求极限的常用方法
极限计算的13种方法示例
极限计算的13种方法示例极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在计算极限时，我们可以利用一些常见的方法来求解。
下面将介绍13种常见的极限计算方法。
一、代入法代入法是极限计算中最简单的方法之一。
当我们需要计算一个函数在某一点的极限时，只需要将该点的横坐标代入函数中，求得纵坐标即可。
二、夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于那些难以直接计算的函数。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，它们在极限点附近夹住我们要求的函数，从而求得该函数的极限值。
三、无穷小量法无穷小量法是极限计算中常用的方法之一。
它利用了无穷小量的性质，将函数中的高阶无穷小量忽略不计，只考虑最高阶的无穷小量来计算极限。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的极限计算方法，它适用于求解0/0型和∞/∞型的极限。
该法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的导数的极限，然后通过求导计算得到极限值。
五、泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的近似计算极限的方法。
它利用了泰勒级数展开的性质，将函数在某一点附近进行泰勒展开，然后通过截断级数来计算函数的极限。
六、换元法换元法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些存在复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
七、分子有理化分子有理化是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有根式的函数。
通过将根式的分子有理化，可以将原函数转化为一个分式，从而更容易计算极限。
八、分部积分法分部积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有积分的函数。
通过将原函数进行分部积分，可以将原函数转化为一个更简单的函数，从而更容易计算极限。
九、换元积分法换元积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
十、二重极限法二重极限法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有多个变量的函数。
求极限的常用方法
e e lim x0
1ex xex
2
故，原式 e1.
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六、利用罗比达法则求极限
例18
lim( e x
e2x
e3x
1
)x.
x0
3
lim 1 ln( ex e2 x e3 x )
e 解：原式 x0 x
3
而
1 ex e2 x e3x
lim
x0
x
ln(
3
)
ln(ex e2 x e3 x )ln 3
例14 lim x ln x
x0
解：原式
lim x0
ln x x1
lim x0
x1 x 2
lim (x) x0
0
注(1) 0 型不定式极限可经
过把一项旳倒数放到分母上变
为 0， 之一． 0
(2) lim xx 1. x0
例15 lim xxx 1
x0
解：原式 lim e(xx 1)ln x
x0
lim e(exln x 1)ln x
x0
lim (ex ln x 1) ln x
x0
e lim xln2 x e e x0
lim
x0
ln2 x x1
e e lim x0
2ln x x1
2 lim x ln x
x0
e0 1
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六、利用罗比达法则求极限
1
例16 lim (cot x)ln x . x0 lim 1 ln cot x
x0 x sin x
解：原式
lim esin x (exsin x 1) x0 x sin x
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(limx f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）洛必达法则（定理）设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;⑵在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ⑶x→a 时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大 则 x→a 时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))注： 它的使用有严格的使用前提。
求极限的常用方法(精髓版)考试必备
求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法极限是数学中一个非常重要的概念，在计算和分析各种数学模型或问题时经常会遇到。
