《数学竞赛》几何

证法二：利用二次
12 E H
曲线的极与极线.
3
B
OD
C
N
结论为三线共点，
注意到E、F的切线就是
E、F的极线.
AD又是谁的极线？如果找到AD的极，可利用“共线点的极线共点”证明
之.
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“共线点的极线共点”
A
“共点线的极共线”
F
P ——AP的极 P
E
Q ——AQ的极
Q H
H ——AN的极 B
A
同一点．由（1）可知， BX CY AZ' =1． XC YA Z'B
根据题设又知 BX CY AZ =1 ．
Z' Z
Y
XC YA ZB
对照两式可得 AZ = AZ' ，则 AZ = AZ' ，因此有 ZB Z'B AB AB
B
X C
AZ=AZ' ，即 Z’ 就是 Z．表明 X、Y、Z 共线．证毕．
例3：如图5.2.2，过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分 别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫 恩（Lemoine）线).
A
Q
Y Z
B
X
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笛沙格（Desargues）定理
R A
C
B
C
图 5.2.2
P
7
§5.2 几个重要定理
见课本P195.例5
22
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27
见课本P205.例3
例 5.设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形，H1、H2、H3、H4 依 次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心．求 证：H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心 位置．（1992 年全国高中数学联赛）
A
Y Z
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B
X
C
5
§5.2 几个重要定理
见课本P191.例1
例3：如图5.2.2，过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接
圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：
P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).
证明：因为 BP SABP AB2 ．
Q
PC SACP AC2
证法2： 完全四边形的调和性
F PE
B
DC
Q
图 5.2.7
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9
§5.2 几个重要定理
三、托勒密(Ptolemy)定理：
四边形 ABCD 内接于圆，则有：AC·BD=AB·CD+AD·BC．
分析：可设法把 AC·BD 拆成两部分，如把 AC 写成 AE+EC，
这样，AC·BD 就拆成了两部分：AE·BD 及 EC·BD，于是只要证
五、 西姆松（Simson ）定理
三角形外接圆周上任意一点在三边（所在直线）上的射影共线.
• 证法一：只需证 ∠1+ ∠2=180° 证法二：应用Menelaus定理
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A
Z
B
2X
C
1
Y
P
15
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16
习题 5.2
1.如图，F 是 P 的平分线上一点，过 F 作两直线 AD, BC
F N
A
P M
HE
如图：Ｌ，Ｍ，Ｎ设是△ＡＢＣ三边 中点，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心， Ｐ，Ｑ，Ｒ是ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ的中点 则Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ， Ｒ九点共圆
Q R
B
L
DC
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
九点圆定理
A
A
九点圆的性质
F N
P HM
K G
QO
例4：设AD是△ABC的高，P为AD上一点，BP、CP
的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。
证明：AD平分∠EDF．
A
N
M
证法1：利用Ceva定理
F PE
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B
DC
图 5.2.7
8
§5.2 几个重要定理
见课本P195.例5
例4：设AD是△ABC的高，P为AD上一点，BP、CP 的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。 证明：AD平分∠EDF． A
D
C
N
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A
F
P
E
H
Q
B
D
C
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条件“BC为直径、H是垂心”有用么？
A
N
F
E
P
Q
N
H
C D B
33
A A
F
E
P
Q
N
H
F
E
C
D B
P
Q
N
H
圆也可以换.
B
C D
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§5.3 几个典型的几何问题
三、共点线问题
证明三线共点的方法：
1.转化为共线点的问题来证明
HE
B
R
C
B
L
DC
三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；
三角形的九点圆心、外心、重心、垂心四心共线（欧拉线）；
三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ， Ｈ，则ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2 ︰ 1 ︰ ３
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
A
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则
⑴+⑵，得 AC·BD=AB·CD+AD·BC．
10
§5.2 几个重要定理
• 例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和.
A
• 即：证明 AP=BP+PC
证法1：延长BP至D使PD=PC， 连CD.
然后证明AP=BD.
B
证明 △ACP≌△BCD.
C P
D
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• 例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和.
• 即：证明 AP=BP+PC
A
证法3(托勒密定理)：
BC·AP=AC·BP+AB·PC，
所以 AP=BP+PC
B
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C P
13
§5.2 几个重要定理
一
2
2=
2
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§5.2 几个重要定理
2.利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）
3.应用Ceva定理 ☆
4.利用位似形的性质——对应点连线过位似中心 5.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、布 利安双（Brianchon）定理等
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
例１．通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆， 证明这四圆共点．
设O是四边形的外心， 则OM⊥AB， ON⊥AD, 因此，A、M、O、N共圆。
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
例2．密克（Miquel ）定理：
H
K G
O
ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2 ︰ 1 ︰ ３
B
C
三角形重心——
uuur OG=
uuur uuur uuur OA+OB+OC
3
uuur uuur uuur uuur uuur 三角形垂心—— OH=3OG OA+OB+OC
三角形九点圆心——
uuur OK
1
uuur OH=
1
uuur uuur uuur (OA+OB+OC)
在△ＡＢＣ三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在 直线上分别取Ｘ，Ｙ，Ｚ三点，则⊙Ａ ＹＺ，⊙ＢＺＸ，⊙ＣＸＹ三个圆共点.
