高考数学理科(课标版)仿真模拟卷(五)

13.已知|a|=1,|b|= ,且 a⊥(a-b),则向量 a 与向量 b 的夹角大小为
.
14.设 x,y 满足约束条件
则 z=3x+y 的最小值为
.
15.在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N*,则数列{an}的通项公式是 an=
.
16.如图,F 是抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,直线 l 过点 F 且与该抛物线及其准线交于 A,B,C
由正弦定理可得
,解得 c= ,
所以 S△ABC= acsin B= 2
sin(A+C)
= sin 18.解 (1)记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件 M,
则 P(M)= (2)①X 的可能取值为 228,234,240,247,254.
P(X=228)= ;P(X=234)= ;P(X=240)= ;P(X=247)= ;P(X=254)=
所以 PA2+PC2=AC2,即 a=1. 在△PDE 中,∠PDE=90°,PD=DE=1, 所以∠EPD=45°, 所以二面角 B-l-D 的大小为 45°. 解法二 由(1)知 DE⊥DA,PD⊥DE,PD⊥DA,如图,以 D 为坐标原点,分别以 DE,DA,DP 所 在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz. 设 DA=1,DP=a,则 A(0,1,0),C(1,-1,0),P(0,0,a),B(1,1,0).
A.y=±x
B.y=± x
C.y=± x
D.y=±2x
12.已知偶函数 f(x)满足 f(1-x)=f(1+x)(x∈R),且当 0≤x≤1 时,f(x)=2x-1,则方程|cos π x|-f(x)=0 在[-1,3]上的所有根之和为( )
A.8
B.9
C.10
D.11
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 l 的参数方程是
(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为ρ=2 cos
.
(1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程;
(2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求|AB|.
23.选修 4—5:不等式选讲(10 分) 已知函数 f(x)=|x-1|+2|x+1|的最大值为 a. (1)求 a 的值;
所以 X 的分布列为:
22222 X2 3 4 4 5
84074
P
所以 E(X)=228 +234 +240 +247 +254 =241.8. ②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42× 0.1=39.7.所以甲公司送餐员日平均工资为 80+4×39.7=238.8(元).由①得乙公司送餐员日 平均工资为 241.8 元.因为 238.8<241.8,故推荐小王去乙公司应聘. 19.(1)证明 取 BC 的中点 E,连接 DE. ∵BC=2AB=2AD,∴AD=BE, 又∵AD∥BC,∴四边形 ABED 是平行四边形,
(1)求 C 的方程;
(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 21.(12 分)已知函数 f(x)=(x-1)ex+ax2.
=0,求证:直线 l 与圆 E:x2+y2=2 相切.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若函数 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记 分. 22.选修 4—4:坐标系与参数方程(10 分)
高考仿真卷·理科数学(五) (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
1.已知全集 U=R,集合 A={-1,0,1,2},B={x|y= ()
},则图中阴影部分所表示的集合为
19.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AB=2AD. (1)求证:BD⊥PC; (2)若 AP⊥PC,设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l,求二面角 B-l-D 的大小.
20.(12 分)已知椭圆 C:
=1(a>b>0)的长轴为 2 ,离心率为 .
∴DE=AB= BC, ∵E 为 BC 的中点,∴△BCD 是直角三角形,即 BD⊥CD. 又 PD,CD⊂平面 PCD,且 PD∩CD=D. ∴BD⊥平面 PCD,又 PC⊂平面 PCD,∴BD⊥PC.
(2)解法一 因为 AD∥BC,AD⊂平面 PAD,BC⊄ 平面 PAD, 所以 BC∥平面 PAD. 因为平面 PAD 和平面 PBC 的交线为 l, 所以 BC∥l. 因为 DE⊥BC,连接 PE.
故当 x∈(-∞,0)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;x∈(0,ln(-2a))时,f'(x)<0; 所以 f(x)在(-∞,0),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(0,ln(-2a))上单调递减;
②若 a=- ,则 ln(-2a)=0,则 f'(x)=x(ex-1)≥0 恒成立, 所以 f(x)在 R 上单调递增;
③若- <a<0,则 ln(-2a)<0, 故当 x∈(-∞,ln(-2a))∪(0,+∞)时,f'(x)>0;x∈(ln(-2a),0)时,f'(x)<0; 所以 f(x)在(-∞,ln(-2a)),(0,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),0)上单调递减. 综上所述, 当 a≥0 时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ()
的部分图象如图所示,则 f
的值为
A.-
B.-
C.-
D.-1
10.已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体 积为( )
A. +π
B. +π
C.2+
D.2+
(第 9 题图)
(第 10 题图)
11.过双曲线 C: =1(a>0,b>0)的两个焦点分别作它的两条渐近线的平行线,若这 4 条直 线所围成的四边形的周长为 8a,则 C 的渐近线方程为( )
由韦达定理得 x1+x2=
,x1x2=
所以 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=
因为
=0,所以 x1x2+y1y2=0,
即
=0,
整理得 m2=2k2+2 满足①式,
所以
,即原点到直线 l 的距离是 ,
所以直线 l 与圆 x2+y2=2 相切.
