高等数学练习题库及答案

《高等数学》练习测试题库及答案
一．选择题
1.函数y=
1
12+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数
2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2
3．下列数列为单调递增数列的有（ ）
A ． ，，，
B ．23，32，45，5
4 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n n
n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）
A ．充分条件 B. 必要条件
C.充要条件 D 既非充分也非必要
5．下列命题正确的是（ ）
A ．发散数列必无界
B ．两无界数列之和必无界
C ．两发散数列之和必发散
D ．两收敛数列之和必收敛
6．=--→1
)1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2
7．设=+∞→x x x
k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6
8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）
2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1)
(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）
A.必要条件
B.充分条件
C.充分必要条件
D.无关条件
10、当|x|<1时，y= （ ）
A 、是连续的
B 、无界函数
C 、有最大值与最小值
D 、无最小值
11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）
为（）
A、 B、e C、-e D、-e-1
12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）
A、 xarctan1/x
B、arctan1/x
C、tan1/x
D、cos1/x
13、设f(x)在点x
0连续，g(x)在点x
不连续，则下列结论成立是（）
A、f(x)+g(x)在点x
必不连续
B、f(x)×g(x)在点x
必不连续须有
C、复合函数f[g(x)]在点x
必不连续
D、在点x
必不连续
14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（）
A、a＞0,b＞0
B、a＞0,b＜0
C、a＜0,b＞0
D、a＜0,b＜0
15、若函数f(x)在点x
0连续，则下列复合函数在x
也连续的有（）
A、 B、
C、tan[f(x)]
D、f[f(x)]
16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）
A、[0,л]
B、（0,л）
C、[-л/4,л/4]
D、（-л/4,л/4）
17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、无关条件
18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、无关条件
19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）
A、f(x)=x+1
B、f(x)=x-1
C、f(x)=x2-1
D、f(x)=5x4-4x+1
20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）
A、k=0
B、k=1
C、k=2
D、-1/2
21、若直线y=x与对数曲线y=log
a
x相切，则（）
A、e
B、1/e
C、e x
D、e1/e
22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）
A、x-y-1=0
B、x-y+3e-2=0
C、x-y-3e-2=0
D、-x-y+3e-2=0
23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）
A、±1
B、±л/2
C、±(л/2+1)
D、±(л/2-1)
24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x
0)=a，则f`(-x
)=（）
A、a
B、-a
C、|a|
D、0
25、设y=㏑，则y’|x=0=（）
A、-1/2
B、1/2
C、-1
D、0
26、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）
A、-1
B、0
C、1
D、不存在
27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）
A、0
B、1/ ㏑2
C、1
D、㏑2
28、已知y=sinx，则y(10)=（）
A、sinx
B、cosx
C、-sinx
D、-cosx
29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）
A、-1/x9
B、1/ x9
C、x9
D、 x9
30、若函数f(x)=xsin|x|，则（）
A、f``(0)不存在
B、f``(0)=0
C、f``(0) =∞
D、 f``(0)= л
31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）
A、-1
B、0
C、л/2
D、 2
32、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、 2
33、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、无关条件
34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、无关条件
35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）
A 、0
B 、-dx
C 、dx
D 、 不存在
36、极限)ln 11(lim 1x
x x x --→的未定式类型是（ ）
A 、0/0型
B 、∞/∞型
C 、∞ -∞
D 、∞型
37、极限 01
2)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞
型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sin
lim 20→=（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、不存在
39、xx 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx 0 的（ ）
A 、（n+1）阶无穷小
B 、n 阶无穷小
C 、同阶无穷小
D 、高阶无穷小
40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）
A 、唯一的零点
B 、至少存在有一个零点
C 、没有零点
D 、不能确定有无零点
41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）
A 、2
B 、1/2
C 、1
D 、0
42、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为（ ）
A、0
B、1/2
C、1
D、2
43、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）
A、一个
B、两个
C、无穷多个
D、都不对
44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）
A、2e x/2
B、4 e x/2
C、e x/2 +C
D、e x/2
45、∫xe-x dx =（ D ）
A、xe-x -e-x +C
B、-xe-x+e-x +C
C、xe-x +e-x +C
D、-xe-x -e-x +C
46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）
A、不含有对数函数
B、含有反三角函数
C、一定是初等函数
D、一定是有理函数
0|3x+1|dx=（）
47、∫
-1
A、5/6
B、1/2
C、-1/2
D、1
48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）
A、л
B、2л
C、4л
D、6л
49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）
A、л
B、6л/15
C、16л/15
D、32л/15
50、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）
A、 B、2 C、31/2 D、 21/2
51、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）
A、Z=4
B、Z=0
C、Z=-2
D、x=2
52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）
A、椭圆
B、双曲线
C、抛物线
D、两相交直线
53、方程=0所表示的图形为（）
A、原点（0，0，0）
B、三坐标轴
C、三坐标轴
D、曲面，但不可能为平面
54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）
A 、X 轴
B 、Y 轴
C 、Z 轴
D 、任一条直线
55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）
A 、双叶双曲面
B 、单叶双曲面
C 、椭圆抛物面
D 、圆锥曲面 56下列命题正确的是（ ）
A 、发散数列必无界
B 、两无界数列之和必无界
C 、两发散数列之和必发散
D 、两收敛数列之和必收敛
(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）
A 、.必要条件
B 、充分条件
C 、充分必要条件
D 、无关条件
58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（
） A 、[0,л] B 、（0,л）
C 、[-л/4,л/4]
D 、（-л/4,л/4）
59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）
A 、f(x)=x+1
B 、f(x)=x-1
C 、f(x)=x 2-1
D 、f(x)=5x 4-4x+1
60设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、 不存在
二、填空题
1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）
2、求极限 0lim →x [(x 3
-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）
3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）
4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x
=（ ）
5、求极限0lim →x (1-x)1/x
= （ ）
6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）
7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ）
8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）
9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）
10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ）
11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ）
12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ）
13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）
14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）
15、点（0，1）是曲线y=ax 3
+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）
17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ）
18、若∫f(x)dx=x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )
19、d/dx ∫a b
arctantdt=（ ）
20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0
,0,022)1(1x a x x
t dt e x 在点x=0连续，
则a=（ ）
21、∫02
(x 2+1/x 4)dx=（ ）
22、∫49 x 1/2
(1+x 1/2)dx=（ ）
23、∫031/2a dx/(a 2+x 2
)=（ ）
24、∫01 dx/(4-x 2
)1/2=（ ）
25、∫л/3л
sin(л/3+x)dx=（ ）
26、∫49 x 1/2(1+x 1/2
)dx=( )
27、∫49 x 1/2
(1+x 1/2)dx=（ ）
28、∫49
x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）
29、∫49
x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）
30、∫49
x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）
31、∫49 x 1/2
(1+x 1/2)dx=（ ）
32、∫49
x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）
33、满足不等式|x-2|＜1的X 所在区间为 ( )
34、设f(x) = [x] +1，则f （л+10）=（ ）
35、函数Y=|sinx|的周期是（）
36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）
37、 y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）
38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）
39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）
40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是
（）
41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）
42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是 ( )
43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）
44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）
45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46求极限
lim [x/(x+1)]x=（）
x
→
∞
47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）
9 x1/2(1+x1/2)dx=（）
48∫
4
49y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）
50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）
三、解答题
1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大并求出其最大值。

