第2章水静力学
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第二章水静力学(环境)
h
H
H
L
L
h H H
h
P
H H
P
L
L/3
h
h
H
H
e
L
H
h
h H
h
H
( H h)
请画出上图正确的静水压强分布图
画出以上三个容器左侧壁面上的压强分布图
A h H
B
R
平衡方程为
p X 0 x
或
1 p X 0 x
1 p Y 0 y
1 p Z 0 z
同理有
和 其中 X, Y, Z 是质量力 f 的三个分量。
•
平衡微 分方程的 矢量形式
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
z py
dz
px pn
n
dx dy pz
o
y
pn p x p y p z
x
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静水压 强的大小与作用面的方位无关。
静止液体中一点的应力
p p( x, y, z )
在这个表达式中，已 包含了应力四要素： 作用点、作用面、受 力侧和作用方向。
p
pA / zA
，所以
pB /
叫测压管水头。
zB
O O
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
•4. 静水压强的方程式的物理意义
z 位置势能，（从
基准面 z = 0 算起铅 垂向上为正。 ）
p
压强势能（从
大气压强算起）
z
p
水力学 水静力学 水静力学
0
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
第二章 水静力学
第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。
“静止”是一个相对的概念。
这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。
绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。
水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。
因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。
§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。
现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。
假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。
从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。
所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。
(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。
第二章水静力学
n
= p • D Ax
p =
n n
•
1 2
Dy
•
Dz
代入第一式
F F F px pncos(n, x) x =0 则：
1 2
Dy
Dz
px
1 2
Dy
Dz
pn
1 6
Dx Dy
Dz
fx
=
0
整理后,有
px
pn
1 Dx
3
fx
=
0
当四面体无限缩小到A点时，Dx
p x
=
p n
同理，我们可以推出：
0 因此：
△h
G
z1
2p 2
z2
0
h
G
p
0
（a）
（b）
圆柱上表面的静水压力 F1 = p1DA
圆柱下表面的静水压力 F2 = p2DA
小水柱体的重力
G = gDADh
力的平衡方程 p2DA p1DA gDADh = 0
p 0 ▽
h1 h2
△h
p
11
G
z1
2p 2
z2
0
（a）
p 0 ▽
h
G
p
0 （b）
单位重量的液体在某点所具有的位置势能（单位位
能）：
z1
=
mgz1 mg
z 的能量意义是单位重量液体所具有的位置势能，
称为单位位能。
pa
p1 g
h12
1
z1
pa
p2 g
z2
0
0
Z Fpy
D Fpn Fpx
z
A y CBOFpzYX
相应面上的总压力为
流体力学 水静力学
p1=p+ρ1gh1 p2=pa+ρ2gh2 所以 p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2 M点的绝对压强为 p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1 M点的计示压强为 pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1 于是，可以根据测得的h1和h2以及已知的ρ1 和ρ2计算出被测点的绝对压强和计示压强值。
(2) 被测容器中的流体压强小于大气压强(即p<pa)： 如图2-19所示。在大气压强作用下，U形管右管内的液面下降， 左管内的液面上升，直到平衡为止。这时两管工作介质的液面高度差 为h2。过右管工作介质的分界面作水平面1-2，它是等压面。
由液体静力学方程得出的推论： （1）静压强的大小与液体的体积无关。 （2）两点的压强差，等于两点之间单位 面积垂直液柱的重量。 （3）在平衡状态下，液体内（包括边界 上）任意一点压强的变化，等值地传递到 其它各点。此即著名的帕斯卡原理。
水静力学基本方程也适用于气体，由于 气体的密度很小，在高差不很大时，气柱 所产生的压强很小，可以忽略。所以水静 力学方程可以简化为 p = p0 对于高程变化很大，如计算大气层压强 的分布，就必须考虑大气密度随高度的变 化。
列等压面方程 p+ρ1gh1+ρ2gh2=pa M点的绝对压强为 p=p-ρ1gh1-ρ2gh2 M点的真空或负压强为 pv=pa-p=ρ1gh1+ρ2gh2
3.倾斜式微压计 在测量气体的微小压强和压差时，为了 提高测量精度，常采用微压计。倾斜微压 计是由一个大截面的杯子连接一个可调节 倾斜角度的细玻璃管构成，其中盛有密度 为ρ的液体，如图2-20所示。
液体具有的压能。水力学中习惯用“水头”来称呼这些具有能量意义的长度量，即z称
为位置水头（即单位重量液体具有的位置势能），
2第二章 水静力学
Байду номын сангаас
