第1章 1.2.3 第2课时 充要条件

数学必修（第一册）
人民教育出版社.
B版
老师：任宝泉 班级：高一年级 2020年10月11日星期日
充要条件、必要条件（ ）
壹 理解充要条件的概念． 贰 能够判定条件的充分、必要、充要性 叁 会进行简单的充要条件的证明． 肆 通过充要条件的判断与证明，提升逻辑推理素养.
2020年10月11日星期日
======新知初探======
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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======初试身手======
4．有下列命题： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件； ②a＞b＞0是 1 1 的充要条件；
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======规律方法======
追踪训练：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要 条件，求实数a的取值范围．
解：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以 Q⊆P.
所以
a－4≤1， a＋4≥3，
解得－1≤a≤5，
即 a 的取值范围是[－1,5].
ab
③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．
其中错误的说法有 ①②③ ．(填序号)
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======经典题型======
题型一 充要条件的判断
例1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：x>0，y>0，q：xy>0； (2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(3)p：x>5，q：x>10；
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======初试身手======
1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是( B )
A．p：a＝0，q：ab＝0 B．p：a＝b，q：(a－b)2＝0
C．p：|a|＝1，q：a＝1 D．p：a＝b，q：|a|＝|b|
2. 设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( A )
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======经典题型======
题型三 有关充要条件的证明或求解 例3.已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：先证充分性：若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立， 再证必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0， ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立， 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
充要条件判断的两种方法 (1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即 判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判 断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 微提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．
(1)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． (2)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． (3)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
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======新知初探======
思考： (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示： (1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
m>0，
1－m≤－2，
所以 1－m<－2， 或 m>0，
解得 m≥9.
1＋m≥10
1＋m>10，
所以实数 m 的取值范围为[9，＋∞)．
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======规律方法======
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题； (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系； (3)利用集合间的关系建立不等式； (4)求解参数范围. 追踪训练：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要 条件，求实数a的取值范围．
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======规律方法======
1．在下列四个结论中，正确的有( C )
①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
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======经典题型======
题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例2.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，
则实数m的取值范围为 [9，＋∞)
．
解：因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 p⇒q 且 q p.
1．充要条件的概念 一般地，如果既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分 必要条件，简称 充要条件 ．
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======新知初探======
2．充要条件的判断 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 此时，我们说，p是q的 充分必要 条件，简称 充要 条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q 互为充要 条件．
(4)p：a>b，q：a2>b2.
பைடு நூலகம்
解：命题(1)中，p⇒q，但q p，故p不是q的充要条件；
命题(2)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；
命题(3)中，p q，但q⇒p，故p不是q的充要条件； 命题(4)中，p q，且q p，故p不是q的充要条件．
2020年10月11日星期日
======规律方法======