2013年辽宁省高考数学试卷理科

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2013年辽宁高考理科数学卷(含答案解析)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .22.已知集合4=0log {1|}A x x ＜＜,{|=}2B x x ≤,则=A B I( )A .(0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .(1,2] 3.已知点(1,3)A ,1(4,)B -,则与向量AB u u u r同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为：[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 ( )A .45B .50C .55D .606.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin cos sin cos =12a cb B C B A +,且a b >,则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.使(3()n n x ∈＋N 的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A .4B .5C .6D .78.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出S = ( )A .511 B .1011 C .3655 D .72559.已知点(0,0)O ,()0,A b ,3(),B a a .若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ,=4AC ,AB AC ⊥,112=AA ,则球O 的半径为( )AB.C .132D.11.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+,22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,,2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ,q 中的较大值,min{},p q 表示p ,q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ,2()H x 的最大值为B ,则A B -=( )A .16B .16-C .2216a a --D .2216a a +-12.设函数()f x 满足2()2()e xx f x xf x x'+=,2(2)e 8f =,则0x >时,()f x( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值第Ⅱ卷--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ,3a 是方程2540x x +=-的两个根,则6S = . 15.已知椭圆22221=()0x ya Cb a b :>>+的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若||=10AB ,||=6AF ,4os 5c ABF ∠=,则C的离心率=e .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a (3sin )=,sin x x ,b (,=cos s )in x x ,2[]π0,x ∈. （Ⅰ）若|a |=|b |,求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ,求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若=2AB ,=1AC ,=1PA ,求二面角C PB A ——的余弦值.19.（本小题满分12分）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图,抛物线214C x y :=,222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为A ,B （M 为原点O 时,A ,B 重合于O ）.当0=12x -时,切线MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ,B 重合于O 时,中点为O ）.21.（本小题满分12分）已知函数2()1e ()xf x x -=+,312cos 2()x g x ax x x +++=.当[0,1]x ∈时,（Ⅰ）求证：)1(11x f x x≤≤-+；（Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 为O e 直径,直线CD 与O e 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 于F ,连接AE ,BE .证明：（Ⅰ）=FEB CEB ∠∠；（Ⅱ）2=EF AD BC g .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ,πcos()=224ρθ-. （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数）,求a ,b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-,其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时,求不等式()4||4f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤,求a 的值.2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）454422cos 2xx ⎫++⎪⎭x ⎫⎪⎭（2）设()(2)2()h x f x a f x =+-，则20()4202a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，，由|()|2h x ≤解得，它与12x ≤≤等价，然后求出a 的值【考点】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法。

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)及解析

2013年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）复数的模长为（）A、B、C、D、22、（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A、（0，1）B、（0，2]C、（1，2）D、（1，2]3、（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A、B、C、D、4、（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A、p1，p2B、p3，p4C、p2，p3D、p1，p45、（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）、若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A、45B、50C、55D、606、（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c、asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A、B、C、 D、7、（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A、4B、5C、6D、78、（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A、B、C、D、9、（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A、b=a3B、C、D、10、（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A、B、C、D、11、（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8、设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A、16B、﹣16C、﹣16a2﹣2a﹣16D、16a2+2a﹣1612、（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是、14、（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和、若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=、15、（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=、16、（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（12分）设向量，，、（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值、18、（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点、（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值、19、（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答、（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题、设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立、用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望、20、（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣、（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）、21、（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围、请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2013年辽宁卷理科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学本试卷共24题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）一、单选题 1．复数的11z i =−模为（）A ．12B ．2C D ．22．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B ，则=<<=≤⋂=A ．()01，B ．(]02， C ．()1,2D ．(]12， 3．已知点()()1,3,4,1,A B −则与AB 同方向的单位向量为( ) A ．3455⎛⎫− ⎪⎝⎭， B ．4355⎛⎫− ⎪⎝⎭，C ．3455⎛⎫− ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫− ⎪⎝⎭，4．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为( ) A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．6．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B =（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7．使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的( )A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．72559．已知点()()()30,0,0,,,.,O A b B a a ABC ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b ab a a ⎛⎫−−−= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a−+−−= 10．已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC −==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A B ．C ．132D ．11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =−++=−+−−+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B −=（）A ．16B ．16−C ．2216a a −−D ．2216a a +−12．设函数()f x 满足()()()222,2,8x e ex f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第II 卷（非选择题）二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若1a ，3a 是方程2540x x −+=的两个根，则6S =__________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,,5AF BF AB AF cos ABF C e ==∠==连接若则的离心率 .16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题 17．设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18．如图，.AB PA C 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证PAC PBC ⊥平面平面；（II ）2.AB AC PA C PB A ===−−若，1，1，求证：二面角的余弦值19．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. （I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.20．如图，抛物线()()2212002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==−>点在抛物线上，1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =的切线，切点为为原点时，重合于当1.2MA 切线的斜率为-（I ）求p 的值；（II ）2M C AB N 当在上运动时，求线段中点的轨迹方程(),,.A B O O 重合于时中点为21．已知函数()()()[]321,12.0,12xx f x x e g x ax xcosx x −=+=+++∈当时，（I ）求证()11;1x f x x−≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围.22．如图，AB 为直径，直线CD 与相切于E 。

