等式的基本性质详解
等式的知识点总结
等式的知识点总结一、等式的定义等式是数学中一个非常基本的概念，它是指两个代数式或算式通过等号相连，并且左右两边的值相等。
等式一般可以写为x=y，其中x和y可以是数字、代数式或变量。
在等式中，= 是等号，左右两侧的数或代数式分别称为等式的左边和右边。
二、等式的性质1. 等式的基本性质(1) 左右两边同时加（减）上（或去掉）相同的数（或代数式），等式仍然成立。
(2) 左右两边同时乘（或除）以（或去掉）相同的非零数（或代数式），等式仍然成立。
(3) 对等式两边同时作相同的运算，等式仍然成立。
(4) 若等式两边同时开方，等式仍然成立。
2. 等式的对称性等式具有对称性，即等式两边的位置可以互换而不改变等式的成立。
3. 等式的传递性如果a=b，b=c，则a=c。
这表明等式的传递性，即相等关系具有传递性。
4. 等式的等价性如果两个等式表示的是同一个实际问题，它们的解集合完全相同，那么这两个等式是等价的。
5. 等式的反面如果a=b，那么b=a。
这表明等式的反面性质。
三、解等式的方法解等式的方法主要包括整理化简和移项两种基本方法。
1. 整理化简(1) 合并同类项(2) 化简复杂的代数式(3) 去掉分母(4) 化简无法合并的代数式2. 移项(1) 移项是解一元一次方程的基本方法，它是指通过加（减）一个数或代数式，使等式两边的未知数移到一边，常数移到另一边，从而实现求解的目的。
四、常见的等式类型1. 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0（a≠0）的代数方程，其中未知数只有一个，并且未知数的最高次数为一。
解一元一次方程的基本方法是整理化简和移项。
2. 一元二次方程一元二次方程是形如ax²+bx+c=0（a≠0）的代数方程，其中未知数只有一个，并且未知数的最高次数为二。
解一元二次方程的基本方法是配方法、公式法、完全平方公式法等。
3. 分式方程分式方程是含有未知数的分式表达式，并且在方程中含有分式部分的代数方程。
等式的基本性质
1 两边同
1 ，所以 y 0 ，所以变形正确。
• • • •
作业 书P84 练习1，2 书P86 9、10、11、12 书P87 5、6
等式的基本性质1 等式的基本性质2
（6）如果-3x=6，那么x=6______ ÷（-3）等式的基本性质2
• 练习册P62 4~13
例2
指出下面各题中的等式是怎样变形的, 其变形的依据是什么? (1)如果a-2=b-2,那么a=b; (2)如果m+5=0,那么m=-5; 1 (3)如果-12x=6,那么x 2 (4)如果 1 x -4 ,那么x=-8;
抢答题
根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式.
(1)a b,
两边都加上 b .
√ √
√ ×
(2)2a 3b, 两边都除以 6.
a b (3) 1, 两边都乘以12. 3 4 a 1 (4) 1, 两边都乘以 x. x
例1
用适当的数或式子填空，使得到的结果依然 是等式，并说明根据。
2
• 练习册P62~P63 15
超越自我 a 4、要把等式 (m 4)x a 化成 x m 4 ， m 必须满足什么条件？
解：根据等式性质2，在 (m 4)x a 两边同除以
a ，所以 m 4 0 即 m 4。 m 4 便得到 x m4
1 5、由 xy 1 到 x 的变形运用了那个 y 性质，是否正确，为什么？
a a
b b
a b
1 a a 1
b 1 b 1
a 1 b 1
a b
c a a c
b c b c
《等式的基本性质》图文讲解PPT
2 3
x－1.
导引: 注意等式的基本性质在解方程中的运用，即根据 题目特点，运用等式的基本性质，将方程变形为x ＝a(a为常数)的形式．
解: (1)两边同时加2，得3x－2＋2＝7＋2, 即3x＝9.
知3－讲
(2)两边同时减3，得 1 x＋3－3＝ 2 x－1－3，
2
3
即
1 2
x＝
2 3
x－4.两边同时减
七年级数学 一元一次方程
等式的基本性质
1 课堂讲解 2 课时流程
等式的性质1 等式的性质2 利用等式的性质变形
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
比较左、右两个天平图，你发现了什么？
知识点 1 等式的性质1
知1－讲
观察下图,并完成其中的填空.图中的字母表示相应物品 的质量，两图中天平均保持平衡.
2 【中考·广东】已知方程x－2y＋3＝8，则整式x－ 2y的值为( A )
A．5
B．10
C．12
D．15
知1－练
3 如果x+4=6,那么x=___2____ ，理由_根__据__等__式__的__性__质 _1_，__两__边__同__时__减__去__4_得__x_=__2____.
知识点 2 等式的性质2
知2－讲
例2 根据等式的基本性质填空，并在后面的括号内填
上变形的根据．
(1)如果4x＝x－2，那么4x－__x__＝－2
( 等式的基本性质1 )； (2)如果2x＋9＝1，那么2x＝1－__9__
( 等式的基本性质1 )；
(3)如果－
x 3
＝
1 4
，那么x＝__3__ 4
( 等式的基本性质2 )；
等式的基本性质
解:（1）两边减7得
（3）两边加5，得
1 x 55 45 3 1 x 9 化简得： 3
（2）两边同时除以-5得
5 x 20 5 5 x 4
两边同乘-3，得 x 27
经过对原方程的一系列变形 (两边同加减、乘除)，最终把方 程化为最简的形式： x = a(常数） 即方程左边只有一个未知数 项、且未知数项的系数是 1,右 边是一个常数项.
，
根据等式性质1，在等式两边同加3
如果4x=-12y，那么4x÷4= -12y÷4 ， 根据等式性质2，在等式两边同时除以4
如果-0.2ｘ＝6，那么-0.2ｘ÷(-0.2)= 6÷(-0.2) ，
根据等式性质2，在等式两边同除(-0.2)
例2:利用等式的性质解下列方程：
（1）x + 7 = 26； （2）- 5 x = 20；
如果a b，那么ac bc
a b 如果 a bc 0 , 那么 c c
注意
1、等式两边都要参加运算，并且是作同 一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是 同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除 数或分母.
练习：
如果x-3=2，那么x-3+3= 2+3
2
=2.
