2021年高一年级期末考试数学试题 含答案
湖北省2021年高一下学期数学期末试卷(附答案)
湖北省高一下学期数学期末试卷注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，集合1(),12x B y y x ==<⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．12y y >⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．102y y <<⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}1y y > D ．112yy <<⎧⎫⎨⎬⎩⎭2.若α为第二象限的角，则下列各式恒小于零的是A ．sin cos αα+B ．tan sin αα+C ．sin cos αα-D ．sin tan αα-3.设b c ,表示两条直线，αβ,表示两个平面，则下列结论正确的是 A ．若b c α⊂,∥α则b ∥c B ．若b b α⊂,∥c 则c ∥α C ．若c ∥α,αβ⊥则c β⊥D ．若c ∥α,c β⊥则αβ⊥4.若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55.把函数πsin(2)4y x =-的图象向左平移π6个单位，所得图象的函数解析式是A ．5πsin(2)12y x =-B ．πsin(2)12y x =-C ．7πsin(2)12y x =-D ．πsin(2)12y x =+6．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为A ．53B ．103C ．56D ．1167.在△ABC 中，6AB O =,为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于AB ．18C ．12D ．68.襄荆高速公路连接襄阳、荆门、荆州三市，全长约188公里，是湖北省大三角经济主骨架的干线公路之一．若某汽车从进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶，已知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比（比例系数记为k ）．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．若使汽车的全程．．运输成本最低，其速度为 A ．80 km /小时 B ．90 km /小时 C ．100 km /小时 D ．110 km /小时 9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 AB ．4πC ．8πD ．16π10.如图，一个质点从原点出发，在与x 轴、y 轴平行的方向按（0,0）→（0,1）→（1,1）→（1,0）→（2，0）→（2，1）→（2,2）→（1，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第202X 秒时，这个质点所处位置的坐标是A ．(10,44)B ．(11,44)C ．(44,10)D ．(44,11)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)11.若幂函数()y f x =的图象经过点(2,2, 则(25)f 的值是 ▲ ．12.平面向量(,3)a x =-，(2,1)b =-，(1,)c y =，若()a b c ⊥-，b ∥()a c +，则b 与c 的夹角为▲ ． 13.已知函数2()log 4x f x =，各项为正数的等比数列{}n a 中，2588a a a ⋅⋅=，则12()()f a f a ++…9()f a += ▲ .14.如图，某海事部门举行安保海上安全演习．为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC22222俯视图侧视图正视图第9题图第10题图＝30°，3分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为 ▲ 千米/分钟. （用含根号的式子表示）15.设00a b >>,，则2aba b+为a b ,的调和平均数.如图，C 为线段AB 上的点，AC a =，CB b =,O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD AD BD ,,.过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度为a b ,的算术平均数，线段 ▲ 的长度是a b ,的几何平均数，线段 ▲ 的长度是a b ,的调和平均数.三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，且11BC A C ⊥． （Ⅰ)求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ)若,D E 分别为是11A C 和1BB 的中点，求证：DE ‖平面1ABC ．17.（本题满分12分）已知△ABC 的三个内角A B C ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a c b a =+-，(,)n a c b =-,且m n ⊥.(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若222sin 2sin 122A B+=，判断△ABC 的形状．18.（本题满分12分） 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车须满载且只运送一次.派用的每吨甲型卡车须配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车须配1名工人，运送一次可得利润350元.问该公司如何派用两类卡车的车辆数可得最大利润？19.（本题满分12分）设公差不为0的等差数列}{n a 的首项为1，且2514a a a ,,构成等比数列． 第15题图EODBA第16题图C 1B 1A 1E DC B A（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1212b b a a ++…n nb a +=1－12n ，n ∈N *，求{}n b 的前n 项和n T ．20.（本题满分13分）已知几何体A BCDE -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小； （Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角A -ED -B 的正弦值.21．（本题满分14分）设11(,)A x y 、22(,)B x y是函数3()2f x =图象上任意两点，且121x x +=． （Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若12(0)()()n T f f f n n =+++…()n f n+（其中*n N ∈），求n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设2n na T =（*n N ∈），若不等式12n n n a a a +++++…211log (12)2n a a a -+>-对任意的正整数n 恒成立， 求实数a 的取值范围． 、4244EDC BA俯视图侧视图正视图第20题图参考答案及评分说明一、选择题：ABDCD ABCCA10.由图知，质点走完一个矩形回路所走路程依次为3,5,7，…，（2n +1）个单位长度，由357+++…(21)2014n ++<,得43n ≤，当质点走完第43个正方形时，共走了1935个单位长度，余下79个单位长度从(43,0)(44,0)(44,44)→→有45步，再向左走34个单位即可，此时坐标为(10,44). 二、填空题：11.1512.π213. 9-14.615. CD （2分）；DE （3分）三、解答题：16.（I ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，有1A A ⊥平ABC .AC ABC ⊂面 ∴1A A AC ⊥， 又1A A AC =，∴11A ACC 为正方形，∴11AC AC ⊥ ． ……………………………………………………3分 又BC 1⊥A 1C ，且111AC BC C = ∴A 1C ⊥平面ABC 1 ，而1AC ⊂面11A ACC 则平面ABC 1⊥平面11A ACC ………………………………………6分 （II ）方法一：取1A A 中点F ，连EF ，FD ，EFAB ，DF ∥1AC ……………………9分即平面EFD ∥平面1ABC ， 则有ED ∥平面1ABC …………………………………12分 方法二：A 1C 交AC 1于G 点连BG ， BE DG ，则有DE ∥BG ，即DE ∥平面ABC 1．17.(Ⅰ)由题意得222(,)(,)0m n a c b a a c b a c b ab ⋅=+--=-+-=，A 1C 1AC第16题图DB 1EFA 1C 1AC第16题图DB 1EG∥ =即ab b a c -+=222…………………………………………………………………………3分由余弦定理得 2221cos 22a b c C ab +-==,π0π,3C C <<∴= ……………………6分（Ⅱ）∵222sin 2sin 122A B +=，∴1cos 1cos 1A B -+-= ………………………………7分∴2πcos cos 1,cos cos()13A B A A +=+-=，………………………………………………9分∴2π2πcos coscos sinsin 133A A A ++=，∴1cos 122A A +=，∴πsin()16A +=，∵0πA <<，∴ππ,33A B == ………………………………………11分∴△ABC 为等边三角形． …………………………………………………………………12分 18.设当天派出x 辆甲卡车和y 辆乙卡车，获得的利润是450350,z x y =+ ,x y 满足的条件是：08,07,,12,219,10672x y x y Nx y x y x y ∈+++⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤≥ ……5分画出平面区域，如图 ……………………7分12,219x y x y +=+=⎧⎨⎩ 得7,5x y ==⎧⎨⎩当450350z x y =+经过点（7,5）时，max 450735054900z =⨯+⨯=元，故当天派出7辆甲卡车和5辆乙卡车，获得的利润最大，是4900元. ……………12分 19.（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则∵2514,,a a a 构成等比数列，∴25214a a a = ……………………………………2分 即2(14)(14)(113)d d d +=++，解得d ＝0（舍去），或d ＝2．∴1(1)221n a n n =+-⨯=-． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由已知1212b b a a ++ (1)1()2n n n b n N a *+=-∈，当n ＝1时，1112b a =；当n ≥2时，11111(1)222n n n n n b a -=---=．∴1()2n n n b n N a *=∈． ……………7分由（Ⅰ），知21()n a n n N *=-∈*，∴21()2n nn b n N *-=∈ …………………8分 又23135222n T =+++...212n n -+，23113222n T =++ (12321)22n n n n +--++.........9分 两式相减，得231122(2222n T =+++ (1112213121))22222n n n n n n +-+--+-=--，∴2332n nn T +=-． ……………………………………………………………………12分 20．（Ⅰ）AC ⊥平面BCE ， 则 1163BCED V S AC =⋅=⋅∴几何体的体积V 为16．………………………………… 4分（Ⅱ）取EC 的中点是F ，连结BF ，则BF //DE ，∴∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角．…………………6分 在△BAF 中，AB =42BF =AF =2510cos 5ABF ∠=．∴异面直线DE 与AB 105……………………………………………8分（2）AC ⊥平面BCE ，过C 作CG ⊥DE 交DE 于G ，连AG ．可得DE ⊥平面ACG ， 从而AG ⊥DE ,∴∠AGC 为二面角A -ED -B 的平面角．…………………………………10分 在△ACG 中，∠ACG =90°，AC =4，ＣG 855∴5tan 2AGC ∠=5sin 3AGC ∠=．∴二面角A -ED -B 的的正弦值为53． ………………………………………………………13分21.（Ⅰ）12y y +123232222222x x=++12223(2222x x =-++ 1212122(2322(22)2x x x x x x +=-+++121242(22)322(22)2x x x x ++=+++2=．………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当121x x +=时，122y y +=，由12(0)()()n T f f f n n =+++…()n f n +得，()n n T f n =+…21()()(0)f f f n n+++， ∴112[(0)(][()()]n n n T f f f f n n n -=++++…[()(0)]2(1)nf f n n++=+， ∴1n T n =+．…………………………………………………………………………………………… 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，221n n a T n ==+，不等式12n n n a a a +++++…211log (12)2n a a a -+>- 即为2212n n ++++...21log (12)22a a n +>-，设2212n H n n =++++ (2)2n+， 则12223n H n n +=++++ (222)22122n n n +++++， ∴1222220212(1)12122n n H H n n n n n +-=+-=->+++++， ∴数列{}n H 是单调递增数列，∴min 1()1n H H ==，…………………………………………11分 要使不等式恒成立，只需1log (12)12a a -<，即2log (12)log a a a a -<，∴201,120,12a a a a⎧<<⎪->⎨⎪->⎩ 或21,120,12,a a a a ⎧>⎪->⎨⎪-<⎩ 解得120-<<a . 故使不等式对于任意正整数n 恒成立的a 的取值范围是)12,0(-. …………………14分。
2021年高一上学期期末测试数学试题 Word版含答案
2021年高一上学期期末测试数学试题 Word版含答案一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．A． B． C． D．3.已知△三个顶点的坐标分别为，，，若，那么的值是A. B.3 C. D.44．在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为A． B． C． D．5．函数的一个对称中心A．B．C．D．6. 函数（且）的图象经过点，函数（且）的图象经过点，则下列关系式中正确的是A．B．C．D．7.如图，点在边长为的正方形的边上运动，设是的中点，则当沿着路径运动时，点经过的路程与△的面积的函数关系为，则的图象是8.已知函数，在下列结论中：①是的一个周期;②的图象关于直线对称;③在上单调递减.正确结论的个数为A. 0B.1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.如果向量，，且，共线，那么实数.10.已知集合，则 .11．sin15o sin75o的值是____________.12. 已知函数且，则的值为.13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.14.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个判断：①的定义域是，值域是；②点是的图象的对称中心，其中；③函数的最小正周期为；④函数在上是增函数．则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的定义域；（II）求的值；（III）求函数的零点.16. （本小题满分14分）已知. 其中是第三象限角.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；(III) 求πθπθθ⎛⎫+-++⎪⎝⎭sin2sin()cos22的值.17. （本小题满分13分） 已知向量，，其中.（Ⅰ）当时，求的值； （Ⅱ）当时，求的最大值.18. （本小题满分14分）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0， |φ|<π2)的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后得到新函数的图象，求函数的解析式；（Ⅲ）求函数的单调增区间.19. （本小题满分13分） 设二次函数满足条件： ①， ②；③在上的最小值为.（I ）求的值；（II ）求的解析式；（III ）求最大值，使得存在，只要，都有成立.20.（本小题满分13分）若函数对任意的，均有，则称函数具有性质. （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.①； ②.（Ⅱ）若函数具有性质，且（），求证：对任意有；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例.密云县xx学年度第一学期期末考试高一数学试卷参考答案及评分参考xx．01二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．-210．11．12．13．14．①③④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题满分13分）解：（I）由题：, ----------------2分函数的定义域. ----------------4分（II）----------------8分（III）令，函数的零点为----------------13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）且是第三象限角，----------------2分----------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ），----------------6分----------------9分(III)πθπθθ⎛⎫+-++⎪⎝⎭sin2sin()cos22----------------12分----------------14分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，---------------2分----------------5分 （Ⅱ）由题:2222cos )2(cos sin 0)sin 0θθθθθθ=++⋅+⋅++. ----------------10分， .当即时， ----------------11分的最大值为. --------------- ----13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由所给图象知A ＝1， ---------------1分34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.----------------2分 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，-------4分所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ----------------5分（Ⅱ）f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解 析式为＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6 ----------------7分＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. --------------9分（Ⅲ）由题:12cos 22cos 222x x x x =+-+. ----------------12分222,(),232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈令 ----------------13分.------------14分 19.（本小题满分13分） 解：(I) ∵在上恒成立，∴即. ---------------------------2分 （II ）∵，∴函数图象关于直线对称，∴∵，∴ ---------------------------4分 又∵在上的最小值为，∴，即， 由解得，∴； -------------7分 （III ）∵当时， 恒成立，∴且，由得，解得 ---------------9分 由得：，解得，……………（10分）∵，∴11(4)9m t ≤-≤--=，---------------11分 当时，对于任意，恒有211(4)(109)(9)(1)044f x x x x x x --≤-+=--≤， ∴的最大值为. -------------------12分另解：（酌情给分）且 在上恒成立∵在上递减，∴， ∵在上递减，∴2min (1)11)x m -+=-+=- ∴，∴，， ∵，∴，∴，∴的最大值为 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数具有性质.11(1)(1)2()222220x x x x f x f x f x -+-++-=+-⋅=>，……………1分即，此函数为具有性质.……………2分②函数不具有性质. ……………3分 例如，当时，，，所以，，……………4分 此函数不具有性质.（Ⅱ）假设为中第一个大于的值， 则，因为函数具有性质， 所以，对于任意，均有，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>，与矛盾，所以，对任意的有. ……………9分 （Ⅲ）不成立.例如……………10分证明：当为有理数时，均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当为无理数时，均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数对任意的，均有，即函数具有性质. ……………12分 而当（）且当为无理数时，.所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分， 如等.）~34923 886B 衫f26355 66F3 曳27695 6C2F 氯K33946 849A 蒚525909 6535 攵d24485 5FA5 徥X24123 5E3B 帻}。
北京市2021-2021年高一下学期期末考试数学试题及答案
北京市2021-2021年高一下学期期末考试数学试题及答案第二学期高一年级下学期期末诊断性考试数学试题卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、设 $x=\frac{\pi}{6}$，则 $\tan(\pi+x)$ 等于（）A。
$-\sqrt{3}$ B。
$-3$ C。
$3$ D。
$\sqrt{3}$2、设函数 $f(x)=\begin{cases} -x。
& x\leq 0.\\ x+1.&x>0.\end{cases}$ 则 $f(f(-1))$ 的值为（）A。
$-2$ B。
$-1$ C。
$1$ D。
$2$3、函数 $f(x)=e^x+2x-3$ 的零点所在的一个区间是（）A。
$\left(-\infty,0\right]$ B。
$\left[0,\frac{1}{2}\right]$ C。
$\left[\frac{1}{2},1\right]$ D。
$\left[1,+\infty\right)$4、函数 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x>0$ 时，$f(x)=-x+1$，则当 $x<0$ 时，$f(x)$ 的表达式为（）A。
$f(x)=-x+1$ B。
$f(x)=-x-1$ C。
$f(x)=x+1$ D。
$f(x)=x-1$5、设 $D,E,F$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边$BC,CA,AB$ 的中点，则 $EB+FC=$A。
$\frac{1}{2}AB$ B。
$\frac{1}{2}AC$ C。
$\frac{1}{2}BC$ D。
$\frac{3}{4}AB$6、函数 $y=\frac{1}{x^2}+\ln x^2$ 的图象可能是（）A。
向左平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度 B。
向右平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度 C。
