第八章 交通流分配(Wardrop平衡原理)
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第八章_交通分配
在交通分配理论中，以 Wardrop第一原理为基本 指导思想的分配方法比较多。国际上通常将交通 分配方法分为平衡分配和非平衡分配两大类。
对于完全满足Wardrop原理定义的平衡状态，则称 为平衡分配方法；
对于采用启发式方法或其他近似方法的分配模型 ，则称为非平衡分配方法。
【例题】
设OD之间交通量为q=2000辆，有两条径路a与b。径 路a行驶时间短，但是通过通行能力小，径路b行驶 时间长，但通行能力大。假设各自的行驶时间（ min）与流量的关系：
ta t0[1 (Va / ca ) ]
零流阻抗
实际通行能力
2.节点处的阻抗
节点处的阻抗是指车辆在交通网络节点处主要指在交叉口处的 阻抗。交叉口阻抗与交叉口的形式、信号控制系统的配时、交 叉口的通过能力等因素有关。在城市交通网络的实际出行时间 中，除路段行驶时间外，交叉口延误占有较大的比重，特别是 在高峰期间，交叉口拥挤比较严重时，交叉口延误可能会超过 路段行驶时间。
1、交通小区划分 交通调查和规划前，需要先将规划区域划
分成若干交通小区。是进行现状OD调查和 未来OD预测的基础。 2、交通网络的组成 在城市交通规划中，主要对快速路、主干 道、次干转换
交通小区和网络确定后，需要将小区间OD量作用点转移到与该 小区质心比较靠近的交通网络节点上。
当饱和度较大 x>0.67 时，该公式不再适用
已有的城市道路交通分配理论一直忽略节 点阻抗这个问题，借用从城市间公路上获 得的行驶时间的BPR函数作为城市道路网上 的阻抗，只计算路段上的阻抗。
三、路径与最短径路
1.路段 交通网络上相邻两个节点之间的交通线路称作“路段”。
2.路径 交通网络上任意一OD点对之间，从发生点到吸引点一串连 通的路段的有序排列叫做这一OD点对之间的路径。一个OD 点对点之间可以有多条路径。
第8章习题
作业四：考虑如图的简单网络。现有从A到C的车流 量1000量，路段1、路段2、路段3的路阻函数分别 为： B
t1 10 0.005 x1 ( 分 )
t 2 8 0.003 x 2 ( 分 )
1
A 3
2 C
t 3 25 0.003 x 3 ( 分 )
节点B是一个路口，其路阻函数为：
解 得 ： xa 500, ta 20, t 43750
第3节 非平衡分配方法
全有全无分配法
算法思想 全走最短 径路 计算步骤
Step 0 初始化，使路网中所有路段的流量为 0，并求 出各路段自由流状态时的阻抗。 Step 1 计算路网中每个出发地 O 到每个目的地 D的 最短 径路 。
作业五：以下网络示意图中，①、④、⑤、⑦分别为OD作用 点，图形中线路数值为出行时间，有些为固定值，有些与交 通量有关，Q为交通流量，OD分布流量矩阵如下表所示。 a) 列出该网络邻接目录表； b) 令Q=0，用最短路法分配该OD矩阵； c) 用容量限制-增量加载法分配该OD矩阵，采用二次分配， 第一次为交通量的50%，第二次为剩余的50%。
a A
a a
t ( xa )
f k q rs , r R , s S
rs
xa
rs
r ,s ,k
a ,k f k , a A
rs rs
f k 0 xa ,
0
聊城大学汽车与交通工程学院
试用用户最优原理和系ห้องสมุดไป่ตู้最优原理求 径路上流量分配的结果。
用户最优原理：
聊城大学汽车与交通工程学院
聊城大学汽车与交通工程学院
练习1：假设从A到B有1000辆车，A、B两点间有两 条径路上的交通时间函数(单位是分钟)分别为：
交通流分配
(Studies出版之后)
19586 Charnes & Cooper 1959 Charnes & Cooper
1963 Jorgensen
1965 1966
1968
Overgaard Jewell
Braess
除了 Studies之外的相关研究
Charnes and Cooper (1958) 按照总路段流的积分函 数形式，提出了固定需求下交通网络均衡配流模型。后 来，他们利用求解线性规划的方法，针对费用函数的分 段线性形式，给出求解小规模网络下的模型算法。
• 2005年9月， WorldCat List of Records 的研究表明，全 世界373个图书馆收藏了Studies ，13个图书馆拥有该书 的兰德版本。7个图书馆拥有该书的西班牙版本。
• 2005年10月通过Web of Science 搜索发现，321篇文章引 用了Studies
Studies出版之前有关 网络均衡的研究
Knight
1924
Duffin 1947
Nash Wardrop
Prager
1951 1952
1954
1956
相关研究
• Knight (1924) 描述了一个包含两条路径的路网中的均衡和有效性 条件，同时纠正了Pigou(1918)文中的一个错误。
• “Suppose that between two points there are two highways, one of which is broad enough to accommodate without crowding all the traffic which may care to use it, but is poorly graded and surfaced, while the other is a much better road, but narrow and quite limited in capacity. If a large number of trucks operate between the two termini and are free to choose either of the two routes, they will tend to distribute themselves between the roads in such proportions that the cost per unit of transportation, or effective returns per unit of investment, will be the same for every truck on both routes. As more trucks use the narrower and better road, congestion develops, until a certain point it becomes equally profitable to use the broader but poorer highway.”
19586 Charnes & Cooper 1959 Charnes & Cooper
1963 Jorgensen
1965 1966
1968
Overgaard Jewell
Braess
除了 Studies之外的相关研究
Charnes and Cooper (1958) 按照总路段流的积分函 数形式，提出了固定需求下交通网络均衡配流模型。后 来，他们利用求解线性规划的方法，针对费用函数的分 段线性形式，给出求解小规模网络下的模型算法。
• 2005年9月， WorldCat List of Records 的研究表明，全 世界373个图书馆收藏了Studies ，13个图书馆拥有该书 的兰德版本。7个图书馆拥有该书的西班牙版本。
• 2005年10月通过Web of Science 搜索发现，321篇文章引 用了Studies
Studies出版之前有关 网络均衡的研究
Knight
1924
Duffin 1947
Nash Wardrop
Prager
1951 1952
1954
1956
相关研究
• Knight (1924) 描述了一个包含两条路径的路网中的均衡和有效性 条件，同时纠正了Pigou(1918)文中的一个错误。
• “Suppose that between two points there are two highways, one of which is broad enough to accommodate without crowding all the traffic which may care to use it, but is poorly graded and surfaced, while the other is a much better road, but narrow and quite limited in capacity. If a large number of trucks operate between the two termini and are free to choose either of the two routes, they will tend to distribute themselves between the roads in such proportions that the cost per unit of transportation, or effective returns per unit of investment, will be the same for every truck on both routes. As more trucks use the narrower and better road, congestion develops, until a certain point it becomes equally profitable to use the broader but poorer highway.”
