频率特性法
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频率特性法
§5-2
一、幅相频率特性
1、代数形式
频率特性表达方法
即极坐标图，也称为 Nyquist 图
G( j) P() jQ()
2、指数形式
由G ( j ) A( )e j ( )
3、幅相特性表示法 极坐标图形式
二、对数频率特性 即 Bode 图
G ( j ) A( )e j ( ) A( ) P 2 ( ) Q 2 ( ) Q ( ) P ( )
对数幅频特性绘在以 10 为底的对数坐标中，幅值的对数值用分贝（dB）表示
L() 20lg A()
纵轴是 L(w)，横轴实际上是 lgw，由于是用 w 标注，所以又转化成 w 的值，这使得每一单位 的 w 增加量为 10 倍，这 10 倍频记为 dec。横轴的起点不为 0。.
§5-3
一、比例环节
2 2
1 T
1
L( ) 20 lg A( ) 20 log 1 20 lg (1 2T 2 ) (2T ) 2
六、时滞环节或延迟环节
传递函数 : G ( s) e s j 频率特性 : G ( j )e 幅频特性 : A( ) 1 相频特性 : ( ) G ( j ) cos j sin e j cos j sin G ( j ) 1
积分环节的对数频率特性
四、微分环节
G (s) s G ( j ) j 代数式 G ( j ) j 0 j 指数式 G ( j ) j 90
L( w) 20 lg | G( jw) | 20 lg w G( jw) 90
理想微分环节的副相频率特性
五、振荡环节(0<§<1)
第五章 频率特性法 (2)
1 1
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
频率特性法实验报告
一、实验目的1. 了解频率特性法的基本原理和测试方法。
2. 掌握用频率特性法分析系统性能的方法。
3. 熟悉实验仪器和实验步骤。
二、实验原理频率特性法是控制系统分析和设计的重要方法之一。
它通过研究系统在正弦信号作用下的稳态响应，来分析系统的动态性能和稳态性能。
频率特性主要包括幅频特性和相频特性，它们分别反映了系统在正弦信号作用下的幅值和相位变化规律。
三、实验仪器与设备1. 微型计算机2. 自动控制实验教学系统软件3. 超低频信号发生器4. 示波器5. 信号调理器6. 被测系统（如二阶系统、三阶系统等）四、实验内容与步骤1. 实验内容（1）测量被测系统的幅频特性（2）测量被测系统的相频特性（3）绘制幅频特性曲线和相频特性曲线（4）分析系统性能2. 实验步骤（1）连接实验电路，确保各设备正常工作。
（2）使用超低频信号发生器产生正弦信号，频率范围可根据被测系统特性选择。
（3）将信号发生器的输出信号送入被测系统，同时将信号发生器和被测系统的输出信号送入示波器。
（4）调整信号发生器的频率，记录不同频率下被测系统的输出幅值和相位。
（5）将实验数据输入计算机，利用自动控制实验教学系统软件进行数据处理和绘图。
（6）分析系统性能，包括系统稳定性、动态性能和稳态性能。
五、实验结果与分析1. 幅频特性曲线根据实验数据，绘制被测系统的幅频特性曲线。
从曲线中可以看出，随着频率的增加，系统的幅值逐渐减小，并在一定频率范围内出现峰值。
峰值频率对应系统的谐振频率，峰值幅度对应系统的谐振增益。
2. 相频特性曲线根据实验数据，绘制被测系统的相频特性曲线。
从曲线中可以看出，随着频率的增加，系统的相位逐渐变化，并在一定频率范围内出现相位滞后或相位超前。
3. 系统性能分析根据幅频特性和相频特性曲线，可以分析被测系统的性能。
（1）稳定性分析：通过分析相频特性曲线，可以判断系统是否稳定。
如果系统在所有频率范围内都满足相位裕度和幅值裕度要求，则系统稳定。
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
第五章 频率特性分析法
由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、
自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
第五章 频率特性法
-10 -20
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
04 频率特性法——奈氏判据和伯德图判据
分析开环系统 G(s)H(s)的零点 都在S左半平面
一、开环频率特性与闭环频率 特性的关系
开环频率特性
G(s)H(s)
闭环频率特性
G( s ) ( s) 1 G( s ) H ( s )
F(s)=1+G(s)H(s)
二、奈斯判据
奈斯判据： s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从 -∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆 时针包围（-1，j0）点R圈。 若 R=P （右半平面极点个数即正 实部极点分析系统稳定性。
Im
P0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
