1.3.1祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积(人教A版必修2) 2020-2021学年高一下学期第一章
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由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的
体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与
长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：
定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底
面 积s和高h的积。
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
总结 柱体体积公式及其探索思路？
48.顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰！——狄更斯 58.勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。 62.人要有梦想，有了梦想才会努力奋斗，人生才会更有意义。如果没有梦想，那就只能做庸人。 10.只有爱你所做的，你才能成就伟大的事情。如果你没找到自己所爱的，继续找别停下来。 66.天下无难事，只怕有心人。 68.生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。 17.梦想是点燃生命之火的催化剂。 48.泪水和汗水的化学成分相似，但前者只能为你换来同情，后者却可以为你赢得成功。 17.梦想是点燃生命之火的催化剂。
1 Sh 6
余下的体积
Sh 1 Sh 5 Sh 66
所以体积比为 1: 5
探究点三 球体的体积计算公式
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
V球
4 R3
3
V球
4 R3
3
学以致用
学以致用
柱体 V Sh
1.柱体、锥体、 的体积
探究点一 柱体的体积计算公式
设有底面积都等于S，高都等于h的任 意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使 它们的下底面在同一个平面α内（如图）
问题3
用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等 吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
问题4长方体的体积计算公式
能否推广到一般的棱柱（圆柱） 体积的计算呢？
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？
能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C B
A
C
B
总结 锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
(1)棱锥：V椎体
1 3
Sh(S为底面积，h为棱锥的高）；
第一章 空间几何体
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭 的影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓厚的 兴趣。
祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子 祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，球体的体 积计算。
他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列里” 原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学 家卡瓦列里发现的。为了纪念祖氏父子的这一伟大发现 ，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
锥体 V 1 Sh 3
2.球的体积公式
V球
4 R 3
3
44.人生是伟大的宝藏，我晓得从这个宝藏里选取最珍贵的珠宝。 35.美丽属于自信者，从容属于有备者，奇迹属于执着者，成功属于顽强者。 5.愿你像那石灰，别人越是浇你冷水，你越是沸腾。 66.把你的脸迎向阳光，那就不会有阴影。 98.不要乱说话。话说出去之前你还是话的主人，话说出去之后你就成了话的奴隶。 94.要想人前显贵，必须人后受罪! 67.不吃油腻的东西，让身体更清洁；不做不可及的梦，让睡眠更安恬；不穿不合脚的鞋，让步伐更悠闲；不跟无谓的潮流走，让情绪更宁静；不缅怀无法回头的过去，让生活更愉悦用心去爱， 真诚去交，不求深刻，只求简单。简单每一天，愉悦每一天。
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
(2)圆锥：V圆锥
1 3
Sh
1 r2h(S为底面积，h为圆锥
3
的高，r为底面半径）.
(3) " 割补" 是求体积的一种常见策略，运用时注意
弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系.
(4)注意求三棱锥体积时顶点与底面的相对性.
学以致用
例1：如图，在长方体 ABCD ABCD 中，
No 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
余部分的体积之比。
D'
Image 解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD'A' BCC'B' A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A'DD'
D
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
C AA'DD'
B
的体积
VC A'DD
1 1 Sh 32
体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与
长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：
定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底
面 积s和高h的积。
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
总结 柱体体积公式及其探索思路？
48.顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰！——狄更斯 58.勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。 62.人要有梦想，有了梦想才会努力奋斗，人生才会更有意义。如果没有梦想，那就只能做庸人。 10.只有爱你所做的，你才能成就伟大的事情。如果你没找到自己所爱的，继续找别停下来。 66.天下无难事，只怕有心人。 68.生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。 17.梦想是点燃生命之火的催化剂。 48.泪水和汗水的化学成分相似，但前者只能为你换来同情，后者却可以为你赢得成功。 17.梦想是点燃生命之火的催化剂。
1 Sh 6
余下的体积
Sh 1 Sh 5 Sh 66
所以体积比为 1: 5
探究点三 球体的体积计算公式
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
V球
4 R3
3
V球
4 R3
3
学以致用
学以致用
柱体 V Sh
1.柱体、锥体、 的体积
探究点一 柱体的体积计算公式
设有底面积都等于S，高都等于h的任 意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使 它们的下底面在同一个平面α内（如图）
问题3
用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等 吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
问题4长方体的体积计算公式
能否推广到一般的棱柱（圆柱） 体积的计算呢？
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？
能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C B
A
C
B
总结 锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
(1)棱锥：V椎体
1 3
Sh(S为底面积，h为棱锥的高）；
第一章 空间几何体
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭 的影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓厚的 兴趣。
祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子 祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，球体的体 积计算。
他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列里” 原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学 家卡瓦列里发现的。为了纪念祖氏父子的这一伟大发现 ，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
锥体 V 1 Sh 3
2.球的体积公式
V球
4 R 3
3
44.人生是伟大的宝藏，我晓得从这个宝藏里选取最珍贵的珠宝。 35.美丽属于自信者，从容属于有备者，奇迹属于执着者，成功属于顽强者。 5.愿你像那石灰，别人越是浇你冷水，你越是沸腾。 66.把你的脸迎向阳光，那就不会有阴影。 98.不要乱说话。话说出去之前你还是话的主人，话说出去之后你就成了话的奴隶。 94.要想人前显贵，必须人后受罪! 67.不吃油腻的东西，让身体更清洁；不做不可及的梦，让睡眠更安恬；不穿不合脚的鞋，让步伐更悠闲；不跟无谓的潮流走，让情绪更宁静；不缅怀无法回头的过去，让生活更愉悦用心去爱， 真诚去交，不求深刻，只求简单。简单每一天，愉悦每一天。
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
(2)圆锥：V圆锥
1 3
Sh
1 r2h(S为底面积，h为圆锥
3
的高，r为底面半径）.
(3) " 割补" 是求体积的一种常见策略，运用时注意
弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系.
(4)注意求三棱锥体积时顶点与底面的相对性.
学以致用
例1：如图，在长方体 ABCD ABCD 中，
No 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
余部分的体积之比。
D'
Image 解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD'A' BCC'B' A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A'DD'
D
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
C AA'DD'
B
的体积
VC A'DD
1 1 Sh 32