八年级数学培优竞赛专题20 正方形

A

D

专题20 正方形

阅读与思考

矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．

正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．

例题与求解

【例l 】 如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G .下列结论：①0

5.112=∠AGD ；②

2=AE

AD

；③OGD AGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤OG BE 2=. 其中，正确结论的序号是______________． （重庆市中考试题）

解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．

【例2】如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上

)(BC CG >，取线段AE 的中点M .连MD ，MF ．

（1）探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明． （2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2），其他条件不变． 探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．

（大连市中考题改编） 解题思路：由M 为AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．

图2

图1

E

A

B

E

B

A

【例3】如图，正方形ABCD 中，E ，F 是AB ，BC 边上两点，且FC AE EF +=，EF DG ⊥于G ，求证：DA DG =.

（重庆市竞赛试题）

解题思路：构造FC AE +的线段是解本例的关键．

B A E

【例4】 如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论．

（北京市竞赛试题） 解题思路：先猜测HAF ∠的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．

【例5】 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，

AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．

求证：（1）0

45=∠EAF ；

（2）2

2

2

DN BM MN +=． （四川省竞赛试题）

解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．

A B C

D E F G

H

P

B

A

F

【例6】已知 ：正方形ABCD 中，0

45=∠MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交

CB ，DC （或它们的延长线）于点N M ,．

当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+．

（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当M AN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

（黑龙江省中考试题）

解题思路：对于（2），构造BM DN -是解题的关键．

能力训练

A 级

A

B

C

D

M

N

图3

A

B

C

D

M

N

图2

A

B

C

D

M

N

图1

1. 如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为__________.

（北京市竞赛试题）

2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ，给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===；

②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,； ④DA CD BC AB ==,．

其中，能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正确的序号都填在横线上）

（浙江省中考试题）

3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转0

30，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.

（青岛市中考试题）

B

A E

第1题图 第3题图 第4题图

4.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'

CBP ∆重合，若

3=PB ，则'PP =__________. （河南省中考试题）

5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放，点n A A A ,,21分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )

A .

241cm B ．24cm n C. 24

1cm n - D. 2)41(cm n

（晋江市中考试题）

A

B

C

D

P

P '

'

B

'D '