第3章变异程度的统计描述

第二步：查附表1，标准正态分布曲线下面积。 Φ（-2.05)=0.0202 Φ（-1.89)=0.0294 (1.89查不到)
1 0.0294 0.9706
5.5 4.78 4 4.78 P(4.00 X 5.5) ( ) ( ) 0.38 0.38
[1 (1.89)] (2.05)
f ( X )X i ( fi / n)
正态分布的密度函数：
1 f (X ) e 2 ( X )2 2 2
-∝ < x < ∝

(X )
n
2
在 μ 和 σ 未知的情况下，可用 σ 的估计值。
和 x S作为 μ 和
正态分布的几个特征
• 以均值μ为中心，左右对称 • 曲线下的面积集中在以均数为中心的部分，越 远离中心，曲线下面积越小。 • 正态曲线下面积分布有一定规律： 范围内的面积为68.3% 1.96 范围内的面积为95.0% 2.58 范围内的面积为99.0% • 正态分布有两个参数，μ和σ
• 若横坐标为红细胞数(变量值X)，第i组的 组距和人数分别用△Xi和fi表示，则在( X， X+△Xi )区间内每单位红细胞数的频率为:
f(X)称作密度函数 将前图表示人数的纵坐标换成f(X)后可 以得到下图：
f ( X ) ( fi / n) / X i
矩形面积等于红细胞在这一区间内出现的频率
二、标准正态分布
(Standard normal distribution)是均数为 0，标准差为1的正态分布。 对任何参数μ和σ的正态分布，都可以通 过一个简单的变量变化转成标准正态分 布，即
u
x

1 e 标准正态分布的密度函数f ( X ) 2
( X )2 2 2
总体平均数
5.5 4.78 4 4.78 P(4.00 X 5.5) ( ) ( ) 0.38 0.38 总体标准差 [1 (1.89)] (2.05)
(1 0.0294 ) 0.0202
0.9504
即在4×1012/L ~5.5×1012/L范围内占总人数 的95.04%。
2

(X )
N
2
S
( X x)
n 1
2
N-1 称自由度 Degree of freedom
S
x x
n 1
2
( x) x n n 1
2
2
例3.1 对甲乙两名高血压患者连续观察5天，测得 的收缩压分别为： 甲患者(mmHg) 162 145 178 142 186 x =162.6 乙患者(mmHg) 164 160 163 159 166 x =162.4 甲患者：ΣX＝162＋145＋178＋142＋186＝813 Σ X2＝1622＋1452＋... ＋ 1862=133713
身高
s 4.09 CV 100 % 100 % 2.37% 172 .73 X s 4.10 CV 100 % 100 % 7.45% 55.04 X
体重
第二节
正态分布及其应用
正态分布曲线：
指高峰位于中央（均数所在处）、两测逐渐降 低且左右对称、不与横轴相交的光滑的曲线。 以某地140名正常男子红细胞数资料为例：
甲 S
乙 S
2 2 X ( X ) /n
n 1
133713 8132 / 5 19.49(m m Hg ) 5 1
131902 8122 / 5 2.88(m m Hg ) 5 1
2 2 X ( X ) /n
n 1
大样本频数表资料可用下列公式计算标准差：
红细胞数 组中值(x) (1) (2) 3.80～ 3.90 4.00～ 4.10 4.20～ 4.30 4.40～ 4.50 4.60～ 4.70 . . 5.80～ 5.90 合计
S
2 2 fX ( fX ) /n
n 1
3224 .2 669.82 / 140 0.38 (×1012/L) 140 1
（二）四分位数间距（quartile)Q
• 四分位数间距(quartile interval，Q)就是 上四分位数QU(即P75)与下四分位数间距 QL(即P25)之差。 • 其间包含了全部观察值的一半，单位与 原观察值相同。 • 四分位数间距越大，则数据的变异度越 大；反之，说明变异度越小。
0
25
50
75
100
四分位数间距与中位数一起可全面描述偏态分布 资料的分布特征。
630 0.25 27 P25 40 ( ) 30 6.32(mg / dl ) 169
630 0.75 457 P75 130 ( ) 30 135 .7(mg / dl ) 81
第三章
变异程度的统计描述
变异是生物医学数 据最显著的特征。
学习目的和要求
掌握:
描述数据分布离散趋势的指标；正态分布的概念和 特征、标准正态分布下面积分布规律。
熟悉:
医学参考值范围的意义和计算；
了解：
正态分布表、正态分布的应用。
描述数值变量资料的分布特征必须从集中趋势和离 散趋势两方面来进行，缺一不可。
Q=135.7-63.2=72.5(mg/dl)
例2.4 某地630名正常女性血清甘油三酯含量的频数表 甘油三酯（mg/dl) 频数 累积频数 累积频率 （1） （2） （3） （4） 10～ 27 27 4.3 40～ 169 196 31.1 70～ 167 363 57.6 100～ 94 457 72.5 130～ 81 538 85.4 160～ 42 580 92.1 190～ 28 608 96.5 220～ 14 622 98.7 250～ 4 626 99.4 280～ 3 629 99.8 310～ 1 630 100.0 合计 630 － －
(1 0.0294 ) 0.0202
0.9504
正态分布的应用
• 是各种统计推断方法的理论基础 • 可进行医学参考值范围的估计 • 可进行误差分析和检测的质量控制
表 2－ 2
某地140名正常男子红细胞数的频数表
频数 （4） 2 6 11 25 32 27 17 13 4 2 1 频率 （5） 1.4 4.3 7.9 17.9 22.9 19.3 12.1 9.3 2.9 1.4 0.7
红细胞数 划记 组中值 1012 / L （1） （2） （3） 3.80～ T 3.90 4.00～ 正一 4.10 4.20～ 正正一 4.30 4.40～ 正正正正正 4.50 4.60～ 正正正正正正T 4.70 4.80～ 正正正正正 T 4.90 5.00～ 正正正T 5.10 5.20～ 正正 T 5.30 5.40～ 5.50 5.60～ T 5.70 5.80～6.00 一 5.90
等比级数或对数正态分布资料 偏态分布、分布不明或分布末端无确 定值的资料
用标准差比较两个样本的变异程度时需注意：
1. 两组数据的均数相差不大
2. 单位相同（标准差使用的度量衡单位与
原始数据相同）
（五）变异系数(coefficient of variation，CV)
例3.3 已知：舒张压均数为77.5 标准差为10.7 收缩压均数为122.9 标准差为17.1
（二）离均差平方和(sum of square, SS)
(X X )
2
(X X ) X
2
2