求极限的方法有很多种，我们来看一下其中几种常用的方法。
1.代入法代入法是求解极限的最基本方法。
当直接代入极限的值会导致不确定形式（比如0/0或无穷大/无穷大）时，可以尝试将这个函数做一些化简或变形，然后再进行代入。
2.夹逼准则夹逼准则也叫夹逼定理，是一种常用的求解极限的方法。
当我们要求解f(x)在x=a处的极限时，如果能够找到两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，且当x趋近于a时，g(x)和h(x)的极限都等于L，那么根据夹逼准则，f(x)的极限也等于L。
3.分别极限法当一个函数可以拆解为多个子函数的和、积或商时，可以使用分别极限法进行求解。
即求出每个子函数的极限，然后再根据所涉及的运算性质来得到整个函数的极限。
4.换元法换元法也是求解极限的一种常用方法。
当求解一个复杂函数的极限时，我们可以进行变量的替换，将原函数转化为一个更加简单的函数，从而更容易求解极限。
5.泰勒展开泰勒展开是一种利用泰勒公式来近似表示函数的方法。
通过将一个函数近似展开为多项式的形式，可以用这个多项式来计算函数在其中一点的极限。
当需要计算给定点附近的极限时，泰勒展开是一种常用的方法。
6.渐近线性当极限存在且无穷大或无穷小时，可以利用函数的渐近线性来求解极限。
根据函数在无穷远处的性质和斜率，可以通过观察渐近线的特征来判断极限的结果。
7.收敛性对于数列来说，如果数列的极限存在，那么我们可以通过观察数列的性质和规律来判断极限的结果。
一般可以利用单调有界原理、数列的递推关系、数列的特征和规律等方法来判断极限的收敛性。
8. L'Hopital法则L'Hopital法则是一种用于求解0/0或无穷大/无穷大形式的极限的方法。
根据这个法则，如果一个函数的极限形式为0/0或无穷大/无穷大，可以通过对分子和分母同时求导再次进行极限计算，直到得到极限的结果。
几种求极限方法的总结
几种求极限方法的总结求极限是数学中常见的一种运算方法，通过确定变量趋近于一些特定值时的极限值，可以得到一些重要的数学结论和性质。
在数学中，常用的求极限方法主要包括代入法、夹逼定理、换元法、洛必达法则和级数展开法等。
下面对这些方法进行总结。
1.代入法：代入法是求极限的最基本也是最常用的方法之一、该方法的基本思想是将待求极限的表达式中的变量用一些特定的值替代，然后计算得到的函数值，以此来确定极限值。
代入法特别适用于求一些基本极限，如常数的极限、指数函数的极限和三角函数的极限等。
2.夹逼定理：夹逼定理也称为两边夹定理，是一种常用的求极限方法。
它的基本思想是通过找到两个函数，使得它们的极限值分别接近于待求极限值，而且夹逼在它们之间。
这两个函数的极限值可以比较容易地求得，从而通过夹逼定理求出待求极限的值。
夹逼定理常用于求一些复杂函数的极限，如无理函数和乘积、商函数等。
3.换元法：换元法又称为代换法，是一种常用的求极限方法。
该方法的基本思想是通过对待求极限的表达式进行变量替换，将其转化为一个可以比较容易计算的形式。
通过选取合适的变量替换方式，可以使得原表达式中的一些难以计算的部分简化，从而更容易求得极限的值。
换元法特别适用于一些复杂的函数、无穷级数或指数函数等。
4.洛必达法则：洛必达法则是一种求极限的重要方法，尤其适用于求函数之商的极限。
该方法的基本思想是将待求极限转化为求两个函数的导数的极限，然后利用导数的性质来确定极限值。
通过使用洛必达法则，可以简化一些分数形式的极限，使得求解过程更加简单明了。
但需要注意的是，使用洛必达法则时，必须保证函数和导数满足一些特定的条件，如充分可导、分子分母都趋于零或无穷等。
5.级数展开法：级数展开法是一种求极限的常用方法，尤其适用于求函数的幂级数展开形式。
该方法的基本思想是将函数在一些点附近进行泰勒级数展开，然后将其转化为级数的形式。
通过截取级数中的有限项或考虑级数的收敛性，可以确定原函数的极限值。
求极限lim的常用公式
求极限lim的常用公式1、lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）；2、lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）；3、lim（f（x）×g（x））=limf（x）×limg（x）；4、lim（f（x）/g（x））=limf（x）/limg（x）limg（x）不等于0；5、lim（f（x））^n=（limf（x））^n。
注意：limf（x）limg（x）都存在时才成立。
lim是极限，是微积分中的基础概念，指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
极限可分为数列极限和函数极限。