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
《水力学》第二章答案
第二章:水静力学 一：思考题2-1.静水压强有两种表示方法,即:相对压强和绝对压强2-2.特性(1)静水压强的方向与受压面垂直并指向手压面;(2)任意点的静水压强的大小和受压面的方位无关,或者说作用于同一点上各方向的静水压强都相等. 规律:由单位质量力所决定,作为连续介质的平衡液体内,任意点的静水压强仅是空间坐标的连续函数,而与受压面的方向无关,所以p=(x,y,z)2-3答：水头是压强的几何意义表示方法，它表示h 高的水头具有大小为ρgh 的压强。
绝对压强预想的压强是按不同的起点计算的压强，绝对压强是以0为起点，而相对压强是以当地大气压为基准测定的，所以两者相差当地大气压Pa.绝对压强小于当地大气压时就有负压，即真空。
某点负压大小等于该点的相对压强。
Pv=p'-pa2-4.在静水压强的基本方程式中C g p z =+ρ中，z 表示某点在基准面以上的高度，称为位置水头，g p ρ表示在该点接一根测压管，液体沿测压管上升的高度，称为测压管高度或压强水头，g p z ρ+称为测压管水头，即为某点的压强水头高出基准面的高度。
关系是：（测压管水头）=（位置水头）+（压强水头）。
2-5.等压面是压强相等的点连成的面。
等压面是水平面的充要条件是液体处于惯性坐标系，即相对静止或匀速直线运动的状态。
2-6。
图中A-A 是等压面，C-C,B-B 都不是等压面，因为虽然位置高都相同，但是液体密度不同，所以压强水头就不相等，则压强不相等。
2-7.两容器内各点压强增值相等，因为水有传递压强的作用，不会因位置的不同压强的传递有所改变。
当施加外力时，液面压强增大了Ap∆，水面以下同一高度的各点压强都增加Ap∆。
2-8.（1）各测压管中水面高度都相等。
（2）标注如下，位置水头z,压强水头h,测压管水头p.图2-82-9.选择A2-10.(1)图a 和图b 静水压力不相等。
因为水作用面的面积不相等，而且作用面的形心点压强大小不同。
第二章 水静力学 5-6
FP 9.8 12.61 4 6 2964 kN
IC 求FP的作用点距水面的斜距 LD LC LC A h1 1 10 LC 3 3 11.5 14.5m o 2 sin 60 0.87
对矩形平面，绕形心轴的面积惯矩为
1 I C 4 6 3 72 m 4 12
图解法：
1．静水压强分布图 (1)按一定比例，用线段长度 代表该点静水压强的大小。 (2)用箭头表示静水压强的方 向，并与作用面垂直。
静压分布图
正确绘制静压分布图是求解静止流体作用在物体表 面总压力的基础。静压分布图的绘制原则：1、根据物 面上各点浸深确定静压大小；2、静压垂直于作用面且 为压应力。
强分布图的形心点）
静止液体作用在平面上的总压力分 为静止液体作用在斜面、水平面和垂直 面上的总压力三种，斜面是最普通的一 种情况，水平面和垂直面是斜面的特殊 情况。下面介绍静止液体作用在斜面上 的总压力问题。
2.5.2 作用于任意平面上的静水总压力
受压面为任意形状,静水总压力的计算较为复杂。取 一任意形状平面EF，倾斜置放于水中，与水平面的 夹角α，平面面积为A，平面形心点在C。
Fp
yD
h1
胸墙 ρgh1 A
yC C h2 D B h2 b
Fp1 Fp2 ρg(h1+ h２) ρgh2 ρgh1 Fp
yD
2h/3
ρgh1 Fp D
Fp2
Fp1
ρg(h1+ h２)
ρgh2
ρgh1
h2
h/2
例3 某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门 （见图），倾角为60o，门宽b为4m，门长L为6m，门顶 在水面下淹没深度h1为10m，若不计闸门自重时，问沿斜 面拖动闸门所需的拉力F为多少（已知闸门与门槽之间 摩擦系数 f 为0.25）？门上静水总压力的作用点在 哪里？
2、水静力学
题 2-3 图 -1z1 z3
p1
2
2
A CD B
p2
z2
第二章 水静力学
pC = p1 +γ (z1 + z3 ) = 137 + (0.5 + 2.3) × 9.8 = 164.44 KPa pD = p2 +γz2 = 39 + 0.5 × 9.8 = 43.9 KPa ∴ p A 141.9 = = 14.48m； γ 9.8 pB 43.9 = = 4.48m； γ 9.8 = 4.48m
A1 = 0.25πd 2 = 0.25π × 12 = 0.785m 2 A2 = 0.25πD 2 = 0.25π × 22 = 3.14 m 2 (1) pA = pB =
' '
F A B d h
F 4 = = 5.096 kN / m 2 A1 0.785
A＇ D 题 2-6 图 B＇
p A = p B = pA + γh = 5.096 + 9.8 × 2 = 24.696 kN / m 2 (2) F = p A A2 = 24.696 × 3.14 = 77.595 kN
-3-
B
题 2-8 图
第二章 水静力学
X dx+ Y dy+ Z dz = 0 X = - a, Y = 0, Z = - g dz a ∴ tan θ = =− dx g a ＝ − g tan θ＝ − gh 5 = −9.8 × = 1.63m / s 2 −l −30
2-9 在做等角速度旋转的物体上，装有 U 形管式角速度测定器，如图所示，测得 U 形管液面差△z = 0.272m, 两支管旋转半径 R1 = 7.5cm，R2＝37.5cm，试求该物体的旋转角速度 ω 。 解：
p1
2
2
A CD B
p2
z2
第二章 水静力学
pC = p1 +γ (z1 + z3 ) = 137 + (0.5 + 2.3) × 9.8 = 164.44 KPa pD = p2 +γz2 = 39 + 0.5 × 9.8 = 43.9 KPa ∴ p A 141.9 = = 14.48m； γ 9.8 pB 43.9 = = 4.48m； γ 9.8 = 4.48m
A1 = 0.25πd 2 = 0.25π × 12 = 0.785m 2 A2 = 0.25πD 2 = 0.25π × 22 = 3.14 m 2 (1) pA = pB =
' '
F A B d h
F 4 = = 5.096 kN / m 2 A1 0.785
A＇ D 题 2-6 图 B＇
p A = p B = pA + γh = 5.096 + 9.8 × 2 = 24.696 kN / m 2 (2) F = p A A2 = 24.696 × 3.14 = 77.595 kN
