系统函数与频率响应特性

s
s
s2
−1 1 2 +1 s ss
于是得到
1 +1 s
V1 ( s)
Δ2 = 1
0
−1 0 s
−1 s
1 s
=
−
s2
+ 2s s2
+1 V1 ( s)
2 +1 s
206
故得转移导纳
I2 (s)
=
Δ2 Δ
=
−
s2 + 2s +1 s2 + 5s + 2 V1(s)
Y21 ( s)
=
I2 (s) V1 ( s )
（5-9）
系统函数分母多项式 A(s) = 0 的根称为系统函数的极点（pole），而系统函数分子多项式 B(s) = 0
的根称为系统函数的零点（zero），极点使系统函数变为无限大，而零点使系统函数变为零。
A(s) 和 B(s) 都可以分解成线性因子的乘积，即
H (s) = B(s) = bm (s − z1)(s − z2 ) A(s) an (s − p1)(s − p2 )
（5-3）
式中，B(s) 和 A(s) 分别是 H (s) 的分子多项式和分母多项式。为了书写方便起见，一般省略Yzs (s) 中的下标，即
H (s) = Y (s) X (s)
（5-4）
在零状态条件下，元件的 s 域模型中，描述动态元件（L、C）起始状态的电压源或电流源
将不存在，这时网络的 s 域模型与原电路形式相同，按照网络的 s 域模型，运用电路分析的方 法，可直接求得系统函数 H (s) ，而不必列写该系统的微分方程。例如在例 4 - 16 中的 RL 电路，
系统的特性。
5．1．3 系统函数的求法
由上述讨论可知，系统函数可以由零状态下系统的微分方程经过拉氏变换求得，或由系统 冲激响应的拉氏变换求得。对于具体的电路，系统函数还可以用零状态下的 s 域模型（实际上
205
它与原电路图形式相同，只是把 x(t) 、 y(t) ，改为 X (s) 、 Y (s) 即可）应用电路的分析方法求
h(t) = L −1 [H (s)]
（5-6）
或
L[h(t)] = H (s)
（5-7）
上式说明，系统函数 H (s) 是冲激响应 h(t) 的拉氏变换，也就是说， H (s) 与 h(t) 之间是一对拉
氏变换。这样，在求冲激响应 h(t) 时，只需取 H (s) 的逆变换即可获得，这一步常常是较为简
-
(a)
+
X (s)
-
R1
+
R2 1
sC2
(b)
Y (s)
-
图 5 –3 例 5- 3 的电路
1
Z1(s) =
R1 sC1
R1
+
1 sC1
=
1
C1 ( s
+
1 R1C1
)
则求得其网络函数
Z2(s) =
R2
1 sC2
R2
+
1 sC2
=
1
C2
(s
+
1 R2C2
)
H (s) = Y (s) =
Z2 (s)
（5-2）
我们将零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比称为系统函数(system function）或网 络函数(network function)，记为 H(s)，即
H
(s)
=
Yzs (s) X (s)
=
bm s m an s n
+ bm−1sm−1 + + an−1sn−1 +
b1s + b0 = B(s) a1s + a0 A(s)
1F 1F +
V1(s)
I1 (s)
-
1 Ω I2(s)
1Ω
−
1 s
I1
(s)
+
1 s
I
2
(s
)
+
(
2 s
+
1)
I3
(s)
=
0
⎪ ⎪⎭
为求得
Y21
(s)
=
I2 (s) V1 ( s)
，分别求出
图 5 –2 例 5- 2 的电路
1 +1 1 −1
s
s
Δ = 1 1 + 2 1 = s2 + 5s + 2
5．1．2 系统函数 H (s) 与冲激响应 h(t) 的关系
引入系统函数概念以后，根据式(5 - 4)，零状态响应的拉氏变换可以写成
Yzs (s) = H (s) X (s)
（5-5）
我们知道，系统的激励为单位冲激函数 δ (t) 时，其零状态响应称为冲激响应 h(t) 。此时 X (s) = L[δ (t)] = 1，故由式(5 - 6)可得系统的冲激响应
Y21 ( s)
=
I2 V1
(s) (s)
设各回路电流 I1(s) 、 I2 (s) 和 I3 (s) 如
1Ω
图 5—2 所示。列写各回路电压方程如下
(
1 s
+
1)
I1
