数学分析试题库--证明题

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数学分析有答案的套题

七章实数的完备性判断题：1. 1. 设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬⎪+⎝⎭⎩⎭ 为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖. 2. 2. 有限点集没有聚点.3. 3. 设S 为闭区间 [],a b , 若,x S ∈则x 必为S 的聚点.4. 4. 若lim nn a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.5. 5. 非空有界点集必有聚点.6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃= , 则闭区间套定理成立. 8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值.答案: √√√√×××√√√ 证明题1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ∀∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤.2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ∀∈, 有()f x M ≤(其中M 是常数), 则 ,c M ∃≤ 使 lim ()x b f x c-→=.3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ∉, 则存在数列1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: 函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔函数()f x 在开区间(,)a b 连续, 且(0)f a +与(0)f b -都存在.5.设{}n x 为单调数列,证明: 若{}n x 存在聚点,则必是唯一的, 且为{}n x 的确界.6. 证明:sin ()xf x x =在()0,+∞上一致连续.7. 证明: {}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.8. 设()f x 在[],a b 上连续, 又有{}[],n x a b ⊂, 使 lim ()n n f x A →∞=. 证明: 存在[]0,x a b ∈, 使得 0()f x A =.答案1.证明: 设sup ,inf .A a B b == 用反证法. 假设 s u pi n f A B > 即 ,b a <有2a b b a +<<, 一方面, sup ,2a b a A +<= 则存在 00,;2a b x A x +∈<另一方面,inf ,2a b b B +=< 则00,2a by B y +∃∈<. 于是, 00,x A y B ∃∈∈有002a b y x +<<, 与已知条件矛盾, 即 sup inf A B ≤.2. 证明: 已知数集{}()(,)f x x a b ∈有上界, 则其存在上确界, 设{}sup ()(,)f x x a b c M ∈=≤由上确界的定义, 00,(,)x a b ε∀>∃∈, 使得 0(),c f x c ε-<≤00,:b xx b x b δδ∃=->∀-<<; 或 0:,x x x b ∀<<有 0()()c f x f x c ε-<≤≤ 或 ()f x c ε-<. 即 l i m ()x b f x c -→=.3. 证明: 已知 sup E a =, 由确界定义, 111,x E ε=∃∈, 有 11a x a ε-<<2121min ,0,2a x x E ε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 12x x < , 并且22a x a ε-<<3231min ,0,3a x x Eε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 23x x <, 并且33a x a ε-<<于是, 得到数列{}1,,,n n n n x x E x x n N +∈<∀∈. 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: ⇒ 已知 ()f x 在(,)a b 一致连续,即12120,0,,(,):x x a b x x εδδ∀>∃>∀∈-<, 有 12()()f x f x ε-< 显然 ()f x 在(,)a b 连续, 且 120,0,,(,)x x a b εδ∀>∃>∀∈1122()a x a x x a x a δδδ<<+⎧-<⎨<<+⎩, 有 12()()f x f x ε-<.根据柯西收敛准则,函数()f x 在a 存在右极限(0).f a +同理可证函数()f x 在b 存在左极限(0)f b -.⇐已知(0)f a +与(0)f b -存在, 将函数()f x 在a 作右连续开拓, 在b 作左连续开拓, 于是函数()f x 在闭区间[],a b 连续, 从而一致连续, 当然在(,)a b 也一致连续. 5. 证明: 不妨设{}n x 递增.(1) 先证若{}n x 存在聚点必唯一. 假定,ξη都是{}n x 的聚点, 且ξη<. 取02ηξε-=, 由η是{}n x 聚点, 必存在0(,).n x U ηε∈又因{}n x 递增, 故n N ≥时恒有002n N x x ξηηεξε+≥>-==+于是, 在0(,)U ξε中至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ是{}n x 的聚点相矛盾. 因此{}n x 的聚点存在时必唯一.(2) 再证{}n x 上确界存在且等于聚点ξ. ()a ξ为{}n x 上界. 如果某个N x ξ>, 则 n N ≥时恒有n x ξ>, 取00,N x εξ=-> 则在0(,)U x ξ内至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.()b 对0,ε∀>由聚点定义, 必存在N x 使N x ξεξε-<<+. 由定义{}sup n x ξ=.6. 6. 证明: 令10,()sin (0,)x F x xx x =⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩由于 00sin lim ()lim 1(0)x x x F x F x ++→→===, 而 (0,)x ∈+∞时sin ()xF x x =, 所以 ()F x 在[)0,+∞上连续, 又因lim ()0x F x →+∞=存在, 所以 ()F x 在[)0,+∞上一致连续,从而在(0,)+∞上也一致连续, 即 ()f x 在(0,)+∞上一致连续. 7. 7. 证明: ⇒ 设{}n x 为有界数列, 则{}n x 的任一子列{}kn x 也有界, 由致密性定理知{}kn x 必存在其收敛子列{}k jn x .⇐ 设 {}n x 的任一子列都存在其收敛子列. 若{}n x 无界, 则对1M =, 必存在正整数1n 使得11n x >; 对2,M =存在正整数21,n n >使得22;;n x > 一般地,对M k =, 存在正整数1,k k n n ->使得k n x k >. 于是得到{}n x 的子列{}k n x , 它满足lim k n k x →∞=∞, 从而{}kn x 的任一子列{}k jn x 必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.8. 8. 证: 因{}[],n x a b ⊂为有界数列, 故{}n x 必有收敛子列{}kn x ,设lim k n k x x →∞=,由于{}[],kn x a b ⊂,故 []0,x a b ∈. 一方面, 由于()f x 在0x 连续有0l i m ()(),x x f x f x →=再由归结原则有0lim ()lim ()()k n k x x f x f x f x →∞→==; 另一方面, 由lim ()n n f x A→∞= 及{}()kn f x 是{}()nf x 的子列有lim ()lim ()k n n k n f x f x A→∞→∞==因此 0().f x A =第八章不定积分填空题1. ()()_________x ex dx ϕϕ'=⎰.2. 若函数()F x 与()G x 是同一个连续函数的原函数, 则()F x 与()G x 之间有关系式_______________.3. 若()f x '=且3(1)2f π= , 则 ()__________.f x = 4. 若()cos f x dx x C =-+⎰, 则()()___________.n f x =5.(ln )________.f x dx x '=⎰6. 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--，则作变换___________计算(sin ,cos )R x x dx ⎰.7.[1()]()__________n x x dx ϕϕ'+=⎰.()n N +∈8.3415(1)_________x x dx -=⎰9.若()(0)f x x x =>, 则 2()___________f x dx '=⎰.10. 过点(1,)4π斜率为211x +的曲线方程为___________.答案:1. ()x eC ϕ+. 2. ()()F x G x C =+ (C 为任意常数). 3. arcsin x π+. 4. sin()2n x π+. 5.(ln )f x C +. 6. tan t x =.7. 11[1()]1n x C n ϕ++++. 8. 4161(1)64x C --+. 9. 1ln 2x x C++10. arctan y x =判断题:1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.2. 2. ()()df x dx f x dx =⎰3. 3. 若函数()f x 存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.4. 4. 设()F x 是()f x 在区间I 上的原函数,则()F x 在区间I 上一定连续.5. 5. 函数()f x 的不定积分是它的一个原函数.6. 6. 21(1)x x x +-的有理函数分解式为: 22221(1)1(1)x A Bx C Dx Ex x xx x +++=++--- 7. 7.()()d d f x d f x =⎰8. 8. 若函数()f x 在区间I 上连续, 则它在区间I 上必存在原函数.9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若()f x dx x C =+⎰, 则(1)f x dx x C -=+⎰答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：1．下列等式中（）是正确的.()().()()xx A f x dx f x Bf edx f e C ''==+⎰⎰221..(1)(1)2C f dx f C D xf x dx f x C ''=+-=--+⎰⎰2．若()f x 满足()sin 2,f x dx x C =+⎰则()(f x '= ） .4s i n 2.2c o s 2.4s i n 2.2A x B x C x Dx-- 3．若21()(0),f x x x '=>则()f x =（）.2.l n A x CB x CxCC ++++4．设函数()f x 在[,]a b 上的某个原函数为零，则在[,]a b 上（） A ．()f x 的原函数恒等于零. B. ()f x 的不定积分等于零.C. ()f x 不恒等于零但其导数恒等于零.D. ()f x 恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )221.2.(ln 1)1x x A xe dx de B dx d x x ==++21.a r c t a n .c o s 2s i n 21C x d x d D x d xd x x ==+6. 22()()xf x f x dx '=⎰( )2222221111.().().().()2244A f x CB f x CC f x CD f x C++++.7. 若()f x dx x C =+⎰, 则 (1)f x dx -=⎰ ( )21.1......(1)2A x C B x C C x C D x C -+-++-+ 8. 函数cos (0)ax a ≠的一个原函数是 ( )111.s i n .s i n .s i n .s i n A x B a xC a xD a xa a a-9. 