第八讲交通流分配
得到P标号的点进行下一步新的标号（第K步）；考虑所有与节点i相邻且没
有标上P标号的点｛j｝，修改它们的T标号：
Tk（j）=min[T（j），P（i）+dij]
式中， dij——i到j的距离（路权）；
T（j）——第K步标号前j点的T标号。
在所有的T标号（包括没有被修改的）中，比选出最小的T标号Tk（j0）：
在所有T标号中，节点6为最小，给节点6标上P标号，即
P(6)= T6(6)=4。
•
步骤7：节点6刚得到P标号。节点9与6相邻，且为T标
号，修改9的T标号：
• T7(9)=min[T(9)，P(6)+d69]=min[∞,4+2]=6
•
在所有T标号中，节点7为最小，给节点7标上P标号，
即P(7)= T4(7)=4。
T5(8)=min[T(8)，P(5)+d58]=min[∞,3+2]=5
在所有T标号中，节点3为最小，给节点3标上P标号，即
P(3)= T3(3)=4。
步骤6：节点3刚得到P标号。节点6与3相邻，且为T标号，
修改6的T标号：
T6(6)=min[T(6)，P(3)+d36]=min[4,4+2]=4
Tk（j0）=min[Tk（j），T（r）]
式中， j0——最小T标号所对应的节点；
T（γ）——与i点不相邻点r的T标号。
给点j0标上P标号：P（j0）= Tk（j0），第K步标号结束。
步骤3 当所有节点中已经没有T标号，算法结束，得到从起点1到其它各点
的最短路权；否则返回第二步。
例题8.1
用Dijkstra法计算图7-1所示路网从节点1到各
② 小的道路交叉点不作节点考虑，而在与之
有标上P标号的点｛j｝，修改它们的T标号：
Tk（j）=min[T（j），P（i）+dij]
式中， dij——i到j的距离（路权）；
T（j）——第K步标号前j点的T标号。
在所有的T标号（包括没有被修改的）中，比选出最小的T标号Tk（j0）：
在所有T标号中，节点6为最小，给节点6标上P标号，即
P(6)= T6(6)=4。
•
步骤7：节点6刚得到P标号。节点9与6相邻，且为T标
号，修改9的T标号：
• T7(9)=min[T(9)，P(6)+d69]=min[∞,4+2]=6
•
在所有T标号中，节点7为最小，给节点7标上P标号，
即P(7)= T4(7)=4。
T5(8)=min[T(8)，P(5)+d58]=min[∞,3+2]=5
在所有T标号中，节点3为最小，给节点3标上P标号，即
P(3)= T3(3)=4。
步骤6：节点3刚得到P标号。节点6与3相邻，且为T标号，
修改6的T标号：
T6(6)=min[T(6)，P(3)+d36]=min[4,4+2]=4
Tk（j0）=min[Tk（j），T（r）]
式中， j0——最小T标号所对应的节点；
T（γ）——与i点不相邻点r的T标号。
给点j0标上P标号：P（j0）= Tk（j0），第K步标号结束。
步骤3 当所有节点中已经没有T标号，算法结束，得到从起点1到其它各点
的最短路权；否则返回第二步。
例题8.1
用Dijkstra法计算图7-1所示路网从节点1到各
② 小的道路交叉点不作节点考虑，而在与之
第八章 交通流分配(Wardrop平衡原理)
目标函数值： 用户均衡分配法 Zue 399 （辆分），系统最优分配法
Z so 498
２ 1
1
５
３
４
２
3 ４
t5 (x5 ) 10 0.01x5
现在道路规划部门计划提高该地区道路的服务 水平(减少总行驶时间)，计划新建一条道路（路 段５）。假设路段３、路段５和路段２形成径路 ３，这时，使用用户均衡分配法求出的径路交通 量和行驶时间分别为：
交通平衡
交通分配中，实际路网一般有很多OD点对——各条路径 有多条路段组成——这些路段排列组合成无数条不同路 径——OD点对间多条路径。
Wardrop第一平衡原理
Wardrop第一平衡原理
如果道路使用者都确切知道网络的交通状态并试图选 择最短路径时，网络将会达到平衡状态。
用户均衡(User Equilibrium, UE)
h1 200, h2 200, h3 200 （辆）
c1 92, c2 92, c3 92 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Zue 386 （辆分），系统最优分配
法 Z so 552 （辆分） 用户均衡分配法：在新路规划之前，目标函数值为 399，之后为 386。目标函数值向着最佳方向变动， 径路行驶时间在新路规划前 83 分，之后变成了 92 分。 系统最优分配：目标函数值由新路规划前的 498 变成 552。
结论： 因路网的结构不同，新线道路的建设反而恶化
道路原有的服务水平，这种现象在实际道路规划中 很有可能出现。
谢 谢！
所有被使用的道路的行驶时间相等且等于最小行驶时间 其他未被使用的道路的行驶时间大于或等于最小行驶时间
Wardrop第一平衡原理
Z so 498
２ 1
1
５
３
４
２
3 ４
t5 (x5 ) 10 0.01x5
现在道路规划部门计划提高该地区道路的服务 水平(减少总行驶时间)，计划新建一条道路（路 段５）。假设路段３、路段５和路段２形成径路 ３，这时，使用用户均衡分配法求出的径路交通 量和行驶时间分别为：
交通平衡
交通分配中，实际路网一般有很多OD点对——各条路径 有多条路段组成——这些路段排列组合成无数条不同路 径——OD点对间多条路径。
Wardrop第一平衡原理
Wardrop第一平衡原理
如果道路使用者都确切知道网络的交通状态并试图选 择最短路径时，网络将会达到平衡状态。
用户均衡(User Equilibrium, UE)
h1 200, h2 200, h3 200 （辆）
c1 92, c2 92, c3 92 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Zue 386 （辆分），系统最优分配