(
s
)
+
I
2
(
s)
−
1 s
I
3
(
s)
=
V1
(
s)
⎫ ⎪ ⎪
I1
(
s)
+
(
1 s
+
2)
I
2
(
s)
+
1 s
I
3
(s)
=
0
⎪ ⎬ ⎪
I3 (s)
jω
例如某系统的系统函数为
H (s) =
s2 (s + 3)
=
s2 (s + 3)
j
(s +1)(s2 + 4s + 5) (s +1)(s + 2 + j1)(s + 2 − j1)
那么，它的零点位于
⎧ ⎨ ⎩
z1 = z2 = z3 = −3
0
(二阶) (一阶 )
-3 -2 -1
σ
-j
而其极点位于
因子以及标量系数
H0
=
bm an
三部分所确定的。
应该注意，系统函数可能有多重零点或多重极点。
把系统函数的零点与极点表示在 s 平面上的图形，叫做系统函数的零、极点分布图，或简
称为系统函数的零极点图（zero-pole plot）。其中零点用“ ”表示，极点用“× ”表示。若为
n 阶零点或极点，则在零点或极点旁注以（n）。
其系统函数为
1
H (s)
=
I (s) X (s)
=
R
1 + sL
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=
s
L +R
L
（5-5）
在网络分析中，由于激励与响应既可以是电压，也可能是电流，因此网络函数可以是阻抗
204
（电压比电流），或为导纳（电流比电压），也可以是数值比（电流比或电压比）。此外，若激
励与响应是同一端口，则网络函数叫做“策动点函数(driving function)”或“驱动点函数”，如 图 5 – l（a）中的 Vi (s) 与 Ii (s) ；若激励与响应不在同一端口，就叫做“转移函数(transfer function)”或“传输函数”，如图 5 – 1（b）中的Vi (s) [或 Ii (s) ]与Vj (s) [或 I j (s) ]。显然，策动
5.1 系统函数与冲激响应
5．1．1 系统函数酌定义
设系统的 n 阶微分方程为
an y(n) (t) + an−1 y(n−1) (t) + a1 y(1) (t) + a0 y(t) =
bm x(m) (t) + bm−1x(m−1) (t) + + b1x(1) (t) + b0 x(t)
（5-1）
=
−
s2 s2
+ 2s +1 + 5s + 2
例 5 – 3 图 5 – 3（a）是常用的分压电路（也称为衰减器），若以电容 C2 上的电压为输 出，试求其冲激响应。
解
画出图 5 – 3（a）的 s 域模型（零状态）如图 5 – 3（b）所示。如令
C1
1 sC1
+
x(t)
-
R1
+
R2 C2 y(t)
图 5 – 4 H (s) 的零、极点分布图示例
208
⎧ ⎪ ⎨
p1 p2
= =
−1 −2
+
j1
⎪ ⎩
p3
=
−2
−
j1
(一阶) (一阶) (一阶)
该系统函数的零、极点如图 5 - 4 所示。
由式（5 - 9）或式（5-10）可以看出，系统函数一般有 n 个有限的极点和 m 个有限的零点。
如果 n > m ，则当 s
m
∏ (s − zm ) ∏ (s − pn )
=
H0
(s − zj )
j =1
n
(s − pi )
i =1
（5-10）
这里 z1, z2 , , zm 是系统函数的零点， p1, p2 , , pn 是系统函数的极点。 (s − z j ) 称为零点因子
（ j = 1, 2, , m ），而 (s − pi ) 称为极点因子（ i = 1, 2, , n ），所以系统函数是由零点因子、极点
=
(s2
1 + 3s
+ 2)
2）应用 2．3 节的方法，先求得系统的冲激响应 h(t) = (e−t − e−2t )u(t)
则
H (s) = L[h(t)] = 1 − 1 = 1
s +1 s + 2 s2 + 3s + 2
可见，这两种方法求得的 H (s) 是一样的。
例5–2 解
求图
5
-
2
所示电路的转移导纳函数
得。下面分别举例说明。
例 5 – 1 已知系统的微分方程为：
d2 y(t) + 3 dy(t) + 2 y(t) = x(t)
dt 2
dt
求系统函数 H (s) 。
解
1）将给定系统的微分方程在零状态下两边取拉氏变换，得