若()21xf x dx x C =+++⎰, 则()f x =( )2111.2..2ln 2 1..21.21ln 22x x x x A x x B C D ++++++10. 下列分部积分中对u 和v '选择正确的有 ( )22.cos ,cos ,.(1)ln ,1,ln A x xdx u x v x B x xdx u x v x''==+=+=⎰⎰.,,.a r c s i n ,1,a r cx xC xe dx u x v eD xdx u v x --''====⎰⎰答案：1—10 DCCDADCBBC计算题:1.ln(x dx+⎰2. x ⎰3. dx4.44cos 2sin cos xdx x x +⎰5.ln tan cos sin x dxx x ⎰6. 7.221(1)(1)x dxx x ++-⎰. 8. 11sin cos dxx x ++⎰9. 2(1)xx xe dx e +⎰.10.2答案:1. 1. 原式=ln(x x dx+-⎰21ln(2x x =-ln(x x C =+.2. 2.原式21122x =221124x =21arctan 2x C=3. =(sin cos )2cos 2sin 2222x x x xdx C=+=-++⎰4. 4422222cos 2cos 2sin cos (sin cos )2sin cos x xdx dx x xx x x x =++-⎰⎰ 22cos 2sin 2(2)2sin 22sin 2x d xd x x x ==--⎰⎰C=+5. ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan xxdx d x xd x x xx ==⎰⎰⎰2(ln tan )2x C =+.6. 2sin 2(2cos 1)cos 21cos 2cos 2x t tt dt dtt t =-=+=⎰⎰tan 2t t C =-+arcsin x C=+7. 2221111[]2(1)2(1)(1)(1)(1)x dx dx x x x x x +=+--++-+⎰⎰111ln 1ln 1221x x Cx =-+++++211ln 121x Cx =-+++.8.tan222121sin cos 211111x u dxdu x xu u uu u =⋅++-+++++=⎰⎰ln 1ln 1tan 12du xu C C u =++=+++⎰.9.21(1)111x x x x x xe x dx dx xd e e e e ⎛⎫=-=-+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1)111x x x x xx e dx x e C e e e ---=-+=--+++++⎰.10.sin 22221cos 2sin 2x a uua udu a du =-==⎰⎰⎰22sin 2()arcsin 222a u a x u C C a =-+=+.第九章定积分一、一、选择题（每题2分） 1、若()⎰=+122dx k x ，则=k （）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）212、若()x f 是奇函数，且在[]a a ,-上可积，则下列等式成立的有（）（A ）()()⎰⎰-=aa adxx f dx x f 02 （B ）()()⎰⎰--=aaadxx f dx x f 02（C ）()⎰-=a adx x f 0（D ）()()⎰-=a aa f dx x f 23、设()x f 在[]b a ,上连续，则下面式子中成立的有（）（A ）()()x f dt t f dx d x a =⎰ （B ）()()x f dx x f dx d ba=⎰（C ）()()⎰+=C x f dx x f dx d（D ）()()x f dx x f ='⎰4、设()x f 为连续函数，()()⎰-=104dxx f x x f ，则()⎰10dx x f =（）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）25、函数()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的（）（A ）（A ）必要条件（B ）充要条件（C ）充分条件（D ）无关条件 6、()x f 在[]b a ,上连续，()()⎰=xa dt t f x F ，则正确的是（）（A ）()x F 是()x f 在[]b a ,上的一个原函数；（B ）()x f 是()x F 在[]b a ,上的一个原函数；（C ）()x F 是()x f 在[]b a ,上唯一的原函数；（D ）()x f 是()x F 在[]b a ,上唯一的原函数 7、⎰e edxx 1ln =（）（A ）0 （B ）2e-2 （C ）e 22-（D ）e e 222-+8、已知()()21210-=⎰x f dt t f x，且()10=f ，则()=x f （）（A ）2xe （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 2219、下列关系中正确的有（）（A ）dxe dx e x x ⎰⎰≤1102（B ）dxe dx e x x ⎰⎰≥112（C ）dxe dx e x x⎰⎰=112（D ）以上都不正确10、⎰=ba xdx dx d arcsin （）（A ）a b arcsin arcsin -（B ）211x -（C ）x arcsin （D ）011、设410I xdxπ=⎰，4230,sin I I xdxπ==⎰，则（）；（A ）123I I I >> （B ）213I I I >> （C ）312I I I >>（D ）132I I I >>12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（）；（A ）1201x dx x +⎰ （B）10⎰ （C）e （D ）210x e dx ⎰13、设()f x 为连续函数，则积分()ba I f x t dx=+⎰（）（A ）与,,t a b 有关（B ）与,t x 有关（C ）与,,x b t 有关（D ）仅与x 有关 14、()2x af t dt '=⎰（）（A ）()()1222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （C ）()()22f x f a -⎡⎤⎣⎦ （D ）()()12f x f a -⎡⎤⎣⎦15、下列积分中，使用换元积分正确的是（）（A ）1arcsin 1sin dt t x t π=+⎰令（B）10sin x t =⎰令（C）10tan x t=⎰令（D ）12111dx x xt -=+⎰令答案：ACACC ACCBD BAAAC 二、二、填空题（每题2分）1、已知⎰=Φxdtt x 02)sin()(，则=Φ')(x .；2、比较大小：⎰20πxdx⎰2s i n πx d x.3、⎰-++1142251sin dx x x xx = ；4、函数()x f 在区间[]1,2-上连续且平均值为4，则()⎰-12dxx f = ； 5、设()x f 为连续函数，则()()[]=⋅+-+⎰-dx x x x f x f 322 ；6、522cos xdx ππ-=⎰；7、()12ln 1xd t dt dx +=⎰ ；8、(211x dx -+=⎰；9、设()f x 为连续函数，且()()12,f x x f t dt =+⎰则()f x = ；10、设0a ≠，若()0120ax x dx -=⎰，则a = ；11、已知()2302xf t dt x =⎰，则()1f x dx =⎰ ；12、=⎰ ；答案：1、()2sin x 2、≥>or 3、0 4、12 5、564 6、1615 7、()2ln 1x -+ 8、2 9、1x - 10、34 11、3 12、4π三、计算题（每题5分）1、dx x x ⎰-22101解：令t x sin =，则tdt dx cos =，tx 2010π→→ dx x x ⎰-22101=⎰2022cos sin πtdt t=()⎰⎰-=202024cos 1812sin 41ππdt t tdt=16024sin 4181ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t2、⎰2sin πxdxx 20cos xd xπ=-⎰=⎰+-20cos 02cos ππxdxx x=102sin =πx 3、dxx x x ⎰+-20232=()()⎰⎰⎰-+-=-2121111dxx x dx x x dx x x=12325201523223252523⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x =()22154+4、⎰-2121dx x x解：令tdt t dx t x tan sec ,sec ==，3021π→→t x⎰-2121dx x x =⎰302tan πtdt =()d t t ⎰-3021sec π=()3303tan ππ-=-t t5、()dx xx 21124⎰--+=()⎰--+-+11222442dxx x x x=()d xx x ⎰-+-112442=⎰-=1184dx6、⎰⋅202cos πxdx e x=⎰202sin πx d e x=⎰⋅-⋅20222sin 02sin ππdx e x x e x x=⎰⎰-+=+2022022cos 402cos 2cos 2πππππxdxe x e e x d e e x x x=2-πe则 ⎰⋅202c o s πx d x e x =()251-πe7、⎰-⋅ππxdxx sin 4解： x x sin 4⋅为奇函数，且积分区间[]ππ,-关于原点对称sin 4=⋅∴⎰-ππxdx x8、⎰+402cos 1πdx x x=⎰⎰=4402tan 21cos 2ππx xd dx x x=⎰-40tan 2104tan 21ππxdx x x =04cos ln 218ππx + =2ln 41822ln 218-=+ππ9、()⎰-+11221x dx = ()⎰+102212x dx解：令tdt dx t x 2sec ,tan ==，4010π→→t x ()⎰-+11221x dx =⎰402cos 2πtdt=()⎰+402cos 1πdt t =042sin 21π⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t =214+π10、⎰+301arcsindx x x解：令x x t +=1arcsin，t x 2tan =，则tdt t dx 2sec tan 2=，3030π→→t x ⎰+301arcsin dx x x =⎰302tan πt td =⎰-3022tan 03tan ππtdt t t=()d t t ⎰--3021sec ππ=()03tan ππt t -- 334)33(-=--=πππ11、⎰+133221x x dx解：令t x 1=,则dt t dx 21-=,13133→→tx⎰+133221x x dx =⎰+⋅-132221111t t dt t=⎰+3121t tdt=221312-=+t12、dxx ee⎰1ln =dxx e⎰-11)ln (+dxx e ⎰1ln=()()1ln 11ln e x x x e x x x -+-- … =e 22-13、⎰--1145x xdx解：令x t 45-=，则()2541t x -=，tdtdx 21-=，1311→→-t x ⎰--1145x x d x =()dt t ⎰-312581 =13315813⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =61 14、0xdx=20arctan 1xdx x x +=1ln 1ln 2323x -+=- 15、20π⎰20cos 2x dx π20c o s c o s 22x x dx dx πππ⎫=-⎪⎭⎰⎰ =2sin sin 022x x πππ⎫-=⎪⎭五、证明题（每题5分）1、 1、证明：若f 在[],a b 上可积，F 在[],a b 上连续，且除有限个点外有()()F x f x '=，则有()()()baf x dx F b F a =-⎰证：设除[]()()12,,,n x x x a b F x f x '∈= 外，即()()[]{}12,,\,,n F x f x x a b x x x '=∀∈ 可设 0121n n x a x x x b x +=≤<<<≤= 在[]1,i i x x +上应用N-L 公式知:()()()()()()()110i innbx i i ax i i f x dx f x dx F x F x F b F a ++====-=-∑∑⎰⎰2、 2、证明：若T T '是增加若干个分点后所得到的分割，则iiiiT Tx xωω'''∆≤∆∑∑证：由性质2知 ()()()(),S T S T s T s T ''≤≥。

