高等数学(一)参考答案

《高等数学（一）》作业参考答案

一、求下列函数的定义域

（1）[0，+∞]；

（2）（-1，∞+）。

（3）),1()1,(+∞⋃-∞

二、用区间表示变量的变化范围：

（1）(],6-∞

（2）[]2,

0 （3）[]3,

5-

三、求下列极限

(1）[]

33131(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)h

h xh h x h x h h 2

02202lim )(lim +=-+→→ =x h x h 2)2(lim 0

=+→

(3)lim 1n n n →∞== (4）22

11lim 1lim 2lim 12(lim x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim

1=∞→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→x

x x (6)x

x x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→x

x x ; (7）2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim

1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;3

1

(8)00sin 555lim lim ;sin 222

x x x x x x →→== (9))

45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim

1=+-→x x x (10）31lim 3lim 13(lim 33=+=+∞→∞→∞→n

n n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 55

0550==→→x

x x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→x

x x x x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366

x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x

→∞→∞+-+-==-+-+

四、求下列函数的微分：

（1）[])4sin(+=wt A d dy

=)4sin(+wt Ad

=)4()4cos(++wt d wt A

=dt wt Aw )4cos(+

(2)[])3cos(x e

d dy x -=- =)3cos()3cos(x d

e de x x x -+--- =dx x e dx x e

x x )3sin()3cos(-+---- =[]dx x x e x )3cos()3sin(----

五、求下列函数的导数 (1）463'2+-=x x y ；

(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；

(3）)'ln 1(ln 11'222

1

x x y +⋅+⋅= =x x x

x x x

221

ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅

(4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x

-===- (5);ln 1ln )ln ('221

'x

x x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211(

'x x x y +⋅+-=+= =2)

21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;

(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;

(9)3.013.13.13.1'x x

y ==-; (10)22212)'1(11'x

x x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==

六、求下列函数的二阶导数

（1）x

y +=11'， 2)1(1''x y +-=； （2）x x e x xe

y 22222'+= x x x x e x xe xe e y 222224442''+++= =)241(222x x e x ++

（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=

七、求下列不定积分

(1）12x dx c

-==+⎰⎰; (2)dx x xdx ⎰

⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4

121; (3)

c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰

⎰-=x xd xdx cos sin sin 23

=x d x cos )cos 1(2⎰

-- =⎰⎰

-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 313; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx =

c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x

822(8 =28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(122

2 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2

121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰

(10）⎰⎰⎰-==

x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =

⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-224

1ln 21 (11) c x dx x x

xdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x

++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：

(1）

[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]11121arctan 1dx x x --=+⎰ =244)(πππ

=--。