lim的基本计算公式：话务量公式为:a=c x t.a是话务量,单位为erl(爱尔兰),c是呼叫次数,单位是个,t是每次呼叫平均占用时长,单位是小时.一般话务量又称小时呼,统计的时间范围是1个小时.求极限的常见公式； (x^3+3x^2)^(1\3)-(x^4-2x^3)^(1\4)=x[(1+3\x)^(1\3)-(1-2\x)^(1\4)] 1\x→0 在0处泰勒公式有(1+x)^(1\m)=1+x\m+o(x) ∴原式为x[(1+3\3x+o(1\x))-(1-2\4x+o(1\x))]=3\2+xo(1\x) ∴极限为3\2求极限的4个重要公式；这个应该不难吧.是不是这个.lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n极限有哪些运算公式；lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) limg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n 注意条件:以上limf(x) limg(x)都存在时才成立高等数学极限的几个重要公式；两个重要极限:来设{xn}为一源个无穷实数数列2113的集合.如果存在5261实数a,对于任意正4102数ε (不论其多1653么小),都N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn} 收敛于a.如...“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
最新求极限常用方法及常见题型攻略
求极限常用方法及常见题型攻略以心同学整理求极限原则：(1)先判断类型,再用相应的方法；(2)能用等价无穷小代换的先用等价无穷小代换；(3)有些极限可能需要几种方法才能求出。
1.分子分母的极限均为0，含有根号方法：含有根号的零因子有理化例1求极限xx x x 1lim 21。
分析：1 x 时，分子02 x x ，且含根号，故有理化时分子分母需同时乘2x x 同理1 x 时，分母01x ，且含根号，故有理化时分子分母需同时乘x 1。
解：x x x x 1lim 21))(1)(1()1)()((lim2221x x x x x x x x x x ))(1()1)((lim241x x x x x x x ))(1()1)(1(lim231x x x x x x x ))(1()1)(1)(1(lim 221x x x x x x x x x 221)1)(1(lim xx x x x x x 3 。
2.无穷小乘以有界量还是无穷小例101sinlim 0xx x 。
3.无穷的过程( x x x ,,)，分子分母均为x 的多项式。
方法：看分子分母最高次幂，套公式00 b an m n m nm b a a x a x b x b a x a x a x a n n n n m m m mx ,,0,/lim 0011101110 。
注：上面公式对数列极限同样成立。
例1求极限1495)85()37()32(lim x x x x 。
分析：分子分母用二项式定理打开，再乘开后均为多项式，且是无穷的过程。
分子分母最高次幂均为14。
解：1495)85()37()32(lim x x x x 14955)3(2 1495532 。
★另外，有些题分子分母不一定都是多项式，但也可以化为这一类来求，如nn n n 2lim 2 224lim n n n n 224lim n nn n 2141 。
4.1未定式极限的求法方法：利用第二个重要极限：e1)1(lim ，其中0lim 。
limx→无穷常用公式
limx→无穷常用公式在数学中，当自变量趋向于无穷大或无穷小时，我们常常需要使用一些特定的公式来求解极限。
这些公式不仅能够简化计算过程，还能够帮助我们更好地理解极限的性质和特征。
下面是一些常用的极限公式：1.数列极限：(1) 若数列{an}以正无穷大为极限，即lim(n→∞)an=+∞，则有lim(n→∞)(an+bn)=+∞，其中bn为定值。
(2) 若数列{an}以负无穷大为极限，即lim(n→∞)an=-∞，则有lim(n→∞)(an+bn)=-∞，其中bn为定值。
2.无穷大与无穷小：(1) 若lim(x→∞)f(x)=∞，则对任意大于0的常数M，存在正数δ，使得x>δ时，有f(x)>M。
(2) 若lim(x→a)g(x)≠0，且lim(x→a)f(x)=0（或∞），则lim(x→a)(f(x)⋅g(x))=0（或∞）。
3.无穷小的乘积与商：(1) 若lim(x→0)f(x)=0，lim(x→0)g(x)=0，则lim(x→0)(f(x)⋅g(x))=0。
(2) 若lim(x→0)f(x)=0，lim(x→0)g(x)=c（c为非零常数），则lim(x→0)(f(x)/g(x))=0。
4.无穷小与有界函数的乘积与商：(1) 设lim(x→a)f(x)=0，且g(x)为有界函数，则lim(x→a)(f(x)⋅g(x))=0。
(2) 设lim(x→a)f(x)=0，且g(x)为非零有界函数，则lim(x→a)(f(x)/g(x))=0。
5.复合函数的极限计算：(1) 设lim(g→A)g(x)=B，lim(x→B)f(x)=L，则lim(x→A)f(g(x))=L。
(2) 设lim(x→A)g(x)=∞，lim(g→∞)f(x)=L，则lim(x→A)f(g(x))=L。
(3) 设lim(g→∞)g(x)=A，lim(x→A)f(x)=L，则lim(x→∞)f(g(x))=L。
6.指数函数的极限：(1) lim(x→∞)(1+x)^1/x=e。
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限，本例中当 时， ，表明 与1无限接近，但 ,所以 这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