Ｚ
Ａ 3Ｙ
2Ｍ
Ｂ
1
Ｘ
Ｃ
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见课本P204.例1 例3
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
九点圆定理
例4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线 段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆．
改述为： 如图，△ABC中， E、F分别是AC、AB上的点，且EF∥BC．BE与CF 交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.
A
证法 1：（塞瓦定理）
因 AD、BE、CF 交于一点，所以有
BD CE AF 1， DC EA FB
又 EF∥BC，则 AF AE ，
B
FB EC
F
E
O
D
C
代入上式得 BD=DC.
D
明 AE·BD=AD·BC 及 EC·BD=AB·CD 即可．
C
证明: 在 AC 上取点 E，使ADE=BDC，
E 由DAE=DBC，得⊿AED∽⊿BCD．
∴
AE∶BC=AD∶BD，即 AE·BD=AD·BC． ⑴A
B
又ADB=EDC，ABD=ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．
∴ AB∶ED=BD∶CD，即 EC·BD=AB·CD． ⑵
BX
C
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3
§5.2 几个重要定理
例1：证明：在三角形中，
（1）三条中线交于一点（重心）；
（2）三条角平分线交于一点（内心）；
（3）三条边的中垂线交于一点（外心）；
（4）三条高交于一点（垂心）
A
Z
Y
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BX
C
4
§5.2 几个重要定理
例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的 内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点 （葛尔刚（Gergonne）点).
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见课本P207
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• 例6：在△ＡＢＣ中以ＢＣ为直径的圆交ＡＢ，ＡＣ于Ｆ， Ｅ，求证：圆在Ｅ，Ｆ的切线与高线ＡＤ共点．
分析一：设过E点的切线交AD于M， A
易证图中三个角相等，
则ME=MH=MA.
连FM，须证FM是圆的切线
M
作F点的半径FO，
F
只需证FO⊥FM
uuur uuur uuur uuur 三角形垂心—— OH=OA+OB+OC
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§5.3 几个典型的几何问题
二、共线点问题
证明三点（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共线的方法：
1.利用平角：证明∠XYZ=180°（或0°） 2.证明ＸＹ与ＸＺ平行于同一条直线；证明Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直线上； 证明ＸＺ和某定直线的交点就是Ｙ 3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等） 4.应用Menelaus定理 ☆ 5.利用位似形的性质——对应点连线过位似中心 6.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、帕普斯 （ Pappus ）定理、 帕斯卡（Pascal）定理等
11
§5.2 几个重要定理
• 例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和.
A
• 即：证明 AP=BP+PC
证法2：在AP上取一点C’，使 PC’=BP，连BC’.
然后证明 AC’=PC.
B
C’
C
证明 △ABC’≌△CBP.
P
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§5.2 几个重要定理
Z
XC YA ZB
D
Y
X
B
C
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1
§5.2 几个重要定理
一、梅涅劳斯(Menelaus)定理及逆定理：
（2）若 BX CY AZ =1 ，则 X、Y、Z 共线． XC YA ZB
应用同一法．
题设为 BX CY AZ =1 ，欲证 X、Y、Z 共线． XC YA ZB
如图，连结 XY 延长交 AB 于 Z’，须证明 Z’ 与 Z 是
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2
§5.2 几个重要定理
二、塞瓦(Ceva)定理及逆定理： △ABC 的三边 BC、CA、AB 上各有一点 X、Y、Z（延长线上有 0 个或 2 个 点），则 AX、BY、CZ 三线交于一点（或平行）的充要条件是 BX CY AZ =1 ．
XC YA ZB
A
Z
Y
Y
Z
A
BX
C
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改述为： 如图，△ABC中， E、F分别是AC、AB上的点，且EF∥BC．BE与CF 交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.
证法 2：完全四边形的调和性
A
F
E
O
B
D
C
。
P∞
(BC,D P∞)=-1
BD=DC
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
证明四点共圆，通常用下列方法：
（1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义） （2）证明ＡＢＣＤ是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点 连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧） （3）相交弦定理之逆：若ＡＢ∩ＣＤ=O，证明ＯＡ·ＯＢ＝ＯＣ·ＯＤ （4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其 余的点对这线段的视角均为直角．
第五章 几 何
§5.2 几个重要定理
一、梅涅劳斯(Menelaus)定理及逆定理：
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△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上各有一点
X、Y、Z（延长线上有 1 个或 3 个点），
（1）若 X、Y、Z 共线，则 BX CY AZ =1 ；
A
XC YA ZB
（2）若 BX CY AZ =1 ，则 X、Y、Z 共线．
同理有 CQ QA
BC 2 BA2
,
AR RB
CA2 CB2
．
R A
所以 BP CQ AR 1．则 P、Q、R 三点共线．
PC QA RB
P
B
C
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图 5.2.2
6
§5.2 几个重要定理
例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、 Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).
分别交 P 的一边于 A 、 C ，交另一边于 B 、 D ，求证：
AC PA PC .
C
BD PB PD
Menelaus定理
PD BF CA 1
AC PA CF
DB FC AP
BD PD FB
P
CF PC FB PB
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AC PA PC BD PB PD
A F
B
D
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