2021-2022学年上海市松江区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市松江区高一上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合，，则___________{1,0,1,2}A =-{|03}B x x =<<A B = 【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为，，{1,0,1,2}A =-{|03}B x x =<<所以.{1,2}A B = 故答案为：.{1,2}2．函数的定义域为______.()()lg 1f x x =-【答案】()1,+∞【解析】根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解.010x x ≥⎧⎨->⎩【详解】由，()()lg 1f x x =-则，解得，010x x ≥⎧⎨->⎩1x >所以函数的定义域为.()1,+∞故答案为：()1,+∞3．若，则=__________.41log 2x =x 【答案】2【分析】将对数式化为指数式，由此求得.x 【详解】由于，所以.41log 2x=1242x ===故答案为：24．已知、是方程的两个根，则______．1x 2x 2330x x +-=1211x x +=【答案】1【分析】利用根与系数关系求得正确答案.【详解】由题意得，所以．12123,3x x x x +=-=-121212111x x x x x x ++==故答案为：15．设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划a b 22a b +222a b --,,,>≥<≤线部分）．【答案】≥【分析】利用作差比较法求得正确答案.【详解】因为，时等号成立，2222(222)(1)(1)0a b a b a b +---=-++≥1,1a b ==-所以．22222a b a b +≥--故答案为：≥6．已知是奇函数，当时，，则的值为________．()y f x =0x >()2f x x =-1(2f -【答案】##1.532【分析】根据奇函数的定义求值.【详解】由题意.1113()((2)2222f f -=-=--=故答案为：．327．函数的严格减区间是_________.2()lg(4)f x x x =-【答案】[)2,4【解析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.【详解】由可得，解得，即的定义域为，2()lg(4)f x x x =-240x x ->04x <<2()lg(4)f x x x =-()0,4令，则是开口向下，对称轴为的二次函数，24t x x =-24t x x =-2x =所以在上单调递增，在上单调递减，24t x x =-(]0,2[)2,4又是增函数，lg y t =所以函数的严格减区间是.2()lg(4)f x x x =-[)2,4故答案为：[)2,48．已知函数，则不等式的解集为____()1||xf x x =+(3)(2)0f x f x -+>【答案】（1，＋∞）【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在在R 时单调递增，由此可得出关于x 不等式，()f x 解之可得不等式的解集.【详解】因为，所以函数为奇函数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+()f x 又，当时，，所以函数在01()1,01xx x xf x x x x x ⎧≥⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩0x ≥1+11()111+1+x x f x x x x -===-+()f x 时单调递增；[)0+∞，当时，，所以函数在时单调递增，0x <111()1+111x x f x x x x --==-=----()f x ()0-∞，所以函数在R 时单调递增.()f x 所以不等式化为，所以，解得，(3)(2)0f x f x -+>(3)(2)(2)f x f x f x ->-=-3>-2x x ->1x 所以不等式的解集为，(3)(2)0f x f x -+>()1+∞，故答案为：.()1+∞，【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________．x 13x a x -+-≤a 【答案】2 4.a -≤≤【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用【详解】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有，.13a -≤24a ∴-<<【解析】含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题.10．对任意的正实数、的取值范围是________．x y ≤m 【答案】)+∞【分析】分离参数为的最大值即得．m≥【详解】由题意得m ≥因为，当且仅当时取等号，22()2x y xy +≤=+x y =所以的取值范围是．m ≥m )+∞故答案为：．)+∞11．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数y l 2log y x =2log 1y x =-A B 的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为2log y x =C ABC AB C _______.【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标.22(,log ),(,log 1)A t t B t t -C 2log y x =t C 【详解】设，线段的中点坐标为，，22(,log ),(,log 1)A t t B t t -AB 22log 1,2t t -⎛⎫⎪⎝⎭122AB =因为是以为斜边的等腰直角三角形，ABC AB 所以，因为点在函数的图像上，22log 11(,)22t C t --C 2log y x =所以，，222log 11log ()22t t -=-22221111log log (),log log ()2222t t t t -=---=所以，所以，21log 122tt =-12212tt =-解得，所以点的横坐标为t =C 12t -=12．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是()32,,x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩b ()()g x f x b =-a ________．【答案】()(),01,-∞⋃+∞【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个()()g x f x b =-()f x b =()y f x =y b =交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围a 【详解】有两个零点，()()g x f x b =- 有两个零点，即与的图象有两个交点，()f x b ∴=()y f x =y b =由可得，或32x x =0x =1x =①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意1a >()f x b 1a >②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意1a =()f x R ③当时，函数单调递增，故不符合题意01a <<()f x④时，单调递增，故不符合题意0a =()f x⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点a<0()y f x =b ()y f x =y b =综上可得，或a<01a >故答案为：()(),01,-∞⋃+∞【点睛】本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．二、单选题13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A ．与B ．与2y =y x =y x =l n exy =C ．与D ．与22x y =4xy =y x =11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.2y =[)0,∞+y x =R B 选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.y x =R l n e x y =()0,∞+C 选项，，定义域、值域、和对应关系完全相同，是相同函数，C 选项正确.224x xy ==D 选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.y x =R 11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭{}|0x x ≠故选：C 14．已知函数可表示为()y f x =x02x <<24x ≤<46x ≤<68x ≤≤y1234则下列结论正确的是（ ）A ．B ．的值域是()()43f f =()f x {}1,2,3,4C ．的值域是D ．在区间上单调递增()f x []1,4()f x []4,8【答案】B 【解析】，所以选项A 错误；由表得的值域是，所以选项B 正确C 不()()42f f =()f x {}1,2,3,4正确；在区间上不是单调递增，所以选项D 错误.()f x []4,8【详解】A. ，所以该选项错误；()()(4)3,4(3)2f f f f ===B. 由表得的值域是，所以该选项正确；()f x {}1,2,3,4C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；()f x {}1,2,3,4[]1,4D.在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.()f x []4,854>(5)=(4)=3f f 故选：B【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.15．设、是实数，则“”是“且”的（ ）x y 0x >x y >11x y >A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时不能推出且，例如，满足，此时但，0x >x y >11x y >3x =2y =0x >x y >11x y <当且同时成立时，，而，因此有，而，所以x y >11x y >110--=>y x x y xy 0y x -<0xy <x y >，即成立，0x y >>0x >因此题中应不必要非充分条件．故选：B ．16．已知函数，若，且，则的取值范围13,0()3,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩123x x x <<123()()()f x f x f x ==2123()x f x x x ⋅+是（ ）A ．B ．10,8⎛⎫⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．3(0,)230,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】结合对称性以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】由解析式易得的图象如下图所示，()f x 当时，，令，得或，0x <1()33x f x +=<|3|3x -=0x =6x =因为，且，所以，123x x x <<123()()()f x f x f x ==2326,03x x x +=<<所以，2212222223()()11333(3)(0,666288x f x x f x x x x x x ⋅⋅⎛⎤==-=--+∈ ⎥+⎝⎦故选：D三、解答题17．已知全集，集合，．U =R {}2230A x x x =--<{}1216x B x =<<(1)求 ；A B ⋃(2)设集合，若，求实数的取值范围．{3,}D x a x a a =<<+∈R D A ⊆a 【答案】(1)()1,4A B =- (2)．(,4][3,)∞∞--⋃+【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.,A B A B ⋃（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.D A ⊆a 【详解】（1）因为，，{}2230A x x x =--<{}1216xB x =<<，解得.()()223310x x x x --=-+<13x -<<，解得.412162x <<=04x <<所以，．{13}A x x =-<<{04}B x x =<<所以．()1,4A B =- （2）因为或，由题意得或，{|1A x x =≤-}3x ≥31a +≤-3a ≥解得或，所以实数a 的取值范围是．4a ≤-3a ≥(,4][3,)∞∞--⋃+18．已知函数．2||1()1x f x x +=-(1)证明：函数为偶函数；()y f x =(2)证明：函数在区间上是严格减函数.()y f x =(1,)+∞【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据奇偶性定义证明；（2）根据单调性的定义证明．【详解】（1）因为，2||1()1x f x x +=-所以的定义域为，且．()f x {|D x x R =∈1}x ≠±对于任意，因为，x D ∈2211()()()11x x f x f x x x -++-===---所以为偶函数．()f x （2）当时，．(1,)x ∈+∞211()11x f x x x +==--任取，且，12,(1,)x x ∈+∞12x x <那么2112121211()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----因为，所以，，121x x <<210x x ->12()1(1)0x x ->-所以，即．12())0(f x f x ->12()()f x f x >所以是上的严格减函数．()f x (1,)+∞19．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号国产电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h （不含80km/h ）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh ）与速度（单位：km/h ）的下列数据：M v v0204060M300056009000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．321()40M v v bv cv =++2()800()3v M v a =+()500log (1)a M v v b =++(1)当时，请选出符合表格所列实际数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；080v ≤<(2)现有一辆同型号汽车在200km 的国道上行驶，如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】(1)符合，且321()40M v v bv cv =++321()218040M v v v v =-+(2)此汽车以40km/h 的速度行驶时，总耗电量最少，最少为28000Wh【分析】（1）利用特殊值以及函数的单调性求得正确答案.（2）结合二次函数的性质求得正确答案.【详解】（1）选，理由如下：321()40M v v bv cv =++若，由得，由得；由得()500log (1)a M v v b =++(0)0M =0b =(20)3000M =1621a =(40)5600M =，矛盾，舍55641a =若，此时函数是减函数，，不符合题意；2()800(3v M v a=+(40)(60)M M <若，由，解得，321()40M v v bv cv=++323212020203000401404040560040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩2180b c =-⎧⎨=⎩，将代入，也符合．321()218040M v v v v =-+()60,9000（2）汽车在的国道上行驶所用时间为，200km 200v总耗电量为，()2322002001()(2180)5402800040S M v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+由于，080v ≤<所以当时，40v =min =28000Wh S 所以，此汽车以的速度行驶时，总耗电量最少，40km/h 最少为.28000Wh 20．已知函数.2()1xf x x -=+(1)求不等式的解集；(4)1(2)f x f x -+<+(2)若关于的方程在上有解，求实数的最大值；x ()0f x m -=[1,)x ∈+∞m (3)证明：函数关于点中心对称.()y f x =(1,1)--【答案】(1)()3,3-(2)最大值为12(3)证明见解析【分析】（1）解分式不等式来求得不等式的解集.(4)1(2)f x f x -+<+（2）通过求在上的值域来求得的取值范围，进而求得的最大值.()f x [)1,+∞m m （3）通过证明、都在的图象上来证得函数关于点(,)P a b (2,2)Q a b ----()y f x =()y f x =中心对称.(1,1)--【详解】（1）的定义域为，()f x {}|1x x ≠-因为，(4)1(2)f x f x -+<+所以 ，即，2422133x x x x -+--+<-+3033x x x +<-+所以，290(3)(3)x x x +<-+因为，所以，解得，290x +>(3)(3)0x x -+<33x -<<由，解得，4121x x -≠-⎧⎨+≠-⎩3x ≠±所以不等式的解集为.(4)1(2)f x f x -+<+()3,3-（2）由题意得关于的方程在上有解，x ()0f x m -=[1,)x ∈+∞则的取值范围即在上的值域.m ()f x [)1,+∞因为，所以，23()111x f x x x -==-+++3312,012x x +≥<≤+所以，11()2f x -<≤即，所以实数的最大值为.112m -<≤m 12（3）在函数的图象上任意取一点，()y f x =(,)P a b 关于点的对称点，()1,1--(2,2)Q a b ----由得，即 ,()f a b =21a b a -=+2(1)1b a b b -=≠-+把代入得2x a =--224(2)211a a f a a a +++--==--+--,24+3611221311bb b b b b b b -+++==⋅=---+---+所以对称点在函数的图象上.(2,2)Q a b ----()y f x =即函数的图象关于中心对称.()y f x =()1,1--21．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称()y f x =D k x D ∈|()()|f x f x k --≤函数具有性质.()f x ()P k (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；()2021f x =()g x x =(1)P (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是()y f x =k ()y f x =()P k ()y f x =偶函数；(3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.0a k >，()2()log 4x f x a x =+-()P k a 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析()f x (1)P ()g x (1)P (2)证明见解析(3)[2,2]k k -【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案.()P k ()2021f x =()g x x =（2）性质的定义列不等式，求得，进而判断出是偶函数.()P k b ()f x （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围.()P k a 【详解】（1）对任意，得，x ∈R |()()||20212021|01f x f x --=-=<所以具有性质；()f x (1)P 对任意，得.x ∈R |()()||()||2|g x g x x x x --=--=易得只需取，则，1x =|(1)(1)|21g g --=>所以不具有性质()g x (1)P .（2）设二次函数满足性质.2()(0)f x ax bx c a =++≠()P k 则对任意，x ∈R 满足.22|()()||()||2|f x f x ax bx c ax bx c bx k --=++--+=≤若，取，，矛盾.0b ≠00||k x b =>000|()()||2|2f x f x bx k k --==>所以，此时，0b =2()(0)f x ax c a =+≠满足，即为偶函数()()f x f x -=()y f x =（3）由于，函数的定义域为R .0a >2()log (4)x f x a x =+-易得.22()log (4)log (22)x x x f x a x a -=+-=+⋅若函数具有性质，则对于任意实数，()f x ()P k x 有22|()()||log (22)log (22)|x x x x f x f x a a ----=+⋅-+⋅，即.222|log |22x xx x a k a --+⋅=≤+⋅222log 22x x x x a k k a --+⋅-≤≤+⋅即.24log 14x x a k k a +-≤+⋅由于函数在上严格递增，得.2log y x =(0,)+∞42214x k k x a a -+≤≤+⋅即.112214k k x a a a a --≤++⋅当时，得，对任意实数恒成立.1a =212k k -≤≤x当时，易得，由，得，1a >10a a ->141x a +⋅>10114x a <<+⋅得，得.11014x a a a a a -<<-+⋅11114x a a a a a a -<++⋅由题意得对任意实数恒成立，112214k k x a a a a --≤++⋅x 所以，即122k k aa -⎧≥⎪⎨⎪≤⎩12.k a <≤当时，易得，由，得，1a <10a a -<141x a +⋅>10114x a <<+⋅得，得.11014x a a a a a ->>-+⋅11114x a a a a a a ->++⋅由题意得对任意实数恒成立，112214k k x a a a a --≤++⋅x 所以，即212kk a a -⎧≥⎪⎨≤⎪⎩12.k a ->≥综上所述，的取值范围为.a [2,2]k k -【点睛】求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.。
2021—2021学年度高一第一学期数学期末考试试卷及答案
2021—2021学年度高一第一学期数学期末考试试卷及答案20__—2021学年度第一学期期末考试高一数学试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题（60分，每题5分）1.设集合，，则（）A． B． C． D． 2.角的终边经过点，且，则（）A． B． C． D． 3.设函数,（）A．3 B．6 C．9 D．12 4.已知，，，则（）A． B． C． D． 5.已知向量，且，则的值为（）A．1 B．2 C． D．3 6.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（）A.B． C.D． 7.函数的部分图象如图所示，则的值为（）A.B． C． D． 8.已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D． 9.若，，，，则等于（）A． B． C． D． 10.已知，，若对任意,或，则的取值范围是（）A． B． C． D． 11.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为（）A． B． C． D． 12.设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（20分，每题5分）13.已知，，则的值为． 14.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 15.下面有5个命题：①函数的最小正周期是．②终边在轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．④把函数的图象向右平移得到的图象．⑤函数在上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）16.设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是__________．三、解答题（第17题10分，其余各题每题12分）17.设两个向量，满足，.(Ⅰ) 若，求的夹角；(Ⅱ) 若夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围 18.已知集合，函数的定义域为集合.(Ⅰ) 若，求实数的取值范围；(Ⅱ) 求满足的实数的取值范围.19.已知函数f（_）=2sin（ω_+φ）+1（）的最小正周期为π，且．(Ⅰ) 求ω和φ的值；(Ⅱ) 函数f（_）的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数g （_）的图象，求函数g（_）的单调增区间及函数g（_）在的最大值． 20.若向量的最大值为．(Ⅰ) 求的值及图像的对称中心；(Ⅱ) 若不等式在上恒成立，求的取值范围。