3、在学习了等式的性质后，小红发现运用等式的性质 可以使复杂的等式变得简洁，这使她异常兴奋，于是 她随手写了一个等式:3ａ+ｂ-2＝7ａ+ｂ-2，并开始运 用等式性质对这个等式进行变形，其过程如下： 3ａ+ｂ＝7ａ+ｂ（等式两边同时加上2） 3ａ＝7ａ（等式两边同时减去ｂ） 3＝7（等式两边同时除以ａ） 变形到此，小红顿时就傻了：居然得出如此等式！ 于是小红开始检查自己的变形过程，但怎么也找不出 错误来。 聪明的同学，你能让小红的愁眉在恍然大悟中舒展 开来吗？
等式的基本性质
等式的基本性质1：等式两边都加上或 减去同一个数或同一个整式，所得的等 式仍成立
等式的基本性质2：等式两边都乘以或 都除以(除数不为零)同一个数，所得的 等式仍成立
3．用“＜”或“＞”号填 空：
(1)-7______ -5； (2)(-3)4 ______ 34； (3)(-4)2______ (-3)2； (4)|-0.5| ______ |-1000|； (5)3+4 ______1+4； (6)5+3______ 12-5； (7)6×3______ 4×3； (8)6×(-3)______4×(-3)．
1．观察下列式子：
-7＜-5；
3+4＞1+4；
5+3≠12-5； a≠0；
a+2＞a+1； x+2＜6．
1.上述各式都是表示怎样的关系的式子？ 2.什么叫不等式？
例1： 1．用不等式表示： (1)a是正数； (2)a是负数； (3)a与b的和小于5； (4)x与2的差大于-1； (5)x的4倍大于7； (6)y的一半小于3．
例2： 用不等式表示下面的不等关系：
（1）张平的年龄比杨洋大； （2）某种电梯标明“载客不超过”
(3)设北京某一天的气温为x摄氏度. 北京某一天的最低气温是－3摄氏度， 最高气温是12摄氏度，用不等式表示为什么？
议一议：某展览会的售票员处规定：
购买零售票每人10元，购买20人一 张的团体票可以享受八折优惠。蓝
等式的基本性质-七年级数学上册课件(浙教版)
1， ，x+y，且x＞y，
∴①x+y=0， =y，x=1，
解得：x=1，y=-1，
②x+y=0， =x，y=1，
解得：y=1，x=-1（不符合题意，舍去），
∴x=1．
故答案为：1．
8．若x=-4是关于x的方程ax-b=1(a≠0)的解，则关于x的方程a(2x-3)-b1=0(a≠0)的解为______．
【详解】解：将x=-4代入方程ax-b=-4a-b=1，
a(2x-3)-b-1=0，整理得a(2x-3)-b=1，
则a(2x-3)-b=-4a-b，
∴2x-3=-4，解得x=− ，
故答案为− ．
9．王老师在黑板上写了一个等式(m-3)x=5(m-3)，小明说x=5；小刚
说不一定，当x≠5时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确
10x=15；④4x=-2变形为x=-2．
A．①③
B．①②③ C．③④
D．①②④
【答案】B
【分析】方程两边同时除以3得：x+2=0，故①正确；移项合并同类项
得：4x=-2，故②正确；方程两边同时乘以5得：10x=15，故③正确；
方程两边同时除以4得：x=- ，故④错误，即可求解．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方
依据等式的性质1两边同时减3.
(3) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x =3?
1
依据等式的性质2两边同时除以4或同乘 4 .
a
b
(4) 怎样从等式
得到等式 a = b?
100 100
1
等式的基本性质是什么
等式的基本性质是什么等式是数学中常见的概念，它表达了两个数或表达式相等的关系。
在数学中，等式具有一些基本的性质，这些性质对于理解和解决各种数学问题非常重要。
本文将讨论等式的基本性质，包括等式的自反性、对称性、传递性以及运算性质。
1. 等式的自反性等式的自反性指的是任何数与其本身相等，即 a = a。
这是因为任何数都是与其本身相等的，例如：3 = 3、x = x。
这个性质在数学推导和证明中经常被使用。
2. 等式的对称性等式的对称性指的是如果 a = b，那么 b = a。
也就是说，两个相等的数可以互换位置，依然保持相等关系。
例如，如果3 + 4 = 7，那么7 = 3 + 4。
这个性质在简化等式和解方程时非常有用。
3. 等式的传递性等式的传递性指的是如果 a = b，b = c，那么 a = c。
也就是说，如果两个数分别与第三个数相等，那么这两个数也是相等的。
例如，如果 x + 2 = 7，7 = 5 + 2，那么我们可以得出 x + 2 = 5 + 2，进一步简化为 x = 5。
等式的传递性可以用于连续推导和证明。
4. 等式的运算性质等式的运算性质是指在等式两边同时进行相同的运算，等式仍然保持相等。
例如，对等式两边同时加上一个相同的数，两边仍然相等；对等式两边同时乘以一个相同的非零数，两边仍然相等。
例如，如果 a = b，那么 a + c = b + c；如果 a = b，且c ≠ 0，那么 ac = bc。
这个性质在解方程和推导中经常被使用。
总结起来，等式的基本性质包括自反性、对称性、传递性和运算性质。
这些性质是数学推导和证明中的基石，能够帮助我们简化等式、解方程、推导数学关系，以及构建更复杂的数学理论。
通过理解和应用等式的基本性质，我们可以更加深入地理解数学中的各种概念和问题。
正确认识等式的性质，有助于提高解决数学问题的能力，培养数学思维和推理能力。
因此，熟悉并灵活运用等式的基本性质是数学学习中的重要一步。
等式的基本性质
叫做方 未知数的值 )叫做方 )。 。 ) )
(2)求方程的解的过程叫做 解方程 求方程的解的过程叫做( 求方程的解的过程叫做
(3)比x多5的数是 。列方程为 X+5=10 比 多 的数是 的数是10。列方程为( (4)8与x的和是 。方程为 8+X=56 与 的和是 的和是56。方程为( (5)比x少1.06的数是 比 少 的数是21.5。列方程为 的数是 。 ( )。 。 X-1.06=21.5
同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？ 同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？
在一张大纸的 两面分别印上 16页教材。 页教材。 页教材
对折四次后， 对折四次后， 每页的面积是 689.75cm2。
经过装订、 经过装订、裁 边后就成了我 们看到的教科 书。
一、填空。 (1)使方程左右两边相等的 使方程左右两边相等的( 使方程左右两边相等的 程的解。 程的解。
等式两边同时乘或除以一个相同的数（ 除外），等式大小不变 除外），等式大小不变。 等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式大小不变。