(s2 + 3s + 2)Y (s) = X (s)
则
H (s)
=
Y (s) X (s)
第 5 章 系统函数与频率响应特性
前几章，我们分别从时域、频域、复频域（s 域）就信号与线性时不变系统的基本特性进 行了分析，其目的是为了探求信号经系统传输与处理的基本规律，解决各种激励信号施加于系 统后其响应的一般问题。本章我们将引进系统函数的概念，可将这种研究进—步深入。通过本 章的学习，将使我们对系统分析的问题有更深入的理解，也为今后学习系统综合、设计打下基 础。
若系统的各起始状态为零，即 y(k) (0− ) = 0 ，且激励信号 x(t) 为因果信号，即 x(k) (0− ) = 0 ，
对上式两边取拉氏变换可求出系统的零状态响应的拉氏变换
Yzs (s)
=
bm s m an s n
+ bm−1sm−1 + + an−1sn−1 +
+ b1s + b0 X (s) + a1s + a0
因此许多仪器、设备中常用它作为分压电路。
5．2 零、极点分布与时域响应特性
5.2.1 零点与极点的概念
线性系统的系统函数，是以多项式之比的形式出现的，即
H
(s)
=
bm s m an s n
+ bm−1sm−1 + + an−1sn−1 +
+ b1s + b 0 = B(s) + a1s + a 0 A(s)
分子和分母幂次的高低，可以有若干零点在无穷远处，或者若干极点在无穷远处。
5.2.2 零、极点分布与时域响应特性
设系统函数具有以下形式
=
C1 ( s
+
1 R1C1
)
=
X (s)
Z1(s) + Z2 (s)
(C1
+
C2
)s
+
1 R1
+
1 R2
C1 + R2C2 − R1C1 ⋅ 1 C1 + C2 R1R2 (C1 + C2 )2 s + α
式中α = R1 + R2 ，则冲激响应为： R1R2 (C1 + C2 )
h(t) = C1 δ (t) + R2C2 − R1C1 ⋅ e−αtu(t)
→∞时，函数值
lim
s→∞
H
(s)
=
lim
s→∞
bm s m an s n
= 0 ，所以 H (s) 在无穷远处有一（ n − m ）
阶零点。如果 n < m ，则当
s
→∞时，函数值
lim
s→∞
H
(
s
)
=
lim
s→∞
bm an
sm sn
为无穷大，所以 H (s) 在无穷
远处有一（ m − n ）阶的极点。总起来说，系统函数极点和零点的数目应该相等。但根据函数
条件下，对于任何输入信号 x(t) ，图 5 – 3（a）电路的零状态响应为
y(t) = h(t) * x(t) = R2 δ (t) ∗ x(t) = R2 x(t)
R1 + R2
R1 + R2
即该网络的输出信号 y(t) 与输入信号 x(t) 波形相同，而为输入信号的 R2 倍，不产生失真。 R1 + R2
便的。
对式(5-6)两边取拉氏逆变换，并利用时域卷积定理，得 yzs (s) = L −1 [Yzs (s)] = L −1 [H (s) X (s)] = L −1 [H (s)]∗ L −1 [ X (s)] =
h(t) * x(t)
（5-8）
这正是 2.4 节中所得出的结论：系统的零状态响应是冲激响应 h(t) 与激励信号 x(t) 的卷积积分。 这一重要结论在 s 域的对应关系是：零状态响应的拉氏变换Yzs (s) 等于系统函数 H (s) 与激励信 号的拉氏变换 X (s) 的乘积。换句话说， h(t) 和 H (s) 分别从时域和复频域两个方面表征了同一
C1 + C2
R1R2 (C1 + C2 )2
若适当选择元件值，使 R1C1 = R2C2 ，则
H (s) = C1 = R2 C1 + C2 R1 + R2
207
h(t) = C1 δ (t) = R2 δ (t)
C1 + C2
R1 + R2
这时网络函数 H (s) 是常数，电路的冲激响应是冲激函数。由卷积定理可知，在 R1C1 = R2C2 的
点函数只可能是阻抗和导纳；而转移函数可以是阻抗、导纳或比值。例如式(5 - 5)，它是策动 点导纳函数。在一般的系统分析中，对于这些名称往往不加区分，统称为系统函数或网络函数。
Ii (s)
Ii (s)
Vi (s)
系统
Vi (s)
系统
I j (s)
Vj (s)
（a）
（b）
图 5 –1 策动点函数与转移函数