(a)
(b)
解： (a) N= N+ - N –=（0-1）= -1，P =0，故
Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。 (b) K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，故 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个 根在虚轴上，闭环系统不稳定。
R=2N=2(N+-N-)=P
注意：
正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时从下向上穿越－180°线； 负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时，从上向下穿越－180°线。
例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=2
正负穿越数之差（N+-N-）为1
5-1 频域：频率特性法
jφ (ω )
b m (jω ) m b m1 (jω ) m1 b1 (jω ) b m a n (jω ) n a n 1 (jω ) n 1 a 1 (jω ) a n
U(ω ) jV(ω )
4
G ( j )
C ( j ) R ( j )
5－1
频率特性(FC)
一、频率特性的定义：
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之 比。一般用G(j)表示。
r (t ) rm sin t
c (t ) c m sin( t )
rm
t
cm
控制系统
t
R
Hale Waihona Puke r (t )i (t )
C
c (t )
1
R
设
ur (t ) A sin t 求
3
根据传递函数求取频率特性:
R(s)
G (s)
C s
传递函数:
C(s) b m s m b m1s m1 b1s b 0 G(s) R(s) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0
频率特性: （s=j）
G(jω ) A(ω )e C(jω ) R(jω )
A( )e j ( ) U ( ) jV ( )
A（）—— 幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输出分 量与输入分量幅值之比. （）—— 相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分 量与输入分量的相位差。 U（）—— 实频特性； G ( j ) jV V（）—— 虚频特性； V ( ) 都是的函数，之间的 A ( ) 关系用矢量图来表示。
uc (t )
b m (jω ) m b m1 (jω ) m1 b1 (jω ) b m a n (jω ) n a n 1 (jω ) n 1 a 1 (jω ) a n
U(ω ) jV(ω )
4
G ( j )
C ( j ) R ( j )
5－1
频率特性(FC)
一、频率特性的定义：
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之 比。一般用G(j)表示。
r (t ) rm sin t
c (t ) c m sin( t )
rm
t
cm
控制系统
t
R
Hale Waihona Puke r (t )i (t )
C
c (t )
1
R
设
ur (t ) A sin t 求
3
根据传递函数求取频率特性:
R(s)
G (s)
C s
传递函数:
C(s) b m s m b m1s m1 b1s b 0 G(s) R(s) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0
频率特性: （s=j）
G(jω ) A(ω )e C(jω ) R(jω )
A( )e j ( ) U ( ) jV ( )
A（）—— 幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输出分 量与输入分量幅值之比. （）—— 相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分 量与输入分量的相位差。 U（）—— 实频特性； G ( j ) jV V（）—— 虚频特性； V ( ) 都是的函数，之间的 A ( ) 关系用矢量图来表示。
uc (t )
第五章 频率特性法
若系统稳定 , 则c ss (t )
幅频特性 A(ω) =
r(t )
[ ]
E(s) 输出幅值与输入幅值之比 相频特性 φ (ω) = 幅频？ Φ (s) = , 当系统稳定时 ② er R(s)
rt () t ) j (j ) 若 r ( 称为频率特性 Φ(jω) = ( j) e 若系统稳定 , 则c ss (t ) [ 则e ss (t ) [ r(t )
si t lim e 0 系统稳定 t A1 A2 Cs ( s) s j s j
