二项式定理教学反思

二项式定理教学反思
二项式定理教学反思

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二项式定理教学反思

二项式定理教学反思(一)

下午在安庆一中高二(6)班上了一节数学展示课,课堂学生的反应和专家的点评,都让我受益匪浅,主要体会如下:

1、学生能机积极配合,情绪高涨。据了解,高二(6)班学生基础较好,整体素质较高。由于是新老师,学生不了解我的教学风格,开头几分钟,学生的积极性还没有完全调动起来,但随着时间的推进,课堂氛围不断进入高潮。在遇到疑难问题时,只要我稍加点拨,都能立即化解。特别是最后一道天津高考题,具有挑战性,需要较高的逆向思维水平,但一名学生在很短的时间内就看出了它的结构特点,作出了完整的回答,使学生和听课老师眼睛一亮。加上我及时总结的“数感、式感和图感”又让学生耳目一新,增添了课堂色彩。

2、数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现。孙主任点评中的“课堂教学要有高贵和丰满的学科气质”,我认为对数学课堂来说,就是要体现数学思想、方法和数学文化,让数学课堂有“数学味”。课堂中,提到的数学的两重性“直觉与逻辑”,牛顿的“没有大胆的猜想就没有伟大的发现”,二项式系数的对称美,“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法,二项式指数推广到负整数指数,有没有三项式定理,反例C62就不是偶数等等,都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。“真诚、深刻、丰富”是课堂永恒

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的追求。

3、基本技巧和基本方法可能没有很好落实。本节课的教学重点是二项式定理的探求过程,而简单的应用则次之。基于这种想法,我在引导发现定理上花的时间较多,证明过程多媒体详细展示,但最后没有点到“还可以用数学归纳法证明”是一个疏忽。同时对将(p-q)7展开这种问题没有书写示范,以致不少学生书写不规范或弄错,板演的学生就有好几处错误,我也没有详细板书订正。我想,好在还有第二节课的加强,先让学生对此内容有点兴趣,再去强化运算的正确性也不迟。

4、课堂上如何放手让学生自主学习。多位专家评课中提到数学课堂上如何放手让学生自主学习,这也是新课程大力倡导的。我认为,像这样面对新学生的展示课,难以操作。因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错。否则,对于有一定难度的数学课,在课堂上2先自主、合作、探究,再来答疑、解惑,就没有足够的时间了。即使可以操作,自主、合作、探究也是走走过场,没有实际效果。语文与数学有不同特点,在数学课堂上如何实施自主学习值得深入研究。

5、数学教师要不断提高专业水平和人文素养。范梅南有一句名言:教学就是“即兴创作”,依托的是教师的文化底蕴和精神修养。对数学教师来说,我认为是专业水平和人文素养。专业水平可以帮助你确定有梯度的思维目标,创设有价值的思维情景;人文素养可以帮助你确定良好的情感目标,营造积极的情感情景。速度、效果、体验是判

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 别有效课堂的三要素,其中就蕴涵着对学生探索精神、创新精神的唤醒和弘扬,创新能力的发展和提升,创造型人格的生成与确立。数学教师要多读点文学作品,打造有诗意的数学课堂。

二项式定理教学反思(二)

二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续,是排列组合知识的具体运用,定理的证明是计数原理的应用。

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”,在教学中,采用“问题探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.让学生体会研究问题的方式方法,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式,让学生体验定理的发现和创造历程。

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.在教学中,设置了对多项式乘法的再认识,引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后面二项展开式的推导作铺垫.再以为对象进行探究,引导学生用计数原理进行再思考,分析各项以及项的个数,这也为推导的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来,是培养学生数学探究能力的极好载体.教学过程中,让学生充分体会到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现解决一般问题

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的方法.教学中我特别注重运用通项意识凡涉及到展开式的项及其系数等问题,常是先写出其通项公式,然后再据题意进行求解。

本节课的亮点:引入作了项数问题,明确每一项的很好的铺垫,数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现.引导学生运用计数原理来解决特征,为后续学习作准备.二项式系数的对称美,“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法,二项式指数推广到负整数指数,有没有三项式定理,都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。

不足之处:学生在数学课堂中的参与度不够.我认为,像这样面对新学生的展示课,难以操作.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课,在课堂上先自主、合作、探究,再来答疑、解惑,就没有足够的时间了. 即使可以操作, 自主、合作、探究也是走走过场, 没有实际效果. 语文与数学有不同特点,在数学课堂上如何让学生讨论、思考值得深入研究。

总之,本节课遵循学生的认识规律,由特殊到一般,由感性到理性.重视学生的参与过程,问题引导,师生互动.重在培养学生观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习惯。

二项式定理教学反思(三)

首先感谢市教育局各位专家领导给予高度评价,并提出宝贵意见和建议。你们的肯定将激励我在教育事业上勇往直前,我会走得更好,

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 走的更远。你们的建议会让我不断的反省自己,改正自己,完善自己。反思后则奋进,存在问题就整改,发现问题则深思,找到经验就升华。我要牢记你们所说的话“应该向专家型教师学习,向这个方向努力!”