法 Z so 552 （辆分） 用户均衡分配法：在新路规划之前，目标函数值为 399，之后为 386。目标函数值向着最佳方向变动， 径路行驶时间在新路规划前 83 分，之后变成了 92 分。 系统最优分配：目标函数值由新路规划前的 498 变成 552。
结论： 因路网的结构不同，新线道路的建设反而恶化
道路原有的服务水平，这种现象在实际道路规划中 很有可能出现。
谢 谢！
所有被使用的道路的行驶时间相等且等于最小行驶时间 其他未被使用的道路的行驶时间大于或等于最小行驶时间
Wardrop第一平衡原理
第八章 交通流分配(Wardrop平衡原理)解析
用户均衡(User Equilibrium, UE)
所有被使用的道路的行驶时间相等且等于最小行驶时间 其他未被使用的道路的行驶时间大于或等于最小行驶时间
Wardrop第一平衡原理
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
设OD间交通量为q=2000辆，有2条路径a和b。径路a行驶时间短， 但是通行能力小，径路b行驶时间长，但通行能力大。假设各自的 行驶时间min与流量关系如图所示，根据 Wardrop第一平衡原理 求径路a与b上分配的交通量。
t 3 ( x3 ) 50 0.01x3
t 4 ( x 4 ) 0.1x 4
解：利用用户均衡分配法和系统均衡分配法得， 径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的交通量：
h1 300 , h2 300 （辆）
径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的旅行时间：
2
（2）求解用户均衡条件下的各路段流量及出行成本， 并与（1）的结果进行比较并试说明之。
２．Braess 奇论（Paradox）
奇论：为提高路网的服务水平而制定的交通政策，在用 户均衡状态下反而导致服务水平的下降。
２ 1 ２
1 ３ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ４
3
４
ＯＤ交通量： t13 600 辆
路阻函数：
t1 ( x1 ) 50 0.01x1 （分） t 2 ( x2 ) 0.1x2 （分）
不等！？
Wardrop平衡原理
Wardrop第一、第二平衡原理比较
相同点：基于网络平衡 优化目标不一样
pA第8章交通量分配一
❖ 对于城市之间非拥挤公路网的规划设计过程 中的交通流分配是比较合适的，但对于既有 的城市内部拥挤的交通网络，该方法的结果 与网络实际情况出入甚大。
❖ 2、1952 年，著名交通问题专家 Wardrop 提 出了网络平衡分配的第一、第二定理，人们 开始采用系统分析方法和平衡分析方法来研 究交通拥挤时的交通流分配，带来了交通流 分配理论的一次大的飞跃。
❖ 例题
四 、交通平衡问题
❖ （一） Wardrop平衡原理 ❖ 如果所有的道路利用者(即驾驶员)都准确知道
各条道路所需的 行驶时间 行走时间 并选择 走行时间 行驶时间 最短的道路，最终两点之 间被利用的各条道路的 走行时间 行驶时间 会相等。没有被利用的道路的 走行时间 行驶 时间 更长。这种状态被称之为道路网的平衡 状态。
❖ 确定性分配能够较好的反映网络的拥挤性， 随机性分配能够较好地反映出行选择行为的 随机性，但是要真正地符合路网实际情况， 还有更重要更基本的交通需求的时变性需要 反映出来。
❖ 也就是说，需要一种交通流分配方法能够将 路网上交通流的拥挤性、路径选择的随机性、 交通需求的时变性综合集成地刻画反映出来， 这正是研究交通问题的人们一直积极探索的 领域。
❖ 首先，人们进行了确定性的分配研究，其前 提是假设出行者能够精确计算出每条 路 径 路 的阻抗，从而能作出完全正确的选择决定，
且每个出行者的计算能力和水平是相同的。 可见确定性分配反映了网络的拥挤特性，反 映了路阻随流量变化的实际，该方法是一次 理论的进步。
❖ 但是，进一步研究实际网络中出行者的出行 行为发现，现实中出行者对路段阻抗的掌握 只能是估计而得。因为出行者的计算能力和 水平是各异的，对同一路段不同出行者的估 计值不会完全相同。
（二）最短径路算法
❖ 2、1952 年，著名交通问题专家 Wardrop 提 出了网络平衡分配的第一、第二定理，人们 开始采用系统分析方法和平衡分析方法来研 究交通拥挤时的交通流分配，带来了交通流 分配理论的一次大的飞跃。
❖ 例题
四 、交通平衡问题
❖ （一） Wardrop平衡原理 ❖ 如果所有的道路利用者(即驾驶员)都准确知道
各条道路所需的 行驶时间 行走时间 并选择 走行时间 行驶时间 最短的道路，最终两点之 间被利用的各条道路的 走行时间 行驶时间 会相等。没有被利用的道路的 走行时间 行驶 时间 更长。这种状态被称之为道路网的平衡 状态。
❖ 确定性分配能够较好的反映网络的拥挤性， 随机性分配能够较好地反映出行选择行为的 随机性，但是要真正地符合路网实际情况， 还有更重要更基本的交通需求的时变性需要 反映出来。
❖ 也就是说，需要一种交通流分配方法能够将 路网上交通流的拥挤性、路径选择的随机性、 交通需求的时变性综合集成地刻画反映出来， 这正是研究交通问题的人们一直积极探索的 领域。
❖ 首先，人们进行了确定性的分配研究，其前 提是假设出行者能够精确计算出每条 路 径 路 的阻抗，从而能作出完全正确的选择决定，
且每个出行者的计算能力和水平是相同的。 可见确定性分配反映了网络的拥挤特性，反 映了路阻随流量变化的实际，该方法是一次 理论的进步。
❖ 但是，进一步研究实际网络中出行者的出行 行为发现，现实中出行者对路段阻抗的掌握 只能是估计而得。因为出行者的计算能力和 水平是各异的，对同一路段不同出行者的估 计值不会完全相同。