A A ( j) A1 ( s ) ( s j) j2 ( s j)( s j) s j
A A A2 ( s ) ( s j) ( j) ( s j)( s j) j2 s j
倒置的坐标系
( 补充 )
该坐标纸拿反啦！！
频率特性物理意义
C (s) 1 闭环 (s) R ( s ) Ts 1 传函
s j
T RC
频率特性 幅频特性 A() ( j)
1
1 ( j) jT 1
1 T 2 2
相频特性 () ( j) arctan T
改变输入信号的频率， A ( ) 1 , ( ) 0 0 得到一组幅频特性和相 1 1 A() , () 45 T 频特性的数据，绘出曲 2 A() 0, () 90 线——频率特性曲线
频率特性
1 ( j) jT 1
设系统传递函数为
s1 , s2 sn U (s) (s) 特征方程的根 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) U (s) A C (s) 2 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) s 2 U (s) A ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) ( s j)( s j)
幅频特性 A(ω) =
r(t )
[ ]
E(s) 输出幅值与输入幅值之比 相频特性 φ (ω) = 幅频？ Φ (s) = , 当系统稳定时 ② er R(s)
rt () t ) j (j ) 若 r ( 称为频率特性 Φ(jω) = ( j) e 若系统稳定 , 则c ss (t ) [ 则e ss (t ) [ r(t )
si t lim e 0 系统稳定 t A1 A2 Cs ( s) s j s j
A A ( j) A1 ( s ) ( s j) j2 ( s j)( s j) s j
A A A2 ( s ) ( s j) ( j) ( s j)( s j) j2 s j
倒置的坐标系
( 补充 )
该坐标纸拿反啦！！
频率特性物理意义
C (s) 1 闭环 (s) R ( s ) Ts 1 传函
s j
T RC
频率特性 幅频特性 A() ( j)
1
1 ( j) jT 1
1 T 2 2
相频特性 () ( j) arctan T
改变输入信号的频率， A ( ) 1 , ( ) 0 0 得到一组幅频特性和相 1 1 A() , () 45 T 频特性的数据，绘出曲 2 A() 0, () 90 线——频率特性曲线
频率特性
1 ( j) jT 1
设系统传递函数为
s1 , s2 sn U (s) (s) 特征方程的根 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) U (s) A C (s) 2 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) s 2 U (s) A ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) ( s j)( s j)
4.2.14.2频率特性的几何表示法
对数频率特性曲线——伯德图
对数相频特性曲线
1 横坐标为的对数lg 分度 2 纵坐标为()
频率每变化十倍，称为十倍频程，记作dec。
对数频率特性曲线——伯德图
对数幅频特性 横坐标表示为：ω 为方便只表示
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω)
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
（3）在一张图上绘制低、中、高频段特 性，对系40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
-20dB/dec
φ (ω )
单位为 dB
0
0.1
1
-90
10 ω
对数相频特性 -180
伯德图的优点
（1）对数运算，将串联环节的幅值相 乘转化为幅值相加的运算
（2）这种方法建立在渐近线的基础上， 简化了幅频特性的绘制过程
频率特性的几何表示法
频率特性法是一种图解分析法，常见的频率 特性曲线有两种：
1 幅相频率特性曲线
2 对数频率特性曲线
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
特点： 以频率ω为变量，将频率特性的幅频特性A(ω)
和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。
Im
= 0 Re
=0
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
作图方法： 取=0和=两点，必要时可在0< < 之间选取
一些特殊点，算出这些点处的幅频值和相频值，然后在 幅相平面上做出这些点，并用光滑的曲线连接起来。
Im
= 0 Re
=0
对数频率特性曲线——伯德图
频率特性法
斜率
1 10
lg ω ω
-20dB/dec
10
ω
对数频率特性曲线又称伯德图.