数学分析证明题练习

数学分析证明题练习1. 证明题一题目证明：两个实数的和与积的大小关系。

解答设两个实数为$a$和$b$，其中$a\geq b$。

证明两个实数的和大于等于它们的积，即$a+b \geq ab$。

根据已知条件，我们有：$$a \geq b \quad \text{(1)}$$$$ab \geq b^2 \quad \text{(2)}$$根据(1)式，两边同时加上$b$，得：$$a+b \geq b+b$$化简得：$$a+b \geq 2b \quad \text{(3)}$$根据(2)式，两边同时加上$b^2$，得：$$ab+b^2 \geq b^2+b^2$$化简得：$$ab+b^2 \geq 2b^2 \quad \text{(4)}$$由于$a \geq b$，所以$(3)$式和$(4)$式成立，即：$$a+b \geq 2b$$$$ab+b^2 \geq 2b^2$$将上述两个不等式相加，得：$$(a+b) + (ab+b^2) \geq 2b + 2b^2$$化简得：$$a+b+ab+b^2 \geq 2b+2b^2$$再次化简得：$$a+b+ab+b^2 \geq 2(b+b^2)$$由于$(a+b)$和$(ab+b^2)$皆大于等于$2(b+b^2)$，所以可以得出结论：$$a+b \geq ab$$综上所述，两个实数的和大于等于它们的积。

2. 证明题二题目证明：若$f(x)$为可导函数，并且$f'(a) > 0$，则在点$a$的某个邻域内，$f(x)$严格单调递增。

解答根据函数可导的定义，我们有：$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$由于$f'(a) > 0$，则存在一个正实数$k$，使得$0 < k < f'(a)$。

根据上述条件，我们可以找到一个正实数$\delta$，使得对于所有满足$0 < |x-a| < \delta$的$x$，有：$$\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right| < k$$根据定义，上式可以化简为：$$-\delta < \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a) < \delta$$移项得：$$-\delta(x-a) < f(x)-f(a)-f'(a)(x-a) < \delta(x-a)$$再次移项得：$$f(a)+f'(a)(x-a)-\delta(x-a) < f(x) < f(a)+f'(a)(x-a)+\delta(x-a)$$ 化简得：$$f(a)+[f'(a)-\delta](x-a) < f(x) < f(a)+[f'(a)+\delta](x-a)$$由于$f'(a)-\delta > 0$，所以函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内严格单调递增。