-3-
B
题 2-8 图
第二章 水静力学
X dx+ Y dy+ Z dz = 0 X = - a, Y = 0, Z = - g dz a ∴ tan θ = =− dx g a ＝ − g tan θ＝ − gh 5 = −9.8 × = 1.63m / s 2 −l −30
2-9 在做等角速度旋转的物体上，装有 U 形管式角速度测定器，如图所示，测得 U 形管液面差△z = 0.272m, 两支管旋转半径 R1 = 7.5cm，R2＝37.5cm，试求该物体的旋转角速度 ω 。 解：
水力学_第2章静水力学
A
c
A
P g sin S x g sin yc A ghc A pc A
31
水力学
上式表明：任意形状平面上的静水
第 二 章 水 静 力 学
总压力P 等于该平面形心点C 的压强 pc
与平面面积 A的乘积。
2.静水总压力的方向 静水总压力P 的方向垂直指向受压面。
32
水力学
第 二 章 水 静 力 学
定义：在静止液体内部 ，将压强相等的各点连 成的面称等压面。
由于在等压面上p C，则dp 0
则等压面方程为f x dx f y dy f z dz 0
特性：等压面上各点质量力与等压面正交。
f .ds f x dx f y dy f z dz 0
由z z0 , p p0代入上式得C p0 gz0
p p0 g ( z0 z )
p p0 gh
p A pB gh
17
水力学
第 二 章 水 静 力 学
p z C g
上式是重力作用下水静力学基本方程之
一。它表明：当质量力仅为重力时，静止液
第 二 章 水 静 力 学
则可得出： y D
利用惯性矩平行移轴定理： I x I c yc2 A
34
水力学
将此定理代入上式可最后得出yD
第 二 章 水 静 力 学
2 Ic yc A Ic yD yc yc A yc A
35
水力学
2.6.2 矩形平面静水压力——压力图法
第 二 章 水 静 力 学
12
水力学
上式为液体的平衡微分方程式。它是
第 二 章 水 静 力 学
欧拉（Euler)于1755年首先得出的，又称 为欧拉平衡微分方程。它反映了平衡液体
c
A
P g sin S x g sin yc A ghc A pc A
31
水力学
上式表明：任意形状平面上的静水
第 二 章 水 静 力 学
总压力P 等于该平面形心点C 的压强 pc
与平面面积 A的乘积。
2.静水总压力的方向 静水总压力P 的方向垂直指向受压面。
32
水力学
第 二 章 水 静 力 学
定义：在静止液体内部 ，将压强相等的各点连 成的面称等压面。
由于在等压面上p C，则dp 0
则等压面方程为f x dx f y dy f z dz 0
特性：等压面上各点质量力与等压面正交。
f .ds f x dx f y dy f z dz 0
由z z0 , p p0代入上式得C p0 gz0
p p0 g ( z0 z )
p p0 gh
p A pB gh
17
水力学
第 二 章 水 静 力 学
p z C g
上式是重力作用下水静力学基本方程之
一。它表明：当质量力仅为重力时，静止液
第 二 章 水 静 力 学
则可得出： y D
利用惯性矩平行移轴定理： I x I c yc2 A
34
水力学
将此定理代入上式可最后得出yD
第 二 章 水 静 力 学
2 Ic yc A Ic yD yc yc A yc A
35
水力学
2.6.2 矩形平面静水压力——压力图法
第 二 章 水 静 力 学
12
水力学
上式为液体的平衡微分方程式。它是
第 二 章 水 静 力 学
欧拉（Euler)于1755年首先得出的，又称 为欧拉平衡微分方程。它反映了平衡液体
[理学]2第二章水静力学
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2. 若平衡液体具有与大气相接触的自由表面，则自由表面 为等压面，因为自由表面上各点的压强都等于大气压强。 3. 不同流体的交界面也是等压面。 此外，应用等压面概念时，必须注意等压面以下的液体是相 连通的同种液体。
实际应用：
对于相连通的同一种连续介质，淹没深度相同的各点静水压强 相等，故水平面即是等压面。但必须注意，这一结论只适用于 质量力只有重力的同一种连续介质。对于不连续的液体（如液 体被阀门隔开），或者一个水平面穿过了两种不同介质，则位 于同一水平面上的各点，压强并不相等，即水平面不一定是等 压面。
• 1. 表面力
作用于六面体的表面力，为周围液体对六面体各表面上 所作用的静水压力。 垂直于 x 轴的左右两 个平面中心点上的静 水压强分别为：
p 1 p 1 p dx 和 p dx 2 x 2 x
则静水压力分别为：
1 p p dx dydz 和 2 x 1 p dx dydz p 2 x
p A 98 9.8[ 0.98 (1.5) (1.0)] 109 .27 kPa 9.8
a x z )中的p=p0，得自由表面方程为ax+gz=0 g
再令
p p 0 (
从而它与水平面的夹角为 a 0.98 q arctg arctg 543 g 9.8
章节设置
• • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 静水压强 液体平衡微分方程 重力作用下的静力学基本方程 作用在平面壁上的静水总压力 作用在曲面壁上的静水总压力
学习要点
• 1、静水压强的两个重要的特性和等压面的性 质。 • 2、静水压强基本公式和物理意义，静水压强 计算。 • 3、静水压强的单位和三种表示方法： 绝对压强、相对压强和真空度；理解位置 水头、压强水头和测压管水头的物理意义和几 何意义。
第2章 水静力学
第二章 水静力学目的要求：掌握静水压强的有关概念；作用在平面、曲面上静水总压力的计算方法。
难点：压力体的绘制 全部内容均为重点水静力学研究液体平衡时的规律及其实际应用，静止时0=τ，只有p 存在。
§2-1 静水压强及其特性 一、定义P ∆—面积ω∆上的静水压力 （N ）平均静水压强ω∆∆=Ppa 点的静水压强)(/lim 20a P m N d dpP p ωωω=∆∆=→∆二、静水压强的特性1、第一特性：静水压强的方向垂直指向被作用面。
2、第二特性：作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。