（二）最短径路算法
交通规划 第八章分配交通量
5
一、基本概念
交通阻抗 阻抗：路段上或节点处的运行时间或广义费用 路阻函数：交通阻抗与交通量的关系 路段上：流量与行驶时间的关系 节点处：交叉口的负荷与延误的关系 路段阻抗： 轨道交通：阻抗与客流量无关 (flow independent) 道路：阻抗与交通量曲线关系 (flow dependent) Q-V特性 或 路阻函数
q1
0
t1 ( )d t2 ( )d min
0
q2
E
s. t. q1 q2 q, q1 0, q2 0
q1
q2
21
三、平衡分配方法
Beckmann交通平衡模型：
min Z ( x) t a ( )d
xa a 0
各路段阻抗函数积分和最小化 交通流守恒：
19
三、平衡分配方法
c1 min(c1 , c2 ) c1 min(c1 , c2 )
if f1 0 if f1 0
c2 min(c1 , c2 ) c2 min(c1 , c2 )
if f k 0 if f k 0
if f 2 0 if f 2 0
f 2 100 f1
解联立方程 c1 c2 5 0.1 f1 (10 0.025f 2 ) 5 0.1 f1 [10 0.025(100 f1 )] 0.125f1 7.5 因为 c1 c2 ，即 c1 c2 0 ，
c1 c2 11 所以 f1 60 ，f 2 40 ，
9
一、基本概念
最短路径算法：Dijkstra法 初始化：给起点标上P标号0，其他节点标上T标号∞。 重复以下步骤，直到全部节点都得到P标号 →从刚得到P标号的节点出发，计算P标号与相连路段阻 抗之和，作为相邻节点的T标号备选； →如果备选T标号小于节点原有的T标号，则以备选T标 (s,5) 号作为该节点的T标号； a →对T标号最小的节点，将其 (s,0) (d,10) T标号定为P标号。 (s,4) b →需辨识最短路径时，P标号 中应附带路径信息。 c 最短路径辨识：按P标号及其路 d (s,2) 径信息，从终点反推。 (b,6)
wardrop均衡原理
wardrop均衡原理朋友，今天咱们来唠唠这个Wardrop均衡原理。
你可能一听这名字，觉得特别高大上，有点晕乎乎的。
其实啊，这原理就像是交通世界里的一种小默契呢。
你想啊，在马路上，车来车往的。
每辆车的司机都有自己的小算盘，都想走最省时、最方便的路。
这就跟我们平常出门一样，要是有两条路能到同一个地方，一条堵得要死，一条比较顺畅，那咱肯定想走顺畅的呀。
Wardrop均衡原理说的就是这么个事儿，不过是从整体交通网络的角度来看的。
在这个原理里呢，有两种均衡情况。
一种叫用户均衡，就像是一群小伙伴去玩，每个人都按照自己觉得最舒服、最快捷的方式走。
比如说，早上大家都赶着去上班或者上学，那每个人都会选择自己觉得最不堵的路。
这时候呢，就会出现一种平衡状态，就是所有在路上的人都觉得，我换条路也不会更快啦，这就是用户均衡啦。
这就好像是大家在无形之中达成了一种默契，你走你的，我走我的，但是整体上就像被一只无形的手指挥着，达到了一种相对稳定的状态。
还有一种是系统最优均衡呢。
这就有点像有个超级聪明的交通指挥家在天上看着，他能看到整个交通网络的情况，然后让大家走的路，是能让整个交通系统最顺畅的。
这种情况下，可能有些车要牺牲一点自己的小利益，走一些相对不那么理想的路，但是这样能让整个交通网络的效率最高。
这就好比是大家为了集体的利益，稍微委屈一下自己。
你看啊，这Wardrop均衡原理在现实生活里可太常见了。
比如说在城市的交通高峰期，有的路突然车流量就大起来了，那就是因为很多司机都觉得这条路是个好选择，都往这儿挤。
这时候如果没有一些交通管制措施，就很容易乱套。
就像一群小蚂蚁都往一个小洞口挤，最后谁也走不了。
但是呢，这原理也不是完美的。
有时候它也会被一些突发情况打乱。
比如说路上突然出了个交通事故，那原本均衡的状态就被打破啦。
这时候那些按照均衡原理走的司机们就会开始重新找路，整个交通又会陷入一种混乱，然后再慢慢调整，重新寻找新的均衡。
第八章 交通流分配 ppt课件
位。 • 交通流分配的对象为走行线路不固定的机动车辆的分布量
（不包括不能自由选择线路公共电汽车等） • 方法适用于人员对固定线路的公共交通径路和工具的选择
13
第二节 交通流分配基本概念
二、交通阻抗 交通阻抗直接影响到交通流路径的选择和流量的分配。道 路阻抗在交通分配中可以通过路阻函数描述，所谓路阻函 数是指路段行驶时间与路段交通负荷，交叉口延误与交叉 口负荷之间的关系。在具体分配过程中，由路段行驶时间 及交叉口延误共同组成出行交通阻抗。(路段行驶时间与 路段交通负荷或者交叉口延误与交叉口之间的函数关系)
影响交通流分布的两种机制 • 系统用户即各种车辆试图通过在网络上选择最佳行
驶路线来达到自身出行费用最小目标 • 路网提供给用户的服务水平与系统被使用的情况相
关，车流量越大，用户遇到的阻力越高。 结果 ：最佳出行路线和流量分布结果难以确定
9
第二节 交通流分配基本概念
一、交通流分配
交通流分配：将预测的 交通小区i和交通小区j之 间的分布交通量qij ，根据 已知路网描述，按一定规 则符合实际地分配到路网 中的各条道路上，进而求 出路网中各路段的交通流 量 xa
路段阻抗：
a:时间与距离成正比，与路段流量无关（城市轨道交通网） b:时间与距离不一定成正比，与路段流量有关 （公路网、
城市道路网）
广义定义
Ca= f (﹛V﹜)
16
第二节 交通流分配基本概念
美国公路局BPR函数 ta = t0 { 1 + α ( qa / ca )β }
ta —— 路段a的阻抗 t0 —— 零流阻抗，路段流量为零时车辆行驶所需时间 qa —— 路段a上的交通量
19
第二节 交通流分配基本概念