2013年辽宁高考理科数学卷

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .22.已知集合4=0log {1|}A x x ＜＜,{|=}2B x x ≤,则=A B ( )A .(0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .(1,2] 3.已知点(1,3)A ,1(4,)B -,则与向量AB 同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为：[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()A .45B .50C .55D .606.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin cos sin cos =12a cb B C B A +,且a b >,则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.使(3()n n x +∈＋N 的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A .4B .5C .6D .78.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出S = ( )A .511 B .1011 C .3655 D .72559.已知点(0,0)O ,()0,A b ,3(),B a a .若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ,=4AC ,AB AC ⊥,112=AA ,则球O 的半径为( ) AB.C .132D.11.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+,22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,,2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ,q 中的较大值,min{},p q 表示p ,q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ,2()H x 的最大值为B ,则A B -=( )A .16B .16-C .2216a a --D .2216a a +-12.设函数()f x 满足2()2()e x x f x xf x x'+=,2(2)e 8f =,则0x >时,()f x( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ,3a 是方程2540x x +=-的两个根,则6S = .15.已知椭圆22221=()0x y a C ba b :>>+的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若||=10AB ,||=6AF ,4os 5c ABF ∠=,则C的离心率=e .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a )=,sin x x ,b (,=cos s )in x x ,2[]π0,x ∈. （Ⅰ）若|a |=|b |,求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ,求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若=2AB ,=1AC ,=1PA ,求二面角C PB A ——的余弦值.19.（本小题满分12分）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答. （Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图,抛物线214C x y :=,222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为A ,B （M 为原点O 时,A ,B 重合于O ）.当0=1x ,切线MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ,B 重合于O 时,中点为O ）. 21.（本小题满分12分）已知函数2()1e ()xf x x -=+,312cos 2()x g x ax x x +++=.当[0,1]x ∈时, （Ⅰ）求证：)1(11x f x x≤≤-+；（Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 为O 直径,直线CD 与O 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 于F ,连接AE ,BE .证明：（Ⅰ）=FEB CEB ∠∠；（Ⅱ）2=EF AD BC .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ,πcos(4ρθ- （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数）,求a ,b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-,其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时,求不等式()4||4f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤,求a 的值.。

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为（）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题，（步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有（）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ，（步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的灵活应用能力. 【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1）令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3）故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2）解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1）由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5）不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3）在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14），（步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8）由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时，（I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1）记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2）当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3）故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4）要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7）故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8）综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11）记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14）于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16）下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18）当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21）此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19）下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21）即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠；（II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=；（步骤2）又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2）注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ；（步骤2）当24x <<时，44f x x --（）无解；（步骤3）当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（）的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，，（步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7）又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。

2013年全国高考(理科)数学试卷(辽宁卷)【已整理】

2013年辽宁高考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、复数11-=i z 的模为（） A ．21 B ．22 C ．2 D ．2 2、已知集合}1log 0|{4<<=x x A ，}2|{≤=x x B ，则=B A （） A ．)1 , 0( B ．]2 , 0( C ．)2 , 1( D ．]2 , 1(3、已知点)3 , 1(A ，)1 , 4(-B ，则与向量AB 同方向的单位向量为（） A ．)54 , 53(- B ．)53 , 54(- C ．)54 , 53(- D ．)53 , 54(- 4、下面是关于公差0d >的等差数列}{n a 的四个命题：1p ：数列}{n a 是递增数列；2p ：数列}{n na 是递增数列；3p ：数列}{na n是递增数列；4p ：数列}3{nd a n +是递增数列；其中的真命题为（）A ．1p ，2pB ．3p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，4p5、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：)40 , 20[，)60 , 40[，)80 , 60[，)001 , 80[；若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A ．45B ．50C ．55D ．606、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ；b A B c C B a 21cos sin cos sin =+，且b a >，则=∠B （）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7、使得n xx x )13(+（*∈N n ）的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．78、执行如图所示的程序框图，若输入10=n ，则输出的=S （）A ．115 B ．1110 C ．5536 D ．5572 9、已知点)0 , 0(O ，) , 0(b A ，) , (3a a B ，若OAB ∆为直角三角形，则必有（） A ．3b a = B ．31b a a =+C ．0)1)((33=---a a b a bD ．0|1|||33=--+-aa b a b 10、已知三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若3=AB ，4=AC ，AC AB ⊥，121=AA ，则求O 的半径为（） A ．2173 B ．102 C ．213 D ．10311、已知函数22)2(2)(a x a x x f ++-=，8)2(2)(22+--+-=a x a x x g ，设)}( , )(max{)(1x g x f x H =，)}( , )(min{)(2x g x f x H =（} , max{q p 表示p 、q 中的较大值，} , min{q p 表示p 、q 中的较小值）．记)(1x H 的最小值为A ，)(2x H 的最小值为B ，则=-B A （） A ．1622--a a B ．1622-+a a C ．-16 D ．1612、设函数)(x f 满足xe x xf x f x x =+)(2)('2，8)2(2ef =，则0>x 时，)(x f （）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．14、已知等比数列}{n a 是递增数列，n S 是}{n a 的前n 项和．若1a 、3a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S __________．15、已知椭圆1:2222=+b y a x C （0>>b a ）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF 、BF ，若10||=AB ，6||=AF ，54cos =∠ABF ，则C 的离心率=e __________． 16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为__________．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）设向量)sin , sin 3(x x a =，)sin , (cos x x b =，]2, 0[π∈x ．（1）若||||b a =，求x 的值；（2）设函数b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值．18、（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ；（2）若2=AB ，1=AC ，1=PA ，求二面角A PB C --的余弦值．19、（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是53，答对每道乙类题的概率都是54，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．20、（本小题满分12分）如图，抛物线y x C 4:21=，py x C 2:22-=（0>p ），点) , (00y x M 在抛物线2C 上，过点M 作1C 的切线，切点为A 、B （M 为原点O 时，A 、B 重合于O ）．当210-=x 时，切线MA 的斜率为21-．（1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A 、B 重合于O 时，中点为O ）．21、（本小题满分12分）已知函数xex x f 2)1()(-+=，x x x ax x g cos 212)(3+++=．当]1 , 0[∈x 时，（1）求证：xx f x +≤≤-11)(1；（2）若)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22、【选修14-：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，直线CD 与圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE 、BE ，证明：（1）CEB FEB ∠=∠；（2）BC AD EF ⋅=2．23、【选修44-：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为θρsin 4=，22)4cos(=-=πθρ．（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1233t b y at x （Rt ∈为参数），求a 、b 的值．24、【选修54-：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数||)(a x x f -=，其中1>a ．（1）当2=a 时，求不等式|4|4)(--≥x x f 的解集；（2）已知关于x 的不等式2|)(2)2(|≤-+x f a x f 的解集为}21|{≤≤x x ，求a 的值．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷(理科)