上班已有六年时间,带了两轮的高中数学,在知识方面我严格要求自己,勤思多问,“教然后而知困”,不断发现陌生的自己,促使自己拜师求教,书海寻宝,不断的提高自己的专业素质。在教学技能方面也是严格按照学校的要求多听课、多请教、多反思;备好每一堂课,上好每一堂课;课后做好教学反思,注意课堂中的每一个细节;同时也大胆的尝试和实践一些新的教学手段、思路和方法,形成和完善自己独有的教学风格。

学习的过程是新旧知识互相碰撞的过程,旧知识不断被新知识所补充所完善。通过学习者不断的思维,才能把新的知识内化,来完善原有的知识结构。对于数学教学而言,教会学生思维才是根本,无论教师的讲解多么精彩,思维活动过程是任何人无法替代的。

在本节课的教学设计中,我很好的把握了重点和难点,通过简单例子反复强调二项展开式的特点和通项公式的特点及功能,学生的理解很轻松。对于例题的选择也是结合近几年的高考特点由浅入深,总体的设计还比较满意。但在上课的过程中忽视了一个很重要的因素——学生。我班是一个文科普班,数学基础不是很好,虽然是复习课,但仍有部分学生跟没学过一样,我在讲课过程中语速过快,一部分学生

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没能跟上。因此在今后的教学中,一定要多关注学生的原有知识水平和个性差异,灵活机动地随机处理课堂上的问题,把学生出现的错误当成是一种珍贵的教学资源,并加以合理利用。同时也要认真观察学生的微妙变化和反应情况,随机的调整教课的速度,让每个学生都能消化吸收。今后我要在讲课中多下功夫,多收集好的教学方法,教案;多积累典型的例题;认真研究考试大纲,把握教学的重点和难点,上好每一堂课。在其他细节方面,我将以最快的速度去改进、完善。

最后再次感谢各位领导!我将争取早日成为一名优秀的数学教师。

二次根式的加减教学反思(一)

本次研修我们主要研讨的是“如何以问题情境为载体提高课堂教学的有效性”。所以本节课除了创设生活情境外,最主要是设计一系列的问题串为教学情境,类比同类项、合并同类项和整式加减,通过老师的问题情境,一步步的探索发现同类二次根式的定义和二次根式加减法的法则。使学生在己有知识的基础上,自然迁移到新的知识,建立新旧知识之间的联系,形成数学知识体系。归纳起来说,就是本节课我们本着以学生为主体,以设计的问题情境为主线,运用类比的思想,并且贯穿一定量的练习,来完成本节课的教学目标。

从实际授课来看,存在以下问题:

一、对学生可能出现的问题,备课时有预设到,但没有再进一步强化、追踪没有作到位。

例如,在什么是同类二次根式时,预设到“根指数相等”可能会有

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 问题,出了一个选择题来巩固根指数的问题,并且第4小题也是一个根据根指数相同来完成的问题。第4小题学生完成的不好,没有从老师讲选择题时得到提示,同时如果讲完后再作一个小练习加以巩固可能会更好。

二、从加减计算来看,学生对于去括号变号、运算顺序、分数的开方掌握的不好。

,这一类的运算掌握不好,导致课堂进度有点拖,以致能力提升题没有进行,“没有老底子,就没有新文章”。更要求我们对学生的计算能力要高度重视。同时也觉得自己在备课时把重点放在了前半部分,对计算题的设计没有到位,对难易的掌握不好和对学生可能出现的错误没有预设到,比如不知要合并,不知如何合并。所以最后一题小测题和学以致用第4小题换一下就更好了。

三、没有利用好课堂内生成的问题情境,对所学知识进行巩固,并完成新知识的生成。

比如:让学生举例的同类二次根式,这里有同学说了一个,我当时只是简单地想成学生化简不对。其实这里可以加个上几个例子,点出根指数的问题,这样在后面作第4小题的时候学生的难度会小一点。今后在教学中,精心备课的同时,一定要注意学习素质以此加强自身素养,而现在的国培正是我们提高的好时机。感谢国培,加油吧!二次根式的加减教学反思(二)

我在教学二次根式的加减时,先了解了学生前面所学,然后根据学

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生具体学情,认真备课。我感觉同学们学习的效果非常好,学习气氛浓厚,能够自主合作探究学习,教学效果好。

本节课开始时,首先由一个求修建两块运动场的草坪面积的实际问题出发,引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题:如何进行二次根式的加减运算?这样通过问题指向本课研究的重点,激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。

然后指导学生根据问题去自学课本。通过自学课本解决问题,从而自己独立学习,结合小组合作学习掌握二次根式的加减运算。

通过我深入小组搜集信息、指导学习,发现学生具备自学能力,独立自学时很肃静,同学们都能够通过翻阅课本自己独立完成问题导读单上的一些问题。合作学习时也很热闹,同学们都能够交流自己的见解,并且能够针对一些见解提出自己的看法让大家评议。

总之,本节课我感觉同学们学习的效果非常好,学习气氛浓厚,能够自主合作探究学习。

二次根式的加减教学反思(三)