解方程 3x = 18
x x x
方程两边同时除以同 一个不等于0的数，左 一个不等于 的数， 的数 右两边仍然相等。 右两边仍然相等。
解：3x÷（3）= 18÷（3 ） ÷ ÷ x =（6） （
100g
100+x＝250
100+x=100+150 100+150=250, 所以x=150。
100+x＝250 x＝150
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做 方程的解。 像上面，x=150就是方程100+x=250的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
《等式的基本性质》 讲义
《等式的基本性质》讲义一、什么是等式在数学的世界里，等式是我们经常会遇到的一个重要概念。
简单来说，等式就是表示两个数或者表达式相等的一种数学式子。
比如 3 ＋ 5 ＝ 8，x ＋ 2 ＝ 7 等等。
等式就像是一座平衡的天平，两边的重量相等，保持着一种平衡的状态。
二、等式的基本性质 1等式的第一个基本性质是：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。
让我们通过一个简单的例子来理解。
假如有等式 5 ＝ 5 ，如果在等式两边同时加上 3 ，那么左边变成 5 ＋ 3 ＝ 8 ，右边也变成 5 ＋ 3 ＝8 ，等式依然成立，还是 8 ＝ 8 。
再比如等式 x 2 ＝ 5 ，如果在等式两边同时加上 2 ，左边变成 x 2＋ 2 ＝ x ，右边变成 5 ＋ 2 ＝ 7 ，于是得到 x ＝ 7 。
这个性质在解决方程问题时非常有用。
当我们想要求出未知数的值时，常常会利用这个性质，在等式两边进行相同的加或减的运算，逐步简化等式，最终求出未知数。
三、等式的基本性质 2等式的第二个基本性质是：等式两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数或同一个整式，等式仍然成立。
比如说有等式 2 ＝ 2 ，如果两边同时乘以 3 ，左边变成 2×3 ＝ 6 ，右边变成 2×3 ＝ 6 ，等式 6 ＝ 6 依然成立。
但要注意，除以的这个数不能是零。
因为在数学中，零不能作为除数。
我们来看一个实际应用的例子，等式 3x ＝ 9 ，要想求出 x 的值，因为 3x 表示 3 乘以 x ，所以等式两边同时除以 3 ，左边变成 3x÷3 ＝x ，右边变成 9÷3 ＝ 3 ，得到 x ＝ 3 。
四、等式基本性质的应用等式的基本性质在数学中有着广泛的应用。
在解方程时，我们依靠这些性质来变形等式，找到未知数的值。
例如，对于方程 4x ＋ 7 ＝ 23 ，首先在等式两边同时减去 7 ，得到 4x ＝16 ，然后再在等式两边同时除以 4 ，就可以求出 x ＝ 4 。
等式知识点总结
等式知识点总结一、等式的定义在数学中，等式是指两个代数式之间相等的关系。
一般来说，一个等式由等号（=）连接的两个代数式构成，如a=b，其中a和b是代数式，=是等号，表示a和b是相等的。
在等式中，等号的左边称为等式的左端，等号的右边称为等式的右端。
等式可以是单项式、多项式、方程式以及其他数学式，在等式中，等号两边的式子称为式的成员。
二、等式的性质1. 等式的性质一：等式的对称性等式具有对称性，即如果a=b，那么b=a。
这是因为等号表示两个式子相等，所以a和b可以互换位置。
2. 等式的性质二：等式的传递性如果a=b，b=c，那么a=c。
这是因为如果a和b相等，b和c相等，那么根据等式的定义，a和c也应该相等。
3. 等式的性质三：等式两边同时加（减）同一个式子，仍然相等即如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c。
这是因为等式两边同时加（减）同一个式子，不会改变原来式子的大小关系。
4. 等式的性质四：等式两边同时乘（除）同一个式子，仍然相等即如果a=b，那么a×c=b×c，a÷c=b÷c（其中c≠0）。
这是因为乘（除）同一个式子相当于等式两边同时乘（除）一个同样的倍数，不会改变原来式子的大小关系。
5. 等式的性质五：等式两边可以同时用一个式子来约去即如果a=b，而a≠0，那么a×c=b×c/a。
这是因为等式两边可以同时用一个式子来约去，这样可以简化计算。
6. 等式的性质六：如果两个式子的计算公式完全相等，则它们之间的关系也是相等的。
即如果a = f(x), b = f(x), 那么a = b。
这是因为f(x)表示相同的计算公式，所以a和b之间的关系也是相等的。
7. 等式的性质七：零和一个数的乘积等于零即0×a=0。
任何数乘以0都等于0。
8. 等式的性质八：等式两边都减去一个相同的数，等式依然成立。
即如果a=b，那么a-c=b-c。
等式的基本性质（详细解析考点分析名师点评）
等式的基本性质答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、下列结论中不能由a+b=0得到的是（）A、a2=﹣abB、|a|=|b|C、a=0，b=0D、a2=b2考点：等式的性质。
分析：根据等式的性质、绝对值的性质对各选项进行逐一判断即可．解答：解：A、当a=0，b=0；B、因为a=﹣b，即a与b互为相反数，根据互为相反数的两个数的绝对值相等，得到|a|=|b|；D、因为a=﹣b，即a与b互为相反数，根据互为相反数的两个数的平方相等，得到a2=b2；只有C不能由a+b=0得到；故选C．点评：本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．2、已知2x=3y（x≠0），则下列比例式成立的是（）A、B、C、D、3、若2y﹣7x=0，则x：y等于（）A、7：2B、4：7C、2：7D、7：4考点：等式的性质。
专题：计算题。
分析：本题需利用等式的性质对等式进行变形，从而解决问题．解答：解：根据等式性质1，等式两边同加上7x得：2y=7x，∵7y≠0，根据等式性质2，两边同除以7y得，=．故选C．点评：本题考查的是等式的性质：等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等；4、若有公式M=，用含有D、L、M的代数式表示d时，正确的是（）A、d=D﹣2LMB、d=2LM﹣DC、d=LM﹣2DD、d=考点：等式的性质。
分析：根据等式的性质，将等式进行变形后可得出答案．解答：解：根据等式的性质2，等式两边同时乘以﹣2L，得﹣2LM=d﹣D，根据等式性质1，等式两边同时加D得：d=D﹣2LM，故选A．点评：本题考查的是等式的性质：等式性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；等式性质2，等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等．5、已知：，那么下列式子中一定成立的是（）A、2x=3yB、3x=2yC、x=6yD、xy=66、如果，那么用y的代数式表示x，为（）A、B、C、D、考点：等式的性质。