数学试卷↑第1页（共4页）数学试卷↑第2页（共4页）（第5题）（第13题）（第8题）2013年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷（理科数学）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、复数11z i =-的模为（）A 、12B 、2C D 、22、已知集合4{0log 1}A x x =<<，{2}B x x =≤，则A B = （） A 、(0,1) B 、(0,2] C 、(1,2) D 、(1,2]3、已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB同方向的单位向量为（）A 、34(,)55-B 、43(,)55-C 、34(,)55-D 、43(,)55-4、下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列；其中的真命题为（）A 、1p ，2pB 、3p ，4pC 、2p ，3pD 、1p ，4p 5、某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. 若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A 、45B 、50C 、55D 、60 6、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B ∠=（）A 、6πB 、3πC 、23πD 、56π7、使(3()n x n N +∈的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A 、4B 、5C 、6D 、78、执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出S =（）A 、511B 、1011C 、3655D 、72559、已知点(0,0)O ，(0,)A b ，3(,)B a a . 若OAB ∆为直角三角形，则必有（）A 、3b a =B 、31b a a=+C 、331()()0b a b a a---= D 、3310b a b a a -+--=10、已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上. 若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）A 、2B 、C 、132D 、 11、已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，22()2(2)8g x x a x a =-+--+. 设1()H x =max{(),()}f x g x ，2()min{(),()}H x f x g x =（max{,}p q 表示,p q 中的较大值，min{,}p q 表示,p q 中的较小值）. 记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -=（） A 、16 B 、16- C 、2216a a -- D 、2216a a +-12、设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，2(2)8e f =，则0x >时，()f x （）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值C 、既有极大值又有极小值D 、既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______；14、已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和. 若13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S =______；数学试卷↑第3页（共4页）数学试卷↑第4页（共4页）15、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于,A B两点，连接,AF BF . 若10AB =，6AF =，4cos 5ABF ∠=，则椭圆C 的离心率e =______； 16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全班随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）设向量,sin )a x x = ，(cos ,sin )b x x = ，[0,]2x π∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值.18、（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若2AB =，1AC =，1PA =，求二面角C PB A --的余弦值.19、（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题. 设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立. 用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.20、（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：24x y =，2C ：22(0)x py p =->. 点00(,)M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）.当01x =时，切线MA 的斜率为12-（1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（,A B 重合于O 时，中点为O ）. 21、（本小题满分12分）已知函数2()(1)xf x x e -=+，3()12cos 2x g x ax x x =+++.当[0,1]x ∈时（1）求证：11()1x f x x-≤≤+；（2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：（1）FEB CEB ∠=∠；（2）2EF AD BC =⋅.23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆1C ，直线2C 的极坐标分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=.（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数），求,a b 的值.24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >.（1）当2a =时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（2）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{12}x x ≤≤，求a 的值.（第18题）（第22题）（第20题）。

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)

2013年XX省高考数学试卷（理科）大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选一、选择题：本.的项中，只有一项是符合题目要求（）1．（5分）复数的模长为A．B．C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]（）为3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量A．B．C．D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4如图，数据的5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=第1页（共21页）B=（）b，且a＞b，则∠A．B．C．D．n7．（5分）使得（3x+）（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7n=10，则输出的S=（）8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A．B．C．D．3），若△OAB为直角三角形，9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a则必有（）A．b=a3B．C．D．A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，10．（5分）已知三棱柱ABC﹣AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣a2+8．设11．（5分）已知函数f（x）=x2）x﹣H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表H1（x）的最小值为示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）2﹣2a﹣16C．﹣16a16D．16a2+2a﹣16A．16B．﹣x12．（5分）设函数f（x）满足2f（′x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，21页）第2页（共f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．第3页（共21页）18．（12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C ﹣P B ﹣A 的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3 道题解答．（Ⅰ）求X 同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望． 20．（12分）如图，抛物线C 1：x2=4y ，C 2：x 2=﹣2py （p ＞0），点M （x 0，y 0）在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B （M 为原点O 时，A ，B 重合于O ），当x 0=1﹣时，切线MA 的斜率为﹣．（Ⅰ）求P 的值；（Ⅱ）当M 在C 2上运动时，求线段A B 中点N 的轨迹方程（A ，B 重合于O 时，中点为O ）．﹣2x 21．（12分）已知函数f （x ）=（1+x ）e ，g （x ）=ax++1+2xcosx ，当x ∈[0， 1]时，第4页（共21页）（I）求证：；．（II）若f（x）≥g（x）恒成立，XX数a的取值X围请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(辽宁卷,含答案)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为（A ）12（B ）22 （C ）2 （D ）2（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则 A ．()01， B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，（D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7 （8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317 B ．210 C ．132D ．310 （11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16（11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【纯Word版含答案】2013年普通高等学校招生统一考试——理科数学(辽宁卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-的模为（A ）12 （B ）2（C （D ）2 （2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，（D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50（C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7（8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.,O A b B a a OAB ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．2B ．C ．132D ．（11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ） 16 （B ） 16- （C ） 2216a a -- （D ）2216a a +-（12）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(辽宁卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-的模为（A ）12 （B ）2（C （D ）2 （2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，（D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7（8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.,O A b B a a OAB ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．2B ．C ．132D ．（11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ） 16 （B ） 16- （C ） 2216a a -- （D ）2216a a +-（12）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）A．B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：复数，所以===．故选B．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2013•辽宁）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解答：解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．解答：解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．点评：本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4考点：等差数列的性质；命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．解答：解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．解答：解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．6．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）（2013•辽宁）使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解答：解：设（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则：T r+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，∴当r=2时，n最小，即n min=5．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．故选C．点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．解答：解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选C．点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．11．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16考点：函数的值域．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B 即可．解答：解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．点评：熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．12．（5分）（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，故答案为：16π﹣16．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．15．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．考点：总体分布的估计；极差、方差与标准差．专题：压轴题；概率与统计．分析：本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．解答：解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．点评：本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x ﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB 的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：如图，由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC．由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．故MN=．又在Rt△CNM中，．故cos．所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．19．（12分）（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）==P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==X的分布列为X 0 1 2 3PEX=点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程解答：解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，所以A点的坐标为（﹣1，），故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=﹣（2﹣）+=﹣①∴y0=﹣=﹣②解得p=2（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦由③④⑦得x2=y，x≠0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题21．（12分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．解答：（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

13年高考真题——数学理(辽宁卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的11Z i =-模为( ) （A ）12 （B ）2（C （D ）2 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =≤，则 AB =( ) （A ）()01，（B ）(]02，（C ）()1,2 （D ）(]12， 3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为( )（A ）()345- （B ）()45,3- （C ）()35,45- （D ）()45,3-4．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题:1p ：数列{}n a 是递增数列；2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列{}n a n 是递增数列；4p ：数列{}3n a nd +是递增数列。