2021年高一下学期期末考试 数学试题 含答案
2021年高一下学期期末考试 数学试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上． 1．集合，，则A ．B ．C ．D ．2．设，则A ．B ．C ．D ． 3．若，，则下列不等式正确的是A ．B ． Ｃ． D ．4．在等差数列中，，则前项之和等于Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．已知倾斜角为的直线与直线平行，则A ．B ．C ．D ．6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题： ①，则；②则； ③，则；④，则．其中正确的命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．某公司一年共购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为每次4万元，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次都购买A ．吨B ．吨C ．吨D ．吨8．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．9．在中，若，则角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知等比数列，且，则的值为正视图 俯视图左视图A．B．C．D．11．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数，，，，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第项为，则A．B．C．D．12．已知球夹在一个锐二面角之间，与两个半平面相切于点，若，球心到二面角的棱的距离为，则球的体积为A．B．C．D．试卷II（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13．＊＊＊．14．若实数，满足不等式组，则的最小值是＊＊＊．15．右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成的角是＊＊＊．16．定义在上的函数满足，已知，则数列的前项和＊＊＊．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直线过点为，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点．（1）当时，求直线的方程；（2）当面积最小时，求直线的方程并求出面积的最小值．18．（本小题满分12分）已知函数()的最小正周期为．（1）求的值及函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的取值范围． 19．（本小题满分12分） 如图，由个数组成的方阵中，自左向右每一行都构成等差数列，设第1，2，…，行的公差依次为．方阵中自上而下每一列组成公比均相同的等比数列，已知，．（1）求及的值；（2）若，求方阵中所有数的和．20．（本小题满分12分）已知在等边三角形中，点为边上的一点，且（）． （1）若等边三角形边长为，且，求； （2）若，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，四边形与均为菱形， ，且． （1）求证：平面； 【理】（2）求二面角的余弦值． 【文】（2）求与平面所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求，的解析式； （2）解不等式；（3）若对任意使得不等式恒成立，求实数的取值范围．111213121222323132333123,,,,,,,,,,,,,,,,n n n n n n nna a a a a aa a a a a a a a a a石家庄市第一中学xx 学年第二学期期末考试高一年级数学试题试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上． 1．集合，，则 DA ．B ．C ．D ．2．设，则 CA ．B ．C ．D ． 3．若，，则下列不等式正确的是 DA ．B ． Ｃ． D ． 4．在等差数列中，，则前项之和等于 (A)Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5．已知倾斜角为的直线与直线平行，则（ B ）A ．B ．C ．D ．6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题： ①，则；②则； ③，则；④，则．其中正确的命题的个数是 AA ．1B ．2C ．3D ．47．某公司一年共购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为每次4万元，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次都购买CA ．吨B ．吨C ．吨D ．吨8．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去半球的球．其中两个半圆的面积为．个球的表面积为,所以这个几何体的表面积是,选A ．9．在中，若，则角的取值范围是（ C ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C正视图俯视图 左视图【解析】由题意正弦定理22222222211cos023b c aa b c bc b c a bc A Abcπ+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤10．已知等比数列，且，则的值为BA．B．C．D．11．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数，，，，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第项为，则 DA．B．C．D．12．已知球夹在一个锐二面角之间，与两个半平面相切于点，若，球心到二面角的棱的距离为，则球的体积为 BA．B．C．D．试卷II（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13．．14．若实数，满足不等式组则的最小值是．15．右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成的角是．16．定义在上的函数满足，已知，则数列的前项和．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直线过点为，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点．（1）当时，求直线的方程；（2）当面积最小时，求直线的方程并求出面积的最小值． 解：（1）由已知,， ……………2分 由直线方程的点斜式可得直线的方程为， 所以直线的方程为 ……………4分 （2）设直线的方程为， 因为直线过，所以 ∵ ，∴ ，当且仅当，即时，取得等号．∴ ，即面积的最小值为 ……8分 所以，直线的方程是，即 ………10分 18．（本小题满分12分）已知函数()的最小正周期为．（1）求的值及函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的取值范围． 解:（1）………………4分因为最小正周期为,所以 所以． ………………6分 由,,得．所以函数的单调递增区间为[], ………8分 （2）因为,所以, 所以所以函数在上的取值范围是 ………12分 19．（本小题满分12分） 如图，由个数组成的方阵中，自左向右每一行都构成等差数列，设第1，2，…，行的公差依次为．方阵中自上而下每一列组成公比均相同的等比数列，已知，．（1）求及的值；（2）若，求方阵中所有数的和．解：设每一列组成的等比数列的公比为（1），，， ……………3分………………6分 （2），，，设第1列，第2列，…，第6列的和分别为，，，…， 由已知每一列组成公比为的等比数列()()()666111216126121212121212a a a S S S S ---=+++=+++---111213121222323132333123,,,,,,,,,,,,,,,,n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a aEDF()()111216616636313232a a a +=+++=⨯= …………12分 20．（本小题满分12分）已知在等边三角形中，点为边上的一点，且（）． （1）若等边三角形边长为，且，求； （2）若，求实数的取值范围． 解：（1）当时，，2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+=．∴ ………4分(2）设等边三角形的边长为，则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λ，………6分222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λ………8分即，∴ ，∴ ．………10分 又，∴ ． ………12分21．（本小题满分12分）如图，四边形与均为菱形， ，且． （1）求证：平面； 【理】（2）求二面角的余弦值． 【文】（2）求与平面所成角的正弦值．（1）证明：设与相交于点，连结． 因为四边形为菱形，所以， ………2分 且为中点．又，所以． ………4分 因为，所以平面． ………6分 【理】（2）解：因为四边形为菱形，且， 所以△为等边三角形． 因为为中点，所以，故平面． ………8分由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 设．因为四边形为菱形，， 则，所以，．所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以 ，．设平面的法向量为，则有所以 取，得． ………10分易知平面的法向量为． 由二面角是锐角，得 ．所以二面角的余弦值为． ………12分 【文】，平面的法向量， ………10分 则设与平面所成角为，则 ………12分22．（本小题满分12分）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求，的解析式； （2）解不等式；（3）若对任意使得不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由，得，解得 ，． ………3分（2）∵ 在是单调递增的奇函数， ∴ ，∴ ，解得或．∴ ． ………6分 （3），即得，参数分离得()xx x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e a -------+-=-+-=-+≤22222，………8分令，则，于是 ，，因为， 所以． ………12分22237 56DD 囝22515 57F3 埳27957 6D35 洵36441 8E59 蹙40290 9D62 鵢20729 50F9 價32784 8010 耐26980 6964 楤31891 7C93 粓v3761192EB 鋫 ^38058 94AA 钪36887 9017 逗。
2021年高一下学期期末考试 数学 Word版含答案
江苏淮安市xx －xx 学年度高一年级学业质量调查测试2021年高一下学期期末考试 数学 Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1.已知集合,则 ▲ .2.某县区有三所高中，共有高一学生4000人,且三所学校的高一学生人数之比为.现要从该区高一学生中随机抽取一个容量为的样本,则校被抽到的学生人数为 ▲ 人.3.若角ɑ的终边经过点，且，，则实数的取值范围是 ▲ .4.函数的定义域是 ▲ .5.若向量满足,且与的夹角为, 则 ▲ .6．运行如图所示的算法流程图,则输出的值为 ▲ . 7.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为5的概率是 ▲ . 8.已知实数满足,则的最大值是 ▲ . 9.已知数列是等差数列,且,则 ▲ . 10.已知实数满足，则的最大值为 ▲ ． 11.已知，，则= ▲ ．12.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则 ▲ . 13.已知为的边上一点,若,则的最大值为 ▲ .14.正项数列满足,又数列是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最大整数为 ▲ .二.解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 15.(本小题满分14分)已知向量. (1) 若∥,求的值;(2) 若,且,求的值.16.(本小题满分14分)已知的周长为,且. (1) 求边的长;(2) 若的面积为,求角的值.17.(本小题满分14分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据， 制成如图所示的茎叶图.（1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.(本小题满分16分)在某文艺会场中央有一块边长为米(为常数)的正方形地面全彩LED 显示屏如图所示，点分别为边上异于点的动点.现在顶点处有视角的摄像机，正录制移动区域内表演的某个文艺节目.设米,米. (1) 试将表示为的函数; (2) 求面积的最大值.甲 乙 2 12 44 3 1 1 11 0 2 57 10 8 9 第17题图19.(本小题满分16分)已知函数.(1) 若关于的不等式的解集为,求实数的值；(2) 设,若不等式对任意实数都成立,求实数的取值范围；(3) 设,解关于的不等式组.20.(本小题满分16分)已知递增数列的前项和为,且满足,.设,且数列的前项和为.(1) 求证:数列为等差数列；(2) 试求所有的正整数,使得为整数；(3) 若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.江苏省淮安市xx－xx学年度高一年级学业质量调查测试数学参考答案与评分标准一、填空题：1.;2.;3.;4. ;5. ;6. ;7. ;8.; 9. ; 10.4; 11.1; 12.31; 13.; 14.;二.解答题15. (1)因为//,所以,……………………………………………2分所以,即,………………………………4分解得或(舍去),所以. ……………………………………7分 (2)因为,所以,即,所以,即, ………………………………………………………9分 因为,所以,所以,, ………………………………………………………………12分所以11724cos(2)cos223222525πααα-==⨯=…………14分 16. (1)设所对的边分别为,由,得, ……………………………………………………2分又因为,所以,即, ……………4分 又,所以,,即.……………………………6分 (2)由已知得,因为,所以, ……………………8分 由(1)知,所以, …………………………………………………………………………12分 因为,所以. ……………………………………………………………14分17.（1）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 ，方差分别为 、， 则1221141131111111071136X +++++==甲，……………………………1分1241101121151081091136X +++++==乙，………………………………2分()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦， ………………………4分()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦， …………………6分由于，所以甲车间的产品的重量相对稳定；………………………………7分 （2）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109 ．…………………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109．………………………………………11分所以抽取两件样品重量之差不超过2克的概率为．………………………14分 18.(1)由题意得,因为,所以,…………………………………………2分所以tan tan tan()11tan tan EAD EABEAD EAB EAD EAB∠+∠∠+∠==-∠∠,即,………………5分所以,其中. ………………………………………………………7分 (2)由,知的面积,…………………………………………9分 设,则,其中,所以 ,…………14分当且仅当,即时取等号, …………………………………………15分 故面积的最大值为.………………………………………………16分 19. (1)因为不等式的解集为， 所以由题意得为函数的两个根,所以,解得.……………………………………4分(2)当时,恒成立,即恒成立.因为 ,所以, ………………………………6分解之得,所以实数的取值范围为.……………………………………8分 (3)当时,,的图象的对称轴为.(ⅰ)当,即时,由,得,…………………………………10分 (ⅱ)当,即或时①当时,由,得,所以,②当时,由,得,所以或,………………12分 (ⅲ)当,即或时,方程的两个根为, ,①当时,由知,所以的解为或,②当时,由知,所以的解为,…………………14分 综上所述,当时,不等式组的解集为()a a -++∞,当时,不等式组的解集为.…………………………………………………16分 20.(1)由,得,………………………2分 所以,即,即, 所以或,即或,……………………………………………4分若,则有,又,所以,则,这与数列递增矛盾,所以,故数列为等差数列.……………………………6分 (2) 由（1）知,所以222241274112661414121m m m m m m m -----===----,………………………………………8分 因为,所以,又且为奇数,所以或,故的值为或.……………………………………………………………10分 (3) 由(1)知,则,所以111111[(1)()()]23352121n n =-+-++--+,……………………………………………………………………12分从而对任意恒成立等价于,当为奇数时,恒成立,记,则,当时取等号,所以,当为偶数时,恒成立.记,因为递增,所以,所以.综上,实数的取值范围为.………………………………………16分26439 6747 杇\39834 9B9A 鮚ct25993 6589 斉 :p24207 5E8F 序 l22143 567F 噿37771 938B 鎋。
2021年高一数学下学期期末考试试卷(含解析)
2021年高一数学下学期期末考试试卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值sin210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 945．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣28．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•=．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（xx春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．16．（12分）（xx春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．17．（14分）（xx春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？18．（14分）（xx春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．19．（14分）（xx春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．20．（14分）（xx春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB 的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．xx学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值si n210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．分析：通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．解答：解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．可以根据角的象限判断正负．2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义进行求解即可．解答：解：角α的终边上一点P（1，），则r=|0P|=2，则sinα=，故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义，比较基础．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数考点：正弦函数的奇偶性；运用诱导公式化简求值．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：运用诱导公式化简解析式可得f（x）=﹣xcosx，由f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），即可得函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．解答：解：∵f（x）=x•sin（+x）=﹣xcosx，又f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），∴函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．故选：A．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，正弦函数的奇偶性等知识的应用，属于基本知识的考查．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 94考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：先根据甲、乙两组的平均分相同，求出α的值，再求乙组的中位数即可．解答：解：∵甲、乙两个小组的平均分相同，∴=α=2∴乙组数学成绩的中位数为=93．故选：B．点评：本题考查了求平均数与中位数的应用问题，是基础题目．5．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解答：解：向量=（4，2），=（x，3），若∥，可得12=2x，解得x=6．故选：B．点评：本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．解答：解：第一次，n=1，S=0，满足条件．S=0+21=2，n=2，第二次，n=2，S=2，满足条件．S=2+22=6，n=3，第三次，n=3，S=6，满足条件．S=6+23=14，n=4，第四次，n=4，S=14，满足条件．S=14+24=30，n=5，第五次，n=5，S=30，满足条件．S=30+25=62，n=6，第六次，n=6，S=62，不满足条件输出S=62，则①可以为n≤5？，故选：C点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件表示k﹣2，通过向量互相垂直⇔数量积为0，列出方程解得k．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，﹣3），∴k﹣2=k（1，1）﹣2（2，﹣3）=（k﹣4，k+6）．∵k﹣2与垂直，∴（k﹣2）•=k﹣4+k+6=0，解得k=﹣1．故选：A．点评：本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．8．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化．专题：计算题．分析：利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．解答：解：因为，所以；．故选D点评：本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方由数量积的运算易得向量夹角的余弦值，可得夹角．解答：解：由题意可得=（+）2，∴||2=||2+||2+2||||cosθ，其中θ为向量与的夹角，∵==，∴cosθ=﹣，∴向量与的夹角为故选：D点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：新定义．分析：本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．点评：本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积的坐标表示解答．解答：解：由已知得到•=2×（﹣3）+2×4=﹣6+8=2；故答案为：2．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；=（x，y），=（m，n），则•=xm+yn．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可求sinα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．