第一节 频率特性的基本概念
作业习题：
5-1 (1)
返回
第五章 频率数学模型是频率特性 。通过对系统频率特性的分析来分析和 设计控制系统的性能。
一、频率特性的定义 二、频率特性的几何表示法
第一节 频率特性的基本概念
-j t j ω ωt r(t)=Asin+A e ω t c [t→∞ 系统的稳态响应为)|sin ω t+ G(j 1 e 系统结构图如图:s(t)=limc(t)=A 2 cs(t)=A|G(j ω R(s)ω)] C(s) G(S) ω A 设系统传递函数为 求待定系数: A1=G(s)s2+ 2 (s+j ω) s=-j ω 系统正弦信号作用下的稳态输出是与 U(s) ω A ω G(s)= (s-s )(s-s )·(s-s ) 特征方程的根 -j G(jω R(s)=s2)+ 2 · n 1 2 · ω 输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅 ω)| A = A|G(j e =G(-j -2j ω) ω U(s) A -2j 值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位 C(s)=G(s)R(s)= (s-s )(s-s )·(s-s ) · + 2 · j n ωs2 ω 1 2 · G(j ) 差为∠G(jAG(j AA =nA|G(j )|e ω)。 Bi ω ω) 2 A 同理: = 2= 1 + 2j +∑ 2j s+j s-jω i=1 s–siG(jω) ω -j ωt ω j[ω t+ωG(jω)] j-j[ n 根据 G(-j )=|G(j-j )|e ω tω t+ G(jω)] t 拉氏反 e e +A -ee +∑ B esi cs(t)=A|G(j c(t)=A1 ω)| i 2 2j 变换得: i=1
第五章 频率法
二阶微分环节的传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s
sn
)
R s2
2
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2
lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20
0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s
sn
)
R s2
2
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2
lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20
0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
频率特性法课件
c (t)=X|G(jω)|sin [ωt+ G(jω)]
系统正弦信号作用下的稳态输出是与 输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅 值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位
差为∠G(jω)。
红河学院自动化系
自动控制原理一、 频率特性的定义
例1 RC 电路如图所示，ur(t)=Xsinwt, 求uc(t)=?
=G(-jω)
X -2j
X|G(jω)|e-j
=
-2j
G(jω)
同理:
C2= G(jω)
X 2j
=
X|G(jω)|ej
2j
G(jω)
根据 G(-jω)=|G(jω)|e-j G(jω)
c (t)=X|G(jω)|
e j[ω t+
e G(jω)]
-
-j[ω t+
2j
G(jω)]
红河学院自动化系
自动控制原理
X 0
G(jω)
t
X G(jω)
幅频特性： A(ω)=|G(jω)|
相频特性： φ (ω)= G(jω)
s
)
XwT 1 w 2T 2
s
1 1
T
X
1 w 2T 2
1
1 w 2T 2
s2
w w2
Tw 1 w 2T 2
s2
s
w2
uc ( t
)
XwT 1 w 2T 2
t
eT
X sinwT cos coswT sin
1 w 2T 2
XwT 1 w 2T 2
t
eT
X sin( wT-arctanwT) 1 w 2T 2
1T s1 T
系统正弦信号作用下的稳态输出是与 输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅 值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位
差为∠G(jω)。
红河学院自动化系
自动控制原理一、 频率特性的定义
例1 RC 电路如图所示，ur(t)=Xsinwt, 求uc(t)=?
