高考求函数解析式方法及例题

函数专题之解析式问题

求函数解析式的方法

把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方

f(x)的解析式。 ，∴f(x)=2x+7

待定系数法

()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。

x y ()f x 例题：

解法一、

1222x x a

∆

-=

=2248b ac a ∴-=21

()21

2f x x x ∴=++1

c =又1

,2,12a b c =

==解得2

()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40

a b -=得

解法二、

(0)1f =41

a k ∴+=1

2

22x x

-=222

k a

-∴=1

,12

a k ∴=

=-22

1

()(2)121212

f x x x x ∴=

+-=++()y f x =2

x =-得的对称轴为

(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k

=++设

二 【换元法】（注意新元的取值范围）

已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入

))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。

三【配凑法（整体代换法）】

若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。

换元法

()

f x 211

(1)(1)1

f x x

+=-22

11

(2)()f x x x x

+=+例题：根据条件，分别求出函数的解析式

2

2

()(1)12f t t t t

∴=--=-1

1t

x

+=（1）解：令1

1t x

=-1t ≠则且2

()2f x x x

=-(1)

x ≠即换元法

2()2f x x ∴=-(2)

x ≥凑配法

x

1x x

+

用

替代式中的1

2x x

+

≥又考虑到

211

()()2f x x x x

+

=+-（2）解：

【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3，∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4，∴2x -4=0，x=±2

解2：f(x-1)=2x -4x ，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4，∴2x -4=0，x=±2 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4，∴2x -4=0，∴x=±2

评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。 解法1，采用配凑法；

解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的； 解法3，采用换元法，

这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。

【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。

四 【消元法】

【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

五【赋值法】(特殊值代入法)

解函数方程组法

1

3()2()f x f x x

+=(0)

x ≠()f x 例题：已知，

求13()2()113()2()f x f x x

f f x x x

⎧

+=⎪⎪⎨

⎪+=⎪⎩

解：由32()55x f x x

=

-(0)

x ≠解得

代入法

1()f x x x

=+

1C 1C (2,1)A 2C 2C ()g x 例题：设函数的图象为

，

关于点对称的图象为，

求对应的函数的表达式。

()y g x =(,)x y (2,1)A (4,2)x y --()y f x =设图象上任一点，则关于对称点为在上，

解：1

244y x x -=-+

-即1

24

y x x =-+-即1

()24

g x x x =-+

-(4)x ≠故

题5．若)()()(y f x f y x f ⋅=+，且2)1(=f ， 求值

)

2004()

2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ . 练习5．设)(x f 是定义在*N 上的函数，且2)1(=f ，2

1

)()1(+=+x f f ，求)(x f 的解析式.

六．利用给定的特性求解析式.

题6．设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， x e x e x f +⋅=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.