解答：解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sin，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是37 ．考点：系统抽样方法．专题：应用题．分析：由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．解答：解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．故答案为：37．点评：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来．本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为1﹣．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），对应区域为边长为2的正方形，而使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的a，b范围是判别式△≥0，求出a，b满足范围，利用面积比求概率．解答：解：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），则对应区域面积为2×2=4，使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点a，b范围为4a2+4b2﹣4≥0，即a2+b2≥1，对应区域面积为4﹣π，由几何概型的概率公式得到使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为：；故答案为：1﹣．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的区域面积，利用公式解答．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（xx春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的正切函数求解即可．（2）化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可．解答：解：tanα=2（1）tan2α==；（2）sin2α+sinα cosα﹣2cos2α===．点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角的正切函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由≤α＜．可得≤α+＜，根据cos（α+）=＞0，可得≤α+＜，利用同角三角函数关系式即可求sin（α+）．（2）由（1）可得，从而可求sinα，cosα，sin2α，cos2α的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos（2α+）的值．解答：解：（1）∵≤α＜．可得≤α+＜，∵cos（α+）=＞0，∴≤α+＜，∴sin（α+）=﹣=﹣．（2）由（1）可得≤α+＜，∴，∴sinα=sin[（α+）﹣]=（﹣﹣）=﹣，cosα=cos[（α+）﹣]=（﹣）=﹣，sin2α=2sinαcosα=2×=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴cos（2α+）=（﹣﹣）=﹣．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．17．（14分）（xx春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用平均数公式，可求，；（Ⅱ）求出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值；（Ⅲ）由回归直线方程预测，只需将x=20代入求解即可．解答：解：（Ⅰ）=（3+4+5+6+7+8+9）=6，=（66+69+73+81+89+90+91）=80，（Ⅱ）∵x i2=280，x i y i=3487，∴b==，a=，∴回归方程为y=x+，（Ⅲ）当x=20时，y≈175，故该周内某天的销售量为20件，估计这天可获纯利大约为175元．点评：本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式．18．（14分）（xx春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数图象可得T，由周期公式从而可求ω，由点（，0）在函数图象上，结合范围0≤φ＜2π，即可解得φ的值，从而得解；（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区．当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，π]，从而可求；当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，2π]，从而可求f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由函数图象可得：T=（）=π，解得：T==，从而可求ω=3，由点（，0）在函数图象上，所以：2sin（3×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，由0≤φ＜2π，从而可得：φ=或．故可得：f（x）=2sin（3x+）或f（x）=2sin（3x+）．（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[，]，k∈Z，当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[﹣，]，k∈Z，（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[0，2]．当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，2π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[﹣2，]．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．19．（14分）（xx春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组 15 45 6025周岁以下组 15 25 40合计 30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（14分）（xx春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB 的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得f（x）=•=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；（2）由三角函数公式化简可得sin2x=，由x的范围可得x值，可得和的坐标，由夹角公式可得∠AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；（3）可得h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），由偶函数可得2t+=kπ+，结合t的范围可得t值．解答：解：（1）由题意可得f（x）=•cos∠AOB=•=a（1+sin2x）+cos2x∵图象经过点（，2），∴a（1+sin）+cos=2a=2，∴a=1；（2）∵sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+，∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+=sin（+2α）+=cos2α+=，∵x为锐角，∴x=，∴=（1，0），=（2，1），∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×=；（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，∴t=+，k∈Z，又∵0＜t＜π，∴t=或．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．t33181 819D 膝32203 7DCB 緋27654 6C06 氆27207 6A47 橇 23273 5AE9 嫩j25952 6560 敠 ^l33905 8471 葱X。
2021年高一上学期期末考试(理)数学试题 含答案
2021年高一上学期期末考试（理）数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，，且，则的值是（）A． B． C． D．或2. 角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．4.函数在区间上的最大值和最小值之和为（）A．2 B．3 C．4 D．55.在中，若，，则角等于（）A． B． C． D．6.若，则（）A． B．C． D．8.三个数，，的大小关系为（）A． B．C． D．9.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度10.已知函数，又为锐角三角形两锐角，则（）A． B． C． D．11.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）12.已知函数，如果关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角弧度数为 .14.已知函数的图象过定点，若点也在幂函数的图象上，则 .15.若锐角满足，则 .16.已知函数，且是它的最大值（其中为常数，且），给出下列命题：①为偶函数；②函数的图象关于点对称；③是函数的最小值；④函数的图象在轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为，则；其中正确的是 .（写出所有正确答案）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数的定义域为集合，集合，集合，是的真子集，求（1）；（2）的值.18. （本小题满分12分）sin()cos(10)tan(3)2()5tan()sin()2fπαπααπαππαα---+=++.（1）化简；（2）若，且，求的值.19. （本小题满分12分）已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间.20. （本小题满分12分）（1）已知，，求的值；（2）已知均为锐角，且，，求.21. （本小题满分12分）函数在它的某一个周期内的单调减区间是.（1）求的解析式；（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数，（为实常数）.（1）若，求的单调区间；（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式.参考答案一、选择题BAACB ACDAB CA二、填空题13. 2 14. 15. 16.①②③三、解答题17.解：（1），，.（2），，，∵，∴，又，∴，，∴.18.（1）.（2），∴，且.∴，∴261 cos cos[()]cos()cos sin()sin666666ππππππαααα-=-+=---=，∴.（2）函数的单调递减区间为，由，，得，所以的单调递减区间为.20.解：（1）tan tan cos sin 4tan[()()]tan()44cos sin 1tan tan 4παππαααββαπααα+++--=+==--， 21tan()tan()3544tan[()()]214221tan()tan()1454παββπαββπαββ-+--+--===++-+⨯. （2）∵均为锐角，∴，∴，又∵，∴，∴cos(2)cos[()()]5105102βαβαβ=+--=+= ∵为锐角，∴，∴.21.解：（1）由条件，，∴，∴，又，∴，∴的解析式为.（2）将的图象先向右平移个单位，得，∴，而，∴，∴函数在上的最大值为1，此时，∴；最小值为，此时，∴.时，不等式恒成立，即恒成立，即，∴，∴.22.解：（1），，∴的单调递增区间为，，的单调递减区间为，.（2）由于，当时，2211()21()2124f x ax x a a x a a a=-+-=-+--， ，，即，在为增函数，，，，即时，，，，即时，在上是减函数，，综上可得：163,04111 ()21,442132,2a ag a a aaa a⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩.40516 9E44 鹄40069 9C85 鲅G36135 8D27 货38199 9537 锷38814 979E 鞞8H 22209 56C1 囁25866 650A 攊u:;。
2021-2022年高一下学期期末考试数学试题(A卷) 含答案
2021年高一下学期期末考试数学试题（A 卷） 含答案高一数学试题（A 卷）及参考答案时量：120分钟 分值：150分 ．适用学校：全市各高中使用A 卷学校． 内容：数学必修②第二章，数学必修③，数学必修④．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(平面向量) 已知平面向量，，且与平行，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.(三角函数) 的值是（ ）A ． B ． C ． D ．3.(概率) 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ).A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶4.(算法,5.(统计)某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃-5 04712 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究，直接得到了散点图a=b b=a （A ） c=b b=a a=c （B ） b=a a=b （C ）a=c c=b b=a （D ）及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天的气温是3℃，大约能卖出的热饮杯数为（）.A. 143B. 141C. 138D. 134（单词提示：Linear 线性）6.(统计)要从已编号（）的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是（）A．B．C．D．7.(平面向量)如右下图所示，是的边上的中点，记，，则向量（）A．B．C．D．8.(平面向量)若,，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．9.(算法)右边程序执行后输出的结果是（）A. B． C． D．10.(圆一般方程)直线与圆相切，则的值为（）A． B．或 C．11.(三角函数)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C. D.12.(三角变换)已知，，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上）13.(圆的方程)以为直径两端点的圆的标准方程为．14.(算法)二进制数定义为“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式，是= 13，即转换成十进制数是13，那么类似可定义k进制数为“逢k进一”，则8进制数转换成十进制数是_________15.(统计)一个容量为的样本数据，分组后组距与频数如下表：则样本在区间上的频率为__________________.16.(算法)右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________17.(统计)某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生人，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部三个年级的学生人数共有人.18.(三角函数)函数的最小正周期为是19.(平面向量)已知，若＝5，⊥，则向量______20.(三角函数)函数的单调递减区间是__________________三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上）21.(平面向量)已知，，.（1）求（2）求.22.(三角函数)已知函数的图形的一个最高点为，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过，求这个函数的解析式.23.(统计)某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数.24.(概率) 某次游园的一项活动中，设置了两个中奖方案：方案1：在如图所示的游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖； 方案2：从一个装有2个红球和3个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖.两个方案中，哪个方案中奖率更高？请说明理由.25.(三角变换)已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点. 是扇形的内接矩形，记.（1）求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值. （2）当矩形的面积为时，求角的值. 附加题：26. 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；θOQDCPBA（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.27．如图，已知在三角形中，,，. (1) 求向量的模；(2)若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求这个最大值.28. 在三角形中 （1）若，求的值. （2）若，求证：.珠海市xx ～xx 学年度第二学期期末学生学业质量监测高一数学试题及参考答案一、选择题1、C2、D3、D4、B5、B6、B7、B8、D9、B 10、B 11、C 12、C二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上） 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上） 21.解：（1）………………………………………………………………（1分） 即…………………………………………………………（3分） 即………………………………………………………（4分） ……………………………………………………………（5分） （2） …………………………………………………（7分）CAB而2222222()2242631a b a a b b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=………………（9分）…………………………………………（10分）22、解：由题意可知：，………………………………………………………（1分） ，即………………………………………………………（3分） 由周期公式可得到：，又，…………………………（4分） ……………………………………………………………（5分） 又函数图像过点，即…………………………………（7分） 又…………………………………………………………………（9分） 所以函数解析式是：……………………………………（10分）23.解：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=（人）……………（2分） （2）学校900名学生中，成绩属于第四组的人数（人）………………………（2分） （3）由图可知众数落在第三组，是………………………（5分） 因为数据落在第一、二组的频率数据落在第一、二、三组的频率…………（6分）所以中位数一定落在第三组中. ………………………………（7分） 假设中位数是，所以……………………（9分） 解得中位数…………………………………（10分）24.解：（1）设正方形边长为2，则圆半径为，中奖概率为.…………………（4分） （2）从袋中5个球中摸出2个，试验的结果共有（种）………………（5分） 中奖的情况分为两种：（i ）2个球都是红色，包含的基本事件数为；………………………………（6分） （ii ）2个球都是白色，包含的基本事件数为.……………………………（7分） 所以，中奖这个事件包含的基本事件数为1+3=4. 因此，中奖概率为.…………（9分） 由于，所以方案1的中奖率更高. …………………………………………（10分）25.解：(1)在中：，……………………（1分）在中：所以…………………………………（2分）所以……………………………………（3分）所以矩形的面积……………………（4分）………………………………（6分）由，得，所以当，即时，……………（7分）(2)当时，即……………（8分）又因为，所以，即…………………（10分）附加题：26. 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.解：（1）从袋中10个球中摸出2个，试验的结果共有（种）……………………………（1分）中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为；…………………………（2分）（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为.…………………………（3分）所以，中奖这个事件包含的基本事件数为36+16=52. 因此,中奖概率为.………………………（4分）（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟.用表示每次试验的结果，则所有可能结果为；……………………………………………………………（5分）记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为. ………………………………………………………（6分）如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分. ………………………………………………………（8分）根据几何概型公式，得到.所以，甲比乙提前到达的概率为. ………………………………（10分）27．如图，已知在三角形中，,，.(1) 求向量的模；(2)若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求这个最大值.解：（1）………………………………（1分）222222AB AC BC AB AC AB BC AC BC=+++⋅+⋅+⋅……………………（2分）222343452340235()24555=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯……………………（3分）…………………………………………………………………………………（4分）（另解：用几何法，根据向量加法的平行四边形法则，画图，很快可得）（2）……………………………………………（5分）……………………………………（6分）…………………………………………………（7分）……………………………………………………（8分）………………………………………………………（9分）当即时，……………………………（10分）CA B28. 在三角形中（1）若，求的值.（2）若，求证：.解：（1）由得即……………………………（1分）即即…………………………………………………（2分）即…………………………………………（3分）即即…………………………………………………（4分）（2）由已知得：都为锐角，…………………………………………（5分）……………………………（6分）……………………………………………（7分）是方程的两个实根……………（8分）即即即或（舍去）………………………………………（9分）又因为为锐角，所以所以…………………………………………（10分）。