第九讲 等式的基本性质
第九讲 等式的基本性质 知识讲解等式的基本性质探索新知：1、做一做：填表x1 2 3 4 5 6 7 2x ＋1当x ＝ 时，方程2x ＋1＝5成立。
2、试一试：分别把0、1、2、3、4代入下列方程，哪一个值能使方程成立：（1）x －1＝5;（2）3x －2＝4x －3由此得出方程的解和解方程的概念：归纳等式的基本性质：性质一：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍然成立；性质二：等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。
学科 数学 适用年级 新初一 适用范围 苏教版教学目标 1.了解与一元一次方程有关的概念，掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质解简单的一元一次方程；2.经历数值代入计算的过程，领会方程的解和解方程的意义.知道求方程的解就是将方程变形为x =a 的形式；3.强调检验的重要性，养成检验反思的好习惯。
知识点 方程的解等式的性质重难点重点： 比较方程的解和解方程的异同；归纳等式的性质；难点： 利用性质解方程.例题讲解考点 等式的基本性质及其运用例 1：解下列方程：（1）x ＋5＝2 (2)－2x ＝4【解析】方法一：用逆运算解方程；方法二：等式的性质解方程；将两种方法进行比较。
鼓励学生用等式的基本性质解题，解方程就是把方程变形为x ＝a 的过程，培养学生解方程要检验的习惯。
【答案】略【课堂练习】1、检验下列各题括号中的x 是否是前面方程的解．①825-=+x （x=-1） ②1253-=x x （x=6）2、解下列方程：（1）x ＋2＝－6 (2)－3x ＝3－4x (3)21x ＝3 (4)－6x ＝2 3、在公元前1600年左右遗留下来的古埃及文献中，有这样一个问题：“它的全部，它的71，和等于19” ．你能求出这个数吗？4、已知关于x 的方程12121=--n x 的解是1，求n 的值 例 2：用等式的基本性质解下列方程：（1）x ＋32＝23 (2)－7x ＝63(3)－2x ＋4＝－3x (4)x ＋5x ＝－3 (5)－21x ＋1＝－21 【解析】通过本例题，训练学生运用等式的基本性质解方程，要求学生能说出每一步的解题依据。
北师大版等式的基本性质
探究等式性质1
探究等式性质1
探究等式性质1
探究等式性质1
探究等式性质1
x+2z=y+2z 等式两边同时 减去2z x+2z -2z = y+2z-2z
等式的基本性质 1：
等式两边同时加（或减）同一个 代数式，所得结果仍然是等式.
若 x=y 则 x±z= y±z
大显身手
例1:下列变形不符合等式的基本性质的是（ B ）
则
x
=
y
（C为非零常
c c 数）
大显身手
例2:下列变形符合等式的基本性质的是（ D ）
A．若x=y，则-3x=3y B．若2x=2b-c，则x=b-c C．若ab=bc，则a=c D．若a=b，则 a = b
c2 +1 c2 +1
大显身手
例3:请你设计一个实验来求方程 5x = 3x + 4 的解.
北师大版初中数学
七年级数学 上册
5.1认识一元一次方程（第2课时） ——等式的基本性质
探究等式性质1
探究等式性质1
设1个 的质量为x克，1个 的质量为y克。
等 式
x =y
探究等式性质1
探究等式性质1
探究等式性质1
探究等式性质1
探究等式性质1
探究等式性质1
设1个
的质量为z克。
x=y 等式两边同时 x+2z = y +2 加上2z
你有若干个质量为x克的
的
.
，和质量为2克 2
22
大显身手
22
5x = 3x + 4
解：方程两边同时减3x,得 5x - 3x = 3x + 4 - 3x
人教版七年级数学上册3.1.2等式的性质
【等式性质1如果a b，那么a c b c.
】 【等式性质2如果a b，那么ac bc. 】
如果a bc 0 ,那么a b .
cc
1.等式两边都要参加运算，并且是作同
注 一种运算. 意 2.等式两边加或减,乘或除以的数一定是
同一个数
或同一个式子.
3ａ+ｂ-2 ＝2ａ+ｂ-2
3ａ+ｂ＝2ａ+ｂ
第一步
3ａ＝2ａ
第二步
3＝2
第三步
上述变形是否确？若不正确，请指明
错在哪一步？原因是什么？怎么改正？
解：不正确.错在第三步，两边同除以a时， 不能保证a不等于0. 改正：两边同时减2a,得a=0.
下面两位同学解不等式 的过程存在什么问题？
课堂小结
3.等式两边不能都除以0，即0不能作除
归纳
等式的性质1: 等式两边加（或减）同一个数（或式 子），结果仍相等。
如果a=b，那么a+c=b+c
归纳
等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c ≠ 0），那么
a c
b c
学以致用：
已知m+a=n+b，根据等式的性质变形为m=n,
解：给等式两边同时减7，得
（1）如果5+x=4，那么x=____（
）
3ａ+ｂ-2 ＝2ａ+ｂ-2
(6)如果
，那么
.
如果a=b,那么ac=bc.
1. 改正：两边同时减2a,得a=0.
-4x+5x＝-5x+5x-9，
等式的基本性质
R=r?
练习: 用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等
式，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形的．
(1) 如果 2x+7=10 , 那么 2x=10-
;
(2) 如果 5x=4x+7 , 那么 5x -
=7;
(3) 如果 2a=1.5 , 那么 6a=
99
(4)怎样从等式 x y 得到等式 x = y ?
33
(5)怎样从等式 5x=4x+3 得到等式 x=3 ?
等式的基本性质
等式的性质1： 等式两边都加上(或减去)同 一个数或整式,所得的等式仍然成立。
如果 a b, 那么 a c b c
等式的性质2： 等式两边都乘(或除以)同一个 数(除数不能是0)，所得的等式仍然成立。
的是（ ）
A. ma 1 mb 1
B.
1 2
ma
1 2
mb
C. ma 3 mb 3
D. a b
快乐练习
二、选择填空
(2)如果 ma mb，那么下列等式中不一定成立
的是（ D ）
A. ma 1 mb 1
B.
1 2
ma
1 2
mb
C. ma 3 mb 3
(D) 若1 x,则x 1
2.下列各式变形正确的是（ A ）.