yzp⊿⊿⊿zxxpp ynpxzynACBnzyxpppp,,,，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆spyxpzxpzypnzyx212121⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆zyxZzyxYzyxX616161ρρρ沿x方向力的平衡方程：61),cos(21=∆∆∆+∆-∆∆zyxXxnspzypnxρ612121=∆∆∆+∆∆-∆∆zyxXzypzypnxρ1=∆+-xXppρ取微分四面体无限缩至o 点的极限表面力质量力C pz C z p dz gdz dp =+→'+-=→-=-=γγγρ或 γγ2211p z p z +=+——重力作用下水静力学的基本方程。
对于液面点与液体内任意点h p p pz p h z γγγ+=→+=++00——水静力学基本方程的常用表达式说明：（1）当 2121z z p p >< ，位置较低点压强恒大于位置较高点压强。
液面压强0p 由γh 产生的压强（3） p 随h 作线性增大。
（4）常用a a p h p p ,γ+=为大气压强， 取p a =1个工程大气压=98kN/m 2。
（5）h p p ∆+=γ12二、等压面1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面2、等压面方程：0=dp 0=++Zdz Ydy Xdx3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。
第2章水静力学
+13598×9.8×0.3-9.8×800×0.2 +13598×9.8×0.25-9.8×1000×0.6 =67805.2（Pa）=67.8(KPa)
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力
水力学第2章 水静力学
A点的相对压强为
pA gL sin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以 改用U形水银测压计。
2.6.2 U形水银测压计
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 p2 pa m gh
对测压计左支
p1
p' A
gb
A点的绝对压强
p
A
pa
m gh
gb
A点的相对压强
量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一
个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
2－5 绝对压强与相对压强
2.5.1 绝对压强
假设没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强， 称为绝对压强。总是正的。
2.5.2 相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。相
p
' A
p0
gh1
25
9.8 5
74 k Pa
pB' p0 gh2 25 9.8 2 44.6kPa
故A点静水压强比B点大。 实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点， 其压强必大）。
例:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁角为300，被
油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强 pa =98kPa，油的密
面积所受的平均静水压力为：
p Fp
(1.1)
A
点的静水压强
p lim Fp A0 A
(1.2)
静水压力 Fp 的单位：牛顿（N）； 静水压强 p 的单位：牛顿／米2（N／m2），
又称为“帕斯卡”（Pa）
2.1.2 静水压强的特性 静水压强的两个重要特性：
1．静水压强的方向与垂直并指向受压面。
pA gL sin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以 改用U形水银测压计。
2.6.2 U形水银测压计
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 p2 pa m gh
对测压计左支
p1
p' A
gb
A点的绝对压强
p
A
pa
m gh
gb
A点的相对压强
量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一
个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
2－5 绝对压强与相对压强
2.5.1 绝对压强
假设没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强， 称为绝对压强。总是正的。
2.5.2 相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。相
p
' A
p0
gh1
25
9.8 5
74 k Pa
pB' p0 gh2 25 9.8 2 44.6kPa
故A点静水压强比B点大。 实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点， 其压强必大）。
例:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁角为300，被
油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强 pa =98kPa，油的密
面积所受的平均静水压力为：
p Fp
(1.1)
A
点的静水压强
p lim Fp A0 A
(1.2)
静水压力 Fp 的单位：牛顿（N）； 静水压强 p 的单位：牛顿／米2（N／m2），
又称为“帕斯卡”（Pa）
2.1.2 静水压强的特性 静水压强的两个重要特性：
1．静水压强的方向与垂直并指向受压面。
水力学吴持恭第四版课件2 水静力学学习资料
公式 p = DP 平均压强
DA
p = lim DP DA 0 DA
单位：N/m2 （Pa）
点压强
二、静水压强的特性
第一特性：静水压强垂直于作用面，并指 向作用面。
第二章 水静力学
证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体
P Ⅰ
N
AB
Ⅱ τ
N P
Pn
静水压强的方向与作用面的内法线方向重合， 静水压强是一种 压应力