其中的真命题为（）（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100。

若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）606．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B ∠=( )（A ）6π （B ）π （C ）23π （D ）5π7．使()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为 ( ) （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S =( ) （A ）511 （B ）1011 （C ）3655 （D ）72 9．已知点()()()30,0,0,,,O A b B a a ，若ABC ∆为直角三角形，则必有( )（A ）3b a = （B ）31b a a=+ （C ）()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭（D ）331||||0b a b a a -+--= 10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为( )（A ）（B ）（C ）132 （D ）11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+，设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为A ，()2H x 得最小值为B ,则A B -=( ) （A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）1612．函数()f x 满足()()22x x f x xf x e x '+=，()228f e =，则0x >时()f x ( ) （A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是。

2013年高考理数真题试卷(辽宁卷)及解析

第1页，总15页外…………○…………装…………学校:___________姓名：__________内…………○…………装…………2013年高考理数真题试卷（辽宁卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.复数 z =1i−1的模长为（）A.12 B.√22 C.√2D.22.已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（） A.（0，1） B.（0，2] C.（1，2） D.（1，2]3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A.45B.50C.55D.604.在△ABC，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．asinBcosC+csinBcosA= 12 b ，且a ＞b ，则∠B=（） A.π6 B.π3答案第2页，总15页C.2π3 D.5π6 5.使得（3x+x √x）n （n∈N +）的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A.4B.5C.6D.76.已知点O （0，0），A （0，b ），B （a ，a 3），若△OAB 为直角三角形，则必有（） A.b=a 3B.b =a 3+1aC.(b −a 3)(b −a 3−1a)=0D.|b −a 3|+|b −a 3−1a|=07.已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA 1=12，则球O 的半径为（） A.3+√172B.2√10C.132 D.3√108.已知函数f （x ）=x 2﹣2（a+2）x+a 2 ， g （x ）=﹣x 2+2（a ﹣2）x ﹣a 2+8．设H 1（x ）=max{f （x ），g （x ）}，H 2（x ）=min{f （x ），g （x ）}，（max{p ，q}）表示p ，q 中的较大值，min{p ，q}表示p ，q 中的较小值），记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A ﹣B=（） A.16 B.﹣16C.﹣16a 2﹣2a ﹣16D.16a 2+2a ﹣16 9.设函数f （x ）满足x2f′（x ）+2xf （x ）= e x x ，f （2）= e x8 ，则x ＞0时，f （x ）（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明第3页，总15页外…………○…………装○…………线…………学校:___________姓_内…………○…………装○…………线…………二、填空题（题型注释）10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．11.已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1 ， a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ． 12.已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1（a >0，b >0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF 、BF ，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= 45，则C 的离心率e= ． 13.为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题（题型注释）14.设向量 a →=(√3sinx,sinx) ， b →=(cosx,sinx) ， x ∈[0,π2] ．（1）若 |a →|=|b →| ，求x 的值；（2）设函数 f(x)=a →⋅b →，求f （x ）的最大值．15.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC ；（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．16.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 35 ，答案第4页，总15页…○…………装……………订…………○…………线……※※请※※不※※要※※在※※装※※※内※※答※※题※※…○…………装……………订…………○…………线……答对每道乙类题的概率都是 45 ，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．17.如图，抛物线C 1：x 2=4y ，C 2：x 2=﹣2py （p ＞0），点M （x 0 ， y 0）在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B （M 为原点O 时，A ，B 重合于O ），当x 0=1﹣ √2 时，切线MA 的斜率为﹣ 12 ．（1）求P 的值；（2）当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ，B 重合于O 时，中点为O ）． 18.已知函数f （x ）=（1+x ）e ﹣2x， g （x ）=ax+ x 32 +1+2xcosx ，当x∈[0，1]时，（1）求证： 1−x ≤f(x)≤11+x；（2）若f （x ）≥g（x ）恒成立，求实数a 的取值范围． 19.选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 直径，直线CD 与⊙O 相切与E ，AD 垂直于CD 于D ，BC 垂直于CD 于C ，EF 垂直于F ，连接AE ，BE ．证明：（1）∠FEB=∠CEB；（2）EF 2=AD•BC．20.在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 1 ，直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（ θ−π4 ）=2 √2 ．（1）求C 1与C 2交点的极坐标；（2）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为 {x =t 3+ay =b 2t 3+1（t∈R 为参数），求a ，b 的值．第5页，总15页○…………订………○…………线……班级：___________考号：_______○…………订………○…………线……参数答案1.B【解析】1.解：复数 z =1i−1，所以 |z|=|1i−1| = 1|i−1| = √2 = √22 ．故选B ．【考点精析】掌握复数的模（绝对值）是解答本题的根本，需要知道复平面内复数所对应的点到原点的距离，是非负数，因而两复数的模可以比较大小；复数模的性质：(1)(2)(3)若为虚数,则．2.D【解析】2.解：由A 中的不等式变形得：log 41＜log 4x ＜log 44，解得：1＜x ＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2]， ∴A∩B=（1，2]．故选D【考点精析】掌握集合的交集运算是解答本题的根本，需要知道交集的性质：（1）A∩B A ，A∩BB ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立．3.B【解析】3.解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 150.3 =50．故选：B ．【考点精析】掌握频率分布直方图是解答本题的根本，需要知道频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息． 4.A【解析】4.解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= 12 sinB ， ∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C ）=sinB= 12 ， ∵a＞b ，∴∠A＞∠B，即∠B 为锐角，则∠B= π6 ．故选A答案第6页，总15页…………装…………○…………订…………○※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内…………装…………○…………订线…………○【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式和正弦定理的定义，掌握两角和与差的正弦公式：；正弦定理:即可以解答此题． 5.B【解析】5.解：设 (3x +x √x )n（n∈N +）的展开式的通项为T r+1 ，则：T r+1=3n ﹣r• c n r •x n ﹣r • x −32r =3n ﹣r • c n r • x n−52r ，令n ﹣ 52r=0得：n= 52r ，又n∈N + ， ∴当r=2时，n 最小，即n min =5．故选B ． 6.C【解析】6.解：∵ AB → =（a ，a 3﹣b ）， OA →=(0,b) ， OB →=（a ，a 3），且ab≠0．①若 OA →⊥OB → ，则 OA →⋅OB →=ba 3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去； ②若 OA →⊥AB →，则 OA →⋅OB →=b （a 3﹣b ）=0，∵b≠0，∴b=a 3≠0；③若 OB →⊥AB →，则 OB →⋅AB →=a 2+a 3（a 3﹣b ）=0，得1+a 4﹣ab=0，即 b −a 3−1a=0 ．综上可知：△OAB 为直角三角形，则必有 (b −a 3)(b −a 3−1a )=0 ．故选C ．【考点精析】利用数量积判断两个平面向量的垂直关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直． 7.C【解析】7.解：因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B 1BCC 1 ，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1= √52+122=13 ，所以球的半径为： 132 ．故选C ．【考点精析】关于本题考查的球内接多面体，需要了解球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长才能得出正确答案．第7页，总15页……装…………○…………订…………○…………线…………_______姓名：___________班级：___________考号：___________……装…………○…………订…………○…………线…………8.B【解析】8.解：令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2（a+2）x+a 2﹣[﹣x 2+2（a ﹣2）x ﹣a 2+8]=2x 2﹣4ax+2a 2﹣8=2（x ﹣a ）2﹣8．①由2（x ﹣a ）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f （x ）=g （x ）；②由h （x ）＞0，解得x ＞a+2，或x ＜a ﹣2，此时f （x ）＞g （x ）； ③由h （x ）＜0，解得a ﹣2＜x ＜a+2，此时f （x ）＜g （x ）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H 1（x ）=max{f （x ），g （x ）}=f （x ）=[x ﹣（a+2）]2﹣4a ﹣4， H 2（x ）=min{f （x ），g （x ）}=g （x ）=﹣[x ﹣（a ﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a ﹣2≤x≤a+2时，H 1（x ）=max{f （x ），g （x ）}=g （x ），H 2（x ）=min{f （x ），g （x ）}=f （x ）；（3）当x≥a+2时，则H 1（x ）=max{f （x ），g （x ）}=f （x ），H 2（x ）=min{f （x ），g （x ）}=g （x ），故A=g （a+2）=﹣[（a+2）﹣（a ﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a ﹣4，B=g （a ﹣2）=﹣4a+12， ∴A﹣B=﹣4a ﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B ．【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的值域(求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的)． 9.D【解析】9.解：∵函数f （x ）满足 x 2f ′(x)+2xf(x)=e xx， ∴ [x 2f(x)]′=e x x令F （x ）=x 2f （x ），则F′（x ）= e xx ，F （2）=4•f（2）= e x2 ．由 x 2f ′(x)+2xf(x)=e xx，得f′（x ）=e x −2F(x)x 3，令φ（x ）=e x﹣2F （x ），则φ′（x ）=ex﹣2F′（x ）= e x (x−2)x ．∴φ（x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，答案第8页，总15页 ○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※○…………装…………○……∴φ（x ）的最小值为φ（2）=e 2﹣2F （2）=0． ∴φ（x ）≥0．