( A)由3x 1 2x 1 得3x 2x 1 1 (B)由5 1 6得5 6 1 (C)由2( x 1) 2 y 1得x 1 y 1 (D)由2a 3b c 6得2a c 18b
等式与不等式的性质(解析版)
等式与不等式的性质【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 三、比较两个实数a 、b 大小的依据文字语言符号表示 如果a ＞b ，那么a －b 是正数； 如果a ＜b ，那么a －b 是负数； 如果a ＝b ，那么a －b 等于0， 反之亦然a >b ⇔a －b >0 a <b ⇔a －b <0 a ＝b ⇔a －b ＝0[1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 四、不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ； 推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 题型二：作差法比较数（式）大小 题型三：利用不等式的性质证明不等式 【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（ ） A ．d a < B ．a d b <<C ．b d c <<D ．d c >【答案】B 【解析】 【分析】由()()()a d b d c d c d ---+=得()()10a d b d --=-<，结合a b <即可求解. 【详解】由题意知：()()()a d b d c d d c ---=-，又c d ≠，则()()10a d b d --=-<，显然,a d b d --异号， 又a b <，所以a d b c <<<. 故选：B.2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】 【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误； 对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以()112a b a b a ba b-+≥-⨯=--，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1101c =，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】令()()ln ,1x f x x g x =，()()()ln 1h x f x g x x x =-=，求导研究函数()h x 的单调性，从而得到a b >，利用不等式的性质比较得出b c >，从而求得答案. 【详解】令()()ln ,1x f x x g x =， ()()()ln 1h x f x g x x x =-=，12()2xh x x x -'==，可以判断()h x 在[0,4)上单调递增， 22ln1.01 1.021ln1.01 1.011ln1.0201 1.021a b -==-= ln1.02 1.021(1.02)(1)0h h >=>=，所以a b >，2222221221202200121(1)(1) 1.02(1)0101100101101100101101100101101b c -+-+=-+=--=-=->⨯⨯， 所以22(1)(1)b c +>+， 又因为 1.0210b =>，10101c =>， 所以11b c +>+，即b c >，所以c b a <<， 故选：D.4．（2022·北京·二模）“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】首先根据不等式的性质，求解出()22()log log 0-->m n m n ，进而根据逻辑关系进行判断即可. 【详解】对于()22()log log 0-->m n m n 等价为：220log log 0m n m n ->⎧⎨->⎩或220log log 0m n m n -<⎧⎨-<⎩ 即：22log log m n m n >⎧⎨>⎩或22log log m n m n <⎧⎨<⎩ 解得：0m n >>或0m n <<，∴“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的充分不必要条件.故选：A.5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（ ） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727ln 5a a b b ++-+<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】①，分析得到,a b <所以1122b a --<正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断2ln(5)2+72ln(5)2+7a a b b +<+解. 【详解】解：①，若02,e e 1,11b aa ab b -+≥∴≤=∴>+，所以矛盾，所以,a b <所以1122b a --<正确； ②，1111b a a b a b a b -<-∴+<+，，设21(1)(1)(),(0),()x x f x x x f x x x +-'=+>∴=， 所以当(0,1)x ∈时，函数()f x 单调递减，当(1,+)x ∈∞时，函数()f x 单调递增，因为a b <，所以11a b ab+<+不恒成立，如1151,(),1,(1)2()2222a fb f f ====<，所以该命题错误；③，e e a b a b -<-，设()e ,()e 10,()x x g x x g x g x '=-∴=->∴在(0,)+∞单调递增，因为a b <，所以e e a b a b -<-恒成立，所以该命题正确； ④，52727ln2ln(5)2+72ln(5)2+75a a b a a b b b ++-+<⇔+<++ 设()2ln(5)2+7h x x x =+所以2227(5)()(5)27(5)27[227(5)]x x h x x x x x x x +-+'+++++++ (5)27[227(5)]x x x x +++++，所以函数()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 取131,e,(1)e 3e,1b b a b b -==∴+=+ 设()(1)e ,()(2)e 0x x k x x k x x '=+∴=+>，所以()k x 在(0,)+∞单调递增， (1)2e 3e k =<，2(2)3e 3e k =>，所以存在(1,2),(1)e 3e b b b ∈+>，此时2ln(5)2+72ln(5)2+7a a b b ++ 所以该命题错误. 故选：B6．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a b a c b c <⇒+<+，A 选项正确；对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若2a =-，1b =-，则11a b>，B 选项错误； 对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，0c >，0a b ac bc <<⇒<，C 选项错误；对于D 选项，因为0a b b a <⇒->，0c >，所以无法判断b a -与c 大小，D 选项错误.7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案. 【详解】由2x >且3y >，必有5x y +>且6xy >，当5x y +>且6xy >时，如1,7x y ==不满足2x >，故不一定有2x >且3y >. 所以“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的充分不必要条件. 故选：A8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，令()0f x '=，则x a =或23a b x +=，然后分23a b a +<和23a ba +>结合a 的正负讨论判断函数的极值点即可 【详解】由()()()2f x a x a x b =--，得2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x a b '=--+-=---， 令()0f x '=，则x a =或23a bx +=， 当23a ba +<，即a b <时， 若0a >时，则()f x 在(,)a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以x a =是函数的极大值点，不合题意，若0a <时，则()f x 在(,)a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以x a =是函数的极小值点，满足题意，此时由a b <，0a <，可得2a ab >， 当23a ba +>时，a b >， 若0a <时，()f x 在2,3a b +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(,)a +∞上单调递减，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以x a =是函数的极大值点，不合题意，若0a >时，()f x 在2,3a b +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(,)a +∞上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以x a =是函数的极小值点，满足题意，此时由a b >，0a >得2a ab >，综上，2a ab >一定成立，所以C 正确，ABD 错误， 故选：C10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（ ） A ab 12B ．14a b+的最小值是9C ．若a b >，则2211a b < D ．22log log a b +的最大值为0 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A ：0,0,1a b a b ab >>=+≥12ab ，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对B ：14144()59b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =，即12,33a b ==时，等号成立，故B 正确；对C ：0a b >>，∴22a b >，∴2211a b<，故C 正确； 对D ：由A 可知104ab <≤，故22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 错误. 故选：D . 二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知110a b<<，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．ab a b >- B ．ab a b <--C ．2b aa b+>D ．b a a b> 【答案】CD 【解析】【分析】根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假． 【详解】 对A ，由110a b <<，得0b a <<，当12a =-，2b =-时，A 错误； 对B ，当2a =-，3b =-时，B 错误； 对C ，由110a b<<，得0b a <<，根据基本不等式知，C 正确： 对D ，由110a b <<，得0b a <<，所以22b a >，因为220b a b a a b ab--=>，所以D 正确． 故选：CD ．2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ．1ab b>+ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可． 【详解】解：对于非零实数a ，b 满足||1a b >+，则()22||1a b >+， 即2222||11a b b b >++>+，故A 一定成立； 因为1||1122a b a b b +>+≥+⇒>，故B 一定成立；又()2||10b -≥，即212||b b +≥，所以24||4a b b >≥，故C 一定成立； 对于D ：令5a =，3b =，满足||1a b >+，此时5143a b b =<+=，故D 不一定成立． 故选：ABC3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（ ） A ．111a b+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>【答案】BCD 【解析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解. 【详解】252510,log 10,log 10,a b a b ==∴==对于A ，lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101，故A 不正确；对于B ，log ,log log log a b ====2255510221010100，342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103，2a b >，故B 正确； 对于C ，()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204，故C 正确；对于D ，由B 知，,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422，故D 正确；故选：BCD.