（不包括不能自由选择线路公共电汽车等） • 方法适用于人员对固定线路的公共交通径路和工具的选择
13
第二节 交通流分配基本概念
二、交通阻抗 交通阻抗直接影响到交通流路径的选择和流量的分配。道 路阻抗在交通分配中可以通过路阻函数描述，所谓路阻函 数是指路段行驶时间与路段交通负荷，交叉口延误与交叉 口负荷之间的关系。在具体分配过程中，由路段行驶时间 及交叉口延误共同组成出行交通阻抗。(路段行驶时间与 路段交通负荷或者交叉口延误与交叉口之间的函数关系)
影响交通流分布的两种机制 • 系统用户即各种车辆试图通过在网络上选择最佳行
驶路线来达到自身出行费用最小目标 • 路网提供给用户的服务水平与系统被使用的情况相
关，车流量越大，用户遇到的阻力越高。 结果 ：最佳出行路线和流量分布结果难以确定
9
第二节 交通流分配基本概念
一、交通流分配
交通流分配：将预测的 交通小区i和交通小区j之 间的分布交通量qij ，根据 已知路网描述，按一定规 则符合实际地分配到路网 中的各条道路上，进而求 出路网中各路段的交通流 量 xa
路段阻抗：
a:时间与距离成正比，与路段流量无关（城市轨道交通网） b:时间与距离不一定成正比，与路段流量有关 （公路网、
城市道路网）
广义定义
Ca= f (﹛V﹜)
16
第二节 交通流分配基本概念
美国公路局BPR函数 ta = t0 { 1 + α ( qa / ca )β }
ta —— 路段a的阻抗 t0 —— 零流阻抗，路段流量为零时车辆行驶所需时间 qa —— 路段a上的交通量
19
第二节 交通流分配基本概念
wardrop平衡原理
wardrop平衡原理宝子们！今天咱们来唠唠一个特别有趣的东西——Wardrop平衡原理。
你可以把这个原理想象成一场超级大的交通派对。
想象一下马路上各种各样的车，就像一群性格各异的小伙伴在赶路。
Wardrop平衡原理呢，就像是这个交通派对的一个神秘规则。
在这个交通世界里，每个司机都有自己的小算盘。
他们都想让自己的出行时间最短，就像我们去逛街的时候，都想找最快到达商场的路一样。
比如说，有两条路可以去上班，一条路宽敞但是红绿灯多，另一条路窄一点但是没什么红绿灯。
司机们就会根据自己的经验和当下的交通情况去选择。
如果有太多人都觉得那条窄路虽然窄但是没红绿灯会快一点，结果都往那条路挤。
这时候就出问题啦，那条路就会变得超级堵，可能还不如走宽敞但是红绿灯多的路快呢。
这就是Wardrop平衡原理在捣鬼。
这个原理其实就是在说，当所有的司机都做出了他们认为最有利于自己的路线选择的时候，整个交通网络就会达到一种平衡状态。
就像是大家都在一个大棋盘上走棋子，走啊走啊，最后形成了一种相对稳定的局面。
而且啊，这个原理可不仅仅适用于交通呢。
在网络世界里，也有类似的情况。
比如说数据在网络里传输，就像小包裹在快递通道里跑。
网络也有不同的路径可以走，那些数据也会像司机选择道路一样，选择最“快”的路径。
如果太多的数据都挤到同一条“路”上，那这条“路”就会变得拥堵，传输速度就会变慢啦。
从情感上来说，这个原理就像是生活中的一种妥协和协调。
就像我们在一个大家庭里，每个人都想拿到最大的那块蛋糕，但是如果大家都这么想，肯定会打起来的。
所以呢，最后大家会达成一种平衡，每个人都能拿到差不多合适的蛋糕，这样大家都能开心。
在交通或者网络这些大环境里，虽然每个个体都想最优化自己的利益，但是最后还是会受到整体环境的影响，大家一起形成一种平衡。
再从一个更有趣的角度看，这个Wardrop平衡原理就像是一场大自然的游戏。
动物们在寻找食物或者栖息地的时候，也会有类似的情况。
第8章 交通流分配(基本概念)
dkj ---距离矩阵D中的元素。
25
矩阵迭代法例题
4、进行矩阵迭代运算（第m步） 经过m步到达某一节点的最短距离为：
Dm= Dm-1 *D=[dmij] [dmij] =min[dm-1ik+dkj]
k=1,2,3„,n 式中：dm-1ik ---距离矩阵Dm-1中的元素；
dkj ---距离矩阵D中的元素。 迭代不断进行，直到： Dm= Dm-1。即：
33
（1）Wardrop第一平衡原理
前提条件：准确完备的信息、理智的选择行为
结论：当网络达到平衡状态时 ，每个OD对的各条被使用的 路径具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用路径的行
驶时间大于或等于最小行驶时间 。
路径1，q1=0
O
路径2， q2≠0
路径3， q3≠0
D
t1＞ t2=t3=tmin
5- 6-9
30
第2节 交通流分配的基本概念
三、交通平衡问题
网络平衡：假设从一个OD对的出行者都选择同一条路（它 在开始时是阻抗最小的），则这条路径上就会产生拥挤而导 致阻抗上升，直到它不再是最好的路径。此时，部分出行者 将选择其它路径，不过被选择的路径也会随流上升而增加阻 抗。出行者就这样不断权衡、不断修改出方案，直至这些路 径上的流量分布达到某种程度的稳定即所谓的平衡状态。
27
矩阵迭代法实际应用分析：
用该方法求解网络的最短路，能够一次获 得n*n阶的最短路权矩阵，简便快速。
软件的开发比 Dijkstra方法节省内存， 速度快。网络越复杂，该方法的优越性越 明显。
28
最短路径辨识例题：
dri+Lmin(i,s)=Lmin(r,s)
例2：辨识出例1所求得的从节点1到节点9的最短 路径。（P182）
25
矩阵迭代法例题
4、进行矩阵迭代运算（第m步） 经过m步到达某一节点的最短距离为：
Dm= Dm-1 *D=[dmij] [dmij] =min[dm-1ik+dkj]
k=1,2,3„,n 式中：dm-1ik ---距离矩阵Dm-1中的元素；
dkj ---距离矩阵D中的元素。 迭代不断进行，直到： Dm= Dm-1。即：
33
（1）Wardrop第一平衡原理
