圆锥曲线难题专项训练

圆锥曲线难题专项训练

1、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴

弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直

线分别交轴于点和点。

（1）试用的代数式分别表示和；

（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；

（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与

和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。

（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不

同层次的评分）

2、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，

，满足：．直线，分别交直线于，两点．

（1）求曲线弧的方程；

（2）求的最小值（用表示）；

（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

3、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．(1)求动点P所在曲线C的方程；

(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对

应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；

(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若

存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则

使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断.(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．

4、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E. (i)证明：MD⊥ME;

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得

=?

请说明理由。

5、

（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为

，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：

；

(3)

6、已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若

，为坐标原点，求直线的斜率；

（Ⅲ）过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以

为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

※(重点题多次出现)7、给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C

的“伴椭圆”，若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为；

（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；

（2）、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。

（3）、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，求证：。

8、如图所示，椭圆C：的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)．

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：＝4与轴交

于点N，直线AF与BN交于点M。

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值．

10、 (本小题满分14分)

已知点

是椭圆的右焦点，

点、分别是轴、

轴上的动点，且满足

．若点

满足．

（1

）求点

的轨迹的方程；

（2

）设过点

任作一直线与点

的轨迹交于、

两点，直线、与直线

分别交于点、（为

坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．12、（本小题满分15分）

如图，四边形

为矩形，点

的坐标分别为、

，点在

上，坐标为，椭

圆

分别以、为长、短半轴，

是椭圆在矩形内部的椭圆弧．已知直线与椭圆弧相切，且

与

相交于点．

（Ⅰ）当

时，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）圆

在矩形内部，且与和线段EA

都相切，若直线

将矩形分成面积相等的两部分，求圆M面积的最

大值．

13、已知抛物线L

的方程为

，直线截抛物线L 所得弦长为．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直角三角形的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点的横坐

标为1，过点分别作抛物线L的切线，两切线相交于点，直线与

轴交于点，当直线的斜率在上变化时，直线斜率是否存

在最大值，若存在，求其最大值和直线的方程；若不存在，请说明理由．

14、在矩形中，已知，，E、F为的两个三等分

点，和交于点，的外接圆为⊙．以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求以F、E为焦点，和所在直线为准线的椭圆的方程；

（2）求⊙的方程；

（3）设点，过点P作直线与⊙交于M，N两点，若点M

恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围．

15、设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴

负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切．过定点的

直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；