数学史第八讲：19世纪的代数

第八讲 19世纪的代数
代数学的新生
代数 方程与根
数系扩张
突破传统 行列式与矩阵
布尔代数
代数数论
代数方程根式解
1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理
P(x) a(x - r1)(x - r2 )(x - rn )
高斯，数学家、物理学家和天文学家 1795年进入哥廷根大学 正17边形尺规作图法（1796） 数论、代数、非欧几何、复变函数和
这个青年人的数学思想已经远远超越了挪威国界，阿贝尔的教授们和朋友们 说服学校当局向政府申请一笔公费，以便他能作一次到欧洲大陆的数学旅行。阿 贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历时两年的大陆之行。
踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文（鉴于经费原因， 他把内容压缩在了6页上），把它作为自己晋谒大陆大数学家们，特别是高斯的 科学护照。他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见。高斯见后说： “太疯狂了，居然这么几页纸就解决了数学界的世界难题？！”由于这种不屑， 他直接把这本册子扔进了书堆，甚至人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他 的小册子还没有裁开。
阿贝尔雕像
阿贝尔的塑像 (挪威, 1983)
自16世纪以来，随着三次、 四次方程陆续解出，人们把目 光落在五次方程的求根公式上， 然而近300年的探索一无所获， 阿贝尔证明了一般五次方程不 存在求根公式，解决了这个世 纪难题。
在挪威皇宫有一尊阿贝尔
的雕像，这是一个大无畏的青 年的形象，他的脚下踩着两个 怪物——分别代表五次方程和 椭圆函数。
1825.5到柏林，五次方程论文发表于克 雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文
1826.7到巴黎，论文提交法国科学院 1827.5回到奥斯陆 1841年椭圆函数论论文发表
阿贝尔
1908年维格兰(挪, 18691943)雕塑的阿贝尔塑像
主要贡献和研究成果
●椭圆函数论 ●阿贝尔积分理论 ●阿贝尔定理 ●阿贝尔群 ●阿贝尔判别法
鲁菲尼 拉格朗日
1824年阿贝尔(挪,wk.baidu.com1802-1829)定理
阿贝尔
1829－1831年伽罗瓦(法, 1811-1832)理论
伽罗瓦
代数方程根式解
阿贝尔（挪，1802－1829）贡献：方程 论、无穷级数和椭圆函数论
16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、 高斯的著作
1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824 年，证明了一般五次方程根式解的不可 能性
青年时代
1821年，由于霍姆伯和另几位好友的慷慨资助，阿贝尔才得以进入奥斯陆 大学学习。两年以后，在一本不出名的杂志上他发表了第一篇研究论文，其内容 是用积分方程解古典的等时线问题。这篇论文表明他是第一个直接应用并解出积 分方程的人。接着他研究一般五次方程问题。开始，他曾错误地认为自己得到了 一个解。霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学家去审阅，幸亏审阅者在打算认 真检查以前，要求提供进一步的细节，这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误。 这次失败给了他非常有益的启发，他开始怀疑，一般五次方程究竟是否可解？问 题的转换开拓了新的探索方向，他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式 解一般五次方程是不可能的。
微分几何等方面做出了开创性的贡献 近代数学奠基者之一，“数学王子” “宁可少些，但要好些。”
高斯(联邦德国, 1955)
代数方程根式解
高斯和正十七边形 (民主德国, 1977)
代数方程根式解
高斯墓
代数方程根式解
1770年拉格朗日(法, 1736-1813)《关于代数方程解的思考》：预解式 1799年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理
阿贝尔奖(2003- )
1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设立阿 贝尔奖。
挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币2.73亿 元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年 之际设立阿贝尔奖, 从2003年起每年颁发一次。
阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰出贡献 的数学家，奖金额为600万挪威克朗，约达80万 美元，相当于诺贝尔奖的奖金，是世界上奖金最 高的数学奖。
人物生平 尼耳期·亨利克·阿贝尔（N.H.Abel， 1802－1829）1802年8月出生于挪威西南城 市斯塔万格附近的芬岛的一个农村。他很早 便显示了数学方面的才华。 16岁那年，他遇到了一个能赏识其才能 的老师霍姆伯（Holmboe）介绍他阅读牛顿、 欧拉、拉格朗日、高斯的著作。大师们不同 凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿 贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的 境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿 阵地。 后来他感慨、地在笔记中写下这样的话： “要想在数学上取得进展，就应该阅读大师 的而不是他们的门徒的著作”。
阿贝尔一生最重要的工作——关于椭圆函数理论的广泛研究 就完成在这一时期。相反，过去横遭冷遇，历经艰难，长期得不 到公正评价的，也就是这一工作。现在公认，在被称为“函数论 世纪”的19世纪的前半叶，阿贝尔的工作[后来还有雅可比 （K.G.Jacobi，1804－1851）发展了这一理论]，是函数论的两 个最高成果之一。
柏林是阿贝尔旅行的第一站。他在那里滞留了将近一年时间。虽 然等候高斯召见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、 成果最丰硕的时期。在柏林，阿贝尔遇到并熟识了他的第二个伯 乐——克雷勒（Crelle）。克雷勒是一个铁路工程师，一个热心 数学的业余爱好者，他以自己所创办的世界上最早专门发表创造 性数学研究论文的期刊《纯粹和应用数学杂志》而在数学史上占 有一席之地，后来人们习惯称这本期刊为“克雷勒杂志”。与该 刊的名称所标榜的宗旨不同，实际上它上面根本没有应用教学的 论文，所以有人又戏称它为“纯粹非应用数学杂志”。阿贝尔是 促成克雷勒将办刊拟议付诸实施的一个人。初次见面，两个人就 彼此留下了良好而深刻的印象。阿贝尔说他拜读过克雷勒的所有 数学论文，并且说他发现在这些论文中有一些错误。克雷勒非常 地谦虚，他已经意识到眼前这位脸带稚气的年轻人具有非凡的数 学天才。他翻阅了阿贝尔赠送的论五次方程的小册子，坦率地承 认看不懂。但此时他已决定立即实行拟议中的办刊计划，并将阿 贝尔的论文载入第一期。于是阿贝尔的研究论文，克雷勒杂志才 能逐渐提高声誉和扩大影响。
第二年6月，又以企图暗杀国王的罪名被捕。由于警方没有证据，不久即被 释放。7月，被反动王朝视为危险分子的伽罗瓦再次被抓。他在狱中曾遭暗 枪射击，幸未击中。
1832年4月伽罗瓦被释放出狱。1832年5月29日，才出狱后一个月的年轻气 盛的伽罗瓦为了所谓的“爱情与荣誉”打算和一个军官决斗。我们先来了解 一下当时的历史。 为名誉而决斗，对于19世纪前的欧洲人来说，是一件再普 通不过的事情。在法国和俄罗斯这样决斗成风的国家，男人们可以因为任何 一个微不足道的原因就拔剑相向。 但事实上，决斗并不是骑士和贵族的专利， 也不仅仅是争夺爱情和捍卫名誉的危险游戏。 他知道对手的枪法很好，自己获胜的希望很小，很可能会死去。他问自己， 如何度过这最后的夜晚？为了证明自己数学理论的价值，他先写了绝笔信。
获得认可
但阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的 数学界渐渐了解了他。继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写 过若干篇类似的论文，都在“克雷勒杂志”上发表了。这些论文 将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他已成为众所瞩 目的优秀数学家之一。遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此 情况竟无所知。甚至连他想在自己的国家谋一个普通的大学教职 也不可得。1829年1月，阿贝尔的病情恶化，他开始大口吐血， 并不时陷入昏迷。他的最后日子是在一家英国人的家里度过的。 因为他的未婚妻凯姆普（Kemp）是那个家庭的私人教师。阿贝 尔已自知将不久于人世，这时，他唯一牵挂的是他女友凯姆普的 前途，为此，他写信给最亲近的朋友基尔豪(Kiel-hau)，要求基 尔豪在他死后娶凯姆普为妻。尽管基尔豪与凯姆普以前从未觌面， 为了让阿贝尔能死而瞑目，他们照他的遗愿做了。临终的几天， 凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔，他要“独占这最后的时 刻”。1829年4月6日晨，这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。 阿贝尔死后两天，克雷勒的一封信寄到，告知柏林大学已决定聘 请他担任数学教授。损失是难以估计的，如果阿贝尔活到应得的 寿命，他又将要做出多少新的贡献啊！