又x ＞0，∴f′（x ）≥0．∴f（x ）在（0，+∞）单调递增． ∴f（x ）既无极大值也无极小值．故选D ．【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导，以及对函数的极值的理解，了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况． 10.16π﹣16【解析】10.解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，所以答案是：16π﹣16．【考点精析】关于本题考查的由三视图求面积、体积，需要了解求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积才能得出正确答案． 11.63【解析】11.解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．因为数列{a n }是递增数列，且a 1 ， a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，所以a 1=1，a 3=4．设等比数列{a n }的公比为q ，则 q 2=a 3a 1=41=4 ，所以q=2．则．所以答案是63．【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比数列的前n 项和公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握前项和公式：．12.57【解析】12.解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB 与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6 ∵△ABF 中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= 45 ，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|× 45 ，解之得|BF|=8 由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7 ∵△ABF 中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2第9页，总15页……○…………线…………○…_______……○…………线…………○…∴∠AFB=90°，可得|OF|= 12 |AB|=5，即c=5 因此，椭圆C 的离心率e= ca = 57 所以答案是： 5713.10【解析】13.解：设样本数据为：x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 ，平均数=（x 1+x 2+x 3+x 4+x 5）÷5=7；方差s 2=[（x 1﹣7）2+（x 2﹣7）2+（x 3﹣7）2+（x 4﹣7）2+（x 5﹣7）2]÷5=4．从而有x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=35，①（x 1﹣7）2+（x 2﹣7）2+（x 3﹣7）2+（x 4﹣7）2+（x 5﹣7）2=20．② 若样本数据中的最大值为11，不妨设x 5=11，则②式变为：（x 1﹣7）2+（x 2﹣7）2+（x 3﹣7）2+（x 4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．所以答案是：10．【考点精析】利用极差、方差与标准差对题目进行判断即可得到答案，需要熟知标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差． 14.（1）解：由题意可得 a →2= (√3sinx)2+sin 2x=4sin 2x ， b →2=cos 2x+sin 2x=1，由 |a →|=|b →| ，可得 4sin 2x=1，即sin 2x= 14 ． ∵x∈[0， π2 ]，∴sinx= 12 ，即x= π6（2）解：∵函数 f(x)=a →⋅b →=（ √3 sinx ，sinx ）•（cosx ，sinx ）= √3 sinxcosx+sin 2x=√32sin2x+ 1−cos2x 2 =sin （2x ﹣ π6 ）+ 12 ． x∈[0， π2 ]，∴2x﹣ π6 ∈[﹣ π6 ， 5π6 ]，∴当2x ﹣ π6 = π2 ，sin （2x ﹣ π6 ）+ 12 取得最大值为1+ 12 = 32答案第10页，总15页…………○…………线………答※※题※※…………○…………线………【解析】14.（1）由条件求得 a →2， b →2的值，再根据 |a →|=|b →| 以及x 的范围，可的sinx 的值，从而求得x 的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f （x ）的解析式为sin （2x ﹣ π6 ）+ 12 ．结合x 的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f （x ）的最大值．【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性，掌握两角和与差的正弦公式：；正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数即可以解答此题．15.（1）证明：如图，由AB 是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA⊥BC．又PA ∩AC=A，PA ⊂平面APC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC⊥平面PAC ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC⊥平面PBC ；（2）解：过C 作CM⊥AB 于M ，因为PA⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB ．过M 作MN⊥PB 于N ，连接NC ．由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM 为二面角C ﹣PB ﹣A 的平面角．在Rt△ABC 中，由AB=2，AC=1，得 BC =√3 ， CM =√32， BM =32．在Rt△ABP 中，由AB=2，AP=1，得 FM =√5 ．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以 MN1=32√5．故MN= 3√510 ．又在Rt△CNM 中， CN =√305．故cos ∠CNM =√64．所以二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值为 √64 ．…线…………○……线…………○…【解析】15.（1）要证平面PAC⊥平面PBC ，只要证明平面PBC 经过平面PAC 的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC （2）因为平面PAB 和平面ABC 垂直，只要在平面ABC 内过C 作两面的交线AB 的垂线，然后过垂足再作PB 的垂线，连结C 和后一个垂足即可得到二面角C ﹣PB ﹣A 的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题． 16.（1）解：设事件A=“张同学至少取到1道乙类题” 则 A ¯=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A ）=1﹣P （ A ¯）=1﹣ c 63c 103 = 56（2）解：X 的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）= c 20(35)0⋅(25)2⋅(15) = 4125 P （X=1）= c 21⋅35⋅25⋅15+c 20⋅(25)2⋅45 = 28125P （X=2）= c 22⋅15⋅(35)2 + c 21⋅35⋅25⋅45 = 57125P （X=3）= c 22⋅(35)2⋅(45)2 = 36125EX= 0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2【解析】16.（1）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有 c 103 ，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（2）先判断随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概答案第12页，总15页率，即可求解分布列及期望值【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题． 17.（1）解：因为抛物线C 1：x 2=4y 上任意一点（x ，y ）的切线斜率为y′= x2 ，且切线MA 的斜率为﹣ 12 ，所以设A 点坐标为（x ，y ），得 x 2=−12，解得x=﹣1，y= x 24= 14，点A 的坐标为（﹣1，14），故切线MA 的方程为y=﹣ 12 （x+1）+ 14因为点M （1﹣ √2 ，y 0）在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0=﹣ 12 （2﹣ √2 ）+ 14 =﹣3−2√24①∴y 0=﹣ (1−√2)22p=﹣3−2√24②解得p=2（2）解：设N （x ，y ），A （x 1， x 144 ），B （x 2， x 224 ），x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x= x 1+x 22③，y=y 1+y 22= x 12+x 228④切线MA ，MB 的方程为y= x 12 （x ﹣x 1）+ x 144 ，⑤；y= x 22 （x ﹣x 2）+ x 224 ⑥，由⑤⑥得MA ，MB 的交点M （x 0，y 0）的坐标满足x 0= x 1+x 22 ，y 0= x 1x4因为点M （x 0，y 0）在C 2上，即x 02=﹣4y 0，所以x 1x 2=﹣ x 12+x 226⑦由③④⑦得x 2= 43 y ，x≠0当x 1=x 2时，A ，B 丙点重合于原点O ，A ，B 中点N 为O ，坐标满足x 2= 43 y 因此中点N 的轨迹方程为x 2= 43 y【解析】17.（1）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（2）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程18.（1）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，f(x)≤11+x⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）≤11+x．综上可知：1−x≤f(x)≤11+x．（2）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）= (1+x)e−2x−(ax+12x3+1+2xcosx)≥ 1−x−ax−1−12x3−2xcosx = −x(a+1+x22+2xcosx)．令H（x）= x 22+2cosx，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤ 11+x −(1+ax+12x3+2xcosx) = −x1+x−ax−x32−2xcosx =﹣x (11+x+a+x22+2cosx)．令v（x）= 11+x +a+x22+2cosx = 11+x+a+ℎ(x)，则v′（x）= −1(1+x)2+H′(x)．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x）＞0，此时，f（x）＜g（x）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．答案第14页，总15页…订…………○…………线…………○※※内※※答※※题※※…订…………○…………线…………○【解析】18.（1）①当x∈[0，1）时，（1+x ）e ﹣2x ≥1﹣x ⇔（1+x ）e ﹣x ≥（1﹣x ）e x ，令h （x ）=（1+x ）e ﹣x ﹣（1﹣x ）e x ，利用导数得到h （x ）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时， f(x)≤11+x⇔e x ≥1+x，令u （x ）=e x ﹣1﹣x ，利用导数得出h （x ）的单调性即可证明．（2）利用（I ）的结论得到f （x ）≥1﹣x ，于是G （x ）=f （x ）﹣g （x ）≥ 1−x −ax −1−12x 3−2xcosx = −x(a +1+x 22+2xcosx) ．再令H （x ）= x 22+2cosx ，通过多次求导得出其单调性即可求出a 的取值范围．【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值． 19.（1）证明：∵直线CD 与⊙O 相切于E ，∴∠CEB=∠EAB． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°． ∴∠EAB+∠EBA=90°．∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°． ∴∠FEB=∠EAB． ∴∠CEB=∠EAB．（2）证明：∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，又∠CEB=∠FEB，EB 公用． ∴△CEB≌△FEB． ∴CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．在Rt△AEB 中，∵EF⊥AB，∴EF 2=AF•FB． ∴EF 2=AD•CB．【解析】19.（1）直线CD 与⊙O 相切于E ，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB 为⊙O 的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB 和EB 公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB ．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF ．在Rt△AEB 中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF 2=AF•FB．等量代换即可． 20.（1）解：圆C 1，直线C 2的直角坐标方程分别为 x 2+（y ﹣2）2=4，x+y ﹣4=0，解 {x 2+(y −2)2=4x +y −4=0得 {x =0y =4 或 {x =2y =2 ，∴C1与C2交点的极坐标为（4，π2）．（2 √2，π4）．（2）解：由（1）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y= b2 x﹣ab2+1，∴ {b2=1−ab2+1=2，解得a=﹣1，b=2．【解析】20.（1）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（2）由（1）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y= b2 x﹣ab2+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．。