200655104449848数学分析试卷和答案

盐城师院考试(查)试卷系班级姓名学号课程名称数学分析一、判断题（每小题2分，共10分）1、若数集S 的确界存在，则其确界有可能不属于S 。

（）2、若函数()f x 在(,)a b 上连续，则函数()f x 在(,)a b 上必定有界。

（）3、在实数系中，有界的单调数列必有极限。

（）4、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则函数()f x 在[,]a b 上连续。

（）5、无穷积分1sin pxdx x +∞⎰，当01p <<时，是绝对收敛的。

（）二、填空题（每空2分，共12分）1、n ＝。

2、若1()1f x x=+，则(())f f x ＝。

3、函数3()f x x x =-的单调增区间为，单调减区间为。

4、1⎰＝。

5、曲线3y x =在(1,1)P 处的切线方程为。

三、解答题（共62分） 1、计算。

（40分）（1）201cos lim x xx→- （2）10lim(12)x x x →+（3）已知cos ln ,y x x =求|x y π='。

（4）已知()ln(f x x =求()f x '。

（5）221cos sin dx x x ⎰ （6）22dxa x +⎰（7） 22sin cos t tdt π⎰（8）21ln ex xdx ⎰（9）0lim ln x x x +→ （10）20cos lim x x t dt x→⎰2、讨论（8分）（1）级数1(0)n nxx ->∑的敛散性。

（2）函数项级数2sin (0)nxx n>∑的一致收敛性。

3、求函数arctan y x =的幂级数展开式。

（6分）4、求由抛物线2y x =与直线230x y --=所围平面图形的面积。

（8分）四、证明题（16分）1、证明对一切1,0h h >-≠成立不等式ln(1)1hh h h<+<+ （8分）2、设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,f a b a b ⊂证明：存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x = （8分）《数学分析》参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共10分） 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 二、填空题（每空2分，共12分） 1、12 2、12x x ++ 3、,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，⎡⎢⎣ 4、2π5 、32y x =- 三、解答题（共62分）1、（40分）解（1）2200sin1cos 112lim lim ()222x x xx x →→-== （2）1122200lim(12)lim(12)xxx x x x e ⋅→→+=+=（3）因为1(cos )ln cos (ln )sin ln cos y x x x x x x x x '''=+=-+，所以 1|x y ππ='=- （4）()f x x ''==。

数学分析例题

一、极限论例证明 1lim 0a n n →∞=，其中a>0为常数.例设{nS }为例所得的数列，即证明222321lim 36n n n n →∞-+=.例证明lim 0(1)n n q q →∞=<.例求224n 1lim 256n n n →∞++-.例求lim ,其中a -11n n n a a →∞≠+.例求lim n →∞-.例 n n 设a 0（n=1，2）,lim a =a.证明lim 为常数).n n a →∞→∞≥K例证明lim 1(0)n a →∞=>.例求lim n →∞.例设123n a a a a ====L 求lim n n a →∞.例证明极限1lim (1)n n n→∞+存在.例若2sin 1sin 2sin 222n nn a =+++L ，则数列{n a }收敛.例证明x 1lim =0x →∞.例证明（1）x lim arctan 2x π→+∞=（2）x lim arctan 2x π→-∞=-例证明2x 11lim 21x x →-=-.例证明2x 2lim 12x x →=+.例证明00x lim 0).x x →=>例证明（1）00x lim sin sin x x x →=（2）00x lim cos cos x x x →=.例求极限01lim x x →-.例求极限01lim .x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦例求证0lim 1(0).x x a a →=>例 0tan lim x x x →例 201cos lim x x x →-例 lim 2sin 2n n n π→∞例求312cos lim sin()3x xx ππ→--例 3lim ()1x x x x →∞++例 2lim (1)x x x→∞-例 cot 0lim (1tan )x x x →-例求211lim (1)n n n n →∞+-例求极限20sin 3lim 4x x x x→+例求极限30tan sin lim sin x x x x →-例考查函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处的连续性.例 x=0是1siny x =的第二类间断点.例 2x π=是tan y x =的第二类间断点.例2ln(2)3arctan x x x x +-例lim x →例根据初等函数的连续性与复合函数连续性，有（1）0ln(1)lim x x x →+（2）0lim x →（3）lim x →∞例求211lim (1)n n n n →∞+-例证明方程32410x x -+=在区间（0，1）内至少有一个根.一致连续性例例例书上49页.实数的连续性、上下极限书上51页.补充：部分例子仍在书中，看书为准.二、一元函数微分学例求函数2()2f x x =+在点x=1处的导数.例设21sin ,0(),求'()0,0x x f x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩.例证明函数()在点x=0处不可导.f x x =例设x ，x 0()1-cos x ，x>0f x ⎧≤=⎨⎩,确定函数f(x)在点x=0处的可导性.例求等边双曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程和法线方程.例求导(1)3()4cos ln sin f x x x x π=+-+ (2)(sin cos )x y e x x =+例证明(1)22(tan )'sec ,(cot )'csc x x x x ==(2)(sec )'sec tan ,(csc )'csc cot x x x x x x ==-例证明x （a ）'=a ln (0,0)，特别地(e )'=e .x x x a a a >≠例证明：（1）11(arcsin )',(arccos )'x x ==-（2）2211(arctan )',(arccot )'11x x x x ==-++例求导数（1）2sin y x =（2）22ln 1xy x =+例求导数（1）y =（2）ln sin y x =例求导数（1）21tan y x= （2）sin 3y x =（3）ln(y x =+4）221arcsin (0)1xy x x-=>+例求导（1）221x y x =-（2）(sin )x y x =例求椭圆cos (02)sin x a t t y b tπ⎧=≤≤⎨=⎩所确定的参数变量函数的导数，并求出该椭圆在4t π=的对应点处的切线方程。

数学分析试题

测试题第一章实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称：（1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下：（1）()x e x f =；（2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

)数学分析专题研究模拟试题及参考答案

数学分析专题研究模拟试题及参考答案一、单项选择题1．A ，B ，C 是三个集合，C B A ⊂，则有（）成立。

A. 若A x ∈，则B x ∈B. 若A x ∈，则C x ∈C. 若A x ∈，则C B x ∈D. 若C B x ∈，则A x ∈答案：D2．设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（）A. 双射B. 既非单射也非满射C.单射而非满射D. 满射而非单射答案：B3．下列数集（）不是可列集.A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．实数集答案：D4．已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（）.A ．连续B ．间断C ．有界D ．无界答案：A5．有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（）达到.A ．内部B ．外部C ．边界S ∂D ．可能是内部也可能在边界S ∂答案：C二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==，则________________=⨯A B . 答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 . 答案：等价关系3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A 是 .答案：无限集4．=ix e .答案：x i x sin cos +5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(，则ln(_____))(=x f . 答案：x +1三、计算题1．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .解：34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x故86)(2+-=x x x f2．求函数x x x f 1)(+=的极值. 解令 011)(2=-='x x f 解得 1±=x 312)(xx f ⋅=''，,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值； ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。

数学分析第四学期试题

试题(1卷)一．填空（每小题3分,共15分）1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出，且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则曲线L 在点0P 的切线方程为； 2.含参量积分⎰=)()(),()(x d x c dyy x f x F 的求导公式为=')(x F ;3。

Γ函数的表达式为 =Γ)(s ,0>s ；4。

二重积分的中值定理为：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在D ∈),(ηξ，使⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.当0),,(≥z y x f 时,曲面积分⎰⎰S dSz y x f ),,(的物理意义是：。

二.完成下列各题(每小题5分，共15分)1。

设5422222=-+-++z y x z y x ,求y z x z ∂∂∂∂,； 2。

设 ⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ∂∂∂∂, ；3. 求积分)0(ln 1>>-⎰a b dx x x x ab .三。