通过这节课的学习,学生将掌握二次根式加减法运算法则,并发现二次根式加减法的实质就是合并被开方数相同的二次根式,这正如整式加减法的实质就是合并同类项一样,为了确认哪些被开方数完全相同,需要将二次根式化成最简二次根式,这时一定要认真细心,避免出错。

本节课是二次根式加减的第一节课,它是在二次根式的乘除的基础上的进一步学习,目的是探索二次根式加减法运算法则,在设计本课

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 时教案时,着重从以下几点考虑:1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算,再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则。2.四人小组探索、发现、解决问题,培养学生用数学方法解决实际问题的能力。3.对法则的教学与整式的加减比较学习。

在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中,渗透了分析、概括、类比等数学思想方法,提高学生的思维品质和兴趣。

法官职业道德心得体会(一)

法官的职业道德修养包括丰富法官职业道德知识,强化法官职业道德意识,自觉塑造法官职业道德品质等内容。丰富法官职业道德知识,是法官进行职业道德修养,不断提高自身道德品质的前提和基础,身为法官,其职业道德知识越广博,越丰富,其个人道德修养的根基就越深厚,越牢固,遵循职业道德要求的自觉性就越强。强化职业道德意识是法官职业道德修养的重要内容,因为法官职业道德的意识的修养的实质,就是实现法官个人职业道德品质的塑造和培养奠定思想基础。塑造职业道德品质是法官职业道德修养的归宿,是法官通过职业道德意识和司法行为品德方面的自我陶冶、锻炼及完善,使之成为稳定的良好的职业行为习惯。

法官的职业令人羡慕,法官的职责重于泰山。作为社会精英的法官,必需具备作为法官的基本素质要求。我认为,法官的职业道德起码应达到以下几个方面:

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一是必需忠诚于国家,忠实于法律,代表人民群众的根本利益。法官的权力由国家授予,是人民赋予,所以法官必须忠实为国家、为人民服务。法官行使司法权从根本上讲要符合最广大的人民群众的根本利益,要符合国家的根本利益,要达到这样的要求,归根结底就是必须忠实于法律。法律是国家和人民意志的体现。一个法官,如果不能忠实于法律,而只是唯上、唯权、唯命从事,那他就根本不配做法官。他只能算是一个庸官、糊涂官,抑或是贪官、赃官!法官必须崇尚法律,视法律为生命,奉行法律,扞卫法律。

二是要具有良好的职业技能和丰富的学识。法官是一个特殊的职业群体。国家和社会对法官都有特别的专业技能要求。法官的职业技能,包括法律规范的熟知程度,法律思维与推理能力,理解法律规范的水平,掌握法律与运用法律的能力,逻辑思维以及较好的文化功底等等。这诸多方面的职业技能的优劣,决定着法律运作过程及其结果的质量和效率,体现着法官的司法水平。

三是要有刚直不阿,清正廉洁的法官品格。法官的职责在于判断是非,分清曲直,伸张正义,惩恶扬善。这一切不能不取决于法官自身的正直、清明、廉洁。人们会说:优秀的法官就是正义的化身。法官自身必须具备追求正义的良心和品德,把公正司法作为法官的神圣使命。

四是要具备勤勉敬业精神。法官在履行其职责时,应当是敬业、勤业的典范。法官的具体工作,烦琐复杂,没完没了。因此要求法官必须始终静下心来,知难而进,扎实工作,十分细心地去审查每一个事

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 实,化解每一个矛盾,解决每一个问题。

法官职业道德心得体会(二)

经过市律师协会和司法局的统一安排与部署,在“律师道德学习月”的学习和实践过程中,本人受益匪浅。特别是在律师职业道德上认识有了更为深刻的体会,现在总结如下;

一、做为一名律师,首先要精研专业的理论知识,要学会时刻与新的法律法规制度与理论的更新走同一条道路。要把理论应用到实践上去,理论与实践相结合。在当今社会,社会生活在不断的发展变化。与社会相适应的各种社会状况也是不断的变化,因此,法律要符合社会的发展,这就需要法律制度的不断更新和对法律理论的不断解读,作为在法治社会占用重要地位的律师的我们,更应该时刻的关注新的法律制度和理论的不断更新,学习和掌握新知识和新理论。在掌握理论的同时,要学会把理论运用到实践当中去,只有经过实践的检验,理论才能够被社会所接受,理论才能够服务于人民。而作为律师,我们只有理论和实践相结合才能用我们的知识服务于大众,为法治建设贡献我们微薄的力量。

二、在做律师这一行业过程中,我们应该时刻遵守《律师法》和《律师职业管理办法》《律师职业行为规范》等相关规定,了解到了作为律师在执业过程中律师的职业道德的重要性。在与接待当事人的过程中,要按照法律法规等相关规定提供相关信息给当事人,不能对当事人作出虚假承诺。不得诋毁同行,不得说明与法官有关系能更好