2013年高考辽宁卷理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（辽宁卷）第Ⅰ卷一、选择题1．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2D ．2答案 B解析 z ＝1i －1＝－1－i 2，∴|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 2．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B {x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案 D解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}． 3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关．故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn }递增，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60 答案 B解析由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3. ∴该班学生人数n ＝150.3＝50. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.7．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析展开式的通项公式T r ＋1＝C r n(3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r， ∴T r ＋1＝3n －r C r n xn －52r ，r ＝0,1,2，…，n . 令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( ) A.511 B.1011 C.3655 D.7255 答案 A解析执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10；执行第五次循环后，S ＝511，i ＝12，此时i ≤n 不成立，退出循环，输出S ＝511.9．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C解析易知A B →＝O B →－O A →＝(a ，a 3－b )，且b ≠0，a ≠0，若A 为直角，OA →·AB →＝(0，b )·(a ，a 3－b )＝b (a 3－b )＝0，∴b －a 3＝0，若B 为直角，O B →·A B →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0， ∴a 2＋a 3(a 3－b )＝0，则b －a 3－1a＝0，故(b －a 3)·⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，选C. 10．已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3 172B ．2 10 C.132D ．3 10答案 C解析 ∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝32＋42＋122＝2R ，R ＝132.11．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16 答案 B解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)． ∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ， H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16. 12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值答案 D 解析由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x，得f ′(x )＝e x －2x 2f (x )x 3，令g (x )＝e x －2x 2f (x )，x ＞0，则g ′(x )＝ex－2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2·e x x＝(x －2)e x x.令g ′(x )＝0，得x ＝2.当x ＞2时，g ′(x )＞0；0＜x ＜2时，g ′(x )＜0， ∴g (x )在x ＝2时有最小值g (2)＝e 2－8f (2)＝0，从而当x ＞0时，f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )无极大值，也无极小值．第Ⅱ卷二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案 16π－16解析由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，∴V ＝(π×22－22)×4＝16π－16.14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， ∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63.15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ，由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′，由对称性，|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14. ∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．答案 10解析把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，(x i ∈N ，且x 1，x 2，x 3，x 4，x 5各不相同)，由题意(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.∵x 1，x 2，x 3，x 4，x 5∈N ，且各不相同．若使x 5－7最大，只需(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小，显然(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.∴(x 5－7)2≤14，因此(x 5－7)2≤9，则x 5≤10，x 5∈N ，经验证x 5＝10时，x 1＝4，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.三、解答题17．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.18. 如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值． (1)证明由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)解方法一过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB 、CA 、CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.因为P A ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)．故C B →＝(3，0,0)，C P →＝(0,1,1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧C B →·n 1＝0，C P →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x ＝0，y ＋z ＝0，不妨令y ＝1，则n 1＝(0,1，－1)．因为A P →＝(0,0,1)，A B →＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧A P →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z ＝0，3x －y ＝0，不妨令x ＝1，则n 2＝(1，3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.所以由题意可知二面角C -PB -A 的余弦值为64. 方法二过C 作CM ⊥AB 于M ，因为P A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以P A ⊥CM ，又P A ∩AB ＝A ，故CM ⊥平面P AB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ，由三垂线定理得CN ⊥PB ，所以∠CNM 为二面角C -PB -A 的平面角．在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32，在R t △P AB 中，由AB ＝2，P A ＝1，得PB ＝ 5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以MN 1＝ 32 5，故MN ＝3510.又在Rt △CNM 中，CN ＝305，故cos ∠CNM ＝64. 所以二面角C -PB -A 的余弦值为64. 19．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15＝4125；P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15＋C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15＋C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.20. 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为 y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0. 当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y . 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y . 21．已知函数f (x )＝(1＋x )e －2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x ．当x ∈[0,1]时， (1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )－x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0，所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1]．要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≤11＋x ，只需证明e x ≥x ＋1.记K (x )＝e x －x －1.则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )＞0.因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0，所以f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]． (2)解方法一f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫a ＋1＋x 22＋2cos x . 设G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x . 记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x .当x ∈(0,1)时，H ′(x )＜0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )＜G ′(0)＝0，故G (x )在[0,1]上是减函数．于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3，下面证明，当a ＞－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x－1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x . 记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x＋a ＋G (x )，则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )，当x ∈(0,1)时，I ′(x )＜0，故I (x )在[0,1]上是减函数．于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)＞0.此时f (x 0)＜g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．方法二先证当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2. 记F (x )＝cos x －1＋12x 2，则F ′(x )＝－sin x ＋x . 记G (x )＝－sin x ＋x ，则G ′(x )＝－cos x ＋1.当x ∈(0,1)时，G ′(x )＞0，于是G (x )在[0,1]上是增函数．因此当x ∈(0,1)时，G (x )＞G (0)＝0，从而F (x )在[0,1]上是增函数，因此F (x )≥F (0)＝0，所以当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x . 同理可证，当x ∈[0,1]时，cos x ≤1－14x 2，综上，当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2. 因为当x ∈[0,1]时，f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥(1－x )－ax －x 32－1－2x ⎝⎛⎭⎫1－14x 2＝－(a ＋3)x .下面证明：当a ＞－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立，因为f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≤11＋x－1－ax －x 32－2x ⎝⎛⎭⎫1－12x 2 ＝x 21＋x ＋x 32－(a ＋3)x ≤32x ⎣⎡⎦⎤x －23(a ＋3). 所以存在x 0∈(0,1)⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋33和12中的较小值满足f (x 0)＜g (x 0)．即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．22. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .23．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 24．选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)