计算下列积分(每小题10分，共50分）1。

⎰L xyzds,其中L 为曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段；2.⎰+-Ly x xdxydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向；3．作适当变换计算⎰⎰-+D dxdyy x y x )sin()(，其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4。

⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22,其中V 是由x y z x x ====,0,2,1与y z =围成的区域;5.dSy xS)(22⎰⎰+,其中S 为圆锥面222z y x =+被平面1,0==z z 截取的部分。

四.应用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x S333++⎰⎰,其中S 为球面2222a z y x =++的外侧。

数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)

数列极限类 1. 证明: 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证因为11211122222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n又11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ,由迫敛原理得112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证由均值不等式得a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111,即{}n a 有下界. 又0212121=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =∞→lim .单调性的证明也可如下完成:11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2121. 3. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.证由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞→lim ,对n n x x +=+61两边取极限得0662=--⇒+=a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞→n n x .4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在且等于A .证由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞→lim ,再由()0lim =-∞→n n n a b 及A a n n =∞→lim 可得n n b ∞→lim 存在且等于A .5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +==>=>=++21,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞→∞→=lim lim .证因为()1121++=+≤=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+21211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.在()121+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .6. 设0>n a ,且1lim1<=+∞→q a a nn n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞→n n a .证因为1lim1<=+∞→q a a nn n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N qε,当0N n >时,有()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++111121212121, 所以,当0N n >时,有112210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞→n n a .闭区间上连续函数的性质7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根. 证令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ,使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.8. 证明方程12=⋅xx 至少有一个小于1的正根.(10分)证令()12-=xx x f ,则f 在[]1,0上连续且()()()011110<-=⋅-=⋅f f ,由闭区间上连续函数的零点存在定理,()1,0∈∃ξ，使得()12012=⋅⇒=-⋅=ξξξξξf .9. 设函数f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x .若f 在[)+∞,0上能取到负值,试证明:(1) [)+∞∈∃,00x ,使得()00=x f ; (2) f 在[)+∞,0上有负的最小值.证由条件可设[)+∞∈',0x 且()0<'x f ,由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得()021>>M f ,由根的存在性定理,得()[)+∞⊂'∈∃,0,0M x x ,使得()00=x f .(1)得证. (2) 由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得当M x ≥时,有()021>>x f .又f 在[]M .0上连续,故[]M ,0∈∃ξ,使得()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.而当[)+∞∈,M x 时,()021>>x f ,故对[)+∞∈∀,0x 有()≥x f ()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.所以结论成立.10. 设n 为正整数,n a a a 221,,, 为n 2个实常数,且02<n a .求证多项式函数()n n n n n a x a x a x x P 21212122++++=--在()+∞∞-,内至少有两个零点.证因为()0022<=n n a P ,又()()+∞=+∞=+∞→-∞→x P x P n x n x 22lim ,lim ,所以存在0>M ,使得()()0,022>>-M P M P n n ,又n P 2在[]0,M -和[]M ,0上都连续,由根的存在性定理,()0,1M -∈∃ξ和()M ,02∈∃ξ,使得()()02212==ξξn n P P ,所以,结论成立.11. 设()xt x x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛=,求()x f 的表达式,并指明()x f 的间断点及其类型.解: ()xx xx x t x x t xt xx t ex x t x t x f sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim sin sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛=-→-→,所以0=x 为第一类可去间断点;() ,2,1±±==k k x π为第二类无穷间断点.12. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈∃,使得()00x x f =.证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续,()()()()()()0<-⋅-=⋅b b f a a f b F a F .由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈∃,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈∃使得()00x x f =.13. 设()x f 是[]a 2,0上的连续函数,且满足条件()()a f f 20=.证明存在[]a x ,00∈,使得()()a x f x f +=00.证明: 令()()()a x f x f x F +-=,则()x F 在[]a ,0上连续,且()()()a f f F -=00,()()()()()()()02002=-=+⇒-=a f f a F F a f a f a F .若()()00==a F F ,则存在00=x 或a x =0使得()()a x f x f +=00.若()0F 与()a F 都不为零,则()()00<⋅a F F由连续函数的零点定理,必存在()a x ，00∈∃,使得()00=x F ,故()a x ,00∈∃使得()()a x f x f +=00.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14. 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x ,若存在()+∞∈,00x ,使得()00<x f ,求证:(1) ()+∞∈∃,0ξ使得()0=ξf ; (2) ()x f 在[)+∞,0上有负的最小值.证明: (1) 因为()1lim =+∞→x f x ,由函数的局部保不等式性,存在充分大的0>M (不妨设0x M >),使得M x >时,有()21>x f ,所以当M x >1时,()x f 在[]10,x x 上连续且()()010<⋅x f x f ,由连续函数的零点存在定理,存在[]()+∞⊂∈∃,0,10x x ξ使得()0=ξf .(2) 又()x f 在[]0,0x 上连续,故由最值定理,存在[]1,0x ∈η,使当[]1,0x x ∈时,()()ηf x f ≥,而()()00<≤x f f η,且[)+∞∈,1x x 时,()()ηf x f >>>021.所以()x f 在[)+∞,0上有负的最小值()ηf .15. 设()nx a x a x a x f n sin 2sin sin 21+++= ,若()x x f sin ≤,求证1221≤+++n na a a .证法1（用导数定义）因为 ()()n n na a a f nx na x a x a x f +++='⇒+++=' 212120cos 2cos 2cos . 又()()0000sin 0=⇒=≤f f ,所以()()()()1sin lim lim 00lim0000=≤=--='→→→xx x x f x f x f f x x x ,所以1221≤+++n na a a .证法2（用重要极限1）()1sin lim sin lim 2sin lim sin lim lim 0002010=≤+++=→→→→→xx x nxa x x a x x a x x f x x n x x x 所以1sin lim 2021=≤+++→xx na a a x n .导数与微分证明16. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 3x x xx x f 证明: ()x f 在0=x 处可微; ()x f '在0=x 处不可微证因为()()()01sin lim 00lim0200==--='→→xx x f x f f x x ,所以函数()x f 在处可导,由可导与可微的关系知()x f 在0=x 处可微;又当0≠x 时, ()xx x x x f 1cos 1sin32-=', 而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'-'→→x x x x f x f x x 1cos 1sin 3lim 00lim00极限不存在,故()x f '在0=x 处不可导, 由可导与可微的关系知()x f '在0=x 处不可微; 17. 设()0x f ''存在,证明: ()()()()0200002limx f hx f h x f h x f h ''=--++→ 证:()()()()()()()()()()()[]()0000000000020000)21lim 212lim 2limx f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h x f h x f h x f h h h ''=''+''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'=-'-+'=--++→→→ 18. 设()x f 为()+∞∞-,内的可导函数,周期为T .求证:()x f '也是以T 为周期的函数.证明:因为()()()()x f T x f x f T x f '=+'⇒=+,所以()x f '也是以T 为周期的函数. 中值定理的应用 19. 设01210=++++n a a a n ,证明多项式()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.证作辅助函数()12101121+++++=n n x a n x a x a x F ,则()x F 在闭区间[]1,0满足罗尔中值定理的三个条件,故存在()1,0∈ξ使得()010=+++='n n a a a F ξξξ ,故()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.20. 设g f ,都是可导函数,且()()x g x f '<',证明当a x >时,()()()()a g x g a f x f -<-证因为()()⇒'<'≤x g x f 0()x g 严格单调增.当a x >时, ()()a g x g >. 又由柯西中值定理得,存在()x a ,∈ξ使得()()()()()()()()()()()()()()()()a g x g a f x f g f a g x g a f x f g f a g x g a f x f -<-⇒<''=--⇒''=--1ξξξξ.21. 对任意的[)+∞∈,0x ,有()x x ≤+1ln ,且等号只在0=x 时成立.证明: 令()()(),001ln =⇒-+=f x x x f 存在()x ,0∈ξ,使得()()x f x f ξ'=,而()()001<⇒<+-='x f f ξξξ,当且仅当0=x 时()00=f ,所以结论成立.22. 设()x f 在[]a ,0上连续,在()a ,0内可导,且满足()()00==a f f ,求证:存在()a ,0∈ξ,使得()()02='+ξξξf f .提示:令()()x f x x F 2=,用罗尔中值定理可证.23. 设函数f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,连结点()()a f a A ,与点()()()b f b B ,的直线交曲线()x f y =于点()()c f c M ,,其中b c a <<.证明:存在()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf .证因为B M A ,,三点共线,所以()()()()()()cb c f b f a c a f c f a b a f b f --=--=--. 在[]c a ,及[]b c ,上分别应用中值定理得: 存在()c a ,1∈η,使()()()a c a f c f f --='1η;存在()b c ,2∈η,使()()()cb c f b f f --='2η,即()()21ηηf f '='.由于f 二阶可导,故函数f '在区间[]21,ηη上满足罗尔中值定理的条件,故()()b a ,,21⊂∈∃ηηξ,使得()0=''ξf .24. 设10<<<b a ,证明不等式:abab a b 2arctan arctan -<-. 提示:在[]b a ,上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设b a <<0,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.26. 设()1,0∈x ,证明不等式()x x x x 2arctan 1ln <++<. 证将要证的不等式变形为()2arctan 1ln 1<++<xxx ,令()()x x x f arctan 1ln ++=,则()()()x f x f ,1,0,00∈∀=在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,于是()(),01,0⊂∈∃x ξ使得()211110arctan 1ln ξξ+++=-++x x x , 又由x +11与211x +在[]1,0上的连续性与单调性可得11121,111212<+<<+<ξξ,所以 ()2arctan 1ln 1<++<xxx ,故要证的不等式成立.27. 已知()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数,且()()()00,00,00≠''≠'≠f f f ,证明:存在唯一的一组实数321,,λλλ,使当0→h 时,()()()()032321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）()()()()()()()()()()()()0942123924lim 23322lim032lim3213210321023210f h f h f h f h h f h f h f h f h f h f h f h h h ''++=''+''+'''+'+'=-++→→→λλλλλλλλλλλλ令()()009421321=''++f λλλ,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0940321321321321λλλλλλλλλ (2) 因为0941321111≠,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28. 设函数f 在),(+∞a 内可导,且()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在.证明()0lim ='+∞→x f x .证当a x >时,由条件知,函数f 在区间[]1,+x x 上连续可导,故()1,+∈∃x x ξ,使得()()()ξf x f x f '=-+1.因为()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在,所以()x f x '+∞→lim =()()()[]()()0lim 1lim 1lim lim =-+=-+='+∞→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ.29. 证明;当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >证令()x x x f tan =,则 ()xx xx x xx x x f 2222cos 2sin 21tan sec -=-='. 令()()⎪⎭⎫⎝⎛∈>-='⇒-=2,0,02cos 12sin 21πx x x g x x x g ,所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内单调增,则当0>x 时, ()()00=>g x g ,从而()0>'x f ,所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内单调增, 则当2021π<<<x x 时, ()()1212112212tan tan tan tan x x x x x x x x x f x f >⇒>⇒>.用单调性证明不等式30. 证明;当0>x 时, ()xx x +>+1arctan 1ln证令()()()x x x x f arctan 1ln 1-++=,()()()()2221211;111ln 1x xx x f x x x f +++=''+-++=',当0>x 时,()0>''x f ,所以()x f '在()+∞,0内单调增,故当0>x 时, ()()00='>'f x f 因而得()x f 在()+∞,0内单调增, 故当0>x 时, ()()()xxx f x f +>+⇒=>1arctan 1ln 00. 31. 设e x 31≤≤,证明不等式:()1ln ln 23ln 122≤-≤-x x .32. 设0>x ，证明不等式11≤--xe x。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1xZ ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明:(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,y Z ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤； (2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n 1k k0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求xk z h y g y f x e z d z c y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 m y y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。