=
p y
=
p z
=
p n
上式表明任一点的静水压强 p是
各向等值的，与作用面的方位无
关。第二特性得到证明
Z D Pn Px A Py C
O B Pz X
Y
第二章 水静力学
§2-2 液体的平衡微分方程及 其积分
液体处于平衡状态时，作用于液体上 的各种力及其坐标间的微分关系
第二章 水静力学 Z
A(x,y,z)
量（1
p
x
1
p y
1
p
z
）是对应相等的。
又称欧拉平衡微分方程
第二章 水静力学
将X
1
p x
=
0
Y
1
p y
=
0
Z 1
p z
=
0
依次乘以dx,dy,dz后相加得：
1
(
p x
dx
p y
dy
p z
dz)
=
Xdx
Ydy
Zdz
因为 ( p dx p dy p dz) 是P(x,y,z)的全微分 x y z
( p 1 p dx)dydz 2 x
( p 1 p dx)dydz 2 x
经典：流体力学-第二章-水静力学
23
压力体可分为实压力体和虚压力体
实压力体判定方法： 绘出的压力体图形与实际的水体居于受压曲面同侧（重叠），
为实压力体。方向向下。
虚压力体判定方法： 绘出的压力体图形与实际的水体分居受压曲面两侧（不重叠），
为虚压力体。方向向上。
对于复式断面，先根据压力体的三个面围出压力体，再根据上述原 则判定虚、实。
第二章流体静力学25作用在平面上的静水总压力一用解析法求任意平面上的静水总压力二用压力图法求矩形平面上的静水总压力26作用在曲面上的静水总压力一曲面上静水压力二压力体27浮力与浮潜体的稳定一浮力二潜体的平衡与稳定性三浮体的平衡及稳定性第四讲25作用在平面上的静水总压力工程实践中需要解决作用在结构物表面上的液体静压力的问题
2.合力P对Ox轴取力矩
总压力P对Ox轴的力矩为： P y D g sa ix n y S D g sa i c A n y y D
3.据力矩定理
得：
yD
Ix Sx
Ix yc A
6
yD
Ix Sx
Ix yc A
上式表明：平面上静水总压力作用点D的纵坐标yD等于受压面面积A对Ox 轴的惯性矩与静矩之比。
其中
为图形对形心轴
的静矩，其值应等于零，则得
IyIyca2A
结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小 。 在使用惯性矩移轴公式时应注意a ，b的正负号。
8
故对于本问题有： Ix Ay 2 d A A (y c a )2 d A Ay c 2 d A 2 y cA a d A a A 2 d A Ix Ic y c2 A
2.液体总压力Ｐ的铅直分力Pz：
B' F' E'A'
压力体可分为实压力体和虚压力体
实压力体判定方法： 绘出的压力体图形与实际的水体居于受压曲面同侧（重叠），
为实压力体。方向向下。
虚压力体判定方法： 绘出的压力体图形与实际的水体分居受压曲面两侧（不重叠），
为虚压力体。方向向上。
对于复式断面，先根据压力体的三个面围出压力体，再根据上述原 则判定虚、实。
第二章流体静力学25作用在平面上的静水总压力一用解析法求任意平面上的静水总压力二用压力图法求矩形平面上的静水总压力26作用在曲面上的静水总压力一曲面上静水压力二压力体27浮力与浮潜体的稳定一浮力二潜体的平衡与稳定性三浮体的平衡及稳定性第四讲25作用在平面上的静水总压力工程实践中需要解决作用在结构物表面上的液体静压力的问题
2.合力P对Ox轴取力矩
总压力P对Ox轴的力矩为： P y D g sa ix n y S D g sa i c A n y y D
3.据力矩定理
得：
yD
Ix Sx
Ix yc A
6
yD
Ix Sx
Ix yc A
上式表明：平面上静水总压力作用点D的纵坐标yD等于受压面面积A对Ox 轴的惯性矩与静矩之比。
其中
为图形对形心轴
的静矩，其值应等于零，则得
IyIyca2A
结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小 。 在使用惯性矩移轴公式时应注意a ，b的正负号。
8
故对于本问题有： Ix Ay 2 d A A (y c a )2 d A Ay c 2 d A 2 y cA a d A a A 2 d A Ix Ic y c2 A
2.液体总压力Ｐ的铅直分力Pz：
B' F' E'A'
第2章水静力学
p pabs pa pv 7 104 Pa
例2：若当地大气压强相当于700mm汞柱高，试将绝对压强 pabs=19.6×104N/m2用其不同的单位表示。 解: (1)对于绝对压强 ①用水柱高度表示
h水 10m 4 9.8 10 Pa 19.6 104 Pa
10 19.6 104 h水 = =20m 4 9.8 10
p2/γ z2
p1/γ
z1
1 2
2、静水压强分布图
定义：用带有箭头的直线表示压强的方向，用直线
长度表示压强的大小，将作用面上的静水压强分布
规律形象直观地画出来，此几何图形就是静水压强
分布图。 绘制的规则：
（1）按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。
（2）用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。 方法： 只要绘出两端点的压强，即可确定静水压强的直线分布。
形式1：
p p0 gh
形式2：
z
p C g
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa
C
p0
p/γ
Δm Δmgz Δmgz z Δmg
z
Δm
z0
单位液重所具有的位能
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa
C
p0
p/γ
Δm Δmg Δmg p
p
z
Δm
z0
Δmg
p
单位液重所具有的压能
计量的压强，用pabs表示,工程大气压98KPa 用p表示。
相对压强 ——以当地大气压作为零点计量的压强，
若将当地大气压强用pa表示，则有
p pabs pa
例2：若当地大气压强相当于700mm汞柱高，试将绝对压强 pabs=19.6×104N/m2用其不同的单位表示。 解: (1)对于绝对压强 ①用水柱高度表示
h水 10m 4 9.8 10 Pa 19.6 104 Pa
10 19.6 104 h水 = =20m 4 9.8 10
p2/γ z2
p1/γ
z1
1 2
2、静水压强分布图
定义：用带有箭头的直线表示压强的方向，用直线
长度表示压强的大小，将作用面上的静水压强分布