综上,直线 l 与圆 E:x2+y2=2 相切.
21.解 (1)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a).
,据此估计,该社区一户年收入
A.11.4 万元
B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元
5.右面程序框图的算法源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程 序框图,若输入的 a,b 分别为 14,21,则输出的 a=( )
A.2
B.3
C.7
D.14
6.已知 f(x)=
A.{-1}
B.{0}
C.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1,0}
D.{-1,0,1}
2.设复数 z 满足 z(1-i)=4i(i 是虚数单位),则 z 的共轭复数 是( )
A.-2-2i
B.-2+2i
C.2+2i
D.2-2i
3.如图,正方形 ABCD 的内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点的连线对称,在正 方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
(ⅰ)当 a≥0 时,ex+2a>0 在 R 上恒成立,
故当 x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;
当 x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以 f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(ⅱ)当 a<0 时,由 f'(x)=0 得,x=0 或 x=ln(-2a).
①若 a<- ,则 ln(-2a)>0,
则 f(-5+log35)=( )
A.15
B.
C.5
D.
7.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S8=( )
A.127
B.192
C.255
D.511
8.(2-x)n 的展开式中所有二项式系数和为 64,则 x3 的系数为( )
A.-160
B.-20
C.20
D.160
即
sin C,
由余弦定理得
=cos C,
所以 sin C=cos C,即 tan C= ,
又因为 0<C<π,所以 C= (2)因为 asin B=bcos A,由正弦定理得 sin Asin B=sin Bcos A, ∵sin B>0,∴sin A=cos A,即 tan A=1,
又因为 0<A<π,所以 A=
此时直线 l 为 x=± ,与圆 x2+y2=2 相切. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程
消去 y 并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,化简,得 m2<6k2+3.①
甲公司送餐员送餐单数频数表 送 33444 餐 89012 单
数 天1111
5 数0500
乙公司送餐员送餐单数频数表 送 餐33444 单8 9 0 1 2 数 天 112 55 数 000
(1)现从甲公司记录的 50 天中随机抽取 3 天,求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率; (2)若将频率视为概率,回答下列问题: ①记乙公司送餐员日工资为 X(单位:元),求 X 的分布列和数学期望; ②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学 的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
(2)若
=a(m>0,n>0),试比较 2m+n 与 2 的大小.
2018 高考仿真卷·理科数学(五) 1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C 8.A 9.D 10.A
11.A 12.D 13 14.-3 15.4n-2 16.y2=4x 17.解 (1)因为 2 absin C=a2+b2-c2,
A.
B.
C.
D.
4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统 计数据表:
收 入 x( 8.8. 101111 万 2 6 .0 .3 .9 元 )
支 出 y( 6.7. 8. 8. 9. 万250 5 8 元 )
根据上表可得回归直线方程 x+ ,其中 =0.76, 为 15 万元的家庭的年支出为( )
所以 =(0,-1,a), =(1,-1,-a). 又因为 AP⊥PC,
所以
=0,即 1-a2=0,所以 a=1.
设平面 PBC 的法向量 n1=(x,y,z).
又 =(1,-1,-1), =(0,2,0),
所以
所以 令 x=1,得平面 PBC 的一个法向量 n1=(1,0,1). 又平面 PAD 的一个法向量 n2=(1,0,0),
又因为 BC⊥PD, 所以 BC⊥平面 PDE, 所以 BC⊥PE, 所以 l⊥PD,l⊥PE, 所以∠EPD 是平面 PAD 和平面 PBC 所成角的一个平面角. 设 AD=1,PD=a,则 AB=1,BC=2,AC= ,CD= 因为 PD⊥底面 ABCD, 所以 PA2=a2+1,PC2=a2+2. 又因为 AP⊥PC,
18.(12 分)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪 80 元,每单抽成 4 元;乙公司无底薪,40 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 6 元,超出 40 单的部分每单抽成 7 元, 假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录 其 50 天的送餐单数,得到如表频数表:
三点,若|BC|=3|BF|,|AF|=3,则 C 的标准方程是
.
三、解答题(共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个试题都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题:共 60 分 17.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 2 absin C=a2+b2-c2. (1)求 C; (2)若 asin B=bcos A,且 a=2,求△ABC 的面积.
所以 cos<n1,n2>= 所以二面角 B-l-D 的大小为 45°.
20.解 (1)由题意可得 2a=2 ,e=
,
所以 a= ,c= ,b=
所以椭圆 C 的方程为
=1.
(2)当直线 l 的斜率不存在时,设直线 l 为 x=t,与椭圆 C 的交点为 A
,B
,
因为
=0,所以 t2-3+ =0,即 t=±