=G(-jω)
X -2j
X|G(jω)|e-j
=
-2j
G(jω)
同理:
C2= G(jω)
X 2j
=
X|G(jω)|ej
2j
G(jω)
根据 G(-jω)=|G(jω)|e-j G(jω)
c (t)=X|G(jω)|
e j[ω t+
e G(jω)]
-
-j[ω t+
2j
G(jω)]
红河学院自动化系
自动控制原理
X 0
G(jω)
t
X G(jω)
幅频特性： A(ω)=|G(jω)|
相频特性： φ (ω)= G(jω)
s
)
XwT 1 w 2T 2
s
1 1
T
X
1 w 2T 2
1
1 w 2T 2
s2
w w2
Tw 1 w 2T 2
s2
s
w2
uc ( t
)
XwT 1 w 2T 2
t
eT
X sinwT cos coswT sin
1 w 2T 2
XwT 1 w 2T 2
t
eT
X sin( wT-arctanwT) 1 w 2T 2
1T s1 T
频率特性法
1
=0
纯微分 j
G(s) s G( j) 0 j e 2
∠ G(j) | G(j)| U() V ()
0
9 0º 0
0
0
1
90º 1
0
1
∞
90º ∞
0
∞
相位超前90° 低频衰减 高频放大
=∞ Im
=0
Re
一阶微分
G(s) 1 s G( j) 1 j 12 2e jarctan
j2T
G( j)
arctan
1
2T 2T
2
180
arctan
2T 2T 2 1
1
T
1
T
| G( j) |
1
(1 2T 2 )2 (2T )2
振荡环节2
U ()
1
(1 2T 2 )2 (2T )2
V ()
1 2T 2
V(
)=
T
T 2 2
1
频率特性与传递函数
频率特性G(j)
j
j
s s
传递函数G(s)
d
dt d
dt
微分方程பைடு நூலகம்
0 1/T ∞ Im =∞
0.5
惯性环节
∠ G(j) | G(j)| U()
0º -45º -90º
1
1
0.707 0.5
0
0
V ()
0 0.5 0
0.5
∠G(j)
5.2典型环节频率特性
5.2.1极坐标图（奈氏图）
G(j)=| G(j)|∠ G(j)=U()+jV ()
第5章 频率特性分析法
( ) : 0 900
3. 积分环节
1 G( s) s 1 G ( j ) j
A( )
1
( ) 90o
Im
Re
0
4. 振荡环节 n2 G( s) 2 2 s 2n s n
2 n G ( j ) 2 2 ( j ) 2n ( j ) n 1 ( ) 2 j 2 n n = 22 2 2 [1 ( ) ] 4 ( ) n n
Im
G ( s ) 1
A( ) 1 2 2 P( ) 1 ( ) arctan ，Q ( )
1 0
0
Re
6. 延迟环节
G ( s) e
s
G ( j ) e
j
1* e
j
A( ) 1 常数, 单位圆 ( ) 0, 0 Im
二、对数频率特性曲线
对数幅频特性曲线 20 lg A( )
伯德（Bode)曲线，Bode图
对数相频特性曲线
( )
半对数坐标：横坐标是对数刻度，纵坐标是均匀 刻度。
1
10
100
1000
横坐标采用对数分度，但标出的是 的实际值。
L( ) 20 lg A( ) 对数幅值，单位为分贝(dB)
因此,
G j频率特性 Gs s j 传函
K 例5-1 已知系统的传递函数为， 求频 G( s) Ts 1 率特性
解：令s=jω得系统的频率特性
K K G ( j ) e jarctg T 1 jT 1 (T ) 2
或
K K KT G( j ) j 2 2 1 jT 1 T 1 2T 2
频率特性的几种表示方法
Q( )
A( ) ( )
P( )
G(s)
s2
s 1 s 1
根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
0 由于 | G( j) |是偶函数， 所以当 从 0 和0 变化时，奈魁 斯特曲线对称于实轴。
三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成
一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数
幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。
Wednesday,
December 25, 2019
5
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