2、求函数y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。

3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小求出该点处的曲率半径。

5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。

6、求y=e x，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。

7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。

11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。

12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。

13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面积。

9/4
14、求对数螺线r=e aθ及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。

15、求位于曲线y=e x下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。

16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。

18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。

19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。

20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。

21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。

22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a＞0)旋转所得旋转体体积。

23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。

25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。

26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。

27、求对数螺线r=e aθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。

28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。

29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。

30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。

31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点。

32、设U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。

33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。

求这动点的轨迹方程。

34、将xoz 坐标面上的抛物线z2=5x 绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。

35、将xoy 坐标面上的圆x2+y2=9绕Z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

36、将xoy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

37、求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x+z=1的交线在xoy 面上的投影方程。

38、求球体x 2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy 平面上的投影方程。

39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。

40、求过点M 0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程。

41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方程。

43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。

44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

45、求过两点M （3，-2，1）和M （-1，0，2）的直线方程。

46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z 平行的直线方程。

47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。

48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

49、求点P （3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。

51求抛物线y=x 2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

52求y=e x ，y=e -x 与直线x=1所围图形的面积。

53求曲线y 2=4(x-1)与y 2=4(2-x)所围图形的面积
54求曲线y=x 2与x=y 2绕y 轴旋转所产生旋转体的体积。

四、证明题
1．证明不等式：⎰
-≤+≤1143812dx x 2．证明不等式⎰>≤-≤210)2(,6
121n x dx n π 3．设)(x f ，g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续，g(x)为偶函数，且)(x f 满足条件 。

为常数)()()(A A x f x f =-+证明：⎰⎰=-a a
a dx x g A dx x g x f 0)()()(
4．设n 为正整数，证明⎰⎰
=202
cos 2
1
sin cos ππ
xdx xdx x n n
n
n
5．设)(t ϕ是正值连续函数，),0(,)()(>≤≤--=⎰-a a x a dt t t x x f a
a ϕ则曲线
)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