前提条件：准确完备的信息、理智的选择行为
结论：当网络达到平衡状态时 ，每个OD对的各条被使用的 路径具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用路径的行
驶时间大于或等于最小行驶时间 。
路径1，q1=0
O
路径2， q2≠0
路径3， q3≠0
D
t1＞ t2=t3=tmin
5- 6-9
30
第2节 交通流分配的基本概念
三、交通平衡问题
网络平衡：假设从一个OD对的出行者都选择同一条路（它 在开始时是阻抗最小的），则这条路径上就会产生拥挤而导 致阻抗上升，直到它不再是最好的路径。此时，部分出行者 将选择其它路径，不过被选择的路径也会随流上升而增加阻 抗。出行者就这样不断权衡、不断修改出方案，直至这些路 径上的流量分布达到某种程度的稳定即所谓的平衡状态。
27
矩阵迭代法实际应用分析：
用该方法求解网络的最短路，能够一次获 得n*n阶的最短路权矩阵，简便快速。
软件的开发比 Dijkstra方法节省内存， 速度快。网络越复杂，该方法的优越性越 明显。
28
最短路径辨识例题：
dri+Lmin(i,s)=Lmin(r,s)
例2：辨识出例1所求得的从节点1到节点9的最短 路径。（P182）
第8章 交通流分配(2)
即所有交通流选择穿城方案。
19
例题1
V>250时，两条线路都将被使用。例如， 当V=2000时，可以验证： Vb=1400 且 Vt=600
此时每条道的费用都是22分钟。
20
21
例题2
仍考虑前述问题。 将2000交通量按4次(40%, 30%, 20%,
10%), 即800、600、400、200加载到网 络，对每次加载用前述(1)、(2)式计算 新的出行费用。下表总结了这一算法过 程：
27
Step 3 用 MSA 方法计算各路段当前交通量 xan
xan
(1
)
xn1 a
果
xan
,
x n 1 a
相差不大,则停止计算。
xan
即为最
终分配结果。否则返回 Step1。
28
3.连续平均法算法分析
实践中Step 4停止计算的判断既可用误差大小， 也可以用循环次数的多少来进行运算的控制；
用。它可表示为：
cijr
c* ijr
c* ijr
Tijr 0 Tijr 0
其中，Tij*r 是满足Wardrop第一原理的一组路径
流量.
36
数学规划问题
1952年Wardrop提出他的平衡准则之后，曾经在 很长一段时间内没有一种严格的模型可求出满足 这种平衡准则的交通分配方法，这也自然成了交 通分配研究者重要课题。
假定很多人经过反复试验两条线路后确定了一条较 为稳定的出行线路，且没有人通过换线来改善出行 时间，这就是通常的Wardrop用户平衡。
15
不过，并非2000个驾驶员都会有同样想法。 有人总是喜欢无干扰、景观好的绕城路线。 而其他人会喜欢其他方面好的穿城线路。这 些客观或感知上的差异导致路径选择的不同， 其效果就是用户在路径选择方面体现出来的 随机性。
19
例题1
V>250时，两条线路都将被使用。例如， 当V=2000时，可以验证： Vb=1400 且 Vt=600
此时每条道的费用都是22分钟。
20
21
例题2
仍考虑前述问题。 将2000交通量按4次(40%, 30%, 20%,
10%), 即800、600、400、200加载到网 络，对每次加载用前述(1)、(2)式计算 新的出行费用。下表总结了这一算法过 程：
27
Step 3 用 MSA 方法计算各路段当前交通量 xan
xan
(1
)
xn1 a
果
xan
,
x n 1 a
相差不大,则停止计算。
xan
即为最
终分配结果。否则返回 Step1。
28
3.连续平均法算法分析
实践中Step 4停止计算的判断既可用误差大小， 也可以用循环次数的多少来进行运算的控制；
用。它可表示为：
cijr
c* ijr
c* ijr
Tijr 0 Tijr 0
其中，Tij*r 是满足Wardrop第一原理的一组路径
流量.
36
数学规划问题
1952年Wardrop提出他的平衡准则之后，曾经在 很长一段时间内没有一种严格的模型可求出满足 这种平衡准则的交通分配方法，这也自然成了交 通分配研究者重要课题。
假定很多人经过反复试验两条线路后确定了一条较 为稳定的出行线路，且没有人通过换线来改善出行 时间，这就是通常的Wardrop用户平衡。
15
不过，并非2000个驾驶员都会有同样想法。 有人总是喜欢无干扰、景观好的绕城路线。 而其他人会喜欢其他方面好的穿城线路。这 些客观或感知上的差异导致路径选择的不同， 其效果就是用户在路径选择方面体现出来的 随机性。
交通规划-第八章分配交通量概要
变化路阻：阻抗随交通量的增加而增大
14
二、非平衡分配方法
全有全无分配法(All-or-nothing Assignment Method) 不考虑交通量对路阻的影响，取路阻为常数。 分配思路：把OD交通量全部(all)分配到该OD对的最短 路径上，其余路径不分配任何交通量(nothing) 计算步骤 初始化，求出自由流状态下所有路段的阻抗； 计算各OD之间的最短路径； 将OD交通量全部分配到相应的最短径路上。 其他分配方法的基本子程序 每次改变路段上的交通量后，重新计算路段阻抗和最 短路径，(对一定的OD交通量)反复进行全有全无分配
q1
q2
21
三、平衡分配方法
Beckmann交通平衡模型：
min Z(x)
xa 0
ta
(
)d
a
subject to
k
f
rs k
qrs
f
rs k
0
各路段阻抗函数积分和最小化
交通流守恒：
各路径交通量之和等于OD交通量
路径流量非负
其中，路段交通量 xa
f rs rs k a,k
r sk
18
三、平衡分配方法
c1=5+0.1f1 q=f1+f2=100辆
路径1
用户平衡的模型化
c2=10+0.025f2
路径2