log
由于 以对数分度，所以零频率线在 处。
Wednesday,
December 25, 2019
3
纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以log A()或20log A() 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将log A() 或 20log A() 值标注在纵坐标上。
频率特性可以写成复数形式：G( j) P() jQ() ，也可 以写成指数形式：G( j) | G( j) | G( j)。其中，P() 为实 频特性，Q()为虚频特性；| G( j) |为幅频特性，G( j) 为相频
特性。
在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。
Wednesday,
December 25, 2019
4
第五章 频率特性法5-2
开环传递函数的两种表示形式
时间常数形式：K为系统的开环增益。
K ( i s 1) G (s)H (s)
m i 1 n
(n m )
l
( T s 1)
l 1
零、极点形式：K0为系统的根轨迹增益。
K 0 (s zi ) G (s)H (s)
i 1 m
(s
7
2 积分因子
G jω 1 jω
L ω 20lg G jω 20lg
1 jω
20lg ω
dB
当ω=1时 当ω=10时
L ω 20lg1 0 dB
L ω 20lg10
2 0 dB
L ω 20lg100 4 0 dB 当ω=100时 ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB，记为： －20dB/十倍频程，或-20dB/dec。 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴 上ω=1这一点，且斜率为-20的直线。
1 T
2
n
ω
2 2
2 ζ
Tn ω
2
低频段，即ωTn<<1时
2 T n ω arctan 1 T n2 2
L ω 20lg1 ＝ 0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
17
L ω 20lg
1
( ) 90
180
0 .1
0 .2
0 .4
0 .6 0 .8
1
2
4
6
8
10
/ n
19
可见：当频率接近 ω ω 时，将产生谐振峰 值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
频率特性法-奈氏图和伯德图画法
基本原理
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
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分 惯性 二阶振荡
20lgK=29.5db，存在积分环节，故在w=1处 做29.5db点，过该点做-20dB/dec斜率直线L1
10
2
Frequency (rad/sec)
5.2.3积分环节
1 积分环节增益为 G(s) s
频率特性函数为
1 1 G( j ) e j
j
2
积分环节伯德图
5.2.4二阶振荡环节
二阶振荡环节增益为
1 G( s) 2 2 T s 2Ts 1 频率特性函数为 1 G ( j ) 1 (T ) 2 j 2T
伯德图研究系统频率响应的优点
• 动态补偿器的设计可以完全以伯德图为 依据。 • 伯德图可以由实验的方法获得。 • 串联系统的伯德图可简单相加而得，这 非常方便。 • 对数尺度允许伯德图表示相当广的频率 范围，而线性尺度很难做到。
5.2基本环节的频率特性分析
5.2.1比例环节 比例环节的增益为G(s)=K 频率特性函数为G(j)=K
A( ) 1
j
( )
时滞环节伯德图
5.2.7开环传递函数伯德图的绘制
• 绘制幅值曲线图步骤：
1. 将所有转折频率点求出，并按从小到大排 序（即将G(s)写成典型环节乘积形式）。 2. 确定20lgK及首段斜率：看sn项，斜率为 n×20db/dec。
3. 依据转折频率位置及环节斜率依次画出幅 频特性图。 注意：典型形式要写成时间常数形式。
伯德图的绘制（续）
• 绘制相位曲线图步骤：
–
–
画相位曲线在低频段的渐近线，为n×90°。
画近似相位曲线，在每个转折频率处改变 ±90°（一阶）或±180°（二阶）。 确定各单个相位曲线的渐进线，使得相位的 改变与上步骤一致，画每个相位曲线草图。 在图上把每个相位曲线相加。
