分式方程(二)教案

§3.4.2 分式方程（二）

教学目标

（一）教学知识点

1.解分式方程的一般步骤.

2.了解解分式方程验根的必要性.

（二）能力训练要求

1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.

2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.

（三）情感与价值观要求

1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.

2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.教学重点

1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.

2.明确解分式方程验根的必要性.

教学难点

明确分式方程验根的必要性.

教学方法

探索发现法,学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.

教学过程

一、提出问题，引入新课

［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法. 解方程62

4x 232

5x 2

13x --=++-

［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得

3（3x －1）+2（5x+2）=6×2－（4x －2）.

（2）去括号，得9x －3+10x+4=12－4x+2,

（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4,

（4）合并同类项，得23x=13,

（5）使x 的系数化为1，两边同除以23，

2313

=x 二、讲解新课，探索分式方程的解法

［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.

1、例1：解方程： x x 321=- （1）

［师］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［生］可以。

［师］同学们想一想，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.

［师］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？

［生］x （x －2）.

［师生共析］方程两边同乘以x （x －2）,得

x x x x x x 3)2(21)2(•-=-•- 化简，得x=3（x －2）. （2）

我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程.

［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x.即x=3x －6（去括号）

2x=6（移项，合并同类项）.

x=3（x的系数化为1）.

［师］x=3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论.

（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）

［生］x=3是由一元一次方程x=3（x－2）（2）解出来的，x=3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x=3代入方程（1）的左边=1，右边=1，左边=右边，所以x=3是方程（1）的解.

［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.

2、例2解方程：

4

2

480 300

=

-

x

x

（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）

解：方程两边同乘以2x，得 600－480=8x

解这个方程，得 x=15

检验：将x=15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.

［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯.

3、议一议

解方程

2

2

1

2

1

-

-

=

-

-

x

x

x

［师］我们来看小亮同学的解法：

方程两边同乘以x－2,得2－x=－1－2（x－2）

解这个方程，得 x=2.

［师］你认为 x=2是原方程的根吗？与同伴交流。

（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）

［师］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了。我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.

［师］在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？

［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.

［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？

［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.

［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.

三、应用，升华

1 . 课本90页随堂练习

2.回顾，总结

课本90页想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？

解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.

四、课时小结

［师］同学们，通过学习这节课，你有什么收获呢？

教师引导学生总结。

五、课后作业

习题3.7第1题

板书设计

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