?三、 分子(母)有理化求极限例:求极限 ??分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例：求极限30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限两个重要的极限在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。
五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求因为,,所以六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当时,，，等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。
此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例：例：求极限?七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。
如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。
也就说，极限号与可以互换顺序。
例：求令因为在点处连续所以八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。
洛必达法则只说明当也存在等于时，那么存在且等于。
如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。
求极限的常用方法
求极限的常用方法求极限是数学分析中一个重要的概念，它可以帮助我们理解函数在一些点处的行为，并在许多数学领域中发挥重要作用。
下面是一些常用的方法和技巧，来帮助我们求解各种类型的极限。
1.代入法：当函数在其中一点的极限存在时，我们可以尝试直接将该点的值代入函数中，看看是否会得到一个有意义的结果。
如果代入的结果是有限的，那么说明极限存在并等于该有限值。
然而，这种方法只适用于简单的函数和特定的极限问题。
2.分母有理化：当我们遇到含有分母中包含根式或其他不便计算的因素时，可以尝试将其有理化。
常用的方法有利用平方差公式或者乘法公式，以及通过分子分母同乘共轭式等。
3.分子有理化：类似于分母有理化，当我们遇到函数中含有根式时，可以尝试将其有理化。
常用的方法有利用平方差公式，乘方差公式以及平方和公式等。
4.拆分分数项：对于复杂的分式函数，我们可以尝试将其分解成简单的分式项，然后对各项求极限，再根据极限的性质进行求解。
5.极限的性质和定理：除了直接计算极限，我们还可以利用一些常见的极限性质和定理来简化问题。
例如，极限的四则运算法则、复合函数的极限、极限的保号性等都可以帮助我们更好地理解和求解极限。
6.夹逼定理：夹逼定理是求解一些复杂极限的常用方法之一、该定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，然后利用这两个函数对待求函数进行夹逼，从而确定待求函数的极限。
这个方法常用于求解无穷大和无穷小的极限。
7.泰勒展开：泰勒展开是求解一些复杂函数的极限的重要方法。
该方法利用了泰勒级数的定义，将复杂的函数近似为一个无穷级数，然后通过截断级数来计算近似的极限值。
8. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解一些不定型极限的重要方法之一、该法则利用导数和洛必达法则，将一个不定型极限转换为一个更简单的极限，然后进行求解。
9.递推关系：递推关系是求解一些递推数列的极限的重要方法。
该方法利用数列之间的递推关系，将数列的极限转化为递归方程的极限，并利用递归方程的解求解极限。
求极限的方法总结
千里之行，始于足下。
求极限的方法总结求极限是微积分的重要内容，也是解决数学问题中常用的方法之一。
下面是对求极限的方法进行总结：1. 代入法：当在不断插入一个趋于该极限的数值时，假如函数表达式有意义，且极限存在，则取其极限值作为函数的极限。
2. 四则运算法则：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都存在，那么可以利用加减乘除等基本运算的极限法则求解。
3. 夹逼定理：当存在两个函数 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且函数 f(x)，h(x)的极限都为 L，那么 g(x)的极限也为 L。
4. 函数的连续性：假如函数 f(x) 在 x = a 处连续，那么函数 f(x) 在x = a 处也存在极限。
5. 分解因式法：可以通过将函数进行分解因式，使得函数变为两个函数之比，然后利用极限的分解限求解。
6. 无穷小与无穷大：假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为 0，那么称函数 f(x) 为无穷小。
假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为∞或 -∞，那么称函数 f(x) 为无穷大。
通过争辩函数的无穷小和无穷大性质，可以求解极限。
7. 等价无穷小法：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都为 0，并且极限 lim(x→a) [f(x)/g(x)] 存在且为 L (L ≠ 0)，那么可以使用“等价无穷小”来求解极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