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的办理案件,要保护当事人的正当权益,不得作伪证,不得应承当事人的不正当要求,我们也要学会保护律师自身的合法权益。在从事律师行业的十多年生涯的过程中,我时刻的以律师行业的相关准则来约束自己。让自己在职业生涯走的越来越远。

最后,身为一名党员,我时刻以党员的身份来约束自己,学习党的思想,学习马列主义,毛泽东思想、邓小平理论和三个代表重要思想,遵守党的规章制度,以党员的思想为当事人服务,努力为当事人争取合法权益。科学的处理好与公安机关、检察院和法院之间的关系。以党员的思想和以专业的手段积极参与公益活动。

总之,在“律师道德学习月”的学习过程中,我在遵循原先的行为准则下,进一步的加深对相关规章制度的学习和总结,努力使自己做的更好。

法官职业道德心得体会(三)

法官职业道德是法官必须具备的职业操守,是履行法官职责和从事职务外活动必须遵循的行为规范。开展“恪守法官职业道德、促进公正廉洁执法”主题实践活动,是深入推进三项重点工作的客观需要,是全面正确履行法律审判与法律执行,审判监督职能的必然要求,也是解决法官队伍中存在的突出问题、全面提升法院执法公信力的有效途径。如何才能恪守法官职业道德,促进公正廉洁执法,我觉得应做到以下几点:

一要提高政治素质,努力做中国特色社会主义的坚定信仰者。必须始终保持对马克思主义的坚定信仰、对中国特色社会主义的坚定信

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 念、对改革开放和社会主义现代化建设的坚定信心。要继续深化对“党的事业至上、人民利益至上、宪法法律至上”和最高人民法院院长王胜俊最近提出的“对党的事业忠心、人民利益忠心、宪法和法律忠心”人民法院工作指导思想的认识,牢固树立社会主义法治理念,自觉地在法律审判与法律执行、法律监督实践中贯彻执行党的路线方针政策和重大决策部署。

二要做好本职工作,努力做“强化法律审判、法律执行、法律监督、维护公平正义”的自觉实践者。要准确把握“保增长、保民生、保稳定”的大局对法院工作的要求,既要坚持严格规范执法,又要善于化解社会矛盾、促进和谐稳定、维护人民权益。

三要提高执法能力,努力做社会公平正义的勇敢扞卫者。要坚持学习,自觉学习,既向书本学习,又向群众学习,努力提高认识和把握大局、认识和把握社会矛盾、认识和把握社情民意、认识和把握法律精神、认识和把握新情况解决新问题的能力水平。要坚持理论联系实际,在学习和实践中不断提高执法能力。

四要加强作风建设,努力做廉洁执法的身体力行者。要始终保持高度的廉政意识,时刻自重、自省、自警、自励,恪守职业道德,保持清廉本色。要增强主动接受人大、政协、人民群众及社会团体监督的意识,培养健康向上的生活情趣,多些读书学习,少些交际应酬,远离灯红酒绿,加强自我约束,不断增强对各种腐朽思想和行为的免疫力。

五要坚持与时俱进,努力做中国特色社会主义法院制度的改革探索

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者。要以“勇立潮头、敢为人先”的精神,创造性地开展工作。只要是有利于更好地为大局服务、有利于更好地保护群众根本利益、有利于更好地贯彻执行法律的办法措施,就要积极地探索、大胆地尝试,推动建设公正高效权威的社会主义法院制度。

六要保持良好精神状态,努力做人民法院事业的积极推动者。要树立强烈的事业心和责任感,对自己高标准,严要求,脚踏实地,兢兢业业,团结进取,“察实情、说实话、鼓实劲、出实招、办实事、求实效”,扎扎实实做做好工作,努力搞好自己的审判工作,做一个清正廉洁人民满意的好法官。

二项式定理(通项公式)

六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点:1.整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2.运算性质: ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ,),()(Z n m a a mn n m ∈=,)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3.注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a >0,m ,n ∈N *,且n >1) 例题: 例1求值:43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式: 1) a a a a a a ,,32 32?? (式中a >0) 2)43a a ? 3)a a a 例3计算下列各式(式中字母都是正数));3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式: );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简:)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值:.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式) 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ,1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理(第1课时) 一、内容和内容解析 内容:二项式定理的发现与证明. 内容解析:本节是高中数学人教A版选修2-3第一章第3节的内容.二项式定理是多项式乘法的特例,是初中所学多项式乘法的延伸,此内容安排在组合计数模型之后,随机变量及其分布之前,既是组合计数模型的一个应用,也是为学习二项分布作准备.由于二项式定理的发现,可以通过从特殊到一般进行归纳概括,在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型,因此,这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值.教学中应当引起充分重视. 二、目标和目标解析 目标: (1)能通过多项式乘法,归纳概括出二项式定理内容,并会用组合计数模型证明二项式定理. (2)能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律,并能通过特例体会二项式定理的简单应用. (3)通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养,以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养. 目标解析: (1)二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式,因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律.但归纳概括的结论,如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求.因此,在归纳概括的过程中,用好组合模型不仅可以更自然地得到结论,还能为证明二项式定理提供方法. (2)由于二项展开式是一个复杂的多项式.如果不把其看成一个数列的和,引进数列的通项帮助理解与应用,学生很难短期内对定理有深入的认识.因此,通过一些特例,建立二项式展开式与数列及数列和的联系,是达成教学目标的一个重要途径.(3)数学核心素养是数学教学的重要目标,但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实.在二项式定理的教学中,从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会;同时利用组合计数模型证明二项式定理,以及利

二项式定理(通项公式).