2013年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）（2013•辽宁）复数的模长为（）A．B．C．D．22．（5.00分）（2013•辽宁）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]3．（5.00分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．4．（5.00分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p45．（5.00分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5.00分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C． D．7．（5.00分）（2013•辽宁）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5.00分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5.00分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB 为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．10．（5.00分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5.00分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1612．（5.00分）（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5.00分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5.00分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5.00分）（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C 与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5.00分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12.00分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12.00分）（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19．（12.00分）（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．20．（12.00分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O 时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12.00分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( )A.12B.2 D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】11111i,i i 12222z z ==--∴=--=-2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =…，则 A B = （）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =…，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<剟.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为（）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题，（步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( ) A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3）7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有（）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B 内，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R ==,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ，（步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x a g x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩……2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩…… （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的灵活应用能力. 【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1）令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x …，则当0x >时，3()()0g x f x x'=…，（步骤3）故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2）解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）2222222)sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f xx ==a b 211π1cos sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1）由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 1110,0,y z =∴+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn 2220,0,z y =⎧⎪∴-=（步骤5）不妨令21x =，则()2=n .于是12cos ,==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A的余弦值为4（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3）在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得BC =2CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,31MN∴=,MN ∴=（步骤4） ∴在Rt CNM △中,CN =cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “张同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），01x =，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14），（步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①0y ==② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8）由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时，（I ）求证：()111x f x x-+剟；（II ）若()()f x g x …恒成立，求实数a 取值范围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-…，只需证明()()1e 1e x x x x -+-….（步骤1）记()()(1)e1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2）当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3）故()()00h x h =….所以()[]10,1f x x x ∈…－，．（步骤4）要证[]0,1x ∈时，21(1)e1xx x-+…＋，只需证明e 1xx …＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7）故()()00K x K =….所以()11f x x+…，[]0,1x ∈．（步骤8）综上，()111x f x x-+剟，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----…2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11）记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14）于是()()02G x G =…，从而()13a G x a …＋＋＋.（步骤15）所以，当3a -…时，()()f x g x …在[]0,1上恒成立．（步骤16）下面证明当3a >-时，()()f x g x …在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+…32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18）当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21）此时()()00f x g x <，即()()f x g x …在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-．（步骤23）解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --剟.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =…，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -….（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -….（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --剟.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭…()3a x =-+.（步骤18）所以当3a -…时，()()f x g x …在[]0,1上恒成立．（步骤19）下面证明当3a >-时，()()f x g x …在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭… 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦…，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21）即()()f x g x …在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠；（II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=；（步骤2）又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ424⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2）注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >.（I ）当=2a 时，求不等式()f x …4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-…2的解集为{1x …x …}2，求a 的值. 【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，，…… (步骤1) 当2x …时，由4f x x -（）4-…得264x -+…，解得1x …；（步骤2）当24x <<时，44f x x --（）…无解；（步骤3）当4x …时，由44f x x --（）…得264x -…，解得5x …. （步骤4）∴44f x x --（）… 的解集为{1x x …或}5x …. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，，…… （步骤6）由2h x （）…，解得1122a a x-+剟. （步骤7）又2h x （）…的解集为{}12x x 剟，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。

