在点 z 0 满足柯 西－黎曼方程但在点z 0 不可导.
12
(3) w z Re(z) x2 xyi, u x2, v xy,
u 2x, u 0, v y, v x.
x
y
x
y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0时, 满足柯西－黎曼方程,
故函数 w z Re(z) 仅在 z 0 处可导,
在复平面内处处不解析.
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例2 证明(1) z 2; (2) sin z 在复平面上不解析.
(
2
i 4
)
y z
.
7
因为 x 1, y 1,
z
z
lim
z0
(1
i
3
)
x z
(
2
i
4
)
y z
0,
所以 f (z) lim f (z z) f (z) u i v .
z0
z
x x
即函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 可导.
[证毕]
8
根据定理一, 可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z x yi 处的导数公式:
u x
i
v x
x
u y
i
v y
y
(1
i
3
)x
(
2
i
4
)y.
6
由柯西－黎曼方程 u v , u v i2 v , x y y x x
f (z z) f (z)
u x
i
v x
(x
iy)
(1
i
3
)x
(
2
i 4
)y.
f (z z) f (z) z
u x
i
v x
(1
i 3
)
x z
第二节 函数解析的充要条件
一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理
定理一
设函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域
D 内, 则 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导的充要条
件是 : u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 并且在该
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) f (z).
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D内 的各一阶偏导数都存在、连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f (z) 在 D内解析.
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二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f (z) e x (cos y i sin y); (3) w z Re(z).
解 u v 2u u ,
(1)
x y y
u v 2u u , (2)
y x
x
将(2)代入(1)得 u (4u2 1) 0, x
由 (4u2 1) 0 u 0, x
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由(2)得 u 0, 所以 u c (常数), y
于是 f (z) c ic2 (常数). 课堂练习 设 my 3 nx 2 y i( x3 lxy2 ) 为解析 函数, 试确定 l, m, n的值. 答案 l n 3, m 1.
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例6 如果 f (z) 在区域 D内处处为零, 则 f (z) 在 区域 D内为一常数. 证 f (z) u i v v i u 0,
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x 所以 u 常数, v 常数, 因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
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参照以上例题可进一步证明: 如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价. (1) f (z) 恒取实值; (2) f (z) 0;
f (z) f (0) z0
xy
x iy
k, 1 ik
随 k 变化,
故 lim f (z) f (0) 不存在, z0 z 0
函数 f (z) xy 在点 z 0 不可导.
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例5 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D内解 析, 并且 v u2 , 求 f (z).
解 (1) w z, u x, v y,
u 1, u 0, v 0, v 1.
x
y
x
y可导, 处处不解析.
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(2) f (z) ex (cos y i sin y) 指数函数
u e x cos y, v e x sin y,
y i y 所以 v 与u不全为零,
y y 如果在曲线的交点处v 与u都不为零,
y y 根据隐函数求导法则,
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曲线族 u( x, y) c1 与 v( x, y) c2 中任一条曲
线的斜率分别为
k1
ux uy
,
k2
vx vy
,
根据柯西－黎曼方程得
k1
k2
ux uy
vx vy
vy uy
f (z) u i v 1 u v . x x i y y
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
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解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.