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数学分析题库（1-22 章）五．证明题1．设 A， B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何a A, b B 有 a（2）对任何0 ，存在 x证明： sup A inf B.2. 设 A， B是非空数集，记S Ab ；A, y B ，使得B ，证明：Y x .（1）sup S max sup A, supB；（2）inf S min inf A,inf B3.按N 定义证明lim 5n2 n 2 5n 3n 2 2 34. 如何用ε -N 方法给出lim a n a 的正面陈述？并验证| n2 | 和 | ( 1)n | 是发散数列 .n5. 用方法验证：limx 2 x 23 . x( x 2 3x 2)x 16．用M 方法验证：lim x 1 .x x21 x 27 . 设lim ( x) a ，在 x0某邻域 U ( x 0 ;1 ) 内( x) a ，又 lim f ( t) A .证明x x0 t alim f ( ( x)) A .x x08. 设f (x)在点x0 的邻域内有定义 . 试证：若对任何满足下述条件的数列x n，（1）x n U ( x0 ) ， x n x0，（2）0 x n 1 x0 x n x0，都有 lim f ( x n ) A ，n则 lim f ( x) A .x x09.证明函数x3 , x为有理数，f (x)0, x为无理数在 x00 处连续，但是在x00 处不连续.10. 设f ( x)在（ 0，1）内有定义，且函数e x f (x) 与 e f ( x)在（0，1）内是递增的，试证 f (x) 在（ 0， 1）内连续 .11. 试证函数 y sin x 2 ，在 [0, ) 上是不一致连续的.12. 设函数 f (x) 在（a,b）内连续，且 lim f ( x) = lim f ( x) =0，证明 f ( x) 在（a,b）内有最x a x b大值或最小值 .13. 证明：若在有限区间（ a,b ）内单调有界函数 f (x) 是连续的，则此函数在（a,b ）内是一致连续的 .14 . 证明：若 f (x) 在点a处可导，f（x）在点a处可导.15. 设函数 f (x)在 (a,b) 内可导，在[a,b]上连续，且导函数 f (x) 严格递增，若f (a) f (b) 证明，对一切 x (a, b) 均有f (x) < f (a) f (b)16. 设函数 f ( x) 在 [a, ] 内可导，并且 f (a) < 0 ，试证：若当 x (a, ) 时，有f (x) > c > 0 则存在唯一的(a, ) 使得 f ( ) 0 ，又若把条件 f ( x) > c 减弱为f / (x) > 0(a < x <+ ) ，所述结论是否成立？17.证明不等式e x 1 x x2 ( x 0)218. 设f为( , ) 上的连续函数，对所有x, f (x) 0 ，且lim f (x) lim f ( x) 0 ，x x证明 f (x) 必能取到最大值.19. 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可导, 且 f (0) 0 ， f (1) 1， f (0) f (1) 0 ，则存在c (0,1) 使得 | f (c) | 2 .20.应用函数的单调性证明2xsin x x, x (0, );2m 1 0（ m 为实数），21. 设函数f ( x) x sin x , x0, x 0试问：（1） m 等于何值时， f 在 x 0 连续；（2） m 等于何值时， f 在 x 0 可导；（3） m 等于何值时， f 在 x0 连续；22. 设 f (x) 在 [0,1] 上具有二阶导数，且满足条件 f (x) a ， f (x) b ，其中 a, b 都是非负常数， c 是 (0,1) 内的任一点，证明f (c)2ab223. 设函数 f ( x)在[ a, b] 上连续，在（ a,b ）内二阶可导，则存在 (a, b) 使得f (b) 2 f (a b)f (a)(b a) 2 f ( )2424. 若 f (x) 在点 x 0 的某个领域上有 (n 1) 阶连续导函数 , 试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式 .25. 用泰勒公式证明 : 设函数 f (x) 在 a,b 上连续 , 在 a, b 内二阶可导 , 则存在( a, b) ,使得f (b)a b)(b a) 2f ' '( ) .2 f (f ( a)4226. 设函数 f ( x) 在 0,2 上二阶可导 , 且在 0,2 上 f (x) 1 , f ' ' (x) 1. 证明在 0,2 上成立f '' (x)2 .27. 设 f 是开区间 I 上的凸函数 , 则对任何 ,I , f 在 ,上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在 L>0 , 对任何 x ' , x ' ', ,成立f ( x ' ) f ( x) '' L x 'x ''.28. 设 f (x) 在 [ a, ] (a 0) 上满足 Lipschitz条件： | f (x) f ( y) | k | xy |, 证明f (x) 在 [ a, ] 上一致连续 .x29. 试证明方程 xnx n 1x 1在区间 ( 1,1) 内有唯一实根。