规律形象直观地画出来，此几何图形就是静水压强
分布图。 绘制的规则：
（1）按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。
（2）用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。 方法： 只要绘出两端点的压强，即可确定静水压强的直线分布。
形式1：
p p0 gh
形式2：
z
p C g
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa
C
p0
p/γ
Δm Δmgz Δmgz z Δmg
z
Δm
z0
单位液重所具有的位能
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa
C
p0
p/γ
Δm Δmg Δmg p
p
z
Δm
z0
Δmg
p
单位液重所具有的压能
计量的压强，用pabs表示,工程大气压98KPa 用p表示。
相对压强 ——以当地大气压作为零点计量的压强，
若将当地大气压强用pa表示，则有
p pabs pa
水力学(2)水静力学
武汉理工大学 土木工程与建筑学院
金溪
水力学
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
一、定义 水静力学：研究液体处于静止状态下的平衡规律和液体与 固体边界间的作用力及其在工程中的应用。 二、核心问题 所谓静止包含两种情况：绝对静止、相对静止。 绝对静止：液体与地球之间没有相对运动，液体内部质点之 间没有相对运动。 相对静止：液体与地球之间存在相对运动，液体与容器之间 没有相对运动，液体质点之间不存在相对运动。
绝对静止 V=0,a=0 相对静止 V ≠ 0,a恒定且不为0 相对静止 V ≠ 0,a =0
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
三、本章基本内容 水静力学的核心问题是根据平衡条件来求 得静水压强在空间的分布规律，进而确定 静水压力的方向、大小和作用点。
平衡条件：受力的平衡 压强分布规律：水静力学基本方程 压力的求解：方向、大小、作用点
sin J x sin yc A
Jx yc A
Jx= JC＋yC2A，
★ yD＞ yC ，即D点一般 在C点的下面。
Jc yc yc A
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
第 二 章 水 静 力 学
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
例2-4
第 二 章 水 静 力 学
同一静止液体中，不论哪一点 z+p/r总是常数。（能量守恒）
2.2 重力作用下静水压强的分布规律
2.2.2 静水压强基本方程的另一种形式及意义
第 二 章 一、几何意义和水力学意义 1. z —位置水头（计算点位置高度） 2. p/r —压强水头（压强高度或测压管高度） 3. z+p/r —测压管水头 4. z＋p/r＝C—静止液体中各点 位置高度与压强高度之和不变
金溪
水力学
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
一、定义 水静力学：研究液体处于静止状态下的平衡规律和液体与 固体边界间的作用力及其在工程中的应用。 二、核心问题 所谓静止包含两种情况：绝对静止、相对静止。 绝对静止：液体与地球之间没有相对运动，液体内部质点之 间没有相对运动。 相对静止：液体与地球之间存在相对运动，液体与容器之间 没有相对运动，液体质点之间不存在相对运动。
绝对静止 V=0,a=0 相对静止 V ≠ 0,a恒定且不为0 相对静止 V ≠ 0,a =0
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
三、本章基本内容 水静力学的核心问题是根据平衡条件来求 得静水压强在空间的分布规律，进而确定 静水压力的方向、大小和作用点。
平衡条件：受力的平衡 压强分布规律：水静力学基本方程 压力的求解：方向、大小、作用点
sin J x sin yc A
Jx yc A
Jx= JC＋yC2A，
★ yD＞ yC ，即D点一般 在C点的下面。
Jc yc yc A
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
第 二 章 水 静 力 学
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
例2-4
第 二 章 水 静 力 学
同一静止液体中，不论哪一点 z+p/r总是常数。（能量守恒）
2.2 重力作用下静水压强的分布规律
2.2.2 静水压强基本方程的另一种形式及意义
第 二 章 一、几何意义和水力学意义 1. z —位置水头（计算点位置高度） 2. p/r —压强水头（压强高度或测压管高度） 3. z+p/r —测压管水头 4. z＋p/r＝C—静止液体中各点 位置高度与压强高度之和不变
流体力学第2章_水静力学--用
第二章
流体静力学
§2-1 静水压强及其基本特性 §2-2 液体平衡微分方程及其积分 §2-3 重力作用下静水压强的分布规律 §2-4 几种质量力作用下液体的相对平衡 §2-5 作用于平面上的静水总压力 §2-6 作用于曲面上的静水总压力
流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科 学。 所谓平衡 或者说静止）， 平衡（ ），是指流体宏观质点之间没有 所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有 相对运动，达到了相对的平衡。 相对运动，达到了相对的平衡。 因此流体处于静止状态包括了两种形式： 因此流体处于静止状态包括了两种形式： 一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止， 一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称 为重力场中的流体平衡。 为重力场中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液 体。 另一种是流体整体对地球有相对运动， 另一种是流体整体对地球有相对运动，但流体对运动 容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动， 容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静 止叫相对静止或叫流体的相对平衡。 止叫相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加 速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。 速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。
