函数解析的充要条件

所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.
" "（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即： u u u x y 1x 2 y x y
§2 函数解析的充要条件

1.函数解析的充要条件

2. 举例
如果复变函数w=f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在定义 域D内处处可导，则函数w=f (z)在D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数u (x , y)及v (x , y)的可微性，探求 函数w=f (z) 的可微性，从而导出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
u v y2 x2 u v 2 xy 2 , 2 2 2 x y ( x y ) y x ( x y 2 )2
例2 求证函数
故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为
w u v y x 2 xy i 2 i 2 2 2 z x x ( x y ) ( x y 2 )2
f ( z z ) f ( z ) f ' ( z0 ) lim z 0 z f ( z z ) f ( z ) 设 ( z ) f '(z) z 则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
z 0
lim ( z ) 0
ii) 验证C-R条件. u v 1 u v iii)求导数： f ' ( z ) x i x i y y
2. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2) f ( z ) e (cos y i sin y )； (3)w z
u e x cos y x v e x si n y x
u e x si n y y v e x cos y y
u v x y v u x y
故 f ( z ) e x (cos y i si n y )在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
一条是铅直的, 它们仍互相正交。

(1) w=f(z)在D内解析
在D内可导。
(2) w=f(z)在z0点解析与在z0点可导不等价。 函数f (z)在z0点可导，未必在z0点解析。
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为 Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔxbΔy+1Δx2Δy)
+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy) 因此 Δu=aΔxbΔy+1Δx2Δy , Δv=bΔx+aΔy+2Δx1Δy
k1 ux / uy
k2 v x / v y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交.
ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞， k2=0（由C-R方程）
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另
1. 函数解析的充要条件
设w f ( x ) u( x, y ) iv( x, y )在点 z x iy可导
f ( z z ) f ( z ) 又 z
[u( x x, y y ) iv( x x, y y )] [u( x, y ) iv( x, y )] x iy
2 2
( x iy ) 2 1 2 2 2 2 (x y ) z
例3 若f ' ( z ) 0 z D f ( z ) C
zD
1 证明 f ' ( z ) ux iv x u y v y 0 i ux v x u y v y 0 u C1 v C 2 f ( z ) C1 iC 2 C (复 常 数 ）
w z 仅在0点可导，但处处不解析 。
2
x y w u( x , y ) iv ( x , y ) 2 i 2 2 x y x y2 dw 在z x iy 0处 解 析 ， 并 求 . dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：
例4
如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f (z)≠0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数. u v 1 u v 0 0 与 不全为 解 f '(z) y y i y y 那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
u v i x x
若沿// 虚轴的方式 z z z(x 0)
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z [u( x , y y ) iv ( x , y y )] [u( x , y ) iv ( x , y )] lim y 0 i y u( x , y y ) u( x , y ) v ( x , y y ) v ( x , y ) lim i lim y 0 y 0 i y i y
v v v x y 3 x 4 y x y
x 0 y 0
其中 lim k 0, ( k 1， ...,4)
f ( z z ) f ( z ) u iv u v u v ( i )x ( i )y ( 1 i 3 )x ( 2 i 4 )y x x y y
1 u v v u ( i ) i i y y y y
f ' ( z ) u v i x x u v x y
定义 方程
v u i y y v u x y

u x v x
记忆
u y v y
f ( z z ) f ( z ) u v f ( z ) l i m i z 0 z x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件
是u(x, y)和v(x, y)在D内可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y 定理提供了判别函数解析性的方法及如何 求f (z)的导数值. 使用时: i)判别u(x, y)，v (x, y)偏导数的连续性，
u v f '(z) i e x cos y ie x sin y f ( z ) x x
解(3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
u v x y
上述条件满足时,有
v u x y
f ' ( z ) ux iv x ux iuy v y iuy v y iv x
证明 " " （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 ∵函数 w =f (z)点 z可导，即
若沿// 实轴的方式 z z z(y 0)
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z [u( x x , y ) iv( x x , y )] [u( x , y ) iv( x , y )] lim x 0 x u( x x , y ) u( x , y ) v ( x x , y ) v ( x , y ) lim i lim x 0 x 0 x x
u v x y
v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内有定义，则 f(z)在点z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y)和v(x, y)在点(x, y )可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
x
2
Hale Waihona Puke Baidu
解(1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v=-y 则
u 1 x v 0 x u 0 u v y v x y 1 y
故 w z在 全 平 面 不 可 导 ， 不 析 解。
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
lim 1 lim 2 0 lim ( z ) 0 x0 x 0
z 0
y 0 y 0
1 x 2 y 2 x 1 y lim 0 lim 0 x 0 x 0 z z y 0 y 0
由C R方 程

u v ( i )z ( 1 i 3 )x ( 2 i 4 )y x x
f ( z z ) f ( z ) u u x y i ( 1 i 3 ) ( 2 i 4 ) z z x z z x y x | | 1, | | 1 ( 1 i 3 ) 0 z z z