数学分析1考试题及答案

数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。

答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。

答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。

答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。

答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。

答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。

答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。

答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。

答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。

数学分析三试卷及答案

《数学分析》（三）――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.求函数11(,)f x y y x =在点（0,0）处的二次极限与二重极限。

解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。

……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在. ……（9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx.解：对两方程分别关于x 求偏导：， ……（4分）. 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。

……(9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续）。

解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……（4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。

整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分）4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解：设圆桶底面半径为r ,高为h ，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表，()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。

……(3分）构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

《数学分析》部分证明题

《数学分析》部分证明题⼀、证明题(18分) ⼗六章1、（10分）证明函数11sin sin 0,0(,)00,00,0x y x y y x f x y x y x y ?+≠≠?=??=≠≠=?当当或在原点的极限是0. 2、(8分)证明lim()x y x xy y →→++=222173、证明：f x y x y y x x y x y x y (,)sin sin ,,,,,=+≠≠=≠≠=110000000当当或在(0,0)的极限为零。

（10分） 4.设f(x,y) 在集合G ?R 2 上对x 连续,对y 满⾜利普希茨条件即f x y f x y L y y (,)(,)'-''≤'-''试证 f 在G 上处处连续⼗七章1、设,?ψ是任意的⼆阶可导函数,证明()()y y z x x xψ=+ 满⾜022222222=++y z y y x z xy x z x 2、（8分）设22()4x b a tz -=证明z t a z t=222 3、(10分)设sin (),sin sin z x F u u y x =+=- 证明sec xzx+secy z y =14.证明函数2222222,0;(,)0,0x yx y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.证明函数222222(0;(,)0,0,x y x y f x y x y ?++≠?=??+=?在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点偏导数不连续,⽽f 在(0,0)可微.6.证明:若⼆元函数f 在点00(,)P x y 的某邻域()U P 内的偏导函数x f 与y f 有界,则f 在()U P 内连续.7.证明:可微函数(,,)F x y z 为k 次齐次函数的充要条件是:(,,)(,,)(,,)(,,)x y z xF x y z yF x y z zF x y z kF x y z ++=8.设(,)f x y 可微,(,)(cos sin ,sin cos )g u v f u v u v θθθθ=-+,求证2222()()()()x y u v f f g g +=+9.设(,)f x y 可微,1l 与2l 是2R 上的⼀组线性⽆关向量.试证明:若(,)0(1,2)i l f x y i ≡=,则(,)f x y ≡常数.10.若(,)f x y 在区域D 上存在偏导数,且0x y f f =≡,则(,)f x y ≡常数.11.设,x y f f 和yx f 在点00(,)x y 的某领域内存在, yx f 在点00(,)x y 连续,证明00(,)xy f x y 也存在,且0000(,)(,)xy yx f x y f x y =.12. 设,x y f f 在点00(,)x y 的某领域内存在且在点00(,)x y 可微,则有0000(,)(,)x y y x f x y f x y =. 13.设f 在点000(,)P x y 可微,且在0P 给定了n 个向量(1,2,,)i l i n = ,相邻两个向量之间的夹⾓为2n π.证明:01()0i nl i f P ==∑.14.设(,)f x y 为n 次齐次函数,证明()(1)(1)m xy f n n n m f x y+=--+?? . 15. 证明2222221sin ,0,(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0,0)处可微.16、设 12n2n 1n1n112n 111x x x u=x x x x x x－－－，证明：()1 nk 1ku0;x ?=?∑＝ ()2 ()nkk 1k n n 1u x u.x 2=∑＝－ 17、若函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存在，且(,)x f x y 与(,)y f x y 在点00(,)x y 处连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 可微．18、若函数(,,)f x y z 在点0000(,,)P x y z 可微，则f 在点0P 处沿任⼀⽅向l 的⽅向导数都存在，且 0000()()cos ()cos ()cos l x y zf P f P f P f P αβγ=++ (1),其中cos ,cos ,cos αβγ为⽅向l 的⽅向余弦．19、设⼆元函数(,)z f x y =在凸开域D ?R 2上连续，在D 的所有内点都可微，则对D 内任意两点0(,),(,)P a b Q a h b k D ++∈，存在某θ(01)θ<<，使得(,)(,)(,)(,)x y f a h b k f a b f a h b k h f a h b k kθθθθ++-=+++++(,)(,)gradf h k ξη=?.20、设(,)u u x y =可微，在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==下，证明222221+??? =??? +??? y u x u u r r u θ. 21、⼗⼋章1、(10分)试证：所有切于曲⾯z xf yx=()的平⾯都相交于⼀点。

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习题小组成员：刘浩思、梅卓、韩亚松、陈薇、石帆、陈越一.选择题(每题一分，共1*10=10分)1.已知函数f (x)所对应的一个原函数为F(x),则()与 d(“(xXx)等价A> f(x)dx B. (/(x) + c)dx C. F(x) De F(x) + c2•下面计算结果正确的是J 弓=()A. lnxB. lnx + c ClnI%l D. lnlxl+c3•当a, b,c 满足()条件时，心)3+加+。