伽罗华的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗华童年时代就表现 出有才能、认真、热心等良好的品格。1823年l0月伽罗华年满12岁时，离开了 双亲，考入有名的路易·勒·格兰皇家中学。从他的老师们保存的有关他在中学生 活的回忆录和笔记中，记载着伽罗华是位具有“杰出的才干”，“举止不凡”， 但又“为人乖僻、古怪、过分多嘴”性格的人。
1830年3月，法国的“七月革命”推翻了复辟的波旁王朝，随后又出现了 “七月王朝”。伽罗瓦思想上倾向于共和主义，在学校里反对学校的苛刻校 规，带领同学翻墙上街参加革命，抨击校长在七月事变中的两面行为，以至 于1830年12月被开除。
1831年伽罗瓦第三次将论文送交法国科学院。泊松院士看了之后在论文上批 道：“完全不能理解”。泊松的不公正评价，使他受到很大打击。
17岁那年就发表了第一篇论文，关于五次方程的代数解法的论文，论文中 首次引入“群”的概念。他把论文寄给经由柯西，请他交给法国科学院审查。 柯西对此根本不屑一顾，把这个中学生的文章给弄丢了。同年，他两次投考巴 黎综合工科学校，都因思想激进被拒绝录取，只好进入高等师范学校学习。
1830年2月伽罗瓦再次将他的研究成果写成一篇详细的论文，寄给科学院秘 书傅立叶，希望能得到数学大奖，不料当年5月傅立叶病死，伽罗瓦的文稿再 次丢失。
不受重视
1826年7月，阿贝尔抵达巴黎。他见到了那里所有出名的数学家， 他们全都彬彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他 谈论自己的工作。在这些社会名流的高贵天平上，这个外表腼腆、 衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少份量呢？阿贝尔 在写给霍姆伯谈巴黎观感的信中说道：“法国人对陌生的来访者 比德国人要世故得多。你想和他们亲密无间简直是难上加难，老 实说我现在也根本不奢望能有些荣耀。到头来，任何一个开拓者 要想在此间引起重视，都得遇到巨大的障碍。尽管阿贝尔非常自 信，但对这一工作能否得到合理评价已经深有疑虑了。他通过正 常渠道将论文提交法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引 言，然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，究 竟放在什么地方，竟记不起来了。直到两年以后阿贝尔已经去世， 失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年 之久。
从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了 将近一年。他寄居的那家房东又特别吝啬刻薄，每天只供给他两 顿饭，却收取昂贵的租金。一天他感到身体很不舒畅，经医生检 查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交 瘁了。阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的 心告别巴黎回国。当他重到柏林时，已经囊空如洗。幸亏霍姆伯 及时汇到一些钱，才使他能在柏林稍事休整后返回家园
在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、 雅可比（德，1804－1851年）的著作
1829年进入巴黎高等师范学校
1829－1831年提交法国科学院的数学 奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松
1831年1月被校方开除，两次入狱，死 于为“爱情与荣誉”的决斗
1846年论文发表
伽罗瓦(法,1811-1832) (法国, 1984)
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
2003年塞尔(法, 1926- )关于 代数拓扑、代数几何获奖
2019年3月19日​，挪威科 学与文学院宣布，将 2019年度阿贝尔奖授予 美国数学家卡伦·乌伦贝 克，以表彰她在现代几何 分析等领域的成就。
乌伦贝克是第一位获得这 项国际性数学大奖的女性 数学家
伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这 一经历了300年问题的彻底解决，及尺 规作图中“三等分任意角”问题和“倍 立方”问题不可能
埃瓦里斯特·伽罗华
1811年10月25日，伽罗华 出生于法国巴黎郊区拉赖因堡 伽罗华街的第54号房屋内。
现在这所房屋的正面有 一块纪念牌，上面写着：“法 国著名数学家埃瓦里斯特·伽 罗华生于此，卒年21岁， 1811～1832年”。
纪念牌是小镇的居民为了 对全世界学者迄今公认的、曾 有特殊功绩的、卓越的数学 家——伽罗华表示敬意，于 1909年6月设置的。