题型二：作差法比较数（式）大小 一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a>>>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a bb a -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．log log a a bba b <C ．log log a b baa b <D ．11b a a b-<- 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.因为10a b a>>>，所以1a >， 对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a bb b a a -<⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误； 对于B ：1ab>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数，又a b >，所以log log a a bba b>，故B 错误；对于C ：log log log log log a b a a a babbbb a b a ab-=+=，因为1ab>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>，所以log log a b baa b>，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a b ->，1ab >， 所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．2a b ab +>C ．22lg lg a b > D ．33a b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由11b aa b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，当ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当0,0,a b a b >>，不相等时，才有2a b ab +>B 错误； 对于C 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22lg lg a b <，所以C 错误； 对于D 中，由不等式的基本性质，当a b >时，可得33a b >成立，所以D 正确. 故选：D.3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 214e ea b c ===，，其中e 是自然对数的底数，则（ ） 注：e 2.718ln 20.693==，A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()e xxf x =，则()(4ln 2)e b f c f ==、，利用导数研究函数的单调性可得 b c >；根据作差法和对数的运算性质可得13423)4c a -=+，构造新函数2(1)()ln (0)1x g x x x x -=->+，利用导数研究函数的性质可得34230+>， 进而c a >，即可得出结果. 【详解】 令()e xx f x =， 则1()ex xf x -'=，令()01f x x =⇒='， 则()e xxf x =在(1,)+∞单调递减， 所以4ln 2e 4ln e e e 2()(4ln 2)e bf c f ====，， ∵4ln 240.69 2.76e b c >⨯=∴>>，； 4ln 24ln 2ln 231314e 4c a ===，， ∴ln 231311343)444c a -=-+=+， 令2(1)()ln (0)1x g x x x x -=->+， 则22214(1)()0(1)(1)x g x x x x x -'=-=≥++，∴()g x 在(1,)+∞单调递增， ∴2(31)(3)33423031g -==++， ∴c a >； 综上，b c a >>. 故选：C4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．log 0a b < B ．11a b b a->- C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性及ln ln 0a b ⋅>得到1a b >>或01b a <<<，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A 选项可以用对数函数单调性得到，B 选项可以用作差法，C 选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D 选项，需要构造函数进行求解. 【详解】因为0a b >>，ln y x =为单调递增函数，故ln ln a b >，由于ln ln 0a b ⋅>，故ln ln 0a b >>，或ln ln 0b a <<， 当ln ln 0a b >>时，1a b >>，此时log 0a b >； ()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ->-； ()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；当ln ln 0b a <<时，01b a <<<，此时log 0a b >，()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11b a a b -<-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；故ABC 均错误；D 选项，11b a a b --<，两边取自然对数，()()1ln 1ln b a a b -<-，因为不管1a b >>，还是01b a <<<，均有()()110a b -->，所以ln ln 11a b a b <--，故只需证ln ln 11a ba b <--即可， 设ln 1xf xx （0x >且1x ≠），则()()211ln 1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--（0x >且1x ≠），则()22111xg x x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以()0f x '<在0x >且1x ≠上恒成立，故ln 1xf xx （0x >且1x ≠）单调递减，因为a b >，所以ln ln 11a b a b <--，结论得证，D 正确 故选：D6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（ ） ①a b < ②11a b a b+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】求出a 、b 的值，比较a 、b 的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为32a =，53b =，则3log 2a =，5log 3b =.对于①，3223<，则2323<，从而2333320log 1log 2log 33a =<=<=，3235>，则2335>，则235552log 5log 3log 513b =<=<=，即2013a b <<<<，①对；对于②，()()()11111a b ab a b a b a b a b ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为2013a b <<<<，则0a b -<，01ab <<，所以，11a b a b +>+，②错；对于③，355522log 2log 32log 2log 4ab =⋅==，所以，35535542log 2log 3log 4log 2log log 3log 503a b ab +-=+-=->=， 所以，2a b ab +>，③错； 对于④，构造函数()ln x f x x =，其中0e x <<，则()21ln xf x x -'=. 当0e x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,e 上单调递增， 因为01a b <<<，则()()f a f b <，即ln ln a ba b<，可得b a a b <，所以，b a a a b b +<+，④对. 故选：B.7．（2022·河北衡水中学一模）已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．22a b > B ．2b aa b+<C ．a ba a <D ．2lg lg a ab <【答案】D 【解析】 【分析】 由110a b<<，得到0b a <<，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】 由110a b<<，可得0b a <<，则0,0,0a b a b ab +<->>， 对于A 中，由22()()0a b a b a b -=+-<，所以22a b <，所以A 不正确； 对于B 中，由0,0b a a b <>，且b a a b ≠，则2b a b aa b a b+>⨯，所以B 不正确；对于C 中，由0,0aba a >>，且a a bba aa-=，当1a >时，1a a bba aa -=>，此时ab a a >；当1=a 时，1a a bba aa -==，此时ab a a =；当1a <时，1a a bba aa-=<，此时a b a a <，所以C 不正确；对于D 中，由22lg lg lglg a aa ab ab b=-=，因为0b a <<，可得01a b <<，所以lg0ab<，可得2lg lg a ab <，所以D 正确. 故选：D.8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>. 【详解】 2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π3π306f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且π6+23012f ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>. 故选：B9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++ C ．ay bz cx ++ D ．ay bx cz ++【答案】B 【解析】 【详解】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+- ()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.二、多选题1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（ ）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 【答案】AC 【解析】 【分析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB ；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD. 【详解】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ， 对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<∴210.140.421121,0r r b b T T -->>>， 则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r rT b T b --=⋅-⋅>，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确； 对于B ，121212,,T T r r b b =>>，∴2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r rT b b --=->，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误： 对于C ，112221,,b b E E r r =><，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>， 所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确；对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<， ∴()210.140.14122211100r r E E T bT b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T bT b --⋅>⋅∴()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>， 所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误． 故选：AC2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（ ） A ．14a b <+<B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AB 【解析】 【分析】AB 选项，利用基本不等式进行求解；CD 选项，利用作差法比较大小. 