第二型曲面积分演示文稿

y,z
),
R(
x,
y,z
)表示流
体的流速场，∑为场中的一片定向曲面，欲求单位时
间内流体由曲面负侧经曲面∑流向正侧的流量。
①分割 把曲面Σ细分成小块S1, S2,, Sn . 任取
任取一典型的微元 Sk , 在其上 任取一点 Mk ( xk , yk , zk ) Sk ,
Sk
z nk Ak
Mk ( xk , yk , zk )
则
dS
= n0dS
= cos( n, x ),cos( n, y ),cos( n,z )dS
= dydz, dzdx, dxdy,
这时第二型曲面积分(1.2)也可写成
A(x,
y.z)dS
=
A(x,
y,
z)
n 0 dS
= [P( x, y, z)cos(n, x) Q( x, y, z)cos(n, y)
则 A 在单位时间流经曲面∑的通量为
=
A
dS
=
A
n 0
dS
= [ P( x,y ,z )cos( n, x ) Q( x,y ,z )cos( n, y )
S
R( x,y ,z )cos( n,z )]dS
= P( x,y ,z )cos( n, x )dS Q( x,y ,z )cos( n, y )dS
第二型曲面积分演示文稿
优选第二型曲面积分
一、第二型曲面积分的概念和性质
1 定向曲面
能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面. 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
典型双侧曲面
n
1 定向曲面
选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面.
用∑表示选定了某个侧的定向曲面，
选定“+”号或“—”号确定 例1 在球坐标系下单位球面表示为
x = sincos , y = sin sin , z = cos
( 0 , 0 2 ) ,
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2 第二型曲面积分的概念
实例: 流向曲面一侧的流量.
设
A(x,
y, z)
=
P(
x,
y,z
),
Q(
x,
n前
= {1,
x , y
x } z
n后 = { 1,
x , y
x } z
1 定向曲面
光滑曲面由参数方程：
x=x(u, v) , y=y (u, v), z=z (u, v).
则它的侧由法向量： n = { (y,z) , ( z , x ) , ( x , y ) } (u,v) (u,v) (u,v)
S
S
R( x,y ,z )cos( n,z )dS
S
2 第二型曲面积分的概念
定义 2: 设∑是一片光滑的定向曲面，向量函数
A = A( x, y,z
在∑上有界，
)n=0
=P(nx0 (,
y,z ),Q( x, y,z ), R( x, y,z )
x , y,z )是∑上点(x,y,z)处的
单位向量，若曲面积分
设点其面M处积k 的也单记位成法向S量k , 曲n面0 (MΣ在k )
S
•
= cos( n, x ),cos( n, y ),cos( n,z )
o
y
x
2 第二型曲面积分的概念
看故做单一位k 细时= 柱A间(体流M，经k )底曲 n面0面( M为微k元)SkS，Sk k,高的为流量A(nMk k)可 n近0 (似M地k ),
S 取上侧，则它在点(x, y, z(x,y))处的法向量取
n = { z , z , 1}
n
关于oz
x y 轴的方向余弦
cos =
1
0
1 ( z )2 ( z )2
即n与oz
x 轴正向交成锐角
y
1 定向曲面
若光滑曲面 S 的方程为：z = z( x, y) ,
S 取下侧，则它在点(x, y, z(x,y))处的法向量取
n = { z , z , 1}
n
关于oz
x y
轴的方向余弦
cos =
1
0
1 ( z )2 ( z )2
即n与oz
x
轴正向交角为钝角
y
1 定向曲面
光滑曲面y=y(x,z)的右侧和左侧的法向量分别为：
n右
= { y x
,
1,
y } z
n左
= { y , x
1,
y } z
光滑曲面x=x(y,z)的前侧和后侧的法向量分别为：
S
R( x, y, z)cos(n, z)]dS
= P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
S
第二型曲面积分又称为对坐标的曲面积分。
2 第二型曲面积分的概念
曲面积分
P( x, y, z)dydz =[P( x, y, z)cos(n, x)dS
则选定其相反侧的定向曲面用∑－表示.
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑n
∑－
n
1 定向曲面
规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总 是指向曲面取定的侧.
例如，空间直角坐标系中 x轴指向前方， y轴指向右方， z轴指向上方。
z
O
y
x
1 定向曲面
若光滑曲面 S 的方程为：z = z( x, y) ,
S
S
Q( x, y, z)dzdx =[Q( x, y, z)cos(n, y)dS
S
S
R( x, y, z)dxdy =[R( x, y, z)cos(n, z)dS
S
S
都是第二型曲面积分。例如： P( x, y, z)dydz可理
S
解为 A( x, y, z) = P( x, y, z),0,0 沿∑的第二型曲
A(x,
y,
z)
n 0 dS
=
A(x,
y.z)dS
(1.2)
存在，则称此积分为
A(x,
y,
z)
沿曲面∑的第二
型积分。其中dS 称为定向曲面积分微元，
dydz = cos(n, x)dS, 若记 dzdx = cos(n, y)dS,
dxdy = cos(n, z)dS
2 第二型曲面积分的概念
记
dS
=
n 0 dSபைடு நூலகம்
=
cos(
n,
x
),cos(
n,
y
),cos(
n,z
) dS
= cos( n, x )dS ,cos( n, y )dS ,cos( n, z )dS
当 A 是电位移向量，则 就是穿过曲面∑的电通量， 当 A是磁感应强度，则 就是穿过曲面∑的磁通量.
2 第二型曲面积分的概念
② 求和 单位时间流经Σ
的流量：
n
A(M k
) n0 (M k
)Sk
k =1
A
n 0
A
③ 取极限
M
S 0 ，取极限得到
dS
流量 的精确值
S
2 第二型曲面积分的概念
定义1: 设 A = A( x, y,z )是一向量场，∑是场
中的一定向曲面，称
=
A
n 0
dS
为向量场 A流经曲面∑的通量.