Wardrop第一原理：同一OD对间所有被利用路径的旅 行时间相等，且不大于其他未被利用路径的旅行时间
平衡条件
c1 min(c1, c2 ) c1 min(c1, c2 )
15
二、非平衡分配方法
增量分配法(Incremental Assignment Method) 考虑交通量对路阻的影响。 分配思路：逐次分配部分OD交通量，根据路网流动状 况，决定下次分配的最短路径 将OD表分为若干个份(等分或不等分)，每次分配一份 每份OD表分配前，重新计算路网上各路段的阻抗和 各OD对的最短径路 每份OD表均按全有全无法分配到相应的最短路径上
14
二、非平衡分配方法
全有全无分配法(All-or-nothing Assignment Method) 不考虑交通量对路阻的影响，取路阻为常数。 分配思路：把OD交通量全部(all)分配到该OD对的最短 路径上，其余路径不分配任何交通量(nothing) 计算步骤 初始化，求出自由流状态下所有路段的阻抗； 计算各OD之间的最短路径； 将OD交通量全部分配到相应的最短径路上。 其他分配方法的基本子程序 每次改变路段上的交通量后，重新计算路段阻抗和最 短路径，(对一定的OD交通量)反复进行全有全无分配
q1
q2
21
三、平衡分配方法
Beckmann交通平衡模型：
min Z(x)
xa 0
ta
(
)d
a
subject to
k
f
rs k
qrs
f
rs k
0
各路段阻抗函数积分和最小化
交通流守恒：
各路径交通量之和等于OD交通量
路径流量非负
其中，路段交通量 xa
f rs rs k a,k
r sk
18
三、平衡分配方法
c1=5+0.1f1 q=f1+f2=100辆
路径1
用户平衡的模型化
c2=10+0.025f2
路径2
Wardrop第一原理：同一OD对间所有被利用路径的旅 行时间相等，且不大于其他未被利用路径的旅行时间
平衡条件
c1 min(c1, c2 ) c1 min(c1, c2 )
15
二、非平衡分配方法
增量分配法(Incremental Assignment Method) 考虑交通量对路阻的影响。 分配思路：逐次分配部分OD交通量，根据路网流动状 况，决定下次分配的最短路径 将OD表分为若干个份(等分或不等分)，每次分配一份 每份OD表分配前，重新计算路网上各路段的阻抗和 各OD对的最短径路 每份OD表均按全有全无法分配到相应的最短路径上
第八章 交通流分配(Wardrop平衡原理)
min: C=ta·qa+tb·qb
s.t.
qa + qb = 2000 qa ,qb≥0
解得：qa =500, qb = 1500；
ta=20,tb=22.5;C=43750
UE的结果：qa = 600, qb = 1400; ta= tb=22; C=44000
d q=2000 不等！？
Wardrop平衡原理
考虑拥挤对路网的影响 能够解决一些实际分配问题
Wardrop平衡原理也存在缺陷
用户很难确切知道路网的交通状态 用户通过估计时间选择最短路径 某些用户在路径选择上存在偏好
思考习题
Braess悖论
1
qod 6
o 1 : t1(x1) 50 x1
o
2 d : t2(x2 ) 50 x2
交通平衡
交通分配中，实际路网一般有很多OD点对——各条路径 有多条路段组成——这些路段排列组合成无数条不同路 径——OD点对间多条路径。
Wardrop第一平衡原理
Wardrop第一平衡原理
如果道路使用者都确切知道网络的交通状态并试图选 择最短路径时，网络将会达到平衡状态。
用户均衡(User Equilibrium, UE)
h1 200, h2 200, h3 200 （辆）
c1 92, c2 92, c3 92 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Zue 386 （辆分），系统最优分配
法 Z so 552 （辆分） 用户均衡分配法：在新路规划之前，目标函数值为 399，之后为 386。目标函数值向着最佳方向变动， 径路行驶时间在新路规划前 83 分，之后变成了 92 分。 系统最优分配：目标函数值由新路规划前的 498 变成 552。
第8章 交通流分配(基本概念)
（2）矩阵迭代法算法思想：
1. 首先构造距离矩阵（以距离为权的权矩阵） 2. 矩阵给出了节点间只经过一步（一条边）到
达某一点的最短距离 3. 对距离矩阵进行如下的迭代运算，便可以得
到经过两步达到某一点的最短距离：
19
D2=D*D=[d2ij] [d2ij] =min[dik+dkj]
k=1,2,3,„,n 式中：
的路径选择原则分配到交通 O
径q路2 2
D
网络中的各条道路上，并求
径q路n n
出各路段上的流量及相关的
交通指标。
先决条件：
输出结果：
• •
交通需求函数； 交通网络；
• •
路段交通量 服务水平。
；
为交通网络的设计、评价、 优选、改进等提供依据
• 路阻函数。
2
第1节 概述——路径选择原则
路径选择原则是指出行者在选择出行路径时所 遵循的行为准则。
由流车速、通过能力等参数）
14
第2节 交通流分配的基本概念
二、路径与最短路径
（1）路段 交通网络上相邻两个节点之间的交通路线。 （2）路径 交通网络上任意一对OD点之间，从产生点到 吸引点一串连通的路段的有序排列。 （3）最短路径 一对OD点之间的路径中总阻抗最小的路径。
第2节 交通流分配的基本概念
第2节 交通流分配的基本概念
（1）Dijkstra算法（P179）
第2节 交通流分配的基本概念
（1）Dijkstra算法实例
/fine/resources/FlashCo ntent.asp?id=105 /xinwen3/news/kj/flas h/2004/0426/1303.htm
路段上的 阻抗
第八章_交通分配.