8. 数列极限法则：假如数列 {an} 在 n →∞时有极限 L，则函数 f(x) = an 在 x →∞时的极限也为 L。
通过数列的极限法则，可以推导出函数的极限。
9. 泰勒开放：对于光滑函数，可以利用泰勒开放来近似求解极限。
10. 形式不确定型：对于一些形式不确定的极限，可以通过化简、将其转换成其他形式来求解。
11. 极限存在定理：对于一些特定的函数和性质，可以通过极限存在定理来判定函数的极限是否存在。
上述是常用的一些求解极限的方法总结，通过运用这些方法，可以更加精确地求解各种极限问题。
高数求极限的常用公式
高数求极限的常用公式求极限是高等数学中的一个重要概念，它在许多数学和科学领域中都有着重要的应用。
在求极限的过程中，我们可以利用一些常用的公式来简化计算，提高求解效率。
下面我们将介绍一些常用的求极限公式。
1. 常数的极限公式：当n趋向于无穷大时，常数a的极限为a，即lim(a) = a。
2. 幂函数的极限公式：当n趋向于无穷大时，幂函数x^n的极限为：若n>0，则lim(x^n) = ∞或lim(x^n) = -∞，具体取决于x的正负；若n=0，则lim(x^n) = 1；若0<n<1，则lim(x^n) = 0。
3. 指数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，指数函数a^x的极限为：若a>1，则lim(a^x) = ∞；若0<a<1，则lim(a^x) = 0。
4. 对数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，对数函数log_a(x)的极限为：若a>1，则lim(log_a(x)) = ∞；若0<a<1，则lim(log_a(x)) = -∞。
5. 三角函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，三角函数的极限为：lim(sin(x)) = 不存在；lim(cos(x)) = 不存在；lim(tan(x)) = 不存在。
6. 指数与对数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，指数与对数函数的极限为：lim(e^x) = ∞；lim(ln(x)) = ∞。
通过以上常用的求极限公式，我们可以简化极限的计算过程，提高求解的效率。
在实际应用中，我们还可以根据具体问题，灵活运用这些公式，并结合其他数学知识来求解更复杂的极限问题。
求极限是高等数学中的重要内容，掌握这些常用公式对于深入理解极限概念和解决实际问题都具有重要意义。
求极限的方法总结
极限是数学分析中的重要概念，也是微积分的基础。
求极限的方法有很多种，下面将对常用的几种方法进行总结和解析。
1. 直接代入法直接代入法是最基本的求极限方法，适用于函数单调、连续，且直接代入可知极限值的情况。
具体步骤如下：（1）将极限表达式中的变量替换为具体的数值。
（2）根据函数的定义和性质，计算替换后的表达式。
（3）得出极限值。
2. 因式分解法因式分解法适用于有理函数的极限求解，通过分解函数，消除分子、分母中的共同因子，简化极限表达式。
具体步骤如下：（1）对有理函数进行因式分解。
（2）对分解后的表达式进行约分，消除共同因子。
（3）根据约分后的表达式求极限。
3. 泰勒公式法泰勒公式法是利用泰勒公式将函数展开，近似表示函数在某一点附近的值，从而求解极限。
具体步骤如下：（1）确定函数在某一点附近的泰勒展开式。
（2）根据泰勒展开式求极限。
4. 洛必达法则洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）适用于求解“0/0”或“∞/∞”形式的极限。
该法则通过对分子、分母同时求导，将极限问题转化为导数的极限问题。
具体步骤如下：（1）判断极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”。
（2）对分子、分母分别求导。
（3）将求导后的表达式代入原极限表达式。
（4）求解新的极限表达式。
5. 夹逼定理夹逼定理（Squeeze Theorem）适用于求解形如“f(x) = (g(x))/(h(x))”，且当x趋向于某一点时，g(x)和h(x)分别趋向于a和b（a ≠ b）的极限。
具体步骤如下：（1）找到两个函数p(x)和q(x)，使得p(x) ≤ f(x) ≤ q(x)。
（2）证明当x趋向于某一点时，p(x)和q(x)分别趋向于a和b。
（3）根据夹逼定理，得出f(x)趋向于a。
6. 有界函数法有界函数法适用于求解形如“f(x) = g(x)/h(x)”，且当x趋向于某一点时，g(x)趋向于0，h(x)趋向于无穷大的极限。
具体步骤如下：（1）证明g(x)在x趋向于某一点时趋向于0。
极限的计算方法
极限的计算方法在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数或数列在无限接近某个值或趋势的过程中的行为。
极限的计算方法是数学中的重要内容之一，下面将介绍几种常用的极限计算方法。
1. 代入法代入法是一种简单直接的计算极限的方法。
当函数在某个点存在极限时，可以尝试将该点代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3在x=2处的极限，可以直接将x=2代入函数中得到f(2)=2*2+3=7，故极限为7。