p0
z y
x
h1 z0 1 z1
dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz )
0
z2 0
（2-4)
返回
2
h2
z
若取图示1 若取图示1、2两点，则得: 两点，则得
Z1 +
p1 p = Z2 + 2 ρg ρg
p0
y
x
h1 z0 1 z1
上式为重力作用下静止液体中的压强分布规律。 上式为重力作用下静止液体中的压强分布规律。 对于流体中的任意点和表面点运用此方程， 对于流体中的任意点和表面点运用此方程， 可得: 可得
流体静力学
§2-1 静水压强及其基本特性 §2-2 液体平衡微分方程及其积分 §2-3 重力作用下静水压强的分布规律 §2-4 几种质量力作用下液体的相对平衡 §2-5 作用于平面上的静水总压力 §2-6 作用于曲面上的静水总压力
流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科 学。 所谓平衡 或者说静止）， 平衡（ ），是指流体宏观质点之间没有 所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有 相对运动，达到了相对的平衡。 相对运动，达到了相对的平衡。 因此流体处于静止状态包括了两种形式： 因此流体处于静止状态包括了两种形式： 一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止， 一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称 为重力场中的流体平衡。 为重力场中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液 体。 另一种是流体整体对地球有相对运动， 另一种是流体整体对地球有相对运动，但流体对运动 容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动， 容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静 止叫相对静止或叫流体的相对平衡。 止叫相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加 速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。 速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。
p0
z y
x
h1 z0 1 z1
dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz )
0
z2 0
（2-4)
返回
2
h2
z
若取图示1 若取图示1、2两点，则得: 两点，则得
Z1 +
p1 p = Z2 + 2 ρg ρg
p0
y
x
h1 z0 1 z1
上式为重力作用下静止液体中的压强分布规律。 上式为重力作用下静止液体中的压强分布规律。 对于流体中的任意点和表面点运用此方程， 对于流体中的任意点和表面点运用此方程， 可得: 可得
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对于梯形压心距平面底部的距离为：
a 2h1 h2 e 3 h1 h2
36
2.7 作用于曲面上的静水总压力
首先分析作用于具有水平母线的二 向曲面上的静水总压力。
37
2.7.1静水总压力的大小 对dP先进行分解，它在x,z轴方向上 的分力为 dPX=ρghdAcosα= ρghdAx dPz=ρghdAsinα= ρghdAz
标xD和yD。
PyD g sin S x yD dPy g sin y 2dA g sin y 2dA
A A
31
Ix
y
A
2
dA
则可得出： y D
Ix Ix Sx yc A
利用惯性矩平行移轴定理： I x I c yc2 A
将此定理代入上式可最后得出yD
A
P g sin S x g sin yc A ghc A pc A
29
上式表明：任意形状平面上的静水
总压力P 等于该平面形心点C 的压强 pc
与平面面积 A的乘积。
2.静水总压力的方向 静水总压力P 的方向垂直指向受压面。
30
3.静水总压力的作用点
静水总压力P 的作用点以D表示。 求其坐
dp ( xdx ydy gdz)
2 2
1 2 2 2 p （x y ) gz C 2
26
或
p g (
2r 2
2g
z) C
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0 则得
Ｃ＝p0
2 2
r r z p p 0 g ( z) p0 gh h 2g 2g
2
2.2 静水压强及其特性
2.2.1静水压强的定义
1. 静水压力是指平衡液体内部相邻两部 分之间相互作用的力或者指液体对固体
壁面的作用力。
3
2.静水压强就是单位面积上的静水压力。 确切地讲，一点的静水压强就是包围该 点的微小面积上的静水压力与该面积之 比，当面积趋近于零时的极限。
p lim P / A
A 0
4
2.2.2静水压强的特性 1. 静水压强的方向垂直指向作用面，即 和作用面的内法线方向一致。这也表明
静止液体内的应力只能是压应力。
2.同一点处各个方向的静水压强大小都 相等，即一点处的压强数值与该压强作
用面的方位无关。标量
5
1 Fx p x dAx pn dAn cos( n, x) f x dxdydz 0 6
1 1 1 p x dydz pn dydz f x dxdydz 0 2 2 6
同理由y, z方向的平衡方程可得 py pn ; pz pn
px pn
6
由此可见
px py pz pn
静水压强是一标量函数 p p( x, y, z)
7
2.3 液体平衡微分方程及其积分
p p0 gh