2021-2022学年山东省蓬莱高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=（ ）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x【答案】D【解析】根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.【详解】因为{}{242B x x x x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以R A B ⋃={|2}x x . 故选：D【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.2．函数()lg(2)f x x =-的定义域为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)2,∞+【答案】C【分析】解不等式组310,20x x -≥⎧⎨->⎩即得解. 【详解】解：由题得3101,2203x x x -≥⎧∴≤<⎨->⎩. 所以函数的定义域为1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C3．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】依据三角函数值的符号判断角α的终边所在象限即可解决. 【详解】由点(sin ,tan )P αα在第四象限，可知sin 0,tan 0αα><，则角α的终边在第二象限. 故选：B4．已知命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)-+∞ B ．()21,+∞ C ．(),21-∞ D ．()3,-+∞【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可. 【详解】因为命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，所以240x x a -++>在[3,3]x ∈-上有解，所以2max (4)0x x a -++>，而一元二次函数24x x a -++在422(1)x =-=⨯-时取最大值，即22420a -+⨯+>解得4a >-， 故选：A5．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f π，可排除B ，即可得到答案.【详解】因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ，故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．若α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则（ ） A ．sin sin 0αβ+= B ．cos cos 0αβ+= C ．22sin sin 1αβ+= D ．tan tan 0αβ-=【答案】A【分析】因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则2k αβπ+=，Z k ∈，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】解：因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称， 则2k αβπ+=，Z k ∈，选项A ：sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβαπααα+=+-=-=，故A 正确， 选项B ：cos cos cos cos(2)2cos 0k αβαπαα+=+-=≠，故B 错误， 选项C ：22222sin sin sin sin (2)2sin 0k αβαπαα+=+-=≠，故C 错误， 选项D ：tan tan tan tan(2)tan tan 2tan 0k αβαπαααα-=--=+=≠，故D 错误， 故选：A ．7．若31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记cos sin cos log ,log cos ,1log tan x y z αααααα===+，则,,x y z 的大小关系正确的是（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．x z y <<D ．y x z <<【答案】C【分析】由题意可得0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>，然后利用对数函数的单调性比较大小 【详解】因为31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>， 所以cos cos log log 10x ααα=<=， sin sin log cos log sin 1y αααα=>=，cos cos cos 1log tan log (cos tan )log sin z ααααααα=+==，因为0cos sin 1αα<<<，所以cos cos cos log cos log sin log 1ααααα>>， 所以cos 1log sin 0αα>>，即01z <<， 综上，x z y <<， 故选：C8．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f -=-，当,1,1a b且0a b +≠时()()0f a f b a b+>+.已知,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由奇偶性分析条件可得()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()max 1f x =，进而得2143sin 2cos θθ<+-，结合角的范围解不等式即可得解. 【详解】因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以当,1,1a b且0a b +≠时()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，根据,a b 的任意性，即,a b -的任意性可判断()f x 在[]1,1-上单调递增， 所以()max (1)(1)1f x f f ==--=，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则2143sin 2cos θθ<+-，整理得(sin 1)(2sin 1)0θθ++>，所以1sin 2θ>-，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,62ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二、多选题9．已知全集U =R ，集合M ，N 的关系如图所示，则（ ）A ．NM M =B ．()U M N ⋂=∅C ．()()U U M N ⊇D ．()()U U UM N N ⋂=【答案】AB【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.【详解】由图可知()()()()(),,,U U U U UUN M M M N M N M N M ==∅⊆=.故选：AB10．幂函数21*()(22),N m f x m m x m --=+-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．1m = B ．函数()f x 是偶函数 C ．(2)(3)f f -< D ．函数()f x 的值域为(0,)+∞【答案】ABD【分析】根据幂函数定义可知2221m m +-=，即可解得m 的值，结合m 是正整数即可对选项做出判断.【详解】由幂函数定义可知，系数2221m m +-=，解得1m =或32m =-，又因为*N m ∈，所以1m =；故A 正确； 1m =时，221()f x xx -==，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足2()()1f f x x x ==-，所以函数()f x 是偶函数，即B 正确； 由21()f x x=可知，函数()f x 在(0,)+∞为单调递减，所以(2)(2)(3)f f f -=>，所以C 错误； 函数21()f x x=的值域为(0,)+∞，即D 正确； 故选：ABD.11．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A ．函数解析式()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度可得函数()f x 的图象C ．直线1112x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 D ．函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2【答案】ABC【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可. 【详解】由题图知：函数()f x 的最小正周期453612T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22πωπ==，2A =，所以函数()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式中可得22sin 6πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，得()23k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，因此()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度可得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，故B正确.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1112x π=-时，()2f x =，故C 正确.当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，23x π+∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x ⎡∈-⎣故D 错误． 故选：ABC ．12．已知正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．236x y z >> D ．24xy z ≥【答案】ACD【分析】令236x y z t ===则1t >，可得：2log x t =，6log z t =，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.；【详解】解：令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =， 3log y t =，6log z t =， 对于选项A ：因为()231111lg 2lg 31lg 61lg 2lg 3log 6log log lg lg lg lg t x y t t t t t t z+=+=+=+===， 所以111x y z+=，故选项A 正确；对于选项B ，因为1t >，故lg 0t >，所以232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >； ()3663lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 9363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 选项错误. 对于选项C ：log lg lg a t t a a a =，因为02lg 23lg36lg 6<<<，所以1112lg 23lg 36lg 6>>， 因为lg 0t >，所以lg lg lg 2lg 23lg 36lg 6t t t >>，即362log log log 236t t t >>，即236x y z>>，故选项C 正确；对于选项D ：()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t txy t t =+=⋅=⨯， ()()()222262lg 444log 4lg lg 6lg 6t z t t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⨯<=⎪⎝⎭，因为lg 2lg3≠所以等号不成立， 所以()214lg 2lg3lg 6>⨯，即()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⨯， 所以24xy z >，根据“或”命题的性质可知选项D 正确. 故选：ACD三、填空题13．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是__________.【答案】{}90180120180,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈， 终边落在图中直线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒Z k ∈； 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈，即终边在直线上的角为120180k ︒+⋅︒，Z k ∈，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈， 故答案为：{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈14．已知正数x ，y 满足21x y +=，则12xx y +的最小值为__________.【答案】5【分析】根据基本不等式即可求解最值.【详解】()212121124y x x y x y x y-+=+=+-， 由于0,0x y >>，21x y +=,所以()12122222241125x y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y == 时，取等号，故12x x y +最小值为5，故答案为：515．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是________．【答案】2π23-232π-【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得2π3AB BC AC ===， 则AB =BC =AC =2，故扇形的面积为2π3， 由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍， ∴所求面积为22π33222π233⨯-=- 故答案为：2π23-32π-．四、双空题16．已知定义在R 上的奇函数12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩，则(1)f -=________；不等式(())7≤f f x 的解集为________.【答案】 1 (,2]-∞【解析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得(1)f -；不等式(())7≤f f x 的解集等价于()3f x ≥-的解集，即可求得答案.【详解】解：∵12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()()()1221x xg x f x f x --==--=-=--，12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-<⎩，∴(1)211f -=-=；又12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在()0,∞+和()0-∞，上都单调递减，而且函数又是连续性函数，图像没有断开，所以函数12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在R 上单调递减，∵不等式(())7,(3)7f f x f ≤-=，()3f x ∴≥-，123xx ≥⎧∴⎨-≥-⎩或0213x x -<⎧⎨-≥-⎩， 解得：2x ≤，即不等式(())7≤f f x 的解集为(,2]-∞. 故答案为：1；(,2]-∞.【点睛】本题考查奇函数的性质以及求解方法，考查复合不等式的求解，属于中档题.五、解答题 17．（1）计算20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）计算31log 242766194log 3log 8log 82log 3--⋅+-【答案】（1）0；（2）3【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解； （2）利用对数性质及运算法则求解.【详解】（1）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12223816442216273-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22933220444⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）31log 242766194log 3log 8log 82log 33--⋅+-3212log 2323662134log 3log 2log 22log 33=-⨯++3log 42366134log 3log 2log 2log 32=-⨯⨯++()642log 23213=-+⨯=+=.18．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值；（2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值． 【答案】（1）1825（2）725【分析】(1)由三角函数的定义首先求得sin ,cos αα的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；(2)由题意首先求得,αβ的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】（1）由三角函数定义得3cos 5α=-，4sin 5α， ∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++⎛⎫====⨯-=⎪+⎝⎭+． （2）∵cos cos sin sin cos()0αβαβαβ+=-=，且0βαπ<<<， ∴2παβ-=，2πβα=-，∴3sin sin cos 25πβαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．∴44337sin()sin cos cos sin 555525αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程; (2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.(2)证明函数()y f x =是R 上的减函数； (3)若2(2)()0f x f x -+<，求x 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3){1x x >或}2x <-【分析】（1）利用特殊值求出(0)0f =，从而证明()()f x f x -=-即可；（2）证明出[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-12()f x x =-，再利用当0x >时，()0f x <恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解. 【详解】（1）证明：由()()()f a b f a f b +=+， 令0a b 可得(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，令,==-a x b x 可得()()()f x x f x f x -=+-， 即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，而函数()y f x =的定义域为R ，故函数()y f x =是奇函数．（2）证明：设12x x >，且1R x ∈，2x R ∈，则120x x ->， 而()()()f a b f a f b +=+[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-1222()()()f x x f x f x =-+- 12()f x x =-，又当0x >时，()0f x <恒成立，即12()0f x x -<，12()()f x f x ∴<， ∴函数()y f x =是R 上的减函数；（3）(方法一）由2(2)()0f x f x -+<， 得2(2)()f x f x -<-， 又()y f x =是奇函数， 即2(2)()f x f x -<-，22x x ∴->-解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是{1x x >或}2x <-. (方法二)由2(2)()0f x f x -+<且(0)0f =，得2(2)(0)f x x f -+<， 又()y f x =在R 上是减函数， 220x x ∴-+>，解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是 {1x x >或}2x <-.21．已知函数()2f x x bx c =++，满足()()1f x f x =-，其一个零点为1-．(1)当0m ≥时，解关于x 的不等式()()21mf x x m ≥--； (2)设()()313f x x h x +-=，若对于任意的实数1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤，求M 的最小值．【答案】(1)答案见解析 (2)242【分析】（1）根据条件求出,b c ，再分类讨论解不等式即可； （2）将问题转化为()()max min M h x h x ≥-，再通过换无求最值即可. 【详解】（1）因为()()1f x f x =-，则()()2211x bx c x b x c ++=-+-+，得1b又其一个零点为1-，则()1110f c -=++=，得2c =-，则函数的解析式为()22f x x x =--则()()2221m x x x m --≥--，即()()()222210mx m x mx x -++=--≥当0m =时，解得：1x ≤当0m >时，①2m =时，解集为R ②02m <<时，解得：1x ≤或2x m≥， ③m>2时，解得：2x m≤或1x ≥， 综上，当0m =时，不等式的解集为}{1x x ≤；当2m =时，解集为R ；当02m <<时，不等式的解集为{1x x ≤或2x m ⎫≥⎬⎭； 当m>2时，不等式的解集为2x x m ⎧≤⎨⎩或}1x ≥.（2）对于任意的1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤， 即()()max min M h x h x ≥-令()222314t x x x =+-=+-，则()3th t =因为[]2,2x ∈-，则min 0t =，max 5t =可得()5max 3h t =，()0min 31h t ==则()()max min 2431242h x h x -=-=， 即242M ≥，即M 的最小值为242．22．某同学用“五点法”画函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请根据上表数据，求函数()f x 的解析式；(2)关于x 的方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求t 的取值范围；(3)求满足不等式()()52043f x f f x f ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数解． 【答案】(1)()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)2⎡⎤⎣⎦； (3)2.【分析】（1）由表格中的数据可得出A 的值，根据表格中的数据可得出关于ω、ϕ的方程组，解出这两个量的值，可得出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，即可得出实数t 的取值范围；（3）分析可得()0f x <或()1f x >，分别解这两个不等式，得解集，令0k =，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.【详解】（1）解：由表格数据知，2A =，由325362πωπϕπωπϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）解：当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 262x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦， 因为方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以t的取值范围为2⎡⎤⎣⎦. （3）解：因为552cos 2sin 14266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2432cos 2cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以不等式即：()()10f x f x ⎡⎤-⋅>⎣⎦，解得()0f x <或()1f x >，由()0f x <得cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()3222Z 262k x k k πππππ+<-<+∈， 所以5,36x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈； 由()1f x >得1cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()222Z 363k x k k πππππ-+<-<+∈，所以,124x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈.令0k =可得不等式解集的一部分为5,,12436ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，解集中最小的正整数为2．。
湖南省长沙市2021-2022学年度高一数学第一学期期末考试【含答案】
；
对于B：原式＝ ；
对于C：原式＝ ；
对于D：原式＝ ．
故选：ABD
【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，知函数 ，则下列说法中正确的是（）
A. 的最小正周期为 B. 在 上单调递增
C.曲线 关于 对称D.曲线 关于 对称
【答案】ABC
∴ ，∴ ，
∴ .