这条定义通常简称为Wardrop平衡（Wardrop Equilibrium）， 在实际交通分配中也称为用户均衡 ( User Equilibrium ， UE) 或用户最优。没有达到平衡状态时，会有一些道路使用者通过 变换路线来缩短行驶时间直至平衡。即，路段流量(拥挤)和出 行费用同时为出行者所考虑的因素，是平衡形成的条件。
？？
1952 年 ， Wardrop 提 出了交通网络平衡定 义的第一原理和第二 原理，奠定了交通分 配的基础。
Wardrop提出的第一原理定义是：在道路的使用者都确切知
道网络的交通状态并试图选择最短路径时，网络将会达到平衡 状态。在考虑路段流量对行驶时间影响的网络中，当网络达到 平衡状态时，每个OD对的各条被使用的路径具有相等而且最小 的 行驶时间；没有被使用的路径的行驶时间大于或等于最小 行驶时间 。
第一节 交通流分配中的基本概念 第二节 平衡分配法 重点内容
第三节 非平衡分配法 重点内容
第四节 随机分配法
第五节 动态交通流分配法
第一节
基本概念
交通分配(assignment)相关概念
一、交通流分配定义
就是将预测得出的 OD 交通 量，根据已知的道路网描述， 按照一定的规则分配到路网中 的各条道路上去，进而求出路 网中各路段的交通流量，并据 此对城市交通网络的使用状况 做出分析和评价。
ta f (Va )
即路段的费用只与该路段的流量及特性相关，这个假定简化 了对路段函数的建立和标定，以及交通流分配模型的开发。 对于公路行驶时间函数的研究，既有通过实测数据进行回归 分析的，也有进行理论研究的。其中被广泛应用的是由美国 道路局 (Bureau of Public Road ， BPR) 开发的函数，被称为 BPR函数，形式为:
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思考习题
Braess悖论
1
qod＝6
o 1 : t1 ( x1 ) 50 x1
o d
2 d : t2 ( x2 ) 50 x2 o 2 : t3 ( x3 ) 10 x3 1 d : t 4 ( x 4 ) 10 x 4
2
2 1 : t 5 ( x 5 ) 10 x 5
t 3 ( x3 ) 50 0.01x3
t 4 ( x 4 ) 0.1x 4
解：利用用户均衡分配法和系统均衡分配法得， 径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的交通量：
h1 300 , h2 300 （辆）
径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的旅行时间：
1
qod 6 o 1 : t1 ( x1 ) 50 x1 2 d : t2 ( x2 ) 50 x2
d
o
o 2 : t3 ( x3 ) 10 x3 1 d : t4 ( x4 ) 10 x4 co1d co2d 83
2
（1）求解用户均衡条件下的各路段流量及出行成本
反映内容不一样
一般情况下，平衡结果不一样
小结
Wardrop第一、第二平衡原理
考虑拥挤对路网的影响 能够解决一些实际分配问题 用户很难确切知道路网的交通状态 用户通过估计时间选择最短路径 某些用户在路径选择上存在偏好
Wardrop平衡原理也存在缺陷
思考习题
Braess悖论
堵——车辆选择最短、次短——Q继续增加——所有路径 都有被选择的可能。
交通平衡
交通分配中，实际路网一般有很多OD点对——各条路径 有多条路段组成——这些路段排列组合成无数条不同路 径——OD点对间多条路径。
Wardrop第一平衡原理
Wardrop第一平衡原理
如果道路使用者都确切知道网络的交通状态并试图选 择最短路径时，网络将会达到平衡状态。
（2）求解用户均衡条件下的各路段流量及出行成本， 并与（1）的结果进行比较并试说明之。
２．Braess 奇论（Paradox）
奇论：为提高路网的服务水平而制定的交通政策，在用 户均衡状态下反而导致服务水平的下降。
２ 1 ２
1 ３ ４
3
４
ＯＤ交通量： t13 600 辆
路阻函数：
t1 ( x1 ) 50 0.01x1 （分） t 2 ( x2 ) 0.1x2 （分）
第八章 交通流分配
Wardrop平衡原理
交通平衡
【思考】Q小——车辆沿最短路径——随着Q增加——拥
一、道路网平衡状态的定义
若所有道路使用者（驾驶员）都准确知道各条道路所 需的行驶时间，并选择行驶时间最短的道路，最终被利用 的各条道路的行驶时间会相等，没被利用的道路的行驶时 间更长。这种状态叫道路网平衡状态。
Wardrop第一平衡原理
UE实例
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
10 + 0.02qa = 15 + 0.005qb qa + qb = 2000 qa ,qb≥0 qb = 0.8q-200
qa = 600, qb = 1400; ta= tb=22
Wardrop第二平衡原理
二、Wardrop平衡原理
SO实例
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb=ta· q a +t b · qb qa + qb = 2000 s.t. qa ,qb≥0 解得：qa =500, qb = 1500； ta=20,tb=22.5;C=43750
h1 200, h2 200, h3 200 （辆）
c1 92, c2 92, c3 92 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Z ue 386 （辆分） ，系统最优分配 法 Z so 552 （辆分）
用户均衡分配法：在新路规划之前，目标函数值为 399，之后为 386。目标函数值向着最佳方向变动， 径路行驶时间在新路规划前 83 分， 之后变成了 92 分。 系统最优分配：目标函数值由新路规划前的 498 变成 552。
Wardrop第二平衡原理(System Optiminzation, SO)
在系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总 的出行成本最小为依据来分配。 系统最优分配模型
min : Z ( X ) xa t a ( xa )
a
f krs qrs k s.t. rs fk 0 xa 路段a上的交通流量； t a 路段a的交通阻抗，也称行驶时间； t a ( xa ) 路段a以流量为自变量的阻抗函数，也称行驶时间函数； f krs 出发地为r目的地为s的OD间的第k条径路上的流量；
用户均衡(User Equilibrium, UE)
所有被使用的道路的行驶时间相等且等于最小行驶时间 其他未被使用的道路的行驶时间大于或等于最小行驶时间
Wardrop第一平衡原理
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
设OD间交通量为q=2000辆，有2条路径a和b。径路a行驶时间短， 但是通行能力小，径路b行驶时间长，但通行能力大。假设各自的 行驶时间min与流量关系如图所示，根据 Wardrop第一平衡原理 求径路a与b上分配的交通量。
结论： 因路网的结构不同，新线道路的建设反而恶化 道路原有的服务水平，这种现象在实际道路规划中 很有可能出现。
谢 谢！
c1 83, c 2 83 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Z ue 399 （辆分） ，系统最优分配法
Z so 498
２ 1 ２ ５ ３ ４
1
3
４
t 5 ( x5 ) 10 0.01x5
现在道路规划部门计划提高该地区道路的服务 水平(减少总行驶时间)，计划新建一条道路（路 段５） 。假设路段３、路段５和路段２形成径路 ３，这时，使用用户均衡分配法求出的径路交通 量和行驶时间分别为：
UE的结果：qa = 600, qb = 1400; ta= tb=22; C=44000
不等！？
Wardrop平衡原理
Wardrop第一、第二平衡原理比较
相同点：基于网络平衡 优化目标不一样
UE：用户自身出行成本最小 SO：路网总出行成本最小 UE：道路使用者路径选择准则 SO：道路规划者系统总体追求目标