二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式) 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-,1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=, 即二项式系数和等于2n ; 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即m n m n n C C -=. (2)二项式系数k n C 增减性与最大值: 当12n k +< 时,二项式系数是递增的;当1 2 n k +≥时,二项式系数是递减的. 当n 是偶数时,中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n n C -和12n n C +相等,且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质:f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f

高中数学教案——二项式定理 第二课时

课 题: 10.4二项式定理(二) 教学目的: 1 2.展开式中的第1+r 项的二项式系数r n C 与第1+r 项的系数是不同的概念 教学重点:二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学难点:二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.二项式定理及其特例: (1)01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈,

(2)1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2.二项展开式的通项公式:1r n r r r n T C a b -+= 二、讲解范例: 例1.(1)求7(12)x +的展开式的第四项的系数; (2)求9 1 ()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数解:7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==, ∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280. (2)∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-, ∴923r -=,3r =, ∴3x 的系数339(1)84C -=-,3 x 的二项式系数3984C =. 例2.求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数 分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开 解:(法一)42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x 02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+?22224(3)4C x x ++?3234444(3)44C x x C -+?+?, 显然,上式中只有第四项中含x 的项, ∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=??-C (法二):42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 4 4)4()1(+-=x x ) (4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +?+?+?+? ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=.

二项式定理教学设计(沈琦)

《二项式定理(一)》教案设计 贵州省铜仁第一中学沈琦 一、教案内容解读 《1.3.1 二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书- 数学》选修2-3 第一章第三部分第一节的内容,这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续,也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。 二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值, 不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法,并能解释集合的子集个数问题;再者,二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展,它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例,在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用,因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教案,进一步提高学生的归纳演绎能力,让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。 二项式定理本身是教案重点,因为它是后面各种应用的基础.通项公式,二项式系数的性质,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点。 二项式定理的证明是一个教案难点.这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。 二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识,已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够,研究问题的方法和能力有待提高,有些学生容易粗心,对细节知识的把握还不够好。本节课 二项式定理的推导运用了先猜想后证明,由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此 本堂课采用小组讨论学习,让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识 的产生、发展和演变过程,提高学生分析解决问题的能力。 在教案中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活

排列数、组合数公式及二项式定理的应用

排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 刘 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =!! )(m n n -.(n ,m ∈N*,且m n ≤). 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?+ +?=+-. 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -?(n ∈N*,m N ∈,且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?! . 6、二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈ 【注】: 1.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。

二项式定理教学案设计

《二项式定理》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式. 3. 情感、态度与价值观: 培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨. 二、教学重点、难点 重点:用计数原理分析3)(b a +的展开式,得到二项式定理. 难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 (一)提出问题,引入课题 引入:二项式定理研究的是n b a )(+的展开式,如:2222)(b ab a b a ++=+, ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么? 【设计意图】把问题作为教学的出发点,直接引出课题.激发学生的求知欲,明确本课要解决的问题. (二)引导探究,发现规律 1、多项式乘法的再认识. 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么?展开式有几项?每一项是怎样构成的? 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项? 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1:不运算3)(b a +,能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论): (1) 合并同类项之前展开式有多少项? (2) 展开式中有哪些不同的项? (3) 各项的系数为多少? (4) 从上述三个问题,你能否得出3)(b a +的展开式? 探究2:仿照上述过程,请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考,分析 各项的形式、项的个数,这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有 “法”可依. (三) 形成定理,说理证明 探究3:仿照上述过程,请你推导n b a )(+的展开式. )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明:n b a )(+是n 个)(b a +相乘,每个)(b a +在相乘时,有两种选择,选a 或选b ,由分步计数原理 可知展开式共有n 2项(包括同类项),其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式,对于每一项k k n b a -, 它是由k 个)(b a +选了b ,n -k 个)(b a +选了a 得到的,它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.

二项式定理(一)教案

二项式定理教案(一) 一、教学目标: 1.知识技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广 (2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理 2.过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式 3.情感、态度、价值观 培养学生自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简捷和严谨 二、教学重点、难点 重点:用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。 难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程 (一)提出问题: 引入:二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+, 那么: 3 ) (b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步:n b a )(+=? (二)对2)(b a +展开式的分析 ))(()(2 b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为:22,,b ab a 考虑b ,每个都不取b 的情况有1种,即02c ,则2a 前的系数为02c 恰有1个取b 的情况有12c 种,则ab 前的系数为12c 恰有2个取b 的情况有22c 种,则2b 前的系数为22c 所以 2 2212202 2222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+ 类似地 3 33223213 3033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考:))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=? 问题: 1).4)(b a +展开后各项形式分别是什么? 4 a b a 3 22b a 3ab 4b