2. 分子有理化法分子有理化法适用于分子含有根式的极限。
例如，计算函数f(x)=(sqrt(x)-1)/(x-1)在x=1处的极限。
由于计算根式的极限较为困难，我们可以将分子有理化，即将(sqrt(x)-1)乘以(sqrt(x)+1)得到(x-1)/(sqrt(x)+1)。
此时，x=1成为可直接代入的点，极限为(1-1)/(sqrt(1)+1)=0/2=0。
3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，适用于函数在某个点无法直接计算出极限的情况。
夹逼定理的基本思想是找到两个函数，一个比待求函数小，另一个比待求函数大，且两个函数的极限相等，通过比较可以确定待求函数的极限。
例如，计算函数f(x)=x*sin(π/x)在x=0处的极限。
由于当x趋近于0时，sin(π/x)的值夹在-1与1之间，因此可以构造两个函数g(x)=x和h(x)=-x作为夹逼函数。
由于g(x)<=f(x)<=h(x)，而g(x)和h(x)的极限都为0，所以根据夹逼定理，f(x)在x=0处的极限也为0。
4. 泰勒展开法泰勒展开法适用于计算某些复杂函数的极限。
泰勒展开利用了函数在某个点附近的局部性质，将其展开为无穷级数，常用到泰勒展开的函数包括指数函数、三角函数等。
例如，计算函数f(x)=e^x在x=0处的极限。
根据泰勒展开公式，e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，当x趋近于0时，高阶项的影响逐渐减小，因此可以截取前几项进行计算。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学是高等教育中的重要课程之一，其涵盖的内容非常广泛，包括微积分、数理方程和变换等方面。
其中求极限是微积分中的核心内容之一，也是数学建模和应用中常用的方法之一。
本文将介绍求极限的常用方法，并提供相应的例题和详解。
一、用夹逼定理求极限夹逼定理是求极限中常用的方法之一，其思路是通过一个比较大小的框架，来判断所求极限的范围和趋势。
具体而言，假设存在两个函数 f(x) 和 g(x)，满足以下条件：1. 对于 x 属于某个区间 [a, b]，有 f(x) <= g(x)。
2. 在区间 [a, b] 内，f(x) 和 g(x) 的极限均存在，即 lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = A。
3. 在区间 [a, b] 内，除有限个点外，f(x) = g(x)。
则可以得到 lim[f(x)] = lim[g(x)] = A。
下面是一个例子：例1：求极限 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)]。
解法：可以将原式改写成 (x - 1)(x - 3) / (x - 3)，即 (x - 1)。
则对于x ∈ (3,∞)，有 0 <= x - 1 <= x - 3，因此：0 <= (x^2 - 4x + 3) / (x - 3) - (x - 1) <= x - 3，而 lim[x - 3] = ∞，因此可用夹逼定理得到所求极限为 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)] = lim[(x - 1)] = 2。
二、用洛必达法则求极限洛必达法则是求导数时的常用方法，在求极限时也可以用到。
具体而言，假设有一个形如 lim[f(x) / g(x)] 的无穷小量，若这个无穷小量的分子和分母都存在极限，并且它们的极限都等于 0 或者±∞，则可以用洛必达法则来求出极限的值。
其中，洛必达法则的形式如下：若 lim[f(x)] = 0，lim[g(x)] = 0，且g'(x) ≠ 0，则 lim[f(x) / g(x)] = lim[f'(x) / g'(x)]。
求极限常用公式范文
求极限常用公式范文（1）求极限的基本公式：即如果非负定理：当x趋向于a时，函数f(x)趋向于L：lim f(x) =L when x→a这里a∈R，L也可以是无穷大或无穷小。
（2）极限的三条基本法则：1.加法法则：lim(f(x) + g(x)) = limf(x) + limg(x) when x→a2.乘法法则：lim(f(x)g(x)) = limf(x)limg(x) When x→a3.幂函数法则：lim[f(x)]^n = [limf(x)]^n When x→a（3）极限的泰勒展开式：只要f(x)是在x=a处可导的，那么f(x)可以用如下泰勒展开式表示：f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)^2/2+f’’’(a)(x-a)^3/3!+…+f(n）(x-a)^n/n!+o(x-a)^n令x→a，则有：limf(x) = f(a)（4）极限type类型：1.0/0（除以零）：当x→π/2时，sinx/x = 0/0此时，求limsinx/x When x→π/2，可以使用limf(x) = limg(x) when x→a即limsinx/x = limsinx/sin(π/2) when x→π/22.0x∞（零乘以无穷大）：当x→∞时，x^2/2x=1/2x→0此时，求limx^2/2x when x→∞，可以使用limf(x) = 0 when x→∞3.∞/∞：当x→1时，1/x+1/x^2=1/x+x/(x^2)=∞/∞此时，求lim1/x+1/x^2 When x→1，可以使用分子分母同时分别求极限，即limf(x) = lim1/xlim1/x^2 when x→14.无穷大乘以无穷大当x→1时，∞x∞=(x^2+2x+1)/x∞=∞x∞此时，求lim∞x∞ When x→1，可以使用limf(x) = limg(x)limh(x) when x→1。