【详解】 115a b a b +++=，即5a b a b ab+++=，所以()5a b ab a b +=-+，因为0a b >>，所以由基本不等式得：()24a b ab +<，所以()()254a b a ba b ++<-+，解得：14a b <+<，A 正确；11112224b a ab ab a b abab ⎛⎫⎛⎫++=++≥⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =时等号成立，故B 正确； ()221111111111b a b a b a b a b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=++++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，所以()11110b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫++++-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；()221111111111a b a b a b a b b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，而1ab 可能比1大，可能比1小，所以()1111a b b a a b ab ⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭符号不确定，所以D 错误， 故选：AB3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．1e e 1m n m n +>+ B ．11122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．42222m n --+> D ．()3log 1m n +>【答案】ACD 【解析】 【分析】 由1e 2ee mn mm m n +-=-可得1e e 21m n m n ++=+，利用作差法即可判断A ；令()()e 1x f x x x=>，根据导数可判断函数在()1+∞，上递增，结合A 及指数函数的单调性可判断B ；根据指数函数的单调性结合基本不等式可判断C ；结合B 根据对数函数的单调性可判断D. 【详解】解：因为1e 2e e m n m m m n +-=-，所以()()11e e 2m n n m ++=+，即1e e 21m n m n ++=+， 对于A ，因为111e e e 2e 20111+1m n n n m n n n n ++++-=-=>+++，所以1e e 1m n m n +>+，故A 正确； 对于B ，令()()e 1x f x x x =>，则()()21e 0x x f x x -'=>， 所以()f x 在()1+∞，上单调递增， 因为1e e 1m n m n +>+，所以()()1f m f n >+， 所以1m n >+，即1m n ->，所以11122m n-⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 对于C ，因为1m n >+，所以433322222222m n n n n n -------+>+≥⋅== 当且仅当322n n --=，即32n =时取等号， 所以4222m n --+>，故C 正确； 对于D ，因为1213m n n n n +>++=+>，所以()3log 1m n +>，故D 正确. 故选：ACD.4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A 错误、选项B 正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P 求出切线方程，进而判定选项C 正确；平方作差比较大小，进而判定选项D 错误. 【详解】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =， 对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()2f x x'=设切点坐标为(00x x ，则切线斜率为()002k f x x =' 切线方程为000)2y x x x x =-，又因为切线过点1(0,)2P ，所以0001)22x x x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()21212221212[]222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭ (212121212121222024x x x x x x x x x x x x ++--+=-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（ ） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD 【解析】 【分析】A 选项，利用()()1110a b ab a b --=+--<作出判断；B 选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD 选项，用作差法求解. 【详解】由于两个不相等的正实数a 和b ，满足1ab >，所以a 和b 可取一个比1大，一个比1小，即()()1110a b ab a b --=+--<，故1ab a b +<+，A 错误；由题意得：22a b ab +>，所以()2log 1a b +>，B 正确；()111111a b a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，但不知道a 和b 的大小关系，故当a b >时，11a b a b+>+，当a b <时，11a b a b +<+，C 错误；()1111a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，0a b +>，所以()11110a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11a b a b+>+，D 正确. 故选：BD6．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+C ．n m m n >D ．log log m n n m <【答案】AC 【解析】 【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D. 【详解】由01n m <<<知，0n m -< ，故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++，A 正确； 由01n m <<<得0m n ->，110mn -<，所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11m n m n +<+，故B 错误；因为指数函数x y m =为单调减函数，故n m m m >，由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ，故n m m n >，故C 正确； 根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>，故D 错误， 故选：AC题型三：利用不等式的性质证明不等式 一、单选题1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质可证充分性成立，举例说明可证必要性不成立. 【详解】||1|||||1|1≥+⇒+≥++≥b a a b a a ，所以充分性成立，当05a b ==-，时，满足||1a b +≥，但||1+≤a b 不成立，所以必要性不成立． 所以“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的充分不必要条件.故选：A ．2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决． 3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“12b a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简a b b ->得12b a <，即得解. 【详解】由a b b ->得2222,(2)0a b ab b a a b +->∴->， 所以2210,10,2a b b b a a a ->∴->∴<. 反之，也成立.所以“a b b ->”是“12b a <”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤- 所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =有界，但不一定有最大值和最小值，故命题q 为假命题． 故选：C 【点睛】结论点睛：含绝对值不等式转化方法：a>0时，||x a a x a ≤⇔-≤≤；||x a x a ≥⇔≤-或x a ≥.5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2214xy +≤”是“12xy +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明必要性成立，利用特殊值法证明充分性不成立即可得到结果. 【详解】若12x y +≤，则12x ≤，1y ≤，所以222x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，2y y ≤所以22122x x y y ⎛⎫+≤+≤ ⎪⎝⎭，即必要性成立；当32x =，12y =时，22312142⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+< ⎪⎝⎭，但311242x y +=+>，所以充分性不成立 所以“2214x y +≤”是“12x y +≤”的必要不充分条件故选：B ． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用不等式的性质证明必要性.6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】不等式()21ln 0ax x a x --+≤等价于(1)(1)ln 0x ax a x -+-≤，分类讨论1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1x =和(1,2]x ∈，分别求出实数a 的取值范围，最后取交集即可. 【详解】易知21(1)(1)ax x a x ax a --+=-+-，不等式()21ln 0ax x a x --+≤，即(1)(1)ln 0x ax a x -+-≤.当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，ln 0x <，10x -<，则1101ax a a x +-≤⇒≤+，又112,123x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，所以12a ≤； 当1x =时，ln 0x =，对任意的实数a ，不等式恒成立； 当(1,2]x ∈时，ln 0x >，10x ->，则1101ax a a x +-≤⇒≤+，又11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以13a ≤； 综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】1a b =1a b ，然后两边平方，再通过作差法即可得解；②若331a b -=，则331a b -=，然后利用立方差公式可知23(1)(1)a a a b -++=，再结合0a b >>以及不等式的性质即可判断； ③若1abe e -=，则111a b a bb b b e e ee e e-+===+，再利用0b >，得出1b e >，从而求得a b e -的范围，进而判断； ④取特殊值，a e =，1b =即可判断． 【详解】1a b ， 1a b =， 所以12a b b =++所以121a b b -=+，即①错误； 若331a b -=， 则331a b -=，即23(1)(1)a a a b -++=， 因为0a b >>， 所以22a b >， 所以221a a b ++>，所以1a b -<，即1a b -<，所以②正确； 若1a b e e -=， 则111a b a bb b b e e ee e e-+===+， 因为0b >，所以12a b e e -<<<， 所以1a b -<，即③正确；④取a e =，1b =，满足1lna lnb -=， 但1a b ->，所以④错误； 所以真命题有②③， 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ） A ．[0,12] B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]【答案】C 【解析】 【分析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，求出A B ，结合条件可得结果. 【详解】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤. 故选：C.9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac+的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】首先求得a c ，及c a 的取值范围，再把22a cac+转化为关于c a 的代数式a c c a +，利用函数1()f t t t =+的单调性去求a cc a+的取值范围即可解决 【详解】由0,++=>>a b c a b c ，可得00a c ><，，b a c =-- 则a a c c >-->，则122c a -<<-，令c t a=，则122t -<<-221a c a c t ac c a t +=+=+，122t ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭。
怎样理解等式的基本性质
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怎样理解等式的基本性质?