故选：B.
7.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】解：因为 ，所以将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
8.已知 （ ）， （ ），则p，q的大小关系为（）
因此 .
故答案为：
18.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）
故函数 的图象过定，点 ，故A正确；
根据方程 有两个实数根，可得 ，即 ，
故 是方程 有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；
∵ 的反函数是 ，∴ ，故C错误；
若 在区间 上为减函数，
则 在区间 上大于零，且 ，
即 且 ，求得 ，故D正确，
故选：AD.
三､填空题（共5道小题，每小题3分，共15分）
16.命题“ ， ”的否定是___________.
2021年高一上学期期末考试数学试题(平行班) 含答案
2021年高一上学期期末考试数学试题（平行班）含答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题有且只有一个正确选项, 请将答案填写在答题卡相应位置．)1.直线的倾斜角为（）A．； B．； C．； D．2．正方体中，直线与所成的角为（）A．30o B．45o C．60o D．90o3．在空间直角坐标系中，点A(1，－2，3)与点B(－1，－2，－3)关于( )对称A．x轴B．y轴C．z轴D．原点4．圆：与圆：的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为( ) A．4 3 B．8 C．8 3 D．826．一个圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．7．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④8．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( ) A． 3 B．2 C． 6 D．2 39．入射光线沿直线射向直线：，被直线反射后的光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．10．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A．316B．916C．38D．932二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置．）11．如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．12．已知三点A（3，1），B（-2，m），C（8，11）在同一条直线上，则实数m等于______．13．为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为________．14．如果球的内接正方体的表面积为，那么球的体积等于________．15．当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝4－x2有公共点时，实数k的取值范围是________．三、解答题：（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请在答题卡中相应位置作答．）16．(本小题满分10分)已知直线和直线 ,分别求满足下列条件的的值.(1) 直线过点,并且直线和垂直；(2)直线和平行, 且直线在轴上的截距为 -3．17．(本小题满分10分)如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD.△FBC中BC边上的高FH=2，EF=. 求该多面体的体积.18．（本小题满分10分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．求证：（1）DN//平面PMB；（2）平面PMB平面PAD．19．（本小题满分10分）已知以点A（m，）（m∈R且m>0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．（1）当m=2时，求圆A的标准方程；（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设直线与圆A相交于P，Q两点，且|OP|=|OQ|，求|PQ| 的值．一、选择题(4分×10=40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C B A D C D D B A二、填空题(4分×5=20分)11．；12．；13．3；14．；15．．三、解答题(10分×4=40分)16. 解析： (1)由已知得，解得；(2)由已知得，解得．17. （课本原题）18. 解析：（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN//BC//MD，且QN=MD，所以四边形QMDN是平行四边形，于是DN//MQ．.（2）又因为底面ABCD是,边长为的菱形，且M为中点，所以.又所以..PADPMBPMBMBPADMB平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥西安中学xx——xx学年度第一学期期末考试高一数学（平行班）试题答案19. 解析：（1）当m=2时，圆心A的坐标为（2，1）∵圆A过原点O，∴=22+12=5则圆A的方程是（x-2）2+（y-1）2=5；（2）∵圆A过原点O，∴=则圆A的方程是（x-m）2 +（）2=，令x=0，得y1=0，y2=，∴令y=0，得x1=0，x2=2m，∴∴S△OBC==4，即：△OBC的面积为定值；（3）∵|OP|=|OQ|，|AP|=|AQ|，∴OA垂直平分线段PQ，∵k PQ=-2，∴k oA=，∴= ，解得：m=2或m=-2，∵已知m>0，∴m=2∴圆A的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．此时A（2,1）到直线2x+y-4=0的距离d=,圆A与直线相交于两点，|PQ|=== ．}E27040 69A0 榠21767 5507 唇27210 6A4A 橊35693 8B6D 譭39542 9A76 驶932037 7D25 紥@-39096 98B8 颸36863 8FFF 迿-。
2021年高一下学期期末考试数学试题(B)含答案
2021年高一下学期期末考试数学试题（B ）含答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．某校高一年级某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“跑操与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60，选取的这6名学生的编号可能是（ ） A ．1，2，3，4，5，6B ．6，16，26，36，46，56C ．1，2，4，8，16，32D ．3，9，13，27，36，542．已知点P （tan α，cos α）在第三项限，则角α所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二项限C ．第三项限D ．第四项限3．阅读右面的程序框图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75， 则输出的a 、b 、c 分别是（ ） A ．75、32、21 B ．21、32、75 C ．32、21、75D ．75、21、324．要得到的图象只需将y =3sin2x 的图象（ ） A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是（ ）6．如图所示，在矩形ABCD 中，AB =2a ，AD =a ，图中阴影部 分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000 粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是 （ ） A ．1000πB ．xx πC ．3000πD ．400π7．已知下列三个等式： ①；②；③． 其中正确的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）频数分布条形图如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为，则 （ ） A ．m e =m 0=B ．m e =m 0＜C ．m e ＜m 0＜D ．m 0＜m e ＜9．某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽 样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率 分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样 本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)， [102，104),[104，106]，已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于 98克并且小于104克的产品的个数是（ ） A ．90 B ．75 C ．60D ．4510．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 中点，若，,且∠BAD =60°，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知60°的圆心角所对的圆弧长是4cm, 则这个扇形的面积等于____________． 12．若是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为____________． 13．已知 那么的值为____________．14．样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为____________． 15．关于函数，有①的最大值为；②的最小正周期是π96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050克频率/组距第9题图③在区间上是减函数；④直线是函数的一条对称轴方程．其中正确命题的序号是____________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）若，求的值．17．（本小题满分12分）已知向量，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若（m为实数）与平行，求的值．18．（本题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)[)[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）60分及以上为及格，试估计这次考试的及格率和平均分．19．（本小题满分12分）已知函数的最小值是，最小正周期为，其图象经过点．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）已知，，求的值．20．（本小题满分13分）某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm）．男队员身高在180cm以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”．按照“高个子”和“非高个子”用分层抽样的方法共抽取5名队员．（Ⅰ）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（Ⅱ）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率．21．（本小题满分14分）在△ABC中，记∠BAC=x (角的单位是弧度制)，△ABC的面积为，且，．（Ⅰ）求x的取值范围；（Ⅱ）就（Ⅰ）中x的取值范围，求函数的最大值、最小值．高一数学试题（B）参考答案一、选择题BBDCD ABDAC二、填空题11. cm212. 13. 14.2 15. ②④三、解答题得…3分16．解：（Ⅰ）由，（Ⅱ）；……………………………………6分（Ⅲ）∵，，∴，…………………………7分∵，，………………………………9分∴………………11分. ………12分17.（本小题满分12分）说明：a,b都用粗黑体。
2021学年河北省高一(下)期末数学试卷有答案
2021学年河北省高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 在△ABC中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c等于（）A.1:2:3B.3:2:1C.1:√3:2D.2:√3:12. 已知△ABC中，a=√2，b=√3，B=60∘，那么角A等于（）A.135∘B.90∘C.45∘D.30∘3. 在△ABC中，若b cos A=a cos B，则该三角形为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4. 在△ABC中，a=6，B=30∘，C=120∘，则△ABC的面积是（）A.9B.18C.9√3D.18√35. 在△ABC中，若sin A:sin B:sin C=3:4:6，则cos C=()A.11 24B.1324C.−1324D.−11246. 等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a8的值为（）A.20B.24C.36D.727. 在等差数列{a n}中，a7=9，a13=−12，则a25=()A.−22B.−54C.60D.648. 在等差数列{a n}中，若a4+a6=12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9的值为（）A.48B.54C.60D.669. 在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A.12B.24C.36D.4810. 在−1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则（）A.a=2，b=5B.a=−2，b=5C.a=2，b=−5D.a=−2，b=−511. 首项为−24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A.d>83B.83≤d≤3 C.83≤d<3 D.83<d≤312. 已知等差数列{a n}的公差d=12，a2+a4+...+a100=80，那么S100=()A.80B.55C.135D.160二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在△ABC中，已知∠A=150∘，a=3，则其外接圆的半径R的值为________．已知等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a16的值是________．数列{a n}的前项n和S n=3n2−5n，则a20的值为________．等差数列{a n}中，若S n=3n2+2n，则公差d=________..三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）在△ABC中，a=3，b=4，c=√37，则这个三角形中最大的内角为________．在△ABC中，已知a=1，b=√3，A=30∘，则B等于________．（1）△ABC中，a=3√3，c=2，B=150∘，求b．（2）△ABC中，a=2，b=√2，c=√3+1，求A．在等差数列{a n}中，d=−13，a7=8，求a n和S n．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+12n，那么这个数列的通项公式a n=________．在等差数列{a n}中，a4=0.8，a11=2.2，求a51+a52+...+a80．四、附加题（20分）一个首项为正数的等差数列{a n}，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大？参考答案与试题解析2021学年河北省高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】C【考点】正弦定理【解析】利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．【解答】解：在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=π6，∠B=π3，∠C=π2．由正弦定理可知：a:b:c=sin∠A:sin∠B:sin∠C=sinπ6:sinπ3:sinπ2=1:√3:2．故选：C．2.【答案】C【考点】正弦定理【解析】先根据正弦定理bsin B =asin A将题中所给数值代入求出sin A的值，进而求出A，再由a<b确定A、B的关系，进而可得答案．【解答】解析：由正弦定理得：a sin A =bsin B⇒√2sin A=√3sin B，sin A=√2√3B=√22，∴A=45∘或135∘，∵a<b，∴A<B，∴A=45∘.故选C.3.【答案】C【考点】正弦定理三角形的形状判断【解析】已知等式利用正弦定理化简，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A−B=0，即A=B，即可确定出三角形形状．【解答】解：利用正弦定理化简b cos A=a cos B得：sin B cos A=sin A cos B，∴sin A cos B−cos A sin B=sin(A−B)=0.∵0<A<π，0<B<π，∴−π<A−B<π，∴A−B=0，即A=B，则三角形形状为等腰三角形．故选C．4.【答案】C【考点】正弦定理【解析】利用三角形的内角和公式求得A=30∘，可得△ABC为等腰三角形，直接利用△ABC的面积，求得结果．【解答】解：∵△ABC中，a=6，B=30∘，C=120∘，∴A=30∘．故△ABC为等腰三角形，故b=6，则△ABC的面积为12×6×6×sin120∘=9√3，故选C．5.【答案】D【考点】正弦定理【解析】由正弦定理可得3sin A=4sin B=6sin C，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得．【解答】解：∵sin A:sin B:sin C=3:4:6，∴由正弦定理可得：a:b:c=3:4:6，∴b=4a3，c=2a，由余弦定理可得cos C=a 2+b2−c22ab=a2+16a29−4a22a×4a3=−1124．故选：D．6.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】由题目的条件考虑利用等差数列的性质对已知化简，a4+a6+a8+a10+a12=5a8，从而可求出结果．【解答】解：由等差数列的性质可得，a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120∴a8=24故选B．7.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=9，a13=−12，∴{a1+6d=9a1+12d=−12，．解得a1=30，d=−72)=−54．则a25=30+24×(−72故选：B．8.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】等差数列的等差中项的特点，由第四项和第六项可以求出第五项，而要求的结果前九项的和可以用第五项求出，两次应用等差中项的意义．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a4+a6=12，则a5=6，S n是数列的{a n}的前n项和，∴s9=9(a1+a9)2=9a5=54故选B．9.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．【解答】解：S10=a1+a2+...+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a1+a10)=120所以a1+a10=24故选B10.【答案】A【考点】等差数列的性质【解析】在−1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，即−1，a，b，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a与b的方程组，求出方程组的解集即可得到a与b的值．【解答】解：根据题意得：−1，a，b，8成等差数列，∴2a=−1+b①，2b=a+8②，由①得：b=2a+1，将b=2a+1代入②得：2(2a+1)=a+8，即3a=6，解得：a=2，将a=2代入得：b=2a+1=5，则a=2，b=5．故选A11.【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】先设数列为{a n}公差为d，则a1=−24，根据等差数列的通项公式，分别表示出a10和a9，进而根据a10>0，a9≤0求得d的范围．【解答】解：设数列为{a n}公差为d，则a1=−24；a10=a1+9d>0；即9d>24，所以d>83而a9=a1+8d≤0；即d≤3<d≤3所以83故选D12.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】由题意可得a2+a4+...+a100=(a1+d)+(a3+d)+...+(a99+d)，进而可得a1+a3+...+a99的值，而S100=(a1+a3+...+a99)+(a2+a4+...+a100)，代入计算可得．解：由题意可得a2+a4+...+a100=(a1+d)+(a3+d)+...+(a99+d) =a1+a3+...+a99+50d=a1+a3+...+a99+25=80，故a1+a3+...+a99=80−25=55故S100=(a1+a3+...+a99)+(a2+a4+...+a100)=55+80=135故选C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】3【考点】正弦定理【解析】由正弦定理可得asin A=2R，代值计算即可．【解答】解：由正弦定理可得asin A=2R，∴R=a2sin A =32×sin150∘=32×12=3故答案为：3【答案】22【考点】等差数列的性质【解析】由等差数列的性质结合已知求得a8，再由等差数列的通项公式求得a16的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a7+a9=16，∴a8=a7+a92=162=8，又a4，a8，a12，a16成等差数列，且公差为a8−a4=8−1=7，∴a16=a4+3×7=1+21=22．故答案为：22．【答案】112【考点】等差数列的前n项和【解析】直接利用数列{a n}的前项n和S n=3n2−5n，求解a20的值即可．