–
–
伯德图的绘制举例
• 例5.1已知系统开环传递函数，绘制伯德图。
A( ) 1 [1 (T ) 2 ]2 (2T ) 2
2T ( ) arctan 1 (T ) 2
二阶振荡环节伯德图
1 当 (T ) 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T 1 2 L( ) 20 lg(T ) T 1 40 lg 40 lg T
主要内容
• • • • • • 频率特性及频率特性法的基本概念 基本环节的频率特性分析 频率特性指标 开环频率特性的系统分析 控制系统的频率法校正 系列设计举例
5.1频率特性及频率特性法
对线性系统输入正弦信号，其输出的稳态响应 称为系统的频率响应。 设施加的正弦输入信号为 r (t ) Am sint Am 则频率响应为 Css (s) H (s) R(s) H (s) 2 s 2
2
5.2.5由对称性获得特性曲线
• 基本环节中的微分环节、一阶微分环节、 二阶微分环节分别与积分环节、惯性环节、 二阶振荡环节具有关于横轴对称的特性 。
微分环节伯德图 一阶微分环节伯德图 二阶微分环节伯德图
5.2.6时滞环节
时滞环节增益为 G( s) e 频率特性函数为
s
G( j) e
5.1.2基本概念
频率特性法是通过系统开环的频率特性图像 来对系统性能指标进行分析以及对系统加以 综合、校正的方法。它避免求解闭环极点， 其图形化方式具有极强的直观性。 频率特性法使得可以通过实验所确定的系统 频率响应来推断未知系统的传递函数。而且 设计者可以控制系统的带宽，以及控制系统 对不期望噪声和扰动响应的某些指标。 频率特性法的不足在于频域和时域之间缺乏 直接联系，需要靠各种设计准则来调整频率 响应特性以达到满意的暂态响应。
伯德图
• 伯德图(又称为频率特性的对数坐标图) :伯 德图将幅频特性和相频特性分别绘制。 • 幅频特性坐标横轴取信号角频率的对数 lg标定，但标写的数值为值。纵轴以分 贝为单位等分标定，其值为20lgA()dB 。 • 相频特性横轴和幅频特性相对应，纵轴为 φ()的度数。 • 常采用折线方式来近似绘制 。
1 1 L( ) 20 lgT 20 lg 20 lg T T
惯性环节的伯德图（续1）
Bode Diagram
L(ω)
Magnitude (dB)
0
1/10T
1/T
10/T
-10
-20
-30
Φ(ω)
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 10
-2
10
-1
10
0
10
1
பைடு நூலகம்
比例环节伯德图
5.2.2惯性环节
1 惯性环节增益为 G(s) Ts 1 1 对数幅频 L( ) 20 lg 20 lg 1 (T ) 2 1 (T ) 2 特性：
1 当 (T )2 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T
5.1.1频率响应
H ( j) A()e j ()
拉氏反变换后为 1 j ( ) 1 1 j ( ) Am A( ) e e j2 s j s j 1 j[t ( )] j[t ( )] Am A( ) e e j2 Am A() sin[t ()]
1 1 Am H (s) Am H (s) s j s j s j s j s j s j
1 H ( j ) H ( j ) Am j 2 s j s j
10(s 3) G(s) 1 1 2 1 s s 1 s s 1 2 2 2
解：将G(s)变换成典型环节之积形式有
1 1 1 1 G( s) 10 3 s 1 1 1 2 1 3 s 比例 s 1 s s 1 一阶微分积 2 2 2
20lgK=29.5db，存在积分环节，故在w=1处 做29.5db点，过该点做-20dB/dec斜率直线L1
10
2
Frequency (rad/sec)
5.2.3积分环节
1 积分环节增益为 G(s) s
频率特性函数为
1 1 G( j ) e j
j
2
积分环节伯德图
5.2.4二阶振荡环节
二阶振荡环节增益为
1 G( s) 2 2 T s 2Ts 1 频率特性函数为 1 G ( j ) 1 (T ) 2 j 2T
伯德图研究系统频率响应的优点
• 动态补偿器的设计可以完全以伯德图为 依据。 • 伯德图可以由实验的方法获得。 • 串联系统的伯德图可简单相加而得，这 非常方便。 • 对数尺度允许伯德图表示相当广的频率 范围，而线性尺度很难做到。
5.2基本环节的频率特性分析