求极限的常用方法(精髓版)考试必备
求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。
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求极限的常用方法
摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。
同时，极限的计算本身也是一个重要内容。
关键词 极限；计算方法
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限
例1 求极限1lim(21)
x x →-
解
1
lim(21)2111
x x →-=⋅-=
2．约去不能代入的零因子求极限
例2 求极限11
lim
41--→x x x
解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4
11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限
例3 求极限13lim 3
2
3+-∞→x x x x
解
3131lim 13lim 3
11323=+-=+-∞→∞→x x
x x x x x
注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1
4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)
13(lim 22+-++∞
→x x x
解
1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2222222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
1
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例5
求极限
x →解
01)2x x x →→→===
5．应用两个重要极限的公式求极限
两个重要极限是1sin lim
0=→x x
x 和1lim(1)x x e
x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限
x
x x x ⎪⎭⎫
⎝⎛-++∞→11lim 解 22
212
12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x
x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→
6．用等价无穷小量的代换求极限
这可以称之为求极限最简便的方法。
常见的等价无穷小有：
当0→x 时, sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ,
2
11cos ~
2x x -,
ln(1)~x x +,1~x e x -
, 1~
x n
例7 求极限0
ln(1)lim
1cos x x x x →+-
解
02
ln(1)lim
lim 211cos 2x x x x x x
x x →→+⋅==-.
7．用洛必达法则求极限
00或∞∞
型的极限,可通过洛必达法则来求。
例8 求极限220)sin 1ln(2cos ln lim
x x x x +-→
解 22
0)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x x
x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim
20+--=→
3sin 112cos 222sin lim
20-=⎪⎭⎫
⎝⎛+--=→x x x x x
8．用换底公式ln b b a
a e =求极限
例9 极限0
lim(sin )x
x x +
→
解
22002
00cos ln sin sin lim lim
cos cos 1
1lim
lim
ln sin sin 0
lim(sin )lim 1
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x e e e e
e
++
→→++→→++
---→→======
以上这些求极限的方法是最基本的方法，而计算中经常会遇到需要两种甚至更多种方法
的综合运用（上面的例子中就有不少这种情况），所以掌握这些方法是求极限的关键。
参考文献
[1]同济大学数学系.《高等数学》（上册）·第六版[M].高等数学出版社,2010年. [2]华东师大数学系.《数学分析》（上、下册）[M].高等教育出版社,2001年.
[3]张再云,陈湘栋,丁卫平,涂建斌.极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学 报(自然科学版), 2009年6月第22卷第2期.
[4]李国华.函数极限的几种求法[J].高师理科学刊,第31卷.。