【解答】解：数列{a n}的前项n和S n=3n2−5n，则a20=S20−S19=3×202−5×20−3×192+5×19=112．故答案为：112．【答案】6【考点】等差数列的前n项和利用等差数列的前n项和，求出第一项，第二项，然后求出公差．【解答】解：等差数列{a n}中，若S n=3n2+2n，可得a1=5，S2=a1+a2=16．可得a2=11，公差d=11−5=6．故答案为：6．三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】120∘【考点】余弦定理【解析】根据c>b>a，可得角C是三角形的最大角．再由余弦定理算出cos C=−12，结合C为三角形内角可得C=120∘，即得三角形中最大内角的大小．【解答】解：∵a=3，b=4，c=√37，∴c>b>a，可得角C是三角形的最大角．由余弦定理，可得cos C=a 2+b2−c22ab=9+16−372×3×4=−12．又∵0∘<C<180∘，∴C=120∘．即这个三角形中最大的内角为120∘．故答案为：120∘【答案】60∘或120∘【考点】正弦定理【解析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sin B的值，确定出B的度数．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=√3，A=30∘，∴由正弦定理asin A =bsin B得到：1sin30∘=√3sin B，即：112=√3sin B，解得sin B=√32．∵0<B<180∘，∴B=60∘或B=120∘．故答案是：60∘或120∘．【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵由余弦定理可得：b2=a2+c2−2ac cos B=3√32+22−2×3√3×2×cos150∘=49．∴解得：b=7．（2）∵ a =2，b =√2，c =√3+1， ∴ 由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc=√3−42×√2×(√3+1)=√22． ∵ A ∈(0, 180∘)， ∴ A =45∘．【考点】 正弦定理 【解析】由余弦定理即可结合已知求值． 【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵ 由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2−2ac cos B =3√32+22−2×3√3×2×cos 150∘=49． ∴ 解得：b =7．（2）∵ a =2，b =√2，c =√3+1， ∴ 由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc=√3−42×√2×(√3+1)=√22． ∵ A ∈(0, 180∘)， ∴ A =45∘． 【答案】解：∵ d =−13，a 7=8，∴ 8=a 1+6×(−13)，解得a 1=10．∴ a n =10+(n −1)×(−13)=−13n +313，S n =10n −13×n(n−1)2=−16n 2+616．∴ a n =−13n +313，S n =−16n 2+616．【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵ d =−13，a 7=8， ∴ 8=a 1+6×(−13)， 解得a 1=10．∴ a n =10+(n −1)×(−13)=−13n +313，S n =10n −13×n(n−1)2=−16n 2+616．∴a n=−13n+313，S n=−16n2+616．【答案】a n=2n−12．【考点】数列的求和【解析】利用公式a n={s1n=1s n−s n−1n≥2即可求得a n．【解答】解：①当n=1时，a1=s1=32②当n≥2时，由a n=s n−s n−1得a n=(n2+n2)−[(n−1)2+n−12)]=2n−12又a1=32满足a n=2n−12，所以此数列的通项公式为a n=2n−12．故答案为a n=2n−12．【答案】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=0.8，a11=2.2，∴{a1+3d=0.8a1+10d=2.2，解得a1=d=0.2．∴a n=0.2+0.2(n−1)=0.2n，∴S n=0.2n+n(n−1)2×0.2=n2+n10．∴a51+a52+...+a80=S80−S50=80×(80+1)10−50×(50+1)10=393．【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=0.8，a11=2.2，∴{a1+3d=0.8a1+10d=2.2，解得a1=d=0.2．∴a n=0.2+0.2(n−1)=0.2n，∴S n=0.2n+n(n−1)2×0.2=n2+n10．∴a51+a52+...+a80=S80−S50=80×(80+1)10−50×(50+1)10=393．四、附加题（20分）【答案】解：∵首项为正数的等差数列{a n}的前三项之和与前11项之和相等，∴a4+a5+...+a11=0，即4(a7+a8)=0，a7+a8=0．∴a7>0，a8<0，且|a7|=|a8|．∴数列{a n}的前7项和最大．【考点】等差数列的性质【解析】由题意结合等差数列的性质得到a7+a8=0，进一步得到a7>0，a8<0，且|a7|= |a8|．则答案可求．【解答】解：∵首项为正数的等差数列{a n}的前三项之和与前11项之和相等，∴a4+a5+...+a11=0，即4(a7+a8)=0，a7+a8=0．∴a7>0，a8<0，且|a7|=|a8|．∴数列{a n}的前7项和最大．试卷第11页，总11页。
2021年高一数学下学期期末试卷 理(含解析)
2021年高一数学下学期期末试卷理（含解析）一、选择题（每小题5分，共计60分，将答案填入答题卡内）1．已知数列{an }的首项a1=1，an=an﹣1+3（n≥2，n∈N*），则a4=（）A． 10 B． 11 C． 9 D． 82．在△ABC中，B=30°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于（）A．B．C．D．3．若a＜b＜0，则（）A．B．C． ab＞b2D．4．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A=（）A．90°B．60°C．135°D．150°5．在等差数列{a n}中，已知a2+a3+a4=18，那么s5=（）A． 30 B． 35 C． 18 D． 266．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为（）A． 81 B． 120 C． 168 D． 1927．设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形8．下列各函数中，最小值为2的是（）A． y=x+ B． y=sinx+，x∈（0，）C． y= D． y=5x+5﹣x9．在数列{a n}中，已知对于n∈N*，有a1+a2+a3+…+a n=2n﹣1，则a+a+…+a=（）A． 4n﹣1 B．（4n﹣1）C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）210．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若=a1+a2011，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点），则S2011=（）A． 2011 B．C． 22011D． 2﹣201111．已知数若变量x，y满足约束条件，则z=9x+y的最大值为（）A．﹣9 B． 9 C． 6 D．﹣612．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分，将答案填入答题卡内）13．△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．14．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是．15．数列{a n}满足：a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，则a2011= ．16．数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，b n=，则数列{b n}的前n项和为．三、解答题17．已知||=1，||=2，（1）若∥，求•；（2）若、的夹角为60°，求|+|；（3）若﹣与垂直，求与的夹角．18．在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S10=S15，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求当n取何值时，S n取得最大值，并求它的最大值．1）a＞0，b＞0，若为3a与3b的等比中项，求的最小值；（2）已知x＞2，求f（x）=+x的值域．20．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b．一、选择题（21、22两道题普通班可以任意选择一道解答，实验班必做22题）21．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．22．函数f（x）=x2+x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）令c n=+，证明：c1+c2+…+c n＞2n．xx学年吉林省长春外国语学校高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分，将答案填入答题卡内）1．已知数列{a n}的首项a1=1，a n=a n﹣1+3（n≥2，n∈N*），则a4=（）A． 10 B． 11 C． 9 D． 8考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可判数列为等差数列，由通项公式可得．解答：解：由a n=a n﹣1+3可得a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}构成1为首项3为公差的等差数列，∴a4=a1+3d=1+3×3=10故选：A点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．2．在△ABC中，B=30°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和内角和定理求出角A，根据大边对大角判断出最短边是b，由条件和正弦定理求出边b．解答：解：由B=30°，C=60°得，A=180°﹣B﹣C=90°，则边b是最短边，由正弦定理得，则b===，故选：A．点评：本题考查正弦定理，边角关系的应用，以及内角和定理，属于基础题．3．若a＜b＜0，则（）A．B．C． ab＞b2D．考点：不等式的基本性质．专题：常规题型．分析：用不等式的性质和特殊值法可依次验证每个选项解答：解：对于A：当a=﹣2，b=﹣1时，显然不成立，∴A错误对于B：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|＞0∴，∴B错误对于C：由已知条件知a＜b，b＜0根据不等式的性质得：a•b＞b•b即ab＞b2∴C正确对于D：由已知条件知：∴D错误故选C点评：本题考查不等式的性质，须牢固掌握并能灵活应用不等式的性质，注意特值法的应用4．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A=（）A．90°B．60°C．135°D．150°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：把已知条件的左边利用平方差公式化简后，与右边合并即可得到b2+c2﹣a2=bc，然后利用余弦定理表示出cosA的式子，把化简得到的b2+c2﹣a2=bc代入即可求出cosA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=（b+c）2﹣a2=b2+2bc+c2﹣a2=3bc，化简得：b2+c2﹣a2=bc，则根据余弦定理得：cosA===，又A∈（0，180°），所以A=60°．故选B点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，是一道综合题．5．在等差数列{a n}中，已知a2+a3+a4=18，那么s5=（）A． 30 B． 35 C． 18 D． 26考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质以及前n项和公式进行求解即可．解答：解：∵a2+a3+a4=18，∴3a3=18，即a3=6，则s5===5a3=5×6=30，故选：A．点评：本题主要考查等差数列前n项和公式的计算，根据等差数列的性质求出a3=6是解决本题的关键．6．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为（）A． 81 B． 120 C． 168 D． 192考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{a n}的前4项和．解答：解：因为==q3=27，解得q=3又a1===3，则等比数列{a n}的前4项和S4==120故选B点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．7．设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形考点：向量的模；平行向量与共线向量．专题：计算题．分析：根据向量平行（共线）的定义，若两个向量平行（共线）则表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合．两个向量的模相等则表示两个向量的有向线段长度相等．由此不难判断四边形ABCD的形状．解答：解：∵=，∴DC∥AB，且DC≠AB．又||=||，∴四边形为等腰梯形．故选C点评：向量法是解答和证明几何问题常用的办法，其中线段的平行和相等主要利用向量平行（共线）的性质，即：若两个向量平行（共线）则表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合．两个向量的模相等则表示两个向量的有向线段长度相等．8．下列各函数中，最小值为2的是（）A． y=x+ B． y=sinx+，x∈（0，）C． y= D． y=5x+5﹣x考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．解答：解：选项A，x可能为负数，不满足最小值为2，故错误；选项B，当且仅当sinx=1时才会使最小值为2，而x∈（0，）时，sinx取不到1，故错误；选项C，y===+≥2，当且仅当=即x2+2=1即x2=﹣1时取等号，显然任意实数x不满足x2=﹣1，故错误；选项D，由基本不等式可得y=5x+5﹣x≥2=2，当且仅当5x=5﹣x≥x=0时取等号，故正确．故选：D点评：本题考查基本不等式求最值，注意等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．9．在数列{a n}中，已知对于n∈N*，有a1+a2+a3+…+a n=2n﹣1，则a+a+…+a=（）A． 4n﹣1 B．（4n﹣1）C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）2考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：法1：利用作差法得出a n2=4 n﹣1，得到数列{a n2}是以4为公比的等比数列，利用等比数列求和公式计算即可．法2：利用特殊值法进行验证排除，分别令n=1，n=2进行排除．解答：解：∵a1+a2+…+a n=2n﹣1 ①，∴a1+a2+…+a n+1+a n+1=2n+1﹣1②，②﹣①得a n+1=2n∴a n2=4 n﹣1，数列{a n2}是以4为公比的等比数列，由a1=2﹣1=1，得a12=1由等比数列求和公式得a12+a22+…+a n2===（4n﹣1），法2：技巧性做法：（特殊值验证法）当n=1时，a1=2﹣1=1，则a=1，此时A.4n﹣1=3，不满足．排除A．B.（4n﹣1）=1，满足．C.（2n﹣1）=不满足，排除C．D．（2n﹣1）2=1，满足．当n=2时，a1+a2=3，则a2=2，则a+a=1+4=5，此时B.（4n﹣1）=5，满足．D．（2n﹣1）2=9，不满足，排除D．故选：B点评：本题考查了数列通项公式以及求和的计算，利用作差法是解决本题的关键．同时使用特殊值法进行排除是解决本题的关键．此类问题的技巧性方法．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若=a1+a2011，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点），则S2011=（）A． 2011 B．C． 22011D． 2﹣2011考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由向量共线的知识可得a1+a2011=1，代入等差数列的求和公式计算可得．解答：解：∵A、B、C三点共线，∴=k，k∈R，∴﹣=k（﹣），∴=（1﹣k）=+k，又∵=a1+a2011，∴a1+a2011=1﹣k+k=1，∴S2011==故选：B点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及向量共线，属中档题．11．已知数若变量x，y满足约束条件，则z=9x+y的最大值为（）A．﹣9 B． 9 C． 6 D．﹣6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=9x+y得y=﹣9x+z，平移直线y=﹣9x+z，则由图象可知当直线y=﹣9x+z经过点C（1，0）时直线y=﹣9x+z的截距最大，此时z最大，此时z=9×1+0=9，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象．专题：计算题．分析：由f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数，利用奇函数的性质可得f（0）=Acosφ=0结合已知0＜φ＜π，可求φ=，再由△EFG是边长为2的等边三角形，可得=A，结合图象可得，函数的周期T=4，根据周期公式可得ω，从而可得f（x），代入可求f（1）．解答：解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数∴f（0）=Acosφ=0∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx∵△EFG是边长为2的等边三角形，则=A又∵函数的周期 T=2FG=4，根据周期公式可得，ω=∴f（x）=﹣Asinx=﹣则f（1）=故选D点评：本题中的重要性质要注意灵活运用：若奇函数的定义域包括0，则f（0）=0；解决本题的另一关键是要由△EFG是边长为2的等边三角形，及三角形与函数图象之间的关系得到=A，这也是本题的难点所在．二、填空题（每小题5分，共计20分，将答案填入答题卡内）13．△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．考点：正弦定理的应用；余弦定理．专题：解三角形．分析：先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．解答：解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．14．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是﹣14 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），可得a＜0且方程ax2+bx+2=0的解为﹣，；从而求解．解答：解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴，解得：a=﹣12，b=﹣2；故答案为：﹣14．点评：本题考查了二次不等式与二次方程及二次函数的关系，属于基础题．15．数列{a n}满足：a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，则a2011= 3 ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．解答：解：∵a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=a2﹣a1=6﹣3=3，a4=a3﹣a2=3﹣6=﹣3，a5=a4﹣a3=﹣3﹣3=﹣6，a6=a5﹣a4=﹣6+3=﹣3，a7=a6﹣a5=﹣3+6=3，∴该数列的周期为6，∵2011=335×6+1，∴a2011=a1=3，故答案为：3．点评：本题考查数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，b n=，则数列{b n}的前n项和为（﹣﹣）．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：运用等差数列的求和公式，可得a1+a2+…+a n，再将b n写成（﹣），运用裂项相消求和，即可得到结论．解答：解：由a n=2n+1，可得a1+a2+…+a n=n（3+2n+1）=n（n+2），则b n===（﹣），即有数列{b n}的前n项和为S n=（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）=（﹣﹣）．故答案为：（﹣﹣）．点评：本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知||=1，||=2，（1）若∥，求•；（2）若、的夹角为60°，求|+|；（3）若﹣与垂直，求与的夹角．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）由数量积运算公式解得即可；（2）利用遇模平方法，结合数量积运算即可解得；（3）由题意可得=1，再利用向量夹角公式即可解得．解答：解：（1）∵∥，∴，的夹角θ=0°或180°，∴=cosθ=±2．（2）|+|====．（3）∵﹣与垂直，∴（）•=0即==1，∴cos＜＞==，∴＜＞=．点评：本题主要考查向量的数量积运算及向量求模运算知识，属于基础题．18．在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S10=S15，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求当n取何值时，S n取得最大值，并求它的最大值．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据条件求出等差数列的公差即可求数列{a n}的通项公式；（2）根据{a n}的通项公式；由a n≥0，解得n≤13，即可得到结论．