5.2.1比例环节 比例环节的增益为G(s)=K 频率特性函数为G(j)=K
A( ) 1
j
( )
时滞环节伯德图
5.2.7开环传递函数伯德图的绘制
• 绘制幅值曲线图步骤：
1. 将所有转折频率点求出，并按从小到大排 序（即将G(s)写成典型环节乘积形式）。 2. 确定20lgK及首段斜率：看sn项，斜率为 n×20db/dec。
3. 依据转折频率位置及环节斜率依次画出幅 频特性图。 注意：典型形式要写成时间常数形式。
伯德图的绘制（续）
• 绘制相位曲线图步骤：
–
–
画相位曲线在低频段的渐近线，为n×90°。
画近似相位曲线，在每个转折频率处改变 ±90°（一阶）或±180°（二阶）。 确定各单个相位曲线的渐进线，使得相位的 改变与上步骤一致，画每个相位曲线草图。 在图上把每个相位曲线相加。
–
–
伯德图的绘制举例
• 例5.1已知系统开环传递函数，绘制伯德图。
A( ) 1 [1 (T ) 2 ]2 (2T ) 2
2T ( ) arctan 1 (T ) 2
二阶振荡环节伯德图
1 当 (T ) 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T 1 2 L( ) 20 lg(T ) T 1 40 lg 40 lg T
主要内容
• • • • • • 频率特性及频率特性法的基本概念 基本环节的频率特性分析 频率特性指标 开环频率特性的系统分析 控制系统的频率法校正 系列设计举例
5.1频率特性及频率特性法
对线性系统输入正弦信号，其输出的稳态响应 称为系统的频率响应。 设施加的正弦输入信号为 r (t ) Am sint Am 则频率响应为 Css (s) H (s) R(s) H (s) 2 s 2
2
5.2.5由对称性获得特性曲线
• 基本环节中的微分环节、一阶微分环节、 二阶微分环节分别与积分环节、惯性环节、 二阶振荡环节具有关于横轴对称的特性 。
微分环节伯德图 一阶微分环节伯德图 二阶微分环节伯德图
5.2.6时滞环节
时滞环节增益为 G( s) e 频率特性函数为
s
G( j) e
5.1.2基本概念
频率特性法是通过系统开环的频率特性图像 来对系统性能指标进行分析以及对系统加以 综合、校正的方法。它避免求解闭环极点， 其图形化方式具有极强的直观性。 频率特性法使得可以通过实验所确定的系统 频率响应来推断未知系统的传递函数。而且 设计者可以控制系统的带宽，以及控制系统 对不期望噪声和扰动响应的某些指标。 频率特性法的不足在于频域和时域之间缺乏 直接联系，需要靠各种设计准则来调整频率 响应特性以达到满意的暂态响应。
伯德图
• 伯德图(又称为频率特性的对数坐标图) :伯 德图将幅频特性和相频特性分别绘制。 • 幅频特性坐标横轴取信号角频率的对数 lg标定，但标写的数值为值。纵轴以分 贝为单位等分标定，其值为20lgA()dB 。 • 相频特性横轴和幅频特性相对应，纵轴为 φ()的度数。 • 常采用折线方式来近似绘制 。
1 1 L( ) 20 lgT 20 lg 20 lg T T
惯性环节的伯德图（续1）
Bode Diagram
L(ω)
Magnitude (dB)
0
1/10T
1/T
10/T
-10
-20
-30
Φ(ω)
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 10
-2
10
-1
10
0
10
1
பைடு நூலகம்
比例环节伯德图
5.2.2惯性环节
1 惯性环节增益为 G(s) Ts 1 1 对数幅频 L( ) 20 lg 20 lg 1 (T ) 2 1 (T ) 2 特性：
1 当 (T )2 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T
5.1.1频率响应
H ( j) A()e j ()
拉氏反变换后为 1 j ( ) 1 1 j ( ) Am A( ) e e j2 s j s j 1 j[t ( )] j[t ( )] Am A( ) e e j2 Am A() sin[t ()]
1 1 Am H (s) Am H (s) s j s j s j s j s j s j
1 H ( j ) H ( j ) Am j 2 s j s j
10(s 3) G(s) 1 1 2 1 s s 1 s s 1 2 2 2
解：将G(s)变换成典型环节之积形式有
1 1 1 1 G( s) 10 3 s 1 1 1 2 1 3 s 比例 s 1 s s 1 一阶微分积 2 2 2