6.证明：⎰⎰+=+1
1
122
11x x x dx x dx 7．设)(x f 是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则
⎰
⎰+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
8．若)(x f 是连续函数，则⎰⎰⎰-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x x
u du u f u x du dt t f 000)()()(
9．设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ⎰⎰=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
10．设)(x f 在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛b
a b a dx x f a b dx x f )()()(2
2
11．设)(x f 在[]b a ,上可导，且M x f ≤')(，证明：
⎰
-≤
b
a
a b M
dx x f 2)(2
)(
《高等数学》练习测试题库参考答案
一． 选择题
1——10 ABABD CCDAA 11——20 ABABB CAADC 21——30 DCDAA BCCCA
31——40 BABDD CCAAD 41——50 ABCDD CACCA 51——55 DDCCA 56------60 DACDC
二． 填空题 1．2 2．3/4 3．0
4．e -1
5．e -1
6．(31/2
+1)/2 7．
42（1+2
π） 8．9/25 9．
2π-1或1-2
π 10．2 11．-1，0 12．-2 13．1/5 14．0 15．0，1
16. C ＋ 2 x 3/2
/5 17. F(x)＋C 18. 2xe x
2(1+x)
8 6
23. π/3a 24. π/6
26. 2(31/2
-1) 27. π/2 28. 2/3 29. 4/3
30. 21/2
31. 0 32. 3π/2 33. (1,3) 34. 14
35. π
36. 7/6 37. 32/3 38. 8a
39. 等腰直角
40. 4x+4y+10z-63=0 41. 3x-7y+5z-4=0 42. (1,-1,3) 43. y+5=0 44. x+3y=0
45. 9x-2y-2=0 46. e -1
48. 21/2 49. 7/6
50. 3x-7y+5z-4=0
三． 解答题
1. 当X=1/5时，有最大值1/5
2. X=-3时，函数有最小值27
3. R=1/2
4. 在点(
22,-2
2ln )处曲率半径有最小值3×31/2/2
5. 7/6
6. e+1/e-2
7. x-3y-2z=0
8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9. （-5/3，2/3，2/3）
10. 2(21/2
-1) 11. 32/3
12. 4×21/2
/3 13. 9/4
14.4
2a (a π2-e π2-)
15. e/2
16. 8a 2
/3 17. 3л/10 18.
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+-)(224222e e a a a π 19. 160л2
20. 2л2 a 2
b 21.
π3
6
16 22. 7л2
a 3
23. 1+1/2㏑3/2
33
25.⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭
⎫ ⎝⎛1259823
26.p
y p y p p y p y 2
222ln
2
2++++
27.
ψ
a e a
a 21+ 2+5/12
29. 8a
30. 5×21/2
31. （0，1，-2） 32. 5a-11b+7c
33. 4x+4y+10z-63=0
34. y 2+z 2
=5x
35. x+y 2+z 2
=9
36. x 轴： 4x 2-9(y 2+z 2)=36 y 轴：4(x 2+z 2)-9y 2
=36
37. x 2+y 2(1-x)2
=9 z=0
38. x 2+y 2+(1-x)2
≤9 z=0 39. 3x-7y+5z-4=0 40. 2x+9y-6z-121=0 41. x-3y-2z=0 42. x+y-3z-4=0 43.
3
31
44.
24-x =11+y =53
-z 45. 43--x =22+y =11-z
46. 2-x =32-y =14-z
47. 8x-9y-22z-59=0 48. (-5/3,2/3,2/3)
49.
2
2
3 50. ⎩
⎨
⎧=-+-=--+0140
117373117z y x z y x
51. R=1/2
52. e+1/e-2
53. 4×21/2
/3 54. 3л/10 四．证明题
1．证明不等式：⎰
-≤
+≤1
1
43
812dx x 证明：令[]1,1,1)(4-∈+=x x x f 则4
34
312124)(x
x x
x x f +=
+=
'，
令,0)(='x f 得x=0 f(-1)=f(1)=2,f(0)=1 则2)(1≤≤x f
上式两边对x 在[]1,1-上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有,1)1(211)(222424x x x x x x f +=+=++≤+=于是 ⎰⎰⎰---+≤+≤1
1
21
1
4
1
1
,)1(1dx x dx x dx 故
⎰-≤
+≤1
1
43
812dx x
2．证明不等式⎰>≤-≤21
0)2(,6
121n x dx n π
证明：显然当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈21,0x 时，（n>2）有
⎰⎰==-≤-≤⇒-≤-≤21021
0226
021arcsin 112111
11
1π
x x dx x dx x x n n
即，⎰>≤-≤21
0)2(,6121n x dx n π
3．设)(x f ，g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续，g(x)为偶函数，且)(x f 满足条件 。