解答：（1）∵a1=20，S10=S15∴10a1+d=15a1+d，即12d=﹣a1=﹣20．∴d=﹣，∴a n=20﹣（n﹣1）=﹣n+．（2）∵a1=20＞0，d=﹣＜0∴数列{a n}为递减数列由a n=﹣n+≥0得n≤13，即a13=0，∴（S n）max=S12=S13==130点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，根据方程关系求出公差是解决本题的关键．1）a＞0，b＞0，若为3a与3b的等比中项，求的最小值；（2）已知x＞2，求f（x）=+x的值域．考点：基本不等式；函数的值域．专题：函数的性质及应用；不等式．分析：（1）根据为3a与3b的等比中项得出a+b=1，再利用基本不等式求出的最小值即可．（2）由x＞2时，x﹣2＞0，利用基本不等式求出f（x）=的最小值即可．解答：解：（1）∵为3a与3b的等比中项，∴3a•3b=3，∴a+b=1，又a＞0，b＞0，∴=2+≥4，当且仅当a=b时取“=”；∴的最小值为4．（2）∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴f（x）==﹣2+2≥2+2=4，当且仅当x﹣2=1，即x=3时，取“=”；∴f（x）的值域是{f（x）|f（x）≥4}．点评：本题考查了基本不等式a+b≥2的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，根据正弦定理和已知等式求得a和b的关系，进而利用余弦定理求得a，则b可求．解答：解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，∴f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，∴sin（2C﹣）=1，由C为三角形内角，∴2C﹣=，∴C=，∴cosC=，又∵向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴sinB﹣2sinA=0，即b=2a，则c2=a2+b2﹣2abcosC，即3=a2+4a2﹣4a2×，解得：a=1，b=2点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．要求学生对诸如二倍角公式，两角和公式三角函数性质和图象等知识能熟练掌握．一、选择题（21、22两道题普通班可以任意选择一道解答，实验班必做22题）21．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．22．已知函数f（x）=x2+x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f （x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）令c n=+，证明：c1+c2+…+c n＞2n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件知，由此能求出a n=n+1，n∈N*．（2）=，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．（3）c n=+=，由此利用均值定理和放缩法能证明c1+c2+…+c n＞2n．解答：（1）解：∵函数f（x）=x2+x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，∴，当n=1时，．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣[]=n+1，当n=1时，也适合上式，∴a n=n+1，n∈N*．（2）证明：由（1）得=，∴，①=，②①﹣②，得：=1+=3﹣，∴T n=6﹣．（3）c n=+=≥=2，∴c1+c2+…+c n＞2（1+2+3+n）=2×=n（n+1）＞2n．∴c1+c2+…+c n＞2n．点评：本题考查数列通项公式和前n项和公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意错位相减法和均值定理的合理运用．40166 9CE6 鳦 36232 8D88 趈X38911 97FF 響33831 8427 萧27302 6AA6 檦22753 58E1 壡22306 5722 圢39189 9915 餕Q35786 8BCA 诊~23646 5C5E 属。
2021年高一下学期期末联考数学(文)试题 含答案
2021年高一下学期期末联考数学（文）试题含答案注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.若，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．2.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）A． B．C． D．3.已知直线与直线平行，则的值是（）A． B. C. D.4.已知等比数列的前项和为,且满足,则公比=（）A． B． C．D．5.设一元二次不等式的解集为，则的值为（）A.1B.-4C.D.6.在等差数列中，，，则数列的前10项和（）A.220B.210C.110D.1057.已知，，，则（）A. B. C. D.均不正确8.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）A. B. C.8 D.109.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D.10.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）A. B. C. D.11. 已知a 、b 满足a+2b=1，则直线必过定点（ ）A BC D12.直线与圆相切，则实数m 等于 （ ）A BC D第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题。
每小题5分，共20分。
13.设满足约束条件,则的最小值= 。
14.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的表面积为，则该正方体的体积为 。
15.已知两点A （0，-3），B （4，0）.若点P 是圆上的动点，则面积的最小值= 。
2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2021—2022学年第一学期质量检测高一年级数学试题班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或36. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或47. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD. sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 1812. 设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数， 则实数a 的取值范围为________．16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.17. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若A B A =，求a 的取值范围．19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)πααπαππα⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-的值.20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1xf x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值.23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2.（Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由.24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式： （2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B2. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）【答案】C3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者 【答案】A4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位【答案】B5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或3【答案】A6. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或4【答案】C7. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)【答案】B8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)【答案】C11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C12. 设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________． 【答案】15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]2∞－， 16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－231617. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．【答案】24:25三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若AB A =，求a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2- （2）()(),45,-∞-+∞19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)ααπαππα-- ⎪⎝⎭+-的值. 【答案】（1）35；（2）54-. 20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1x f x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．【答案】（1）22,[0,1]1(),[1,0)1x x x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩（2）单调减函数，证明见解析21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()283,05257,5x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩（2）4万件22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值. 【答案】（1）答案见解析，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最大值2；最小值2-. 23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2. （Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12k =（2）0a ≤（3）518m =- 24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。
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2021年高一年级期末考试数学试题含答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．集合，，则等于（）A. B. C. D.2．如图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象．已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ( )A．－2，－12，12，2 B．2，12，－12，－2C．－12，－2，2，12D．2，12，－2，－123．方程表示倾斜角为锐角的直线，则必有( )A. B. C . D.4．函数，，其中，则( )．均为偶函数．均为奇函数．为偶函数，为奇函数．为奇函数，为偶函数5．函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）6．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是()A．36 B．108 C．72 D．1808．已知函数，则的最小值是（）A、B、C、D、9．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC10．若函数，满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为（）A、B、C、D、二、填空题（每小题5分，共20分）11．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x轴上的截距为____ ___．12．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②MN∥CD.；③EF与MN是异面直线；④AB与DF所成的角为60°以上四个命题中，正确命题的序号是____ ____．13．方程的根，∈Z，则= ．14．已知是定义域为的奇函数，在区间上单调递增，当时，的图像如右图所示：若，则的取值范围是；三、解答题（共80分）15．（本小题满分12分）已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．(1)若a= -1，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝，求a的取值范围．16．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a>0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求f(x)；(2)若g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，xy o 3BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点． (1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥C －ABD 的体积．18．（本小题满分14分）设函数y ＝f (x )且x 、y 满足lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )．(1)求y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)求f (x )的值域；（结果可保留分数指数幂形式）19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． （1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（本小题满分14分）定义在(－1,1)上的函数f (x )满足下面两个条件：(ⅰ)对任意x ，y ∈(－1,1)都有：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；(ⅱ)当x ∈(－1,0)时，f (x )>0，求： (1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3) 当x ∈[0,1)，若f (x )≤m 2－2am （m ≠0）对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．揭阳一中xx 学年度第一学期95届期末考试数学试题参考答案一、选择题: DBBCA BBDDD二、填空题：11. ；12. ①③ ； 13. 3 ； 14.三、解答题（共80分）15. 解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． ………………………………2分 (1) 若a =－1， B ＝{x |(x +1)·(x +3)<0}＝{x |－3<x <－1} …………………………3分∁R B ＝{x |x ≥－1或x ≤－3} ………………………………………………4分 ∴ A ∩(∁R B )＝{x |2<x <4} ……………………………… ………………5分 (2)∵要满足A ∩B ＝，当a ＝0时，B ＝满足条件； ……………………6分 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0<a ≤23或a ≥4； ……………………9分 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或3a ≥4.∴a <0时成立， ……………………11分 综上所述，a ≤23或a ≥4 ………………………………… ………………12分16．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ……………………………1分a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数， ……………………………2分故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ……………………………5分 ∴ f (x )＝x 2－2x ＋2 ……………………………6分 (2) g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ……………………………8分 ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4. ……………………………11分∴m ≤2或m ≥6. ……………………………12分 17解：(1)证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG ， ………………………1分∵E 是B 1C 的中点，∴ EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1. ………………3分又AA 1∥BB 1，AA 1=BB 1 ，D 是AA 1的中点，∴ EG ∥AD 且EG =AD …………………………………5分 ∴四边形EGAD 是平行四边形，∴ ED ∥AG ， ………………………7分又DE 平面ABC ，AG ⊂平面ABC ∴DE ∥平面ABC . …………9分 (2) ∵DA ⊥平面A BC ∴DA 是三棱锥D －A BC 的高DA ＝12AA 1＝3 CG ＝12BC ＝3 ∴ AG 2＝AC 2- CG 2＝16 ∴ AG ＝4 (11)分∴V C －A BD ＝V D －A BC ＝13×12BC ·AG ·D A ＝16×6×4×3＝12 ………………14分18.解：(1) lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x ·(3－x )]，∴lg y ＝3x ·(3－x )． ………3分∴y ＝103x (3－x )…………………………………………………………5分由⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3 ∴定义域是{x |0<x <3} ……………………7分 (2)∵y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274， …………………9分当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274，∴u ∈⎝⎛⎦⎤0，274. …………………………10分y ＝10u 在⎝⎛⎦⎤0，274上是递增的，∴y max ＝10 …………………………………12分又u>0 ∴y>1 ………………………………………………………13分 ∴值域是(1,10] ………………………………………………14分 19． 解：（1）由题设，连结，为等腰三角形，， ……………1分 又为等腰直角三角形，所以,又， ∴，且，且SA SA SA OB SB SO 22222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，……4分∴．所以为直角三角形，． ……………………5分又． 所以平面． ……………………7分 （2）取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．………………10分 由得平面．所以，又，故 ………13分所以二面角的正弦值为 ………………………………………14分20．解：(1)令x ＝y ＝0 得f (0)＝0， …………………………………………1分令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) (3)分∴f (x )在(－1,1)上是奇函数． (4)分(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2， (6)分而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0，又x 1－x 21－x 1x 2－(－1)＝(1＋x 1)(1－x 1)1－x 1x 2>0， (8)分故－1<x 1－x 21－x 1x 2<0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0,1)上单调递减． …………………………………10分(3)∵f (0)＝0，f (x )在[0,1)上单调递减．∴在[0,1)上，f (x )≤0. …………………………11分 问题转化为m 2－2am ≥0对a ∈[－1,1]成立． ……………………………12分 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.∵m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2. …………………………14分QW25699 6463 摣W28378 6EDA 滚23297 5B01 嬁37670 9326 錦33120 8160 腠32674 7FA2 羢y?25252 62A4 护31419 7ABB 窻i40711 9F07 鼇。