p A pB gh
15
p z C g
上式是重力作用下水静力学基本方程之
一。它表明：当质量力仅为重力时，静止液 体内部任意点的z和p/ ρg两项之和为常数。
16
水静力学基本方程还有另一种形式。
p = p0+ ρgh
表明：在静止液体内部任一点的压强 由表面压强加上由表面到该点单位面积
44
的小液柱的重量。
17
2.4.2 绝对压强、相对压强，真空
大气压强是地面以上的大气层的重量所产 生的。根据物理学中托里拆利实验，一个标准 大气压(Standard atmospheric pressure)相当于 76cm高的水银柱在其底部所产生的压强。即
101.3kN/m2。相当于10.33m水柱在其底部所产
第 二 章 水 静 力 学
本章作业：p.38 习题2.1、2.3、2.8、2.10ac、*2.13 注：带*号为选做题，可以不做。
1
2.1概述
水静力学是研究液体的平衡规律及其应用。 液体的静止状态有两种：绝对静止、相对 静止。 实际工程中的水静力学问题。 水静力学的理论是学习水动力学的基础。 水静力学的研究过程：“由点到面”。
2.4.1水静力学基本方程
f x f y 0, f z g
dp gdz
p gz C
14
p gz C
将上式两端同除 g并移项得
p z C g
由z z0 , p p0代入上式得 C p0 gz0
p p0 g ( z0 z)
11
2.3.2液体平衡微分方程的积 分
将平衡方程中的各式分 别乘以dx, dy, dz然后相加得
1 p p p f x dx f y dy f z dz ( dx dy dz ) x y z
dp ( f xdx f y dy f z dz)
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2.3.3等压面及其特性
定义：在静止液体内部 ，将压强相等的各点连 成的面称等压面。
由于在等压面上 p C，则dp 0
则等压面方程为 f xdx f y dy f z dz 0
特性：等压面上各点质 量力与等压面正交。
f .ds f x dx f y dy f z dz 0
13
2.4 重力作用下静水压强的分布规律
则总压力 P 的水平分力Px 等于各微
小面积上水平分力dPX的总和，即
38
Px dPx ghdAx g hdAx
Ax Ax
式中： hdAx hc Ax 为曲面在铅
Ax
垂平面上的投影面积Ax 对y轴的静矩。
这样x方向的总压力为
Px= ρghcAx
39
总压力P 的铅垂分力Pz等于各微小
2 Ic yc A Ic yD yc yc A yc A
常见形状的A、Ic计算公式见表2-1。
32
2.6.2 矩形平面静水压力——压力图法
求上、下边与水面平行的矩形平面
上的静水总压力及其作用点的位置，采 用压力图法较为方便。 压力的大小、方向和作用点 其大小为： P =Ωb
式中: Ω为压强分布图的面积;b为作用面的宽度。
33
矩形平面上静水总压力 P 的作用线
通过压强分布体的重心。（也就是矩形
半宽处的压强分布图的形心），垂直指 向作用面，作用线与矩形平面的交点就 是压心D。
34
例：对三角形的压强分布图
1 其大小为： P gh 2 b 2
其压心位于水面下2h/3处。
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对压强分布图为梯形分布总压力的大小：
p1 p2 P ab 2
面积上铅垂分力dPz的总合，即
Pz dPz ghdAz g hdAz gV
Az Az
式中： hdAz V 为压力体的体积
Az
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压力体是由以下边界围成：
曲面本身；
பைடு நூலகம்
通过曲面周界的铅垂面；
自由液面或其延续面。 (分步画法,例一，例二，例三，例四)
41
图2.6
22
2.4.4等压面(Equipressure surface)及其应用 等压面是压强相等的点构成的面。 等压面与质量力正交。
需要强调的是，静止液体内等压面
是水平面这一结论，只能适用于互相连 通的同一种液体。
例图2.7、2.8、2.11、2.12
23
2.4.5静水压强分布图(Pressure distribution diagram) 表示静水压强沿受压面分布情况的 几何图形称为静水压强分布图。
在工程中只需计算相对压强，所以
这里只绘制相对压强分布图。
按照 p =ρgh 绘制
图2.14,2.15,2.16,2.17等
24
2.5 重力和惯性力同时作用下的液体平衡
重力: G=mg ，离心惯性力：F=mω2r。
25
单位质量力在三个坐标方向的投影为
f x 2r cos 2 x, f y 2r sin 2 y, f z g
生的压强。
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衡量压强的大小根据起量点的不同，
分绝对压强(Absolute pressure)和相对压
强(Relative pressure)又称计示压强或表 压强（Gagepressure)。 以绝对（或完全）真空状态为计算 零点所得到的压强称为绝对压强，以pabs
表示。
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以当地大气压为计算零点所得到的
压强称为相对压强，以pr 表示。
其两者之间的关系为 pr= pabs - pa
20
真空(Vacuum)的概念：如果某点的绝对
压强小于大气压强，则认为该点出现了真空。
出现真空时相对压强为负值，故又认为出现
了负压。 真空压强用pv表示
pv pa pabs
pv pr
图2.4
21
2.4.3水头与单位能量 对水静力学基本方程 z+ p/ρg = C 各 项的几何和能量意义的解释：
Pz的方向按如下法则判别 ：
1.压力体和对曲面施压液 体在该曲面两侧， Pz 方向向上。
2.压力体和对曲面施压液 体在该曲面同侧， Pz 方向向下。
42
2.7.2静水总压力的方向 静水总压力P与水平面之间的夹角为θ，
Pz t an Px
求得θ角后，便可定出P 的作用线的方
向。
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2.7.3静水总压力的作用点 关于作用点分两种情况讨论：圆弧面 和非圆弧面。
同理可得y, z方向的平衡方程，一并 列出
fx fy fz 1 p 0 x 1 p 0 y 1 p 0 z