二项式定理教学设计

二项式定理 一、教学目标 1.知识目标:掌握二项式定理及其简单应用 2.过程与方法:培养学生观察、归纳、猜想能力,发现问题,探求问题的能力,逻辑推理能力以及科学的思维方式。 3.情感态度和价值观:培养学生勇于探索,勇于创新的个性品质,感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 二、教学重点、难点 重点:二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点:展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境: 今天是星期三,15天后星期几,30天后星期几,100 8 天后星期几呢? 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了,最后一个问题大家都很迷惑,有些学生试图用计算器算,还是觉得很复杂,学习完这节课我们就知道答案了,并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解: 问题1 ()()a b c d ++的展开式有多少项?有无同类项可以合并? 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的,所以学生能够快速的说出答案。 问题2 ()()a b a b ++的()2 a b +原始展开式有多少项?有几项是同类项?项是怎样构成的?有规律吗? 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题3 ()()()a b a b a b +++的 ()3 a b +原始展开式有多少项?经合并后又只能有几项? 是哪几项? 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题4 ()()()()a b a b a b a b ++++的()4 a b +的原始展开式有多少项? 问题5 你能准确快速地写出()4 a b +的原始展开式的16项吗?经合并后,又只能有哪几项? 此时,学生能说出其中的一两项,并不能全部回答出来所有的项,思维觉察到麻烦,困难,易出错——借此“愤悱”之境,有效的实现思维的烘热) 启发类比:4个袋中有红球a ,白球b 各一个,每次从4个袋子中各取一个球,有什么样的取法?各种取法有多少种? 在4个括号(袋子)中

二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案 1、重点:二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点:二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1:若今天是星期一,再过30天后是星期几?怎么算? 预期回答:星期三,将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2:若今天是星期一,再过)(8* ∈N n n 天后是星期几?怎么算? 预期回答:将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少,也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么?这就是本节课要学的内容,学完本课后,此题就不难求解了。2、新授 第一步:让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+; 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+; 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1:请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答:下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2:以5 )(b a +的展开式为例,说出各项字母排列的规律;项数与乘方指数的关系;展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答:①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列,且两个字母的和等于乘方指数;②展开式的项数比乘方指数多1项;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式: ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( (※) (设计意图:以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”,起到了“先行组织者”的作用,虽然,教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生,但是,它毕竟不是最后的结果,而是一种寻找系数规律的有效工具,便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来,并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的,是主动建构的而不是被动死记的心理过程。)练习:展开7 )(b a + 教师作阶段性评价,告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作,称为杨辉三角形,这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索,以鼓励学生探究的热情,并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步:继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢? (设计意图:让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的,激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。) 继续新授 师:为了寻找规律,我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ;第二个括号中的字母分别记成22,b a ;依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算:))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+

高中数学《二项式定理一》教案设计

《二项式定理(一)》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式. 3. 情感、态度与价值观: 培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨. 二、教学重点、难点 重点:用计数原理分析3)(b a +的展开式,得到二项式定理. 难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 (一)提出问题,引入课题 引入:二项式定理研究的是n b a )(+的展开式,如:2222)(b ab a b a ++=+, ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么? 【设计意图】把问题作为教学的出发点,直接引出课题.激发学生的求知欲,明确本课要解决的问题. (二)引导探究,发现规律 1、多项式乘法的再认识. 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么?展开式有几项?每一项是怎样构成的? 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项? 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1:不运算3)(b a +,能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论): (1) 合并同类项之前展开式有多少项? (2) 展开式中有哪些不同的项? (3) 各项的系数为多少? (4) 从上述三个问题,你能否得出3)(b a +的展开式? 探究2:仿照上述过程,请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考,分析 各项的形式、项的个数,这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有 “法”可依. (三) 形成定理,说理证明 探究3:仿照上述过程,请你推导n b a )(+的展开式. )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明:n b a )(+是n 个)(b a +相乘,每个)(b a +在相乘时,有两种选择,选a 或选b ,由分步计数原理 可知展开式共有n 2项(包括同类项),其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式,对于每一项k k n b a -, 它是由k 个)(b a +选了b ,n -k 个)(b a +选了a 得到的,它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.