2013年辽宁高考理科数学卷-答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）【解析】1i 1z ==-【提示】直接给出复数，利用【考点】复数代数形式的四则运算【解析】{|0A x ={|14}{|2}{|1A B x x x x x =<<≤=【提示】求出集合A 中其他不等式的解集，确定出【考点】集合的基本运算【答案】A【解析】(3,AB =-35||AB AB ⎛= ⎝【提示】由条件求得(3,AB =-，再根据与向量同方向的单位向量为AB 求得结果【解析】根据等差数列的性质判定．0d >，∴是真命题，1n n +>是假命题．13(0n a n ++，4p ∴是真命题的等差数列，求数列的增减性又sin a b >，∴∠【提示】利用正弦定理化简已知的等式，根据公式化简求出【解析】根据二项展开式的通项公式求解．T 52rn r rn C x，令x 】13S =，2819=-，框图首先给累加变量32a ba-=-a 【提示】利用已知可得(,AB a a =，(0,OA b =，(,OB a a =①若OA OB ⊥，则3OA OB ba ==②OA OB ⊥，则3(OA OB b a =-0b ≠∵，30b a =≠③OA OB ⊥，则2OA OB a a =+综上可知：OAB △为直角三角形，则必有【考点】直线的倾斜角与斜率根据球的内接三棱柱的性质求解．直三棱柱中【解析】a612 1S-=-【提示】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前，直线过原点，90，∴△．又在1||2AB（Ⅰ）|又x （Ⅱ）()f x a b =31sin 2cos222x =-（Ⅰ）由条件求得2a ，2b 的值，再根据||||a b =以及x 范围，利用正弦函数的定义域和值域求得的最大值PAAC A =，⊥平面PAC BC ⊂平面∴平面PBC (Ⅱ)解法一：如图（Ⅰ），以点角坐标系．中，2AB =，又1PA =，(0,1,0)A ，故(3,0,0)CB =，(0,1,1)CP =设平面BCP 1100CB n CP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 1)． (0,0,1AP =，(3,AB =2200A P n A B n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎧⎪∴⎨⎪⎩不妨令2x =，则2(1,n =，PA⊥平面又PA AB A=，且M作MN PB⊥，由三垂线定理得CNCNM∴∠为二面角Rt ABC△中，由Rt BNM△∴在Rt CNM△544C()CP A=02023214555125⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；1102102232132428+C 555555125⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；211212232132457+C 555555125⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；22232436555125⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的分布列为：（Ⅰ）抛物线点N 点)直线AB⊥又EF AB（Ⅱ）BC CE ⊥又在Rt AEB △AF BF ，EF AD BC ∴【提示】（Ⅰ）直线，利用互余角的关系可得FEB EAB ∠，从而得证．AF FB ．等量代换即h x≤又|()|2【提示】（1）当解集即可．。

2013年辽宁高考数学(理科)真题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试〔辽宁卷〕数学〔供理科考生使用〕第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 〔1〕复数的11Z i =-模为〔A 〕12〔B 〕22 〔C 〕2 〔D 〕2〔2〕已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，〔3〕已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为〔A 〕3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-〔B 〕4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-〔C 〕3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，〔D 〕4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，〔4〕下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为〔A 〕12,p p 〔B 〕34,p p 〔C 〕23,p p 〔D 〕14,p p 〔5〕某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 假设低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是〔A 〕45 〔B 〕50 〔C 〕55 〔D 〕60〔6〕在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π〔7〕使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7〔8〕执行如下图的程序框图，假设输入10,n S ==则输出的A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255〔9〕已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=〔10〕已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．3172 B ．210 C ．132D ．310 〔11〕已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=〔A 〕2216a a -- 〔B 〕2216a a +- 〔C 〕16- 〔D 〕16〔11〕设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，〔A 〕有极大值，无极小值〔B 〕有极小值，无极大值〔C 〕既有极大值又有极小值〔D 〕既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

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