的原函数仍 x(x + l) 是有理函数D. a =0, c=l, b=l4. 下列反常积分收敛的是()5. 如果/(x)在［T, 1］上连续，且平均值为2,则［j\x)dx=()A. 1B.-1C. 4D. -4 6•若『戶力=|，则2 ( ).A. 1B. 2 C In2 D 丄 ln2 2 7. 设/(x)是连续函数，且F(x)= {则 F'(x)=().A. a=0, b 二0, c 二RB. a =0, c 二0, b 二RC. a 二 1, b 二 1, c 二 1 \nxdxA. -e-x f(e~x)-f(x)B・-厂门厂)+几兀)C.e-x f(e~x)-f(x)D.厂/(厂) + /(兀)8.—[sint2dt=()dx lA. sinx2 -sintz2B・ 2xcosx2C・ sinx2D. 2xsmx29.设XT O时，与x"是同阶无穷小，则n=()A. 1B. 2C. 3D. 410.设函数/(x), g(x)是大于0的可导函数，且g(x)f (x)-f(x)g'(x)<0,则当啊a<x<b 时有()A. f(x)g(b)> f(b)g(x)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(x)>f(b)g(b)D. f(x)g(x)>f(a)g(a)二.填空题：(每题一分，共1*10=10分)1.计算Jl X “X的值_______________2.曲线y = f(x)经过点(e, -1)，且在任一点处的切线斜率为3. 已知于⑴的一个原函数为lux,则 \f\x)f(x)dx= ______________4 ・ jsin mx cos nxdx = ______________15. lim x nd x = n —> oo 0『b r a 6. / ( x ) d x + f (x)dx = —J a J b7^ Jo ( -^ 10 e x y d X = o lim — [ ° cos t 2dt =6 XT () Y J Sin X9. 设F(x), G(x)都是/⑴的原函数，则F(x)与Gd)满足的关系是 ______________10. xy = 4在点(2, 2)的曲率是 __________三. 计算：(每题2分，共2*20二40分)2. Jsin Exdx4 f 色， 6. Jsin 5x dxQ r 2x+3 dx .J十 Jj10 e"2xsin 5x dx5J 站dx 7. J v^xe^dxdx$ r (1-X )dx四. 证明题(每题4分，共4*10二40分)1 •证明反常积分的敛散性f2dx 收敛。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

《数学分析》（上册）第一章实数集与函数试题和答案

第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾故ax 是无理数.1、试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集确界原理1、用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <，则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ，可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。

数学分析练习题

第二章数列极限一、填空题1．∑=∞→=++++Nn n n1 (3211)lim_________；2．-+∞→3(lim n n n3．=++++++++∞→n nn 31913112141211lim； 4．已知 2235lim2=-++∞→n bn an n ，则 =a ， =b ；5．=-+∞→nnn nn 3535lim；6．已知2003)1(lim=--∞→bban n n n，则 =a ， =b ；7．=+++++++++∞→)12111(lim 222nn n n n n n n ；8． =-∙∙--∞→)11()311)(211(lim 222nn ；二、选择填空1． “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时恒有ε2||≤-a a n ”是数列}{n a 收敛于a 的A 充分条件但非必要条件。

B 必要条件但非充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件又非必要条件。

2．数列}{n a 不收敛于a 的充要条件是A 对于任给 0>ε，满足ε<-||a a n 的项只有有限项。

B 对于任给 0>ε，总有相应的项n a ，ε≥-||a a n 。

C 存在某个正数0ε，除有限项外，都有0||ε≥-a a nD 存在某个正数0ε，有无穷多项满足0||ε≥-a a n3．设数列n x 与n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是A 若n x 发散，则n y 必发散。

B 若n x 无界，则n y 必有界。

C 若n x 有界，则n y 必为无穷小。

D 若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。

4．设}{n a 收敛，}{n b 发散，则A }{n n b a 必收敛。

B }{n n b a 必发散。

C }{n n b a +必收敛。

D }{n n b a +必发散。

5．设数列}{n a 无上界且 ,2,1,0=≠n a n ，则A }{1-n a 必有上界B 对于任给定的M>0，必有无穷多项M a n >。

(完整word版)数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库（1—22章)五．证明题1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1)对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y 。

证明：.inf sup B A =证由(1)可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =,用反证法。

若B A inf sup ，设B y A x A B ∈∈∃=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y 。

2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=,证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf =证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界,则S 也是无上界数集,于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立。

若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S =（ⅰ）S x ∈∀，无论A x ∈或B x ∈,有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε∀∃∈->>于是,0S x ∈0sup .x A >同理可证（2）. 3。

按N -ε定义证明352325lim 22=--+∞→n n n n 证 35232522---+n n n)23(3432-+=n n≤2234n n⋅ （n>4） n32=，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4,132max εN ，当n>N 时,35232522---+n n n 〈ε。

注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式nn G 32)(=仍是无穷小数列。

4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞→lim 的正面陈述？并验证｜2n ｜和|n )1(-|是发散数列。

答 a a n n ≠∞→lim 的正面陈述:0ε∃〉0，+∈∀N N ，n '∃≥N ，使得｜a a n -'｜≥0ε数列{n a }发散⇔R a ∈∀,a a n n ≠∞→lim .（1）a n a n ∀=.2，0ε∃=41，+∈∀N N ，只要取⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='N a n ,21max ，便可使||2a n -'≥||2a n -'≥||212a a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥41，于是{2n ｝为发散数列。

《数学分析III》期末考试卷及参考答案05

第 1 页共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知、已知 22xy u e-=,，则u x¶¶= ，uy¶=¶ ， du = ；2、cos sin x ar y br q q =ìí=î，则(,)J r q = ；3、设L ：cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££，则22()Lx y ds +ò= ；4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为：交换积分顺序后为：； 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ；6、令设222L x y a +=：，则Lydx xdy -=ò . 第 2 页共 6 页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在，的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；则他们必相等；（）2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续；一定连续；（）3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则函数(,)z f x y =在D 上可积；上可积；（）4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数，则上的函数，则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò；（）5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得分分阅卷人阅卷人得分分阅卷人阅卷人第 3 页共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师：学班号：名：号：装订线第 4 页共 6 页4、计算第二型曲面积分：1SI dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò，其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò，其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题（四、证明题（66分）1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分，并求原函数(,)u x y得分分阅卷人阅卷人考生答题不得过此线密封线任课教师：教学班号：姓名：学号：装订线得分分阅卷人阅卷人第 7 页共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积解：设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò，其中，22:1xy D x y +£（3分），令cos ,sin x r y r q q ==，则xy D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以，，所以， 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)＝6p （8分）分）2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解：令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分)，则V 可表示为：02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-（4分），所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) ＝10p（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积解：设所求面积为S,则Ds dxdy =òò，其中D 为：22221x y a b +£（2分），令cos ,sin x ar y br q q ==（3分），则D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以， 2100S d abrdr pq =òò（5分），所以S ab p =（7分）. 4、计算第二型曲面积分：1S I dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解：记1S 为椭球面0z ³的一侧，2S 为椭球面0z £的一侧，则的一侧，则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò（2分），则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£（3分），所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-＝4ab cp（，则221x y z z ++=22x y =+，则2212x y z z ++=（22222)+2)+＝(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分），所以10I =D 44033p p ´=分）分）则y x ==¶¶，所以第 9 页共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò（5分）分）＝23sin 2x x y +（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（五、应用题（77分）一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：a b h +=cm,左部与右部宽度之和为：c d r +=cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>（1分）作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l （2分）则有分）则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l （3分）分）由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø（5分）分）于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=（6分）分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的..（7分）分）。

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