期权定价的数值方法

第八章：期权定价的数值方法

教学目标：

1、了解二叉树期权定价模型并且熟悉二叉树模型的基本方法；

2、理解蒙特卡罗模拟的基本过程；

3、熟悉蒙特卡罗模拟的技术的实现。

教学重点：

1、二叉树模型的基本方法；

2、蒙特卡罗模拟。

教学难点：

1、蒙特卡罗模拟。

课时建议：3课时

教学主要内容：

8.1二叉树期权定价模型

把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t∆，并假设在每一个时间间隔t∆内证券价格只有两种运动的可能：

1.从开始的S上升到原先的u倍，即到达Su；

2.降到原先的d倍，即Sd

其中u>1,d<1.假设价格上升的概率为p，则价格

下降的概率为1-p,相应的期权的价值也会有所不

同，分别为f u和f d

二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值

运动来模拟连续的资产价格运动

8.1.1二叉树模型的基本方法

二叉树模型可分为以下几种方法

一）单步二叉树模型

1.无套利定价法

2.风险中性定价法

3.风险中性定价法

（二）证券价格的树型结构 4.证券价格的树型结构

（三）倒推定价法 5. 倒推定价法

二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程

无套利定价法：

构造投资组合包括∆份股票多头和1份看涨期权空头当Su u Sd fd

∆-=∆-则组合为无风险

组合。此时：

u d

f f

Su Sd

-∆=

-

因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得

()r t

u

S f Su f e-∆∆-=∆-

将

u d

f f

Su Sd

-

∆=

-代入上式就可得到：

()

1

r t

u d

f e pf p f

-∆

=+-

⎡⎤

⎣⎦

S

其中，d

u d

e p t r --=∆

1.风险中性定价法 在风险中性世界里：

（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；

（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：Sd p pSu Se

t

r )1(-+=∆

d p pu

e t r )1(-+=∆

假设证券价格遵循几何布朗运动，则：

2

2

2

2

2

2

2

2

])1([)1(d p pu S d S p u pS t S -+--+=∆σ []2222)1()1(d p pu d p pu t -+--+=∆σ

再设定：

1

u d =

（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox 、Ross 和Rubinstein

所用的条件）

由以上三式可得，当t ∆很小时：d

u d e p t r --=∆，t

e

u ∆=σ

，t

e

d ∆-=σ

从而，

()1r t u d f e pf p f -∆=+-⎡⎤⎣⎦

以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。

2.证劵价格的树形结构

Su 2

4

S

24

在t i ∆时刻，证券价格有i+1种可能，它们可用符号表示为：j

i j

d

Su -,j=0.1 i

注意：由于

1u d =

，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 3.推到定价法

得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T 时刻开始往回倒推，为期权定价。

如果是欧式期权，可通过将时T 刻的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险利率r 贴现求出每一结点上的期权价值； 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有t ∆时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。 4.二叉树方法的一般定价过程

假设把该期权有效期划分成N 个长度为t ∆的小区间，同时用j

i j

d Su -表示结点（i,j ）处的

证券价格可得：

max(,0)

j N j N j f X Su d -=-，，其中j=0.1 N

假定期权不被提前执行，t ∆后，则：

1,11,[(1)]

r t ij i j i j f e pf p f -∆+++=+-

（表示在时间i t ∆时第j 个结点处的美式看跌期权的价值） 若有提前执行的可能性，则：

1,11,max{,[(1)]}

j i j r t ij i j i j f X Su d e pf p f --∆+++=-+-

8.1.2构造树图的其他方法和思路 1.三叉树图

每一个时间间隔t ∆内证券价格只有三种运动的可能：

1.从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；

2.保持不变，仍为S

3.降到原先的d 倍，即Sd 一些相关参数：

u e σ

=

2126d p r q σ⎫=--+

⎪⎭

2126u p r q σ⎫=

--+

⎪⎭

23m p =

2.控制方差技术

基本原理：期权A 和期权B 的性质相似，我们可以得到期权B 的解析定价公式，而只能得到期权A 的数值方法解

S 3

2

Su S Sd 3

21

d u

=