为常数)()()(A A x f x f =-+证明：⎰⎰
=-a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(
证明：
dx x g x f dx x g x f dx x g x f a
a
a
a
⎰⎰⎰
+=--0
)()()()()()(
dx x g x f du u g u f u x dx x g x f a
a
a
⎰⎰⎰
-=---=-0
00
)()()()()()(令Θ
[]⎰⎰⎰⎰⎰=-+=+-=∴-a
a a a a a
dx
x g A dx x g x f x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f 0
)()()()()()()()()()(
4．设n 为正整数，证明⎰⎰
=202
cos 2
1sin cos ππ
xdx xdx x n n
n
n
证明：令t=2x,有
⎰
⎰
⎰
++=
=
π
π
π
1
20
20
1
sin 2
12)2(sin 2
1sin cos tdt x d x xdx x n n n
n n
n
,sin sin 212201⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎰⎰+πππ
tdt tdt n
n n 又，⎰⎰⎰=---=0
2
20
2
sin )(sin sin ππ
π
π
ππudu du u u t tdt n n
n
，
所
以，
⎰
⎰
⎰⎰⎰==+=+ππ
π
π
π
π2
2
2020
201sin 2
1
sin 21)sin sin (21
sin cos xdx tdt tdt tdt xdx x n n
n
n
n n n n n
又，
⎰⎰⎰
=--=
20
2
2
cos cos 2
sin π
πππ
π
xdx tdt t x xdx n n
n
因此，⎰⎰
=202
cos 2
1
sin cos π
π
xdx xdx x n n
n
n
5．设)(t ϕ是正值连续函数，),0(,)()(>≤≤--=⎰-a a x a dt t t x x f a
a
ϕ则曲线
)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

证明：⎰
⎰--+-=
x
a
a
x
dt t x t dt t t x x f )()()()()(ϕϕ
⎰⎰⎰⎰----+-=x
a
a
x
x a
x
a
dt t x dt t t dt t t dt t x )()()()(ϕϕϕϕ ⎰⎰⎰⎰--+=-='x
a
x
a
x
a
a
x
dt t dt t dt t dt t x f )()()()()(ϕϕϕϕ
0)(2)()()(>=+='x x x x f ϕϕϕ 故，曲线)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

6.证明：⎰⎰+=+1
1
122
11x x x dx x dx 证明：⎰⎰⎰⎰=
+=+=-•++=
1
1
1111
1222
2
1
2
11)1(111
1x x x x u
x x dx u du du u u
x dx
令 7．设)(x f 是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则 ⎰
⎰+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
证明：⎰
⎰⎰
⎰=++=+=
+=+=
a
a
a T x f x f T x f T
u x T
a T dx x f dx
T x f du T u f dx x f 0
)()
()()()()()(为周期以令ΘΘ
0)()(0
=+∴
⎰
⎰
+T
a T
a
dx x f dx x f
在等式两端各加
⎰
T
dx x f 0
)(，于是得⎰⎰+=T a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
8．若)(x f 是连续函数，则⎰⎰⎰-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x x
u du u f u x du dt t f 000)()()(
证明：⎰⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x u x
u du u uf x dt t f u du dt t f 000
0)(0)()(
⎰⎰-=x
x du u uf dt t f x 0
)()(
⎰-=x
du u f u x 0
)()(
9．设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ⎰⎰=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
证明：作辅助函数⎰⎰=x a
b
x
dt t g dt t f x F )()()(，由于)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续，所
以)(x F 在[]b a ,上连续，在（a,b ）内可导，并有0)()(==b F a F 由洛尔定理
),(,0)(b a F ∈='ξξ
即ξ
ξ
==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡•-='
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰x b x x
a x x x a
b x x g dt t f dt t g x f dt t g dt t f )()()()()()(
⎰⎰-=b
a
dx x f g dx x g f ξ
ξ
ξξ)()()()(
＝0 亦即，⎰⎰=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
10．设)(x f 在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛b a b a dx x f a b dx x f )()()(22
证明：令⎰⎰--⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x
a x a dt t f a x dt t f x F )()()()(22
[]⎰≤--='x
a
dt x f t f x F 0)()()(2
Θ
故)(x f 是 []b a ,上的减函数，又0)(=a F ，0)()(=≤a F b F
故 ⎰⎰-≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛b
a b a dx x f a b dx x f )()()(22
11．设)(x f 在[]b a ,上可导，且M x f ≤')(，证明：
⎰
-≤
b
a
a b M
dx x f 2)(2
)( 证明：由题设对[],,b a x ∈∀可知)(x f 在[]b a ,上满足拉氏微分中值定理，于是有
()x a a x f a f x f x f ,),)(()()()(∈-'=-=ξξ 又M x f ≤')(，因而，)()(a x M x f -≤
b a
b
a
a
b
M
dx
a
x
M
dx
x
f2)
(
2
)
(
)
(
由定积分比较定理，有⎰⎰-
=
-
≤。