平面直角坐标系中三角形面积的求法

例析平面直角坐标系中面积的求法

我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.

一、有一边在坐标轴上

例1 如图1，平面直角坐标系中，

△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），

（0，3），（0，－1），

你能求出三角形ABC的面积吗？

分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.

解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),

所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，

二、有一边与坐标轴平行

例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标

分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），

求三角形ABC的面积.

分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.

解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.

三、三边均不与坐标轴平行

例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点

A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），

你能求出三角形ABC的面积吗？

分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.

解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.

平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用

一、已知点的坐标，求图形的面积。

1、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B

（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。

2、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A

（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求这个四边形的面积。

3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标

分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。

4、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B（-1，

4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积；

（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，

求线段AB扫过的面积。

二、已知面积（可以求面积），求点的坐标

5、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，且△

ABC的面积为12，求点C的坐标。

6、如图，在平面直角坐标系中，A（－4，0），B（6，0），C（2，4），

D（－3，2）。

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）若点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积等于四边形ABCD面积

的一半，求P点坐标。

7、已知，点A（-2，0）B（4，0）C（2，4）

（1）求△ABC的面积；

（2）设P为x轴上一点，若

1

2

APC PBC

S S

V V

，试求点P的坐标。

8、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S =V ，求点P 的坐标

三、点的存在性问题（运动性）

9、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，18ABC S =V ，

（1）求点C 的坐标；

（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得1

2

APC ABC S S =

V V 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说明理由。

10、在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1，0），（3，0），现

同时将点A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。 （1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积； （2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使1

2

APB

ABDC S S =

V 四，若存在这样的点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由。

11、如图，已知长方形ABCO 中，边AB=8，BC=4。以O 为原点，OAOC 所在的直线为y 轴和x 轴建立直角坐标系。

（1）点A 的坐标为（0，4），写出B 、C 两点的坐标；

（2）若点P 从C 点出发，以2单位/秒的速度向CO 方向移动（不超过点O ）,点Q 从原点O 出发，以1单位/秒的速度向OA 方向移动（不超过点A ），设P 、Q 两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。

12、如图，在平面直角坐标系中，已知三点A （0，a ），B （b ，0），C

（b ，c ），其中a ，b ，c 满足关系式0|1|)3(|2|2

=--+-+-b c b a （1）求a ，b ，c 的值；

（2）如果在第二象限内有一点P （m ，2

1

），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积，

（3）若四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等，请求出点P 的坐标；

13、在平面直角坐标系中，已知O 是原点，四边形ABCD 是长方形，A 、B 、C 的坐标分别是A （-3，1）、B （-3，3）、C （2，3）。 （1）求点D 的坐标；

（2）将长方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A 1B 1C 1D 1四个顶点的坐标各是多少？

（3）平移（2）中的长方形A 1B 1C 1D 1 ，几秒钟后△OB 1D 1 的面积等于长方形ABCD 的面积？