( X ) n
2
( 三 ) 方差与标准差 (variance, standard deviation，S 或SD)

2Байду номын сангаас
(X ) N
2
S
2
( X x) n 1
S
fX
2
fx
n
2
n 1
例3.2
根据第2章表2－2资料计算其标准差
频数(f) fx fx2 (3) (4)=(2)(3) (5)=(2)(4) 2 7.80 30.42 6 24.60 100.86 11 47.30 203.39 25 112.50 506.25 32 150.40 706.88 . . . 1 5.90 34.81 140 669.80 3224.20
1 (u) e 2
u2 2
当均数为 0，标 － ＜u< 准差为1时
标准正态分布的分布函数
(u)
u

1 e 2
u2 2
du
分布函数求标 准正态曲线下 的面积。
一旦完成了这种变换，就可以利用标准正态 分布表求出与原始变量X有关的概率值。 例如： 成年男子红细胞数近似服从正态分布， 均数为4.78 (×1012/L) ，标准差为0.38 (×1012/L) 。现想知道红细胞数在4× 1012/L以下所占的比例？ 可以先将变换为相应的u值，即：
二、离均差平方和、方差、标准差和变异系数
（一）平均偏差（mean difference)
X-X 平均偏差 n
例：
对甲乙两名高血压患者连续观察5天，测得的 收缩圧分别为：
甲患者（mmHg) 162 145 178 142 186 乙患者（mmHg) 164 160 163 159 166
x =162.6 x =162.4
S 10.7 CV 100 % 100 % 13.8% 77.5 X
S 17.1 CV 100 % 100 % 13.9% 122 .9 X
舒张压
收缩压
可见两种指标的变异度几乎没有什么差别。
例7.10 某地调查110名20男大学生，其身高均 数为172.73cm，标准差为4.09cm；其体重均数 为55.04kg，标准差为4.10kg，试比较两者变异 程度。
例：已知均数为4.78，标准差为0.38
u
u X
X

4 4.78 2.05 0.38

查附表1(P194)，标准正态曲线下左侧尾部面 积，得Φ（-2.05)=0.0202，即在4×1012/L以下 者占总人数的2.02%。
若需要求出在4×1012/L~5.5×1012/L范围 内所占的比例，可以通过下面计算获得。
例：成年男子红细胞数近似服从正态分布，均数 为4.78 (×1012/L) 标准差为0.38 (× 1012/L) ， 现想知道红细胞数在4×1012/L~5.5×1012/L范围 内所占的比例。
第一步：进行U变换
u
X

X
4 4.78 2.05 0.38
u

5.5 4.78 1.89 0.38
• 在所有的变异指标中，标准差或方 差是其它变异指标所不能比拟的。 • 标准差能够直接用于代数运算，如 根据来自总体的几个样本的标准差 可以直接求得合并样本的标准差， 而不必根据合并样本重新计算。
计量资料的主要描述性指标及其适用条件
主要指标 适用条件 对称分布、正态或近似正态分布资料 x 、s
G、lg-1Slgx M、 Q
例: 三组同年龄女大学生体重 (kg)如下,试分析其分 布特征。
甲组 46 乙组 44 丙组 45
48 47 49
51 53 52 50 55 55
57 57 56
x x x
=51 =51 =51
R=11 R=13 R=11
第一节
衡量变异程度的指标
一、极差和四分位数间距 （一）极差（range)R，也称全距。 例： 甲、乙两人高血压患者测量5天的收缩压 (mmHg)得： 甲 162 145 178 142 186 x =162.6 x =162.4 乙 164 160 163 159 166 R甲=186-142=44 R乙=166-159=7
162 －162.6＋145 －162.6＋＋186 －162.6 甲患者平均偏差＝ 15.52(mmHg ) 5
164 －162.4＋160 －162.4＋＋166 －162.4 乙患者平均偏差＝ 2.32(mmHg) 5
甲患者的血压波动较乙患者大。
• 平均偏差是一个很直观的变异度量，但 由于使用了绝对值，在数学上不便于继 续处理，使它在应用上受到很大的限制， 实际中很少使用。 • 为了克服平均偏差使用绝对值不便进一 步运算的缺点，可以不通过取绝对值， 而是通过取平方来避免正负抵消，即使 用离均差平方和。