疑点：怎样理解等式的基本性质
解析：等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，所得结果仍为等式。
这个性质用字母表示为：若a=b，则a±c=b±c。
这个很好理解，但在应用中很多同学不能灵活运用。
如：解方程 x+5=7。
解：等式两边同时减5得：x+5-5=7-5 → x=2等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或同时除以一个不为0的数)，所得结果仍为等式。
注意除以的这个数不能为0. 如：解方程 5x=15。
解：等式两边同时除5得：5x÷5=15÷5 → x=3
结论：等式的基本性质是解方程的最根本的依据，看上去很简单，但是要学会灵活运用还是有些难度的，大家要引起注意。
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等式基本性质（一）
一．教学目标
1.知识与技能
探究等式的性质, 并能利用等式的性质1、2进行等式变形、解简单的一元一次方程.
2.过程与方法
通过实验培养学生在动手操作、观察变化中获取知识的能力, 在类比猜想、归纳、建模和应用中提高数学综合能力.
3.情感态度与价值观
通过实验操作、疑点讨论增强学生交流协作、共同进取的意识，通过类比猜想、设疑释疑培养学生勤于思考、敢于质疑的探索精神.
二．学情分析
学生在小学已简单接触过等式的基本性质、简单的方程及其解法，进入初中后有学习了有理数、整式加减等知识，在此基础上学习利用等式的基本性质解一元一次方程就容易接受了
三．教学重、难点
重点：探究等式的性质，能根据等式性质1、2进行等式变形、解简单的一元一次方程.
难点：利用等式的性质把简单的一元一次方程变形为x = a (常数)的形式;
正确理解等式性质2中除数不能为0.
四．教学准备多媒体课件
五．教学过程
教学过程教师活动学生活动设计意图
问题引入提出问题，引起学生思考，
你能用自己的方法求下方
程的解吗？
（1）
5
2=
+
x
（2）
板书课题
积极回忆已学
的知识，并思考
回答、解决问题
抛出问题，引起学生兴
趣，激发学生好奇心与
求知欲
4
5
3
1
=
-
-x
等式的基本性
教学过程教师行为学生行为设计意图
实验探究，归纳性质
活动一1.多媒体展示课件，让图
象动起来，更加直观。
2.引导学生归纳等式的
性质1,并板书:
等式的性质1:
等式两边同时加上
(或减去)一个数(或式
子)，结果仍相等.
如果a＝b，那么a
±c＝b±c.
认真观察老师
演示，用心思
考、归纳、总结。
重视知识的发生过程，
引导学生分析、比较，
有利于学生形成良好
的数学思维习惯。
培养
学生观察、发现、归纳
总结的能力。
活动二1、多媒体展示课件
2、教师引导学生归纳
出等式的性质2, 并板
书:
等式的性质2:
等式两边同时乘一
个数，或除以同一个（不
为0）的数，结果仍相等.
如果a＝b，那么ac
＝bc，
如果a＝b，那么
c
b
c
a
=
(c≠0)，
大胆猜测并动
手验证。
培养学生的辩证思维
能力告诉学生所有的
结论都必须用自己的
实践来验证，知识必须
用自己的实际行动来
获取。
教学内容教师行为学生行为设计意图
学以致用练一练：判断对错，对的
请说出根据等式的哪
一条性质，错的请说出为
什么。
（1）如果
y
x=
思考并积极回
答问题
那么
3
1+
=
+y
x
（2）如果
y x=
那么
a
y
a
x-
+
=
-
+5
5
（3）如果
y x=
那么
y x3 2=
（4）如果
y x=
那么
2 2
y x
=
（5）如果
y x=
那么
a
y a
x
=
（6）如果
1
,≠=a
y
x
那么
1
1-
=
-a
y
a
x
思考并积极回
答问题
通过简单的练习，让学
生感觉学有所获，学有
所用，提升学生学习知
识的幸福感
例题展示小试牛刀例：利用等式的性质解下
列方程
4
5
3
1
(3)=
-
-x
教师板书规范的解题格式
1、利用等式的性质解下列
方程并检验
6
5
(1)=
-
x
学生观察
学生独立完成
并板演
教师板书例题解题格
式，培养学生数学逻辑
思维与良好的解题习
惯；通过例题学习，让
学生自己动手练习，既
巩固掌握本节知识又
能减轻课下负担。
通过巩固练习能及时
反馈学生掌握情况，
因为每个学生接受能
力不尽相同对知识的26
7
(1)=
+
x
20
5
(2)=
x
-
小试牛刀
4530 (2)=x .
3
41
2 (3)=-x
045 (4)=+x
要求学生独立完成并安排同学板演，教师巡视指导
学生独立完成 并板演
理解也不一样，通过练习既能总结更能查缺补漏。
提升练习
2、要把等式
a x m =-)4(化成
m 必须 满足什么条件？
3、 由到
的变形运用了
那个性质，是否正确，为什么？
认真思考、讨论想出解决问题的办法 通过由简到繁、由易到
难、循序渐进的练习，了解学生对知识的掌握度，使不同层次的学生都有所提高
课堂小结
学习完本课之后你有什么收获？
教师点评
学生总结
及时总结回顾既能巩固知识又能培养学生归纳能力和口头表达能力
布置作业
习题87面第二题
，4
-=m a x y
x 1=
1=xy。