二项式定理教学设计

今天是星期三,15 天后星期几,30 天后星期几, 8 (a + b )(a + b )的 (a + b ) (a + b )(a + b )(a + b )的 (a + b ) 原始展开式有多少项?经合并后又只能有几项? (a + b )(a + b )(a + b )(a + b )的 (a + b ) 问题 5 你能准确快速地写出 (a + b ) 的原始展开式的 16 项吗?经合并后,又只能有哪几 二项式定理 一、教学目标 1.知识目标:掌握二项式定理及其简单应用 2.过程与方法:培养学生观察、归纳、猜想能力,发现问题,探求问题的能力,逻辑推理 能力以及科学的思维方式。 3.情感态度和价值观:培养学生勇于探索,勇于创新的个性品质,感受和体验数学的简洁 美、和谐美和对称美。 二、教学重点、难点 重点:二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点:展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境: 100 天后星期几呢? 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了,最后一个问题大家都很迷惑,有些学生 试图用计算器算,还是觉得很复杂,学习完这节课我们就知道答案了,并且我们不用查日 历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解: 问题 1 (a + b )(c + d )的展开式有多少项?有无同类项可以合并? 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的,所以学生能够快速 的说出答案。 问题 2 2 原始展开式有多少项?有几项是同类项?项是怎样构成 的?有规律吗? 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题 3 3 是哪几项? 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题 4 4 的原始展开式有多少项? 4 项? 此时,学生能说出其中的一两项,并不能全部回答出来所有的项,思维觉察到麻烦,困难, 易出错——借此“愤悱”之境,有效的实现思维的烘热) 启发类比:4 个袋中有红球 a ,白球 b 各一个,每次从 4 个袋子中各取一个球,有什么样 的取法?各种取法有多少种? 在 4 个括号(袋子)中

高考数学 《二项式定理》

二项式定理 主标题:二项式定理 副标题:为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词:二项式定理,二项式系数,项系数 难度:2 重要程度:4 考点剖析: 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向: 1.二项式定理是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题. 2.高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度: (1)求二项展开式中的第n项; (2)求二项展开式中的特定项; (3)已知二项展开式的某项,求特定项的系数. 规律总结: 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题,在运用时,应明确以下几点: (1)C r n a n-r b r是第r+1项,而不是第r项; (2)通项公式中a,b的位置不能颠倒; (3)通项公式中含有a,b,n,r,T r+1五个元素,只要知道其中的四个,就可以求出第五个,即“知四求一”. 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和,可采用“赋值法”; (2)关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法; (3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数一般是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出错.

知 识 梳 理 1.二项式定理 二项式定理 (a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r +…+C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r +1=C r n a n -r b r ,它表示第r +1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ,C 1n ,…,C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时,C k n 与C n -k n 的关系是C k n =C n -k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时,第n 2 +1项的二项式系数最大,最大值为2n n C ;当n 为奇数时,第n +1 2项和n +3 2项的二项式系数最大,最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和:C 0 n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n , C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2 n -1.

二项式定理第一课时教学设计

二项式定理第一课时教学设计 广西北海市第五中学蒙旭芬 一、教材分析: 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高,结合新课标的理念,制订如下的教学目标和教学重,难点)。 教学目标: 1、知识目标:通过对二项式定理的学习,使学生理解二项式定理,会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律,利用它能对二项式展开,进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册(下A)》的第十章第四节,它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块,也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系,利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此,二项式定理起着承上启下的作用,是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时,本节课是第一课时。 【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力,学生思维也较活跃,但创新思维能力较弱。在学习过程中,大部分学生只重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程,因而对定理、公式不能做到灵活运用,更做不到牢牢记住。(根据以上分析 2、能力目标:在学 3、情感目标:通过“二项式定理”的学习,培养学生解决数学问题的兴趣和信心,让学生感受数学内在的和谐,对称美及数学符号应用的简洁美,进一步结合“杨辉三角”,对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情,培养学生勇于探索,勇于创新的精神。 一、教学重点,难点,关键: 重点: (1)使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程,理解和掌握二项展开式的规律。 (2)利用二项展开式的规律对二项式展开,进行相应的计算。 (3)区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。 难点:

二项式定理复习课的教学设计

二项式定理复习课的教学设计 1、教学内容:高中数学理科选修2-3:《二项式定理复习课》 2、教学对象分析: 学生高二学习了《二项式定理》的全部内容,对这部分内容有了初步的了解,但遗忘率比较大,对二项式定理的题型已经生疏,因此让学生在老师的指导下,对《二项式定理》进行复习应用,巩固和加深。在复习的过程中,渗透了《排列组合》等其它的内容,加强了知识点之间的联系,培养学生综合运用知识的能力。 3、教学内容分析: 本节内容包括以下几部分: (1)二项式展开式的特点。 (2)二项式展开式项的系数和二项式式系数。 (3)二项式定理的四个应用。 教学目标: (1)知识目标:复习二项式定理,正确理解和区分二项式系数、通项、二项式项的系数等概念,会利用通项公式及二项式系数的性质解决有关计算问题. (2)能力目标:通过讲练结合使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法,提高分析和解决问题的能力。 (3)情感目标:通过学生的主体活动,营造一种愉悦的情境,使学生自始至终处于积极思考的氛围中,不断获得成功的体验,从而对自己的数学学习充满信心。 教学重点: 二项式定理的应用 教学难点 : 二项式定理及二项式系数性质的灵活应用 教学方法:讲练结合 教学过程: 1、知识回顾: (1)二项式定理: =+n b a )( (*N n ∈). 二项式展开式的通项公式为=+1r T . (2)二项式系数: ①n b a )(+展开式的二项式系数之和为 ,即 =++++++n n k n n n n C C C C ......C 210 ②奇数项的系数之和等于 的系数之和,即=++...C 20 n n C = 2、热身练习:

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计一

课题:§1.3.1二项式定理(人教A版高中课标教材数学选修2-3)

《二项式定理》教学设计 一、教学内容解析 《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容,它是初中学习的多项式乘法的继续.在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它作为计数原理的一个应用,另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具,同时也是后面的数学期望等内容的基础知识,二项式定理起着承上启下的作用.另外,由于二项式系数是一些特殊的组合数,利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识.总之,二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识. 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习,形成正确价值观的过程.新课标要求:用计数原理分析2()a b +,3()+a b ,4()+a b 的展开式,归纳类比得到二项式定理,并能用计数原理证明.掌握二项展开式的通项公式,解决简单问题;学会讨论二项式系数性质的方法.根据新课标的理念及本节课的教学要求,制定了如下教学目标: 1.学生在二项式定理的发现推导过程中,掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点,并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题. 2.学生经历二项式定理的探究过程,体验“从特殊到一般发现规律,从一般到特殊指导实践”的思想方法,获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力. 3.通过二项展开式的探究,培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神,感受合作探究的乐趣,感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美.结合数学史,激发学生爱国热情和民族自豪感. 三、学情分析 1.有利因素 授课对象是高二的学生,具有一般的归纳推理能力,思维较活跃,初步具备了用联系的观点分析问题的能力.学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识,对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助. 2.不利因素 本节内容思维量较大,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求,学生学习起来有一定难度.在数学学习过程中,大部分学生习惯于重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程. 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则,采用“启发式教学法”,学生主要采用“探究式学习法”, 并利用多媒体辅助教学. 本课以问题的提出、问题的解决为主线,始终在学生知识的“最近发展区”设置问题,倡导学生主动参与,通过不断探究、发现,在师生互动、生生互动中,完成二项式定理的探究,让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程. 五、教学过程 (一)创设情境 引入课题 引入:通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题.提出问题:2()+=a b ? 3()+=a b ?

高中数学《二项式定理》公开课教案设计

二项式定理公开课教案 (第一教时) 一、教学目标 1、理解杨辉三角形。其行为样例是:(1)能用不完全归纳法写出杨辉三角形;(2)能根据杨辉三角形对)6()(≤+n b a n 的二项式进行展开。 2、掌握二项式定理。其行为样例是:(1)能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展 开式的系数),,,2,1,0(*∈=N n n r C r n Λ以及二项展开式的通项r r n r n r b a C T -+=1;(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数;(3)能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。 二、教学重点与难点 1、重点:二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点:二项式定理的发现。 (教具:多媒体课件) 三、教学过程 1、情景设置 问题1:若今天是星期一,再过30天后是星期几?怎么算? 预期回答:星期三,将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2:若今天是星期一,再过)(8* ∈N n n 天后是星期几?怎么算? 预期回答:将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少,也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么?这就是本节课要学的内容,学完本课后,此题就不难求解了。 (设计意图:使学生明确学习目的,用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件,而认知驱力,即学生渴望认知、理解和掌握知识,并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。) 2、新授 第一步:让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+; 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+; 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

人教版高中数学二项式定理教学设计全国一等奖

二项式定理(第1课时) 一、容和容解析 容:二项式定理的发现与证明. 容解析:本节是高中数学人教A版选修2-3第一章第3节的容.二项式定理是多项式乘法的特例,是初中所学多项式乘法的延伸,此容安排在组合数模型之后,随机变量及其分布之前,既是组合计数模型的一个应用,也是为学习二项分布作准备.另外,由于二项式系数是一些特殊的组合数,由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式,这对深化组合数的认识有好处。 由于二项式定理的发现,可以通过从特殊到一般进行归纳概括,在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型,因此,这部分容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值.教学中应当引起充分重视. 二、学情分析 这一堂课是面对高二学生。学生已经初步具备了多项式乘法,同类项合并,排列计数原理,组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。但是,学生的自我探究,归纳,分析的能力还有待提高。 三、课程学习目标 (1)知识目标:使学生掌握二项式定理及推导方法,二项式展开式、通项公式的特点,并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。 (2)能力目标:在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中,培养学生观察、猜想、归纳的能力,以及学生的化归意识及知识迁移能力。 (3)情感目标:通过二项式定理的学习,培养学生解决数学问题的兴趣和信心,让学生感受数学在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。 四、设计思想: 本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式,重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 目标解析: (1)二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式,因此从多项式乘法出发去发现二

例说二项式定理的常见题型及解法

例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立,题型繁多,解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用,又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到,题型多为选择题,填空题,偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下,希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1.“n b a )(+”型的展开式 例1.求4)13(x x + 的展开式; 解:原式=4 )1 3( x x +=2 4)13(x x + = ])3()3()3()3([144342 243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(1 2342++++x x x x x =541 12848122++++x x x x 小结:这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2. “n b a )(-”型的展开式 例2.求4)13(x x - 的展开式; 分析:解决此题,只需要把4)13(x x - 改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展 开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3.二项式展开式的“逆用” 例3.计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-; 解:原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 33 22 11 -=-=-++-+-+-+ 小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。

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