《 分式方程》word版 公开课一等奖教案 1
数学八年级下册《分式方程》省优质课一等奖教案
《分式方程》教案1.理解分式方程的概念.2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型,并能归纳出分式方程的描述性定义.3.在建立分式方程数学模型的过程中获得成就感,提高解决问题的能力.1.经历探索分式方程概念的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性,明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系与区别.2.经历“实际问题——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,增强学生应用数学解决实际问题的意识.3.通过分式方程的实际应用,提高学生的思维水平和应用意识.通过创设贴近学生生活实际的现实情境,增强学生的应用意识,培养学生对生活的热爱.如节约用水、用电的教育.【重点】实际生活中分式方程应用题的分析与应用.【难点】生活中关于分式方程应用题的探究.第课时1.理解分式方程的概念.2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型,并能归纳出分式方程的描述性定义.1.经历探索分式方程概念的过程.2.经历“实际问题——建立分式方程模型”的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识.3.通过分式方程的实际应用,提高学生的思维水平和应用意识.通过创设贴近学生生活实际的现实情境,增强学生的应用意识,培养学生对生活的热爱,如节约用水、用电的教育.【重点】根据题意列分式方程.【难点】分式方程应用题的探究.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习方程的有关知识.导入一:在本章的第一节“认识分式”中,我们曾研究过一个“固沙造林,绿化家园”的问题.面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400 hm2,实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm2,结果提前4个月完成原计划任务.如果设原计划每月固沙造林x hm2,那么(1)原计划完成造林任务需要多少个月?(2)实际完成造林任务用了多少个月?〔解析〕这一问题中有哪些已知量和未知量?已知量:造林总面积2400 hm2,实际每月造林面积比原计划多30 hm2.未知量:原计划每月固沙造林多少公顷.这一问题中有哪些等量关系?实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30 hm2.原计划完成的时间-实际完成的时间=4个月.我们设原计划每月固沙造林x hm2,那么原计划完成工程需要个月,实际完成工程用了个月,根据题意,可得方程.答案:;;-=4.问题:-=4这个方程和我们先前学习的方程有什么不同?怎样解这样的方程?[设计意图]为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程,体会分式方程的模型在解决实际问题中的作用,利用本章第一节“认识分式”中一个熟悉的问题,引导学生努力寻找问题中的所有等量关系,发展学生分析问题、解决问题的能力.导入二:甲、乙两地相距1400 km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h,已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8 倍.(1)你能找出这一问题中的所有等量关系吗?(2)如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h,那么x满足怎样的方程?(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h,那么y满足怎样的方程?〔解析〕(1)等量关系包括:乘高铁列车所用的时间+9 h=乘特快列车所用的时间;高铁列车的平均行驶速度=2.8×特快列车的平均行驶速度;乘高铁列车所用的时间=.乘特快列车所用的时间=.(2)+9=.(3)=2.8×.【问题】上述(2)(3)的两个方程之间有什么共同特点?这种方程我们学过吗?[设计意图]让学生经历从实际问题抽象、概括出分式方程这一“数学化”的过程,体会分式方程的模型作用,设置这个例题的目的是引导学生寻找问题中的所有等量关系,提高学生分析问题、解决问题的能力.一、列分式方程为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800元,八年级同学捐款总额为5000元,八年级捐款人数比七年级多20人,而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果设七年级捐款人数为x人,那么x满足怎样的方程?〔解析〕教学时,要求学生寻找问题中的所有等量关系,主要等量关系有: 八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人.七年级捐款总数=七年级捐款人数×七年级人均捐款额.八年级捐款总数=八年级捐款人数×八年级人均捐款额.七年级人均捐款额=八年级人均捐款额.列方程为=.[设计意图]让学生经历从实际问题抽象、概括出分式方程这一“数学化”的过程,感受建立分式方程的模型的必要.二、分式方程的定义思路一【问题】(1),是整式还是分式?(2)以往学过的方程中,分母中含有字母吗?【答案预设】学生会比较容易地回答出第(1)问是分式;对于第(2)问分式中含有字母这个特点还缺乏概括能力,需要对学生进行提示和指导.归纳:分式方程的重要特征:(1)含分母;(2)分母中含有未知数.分式方程与整式方程的区别:分式方程中的分母含有未知数,而整式方程中的分母不含有未知数.[设计意图]让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同,从而得出分式方程的概念.注意引导学生理解分式方程的重要特征,分清分式方程与整式方程的区别.思路二【问题】一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?〔解析〕设江水的流速是v千米/时.(1)轮船顺流航行速度为(20+v)千米/时,逆流航行速度为(20-v)千米/时.(2)顺流航行100千米所用的时间为小时;(3)逆流航行60千米所用的时间为小时;(4)根据题意可列方程为=.【议一议】方程=的特征.教师提出问题,学生思考、讨论后在全班交流.【学生活动】该方程的特征是分母中含有未知数.教师总结出分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.【想一想】方程x+(x+1)=是分式方程吗?【学生活动】不是分式方程,分母中不含有未知数.【老师总结】方程中含有分式,并且分母中含有未知数的方程才属于分式方程.【做一做】在关于x的方程①=8+,②=x,③=,④x-=0中,是分式方程的有 ()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④〔解析〕方程①和②的分母中都不含有未知数,方程③和④的分母中都含有未知数,所以③和④是分式方程.故选C.[设计意图]通过让学生经历实际问题的分析过程,并总结出分式方程的特点,进而给出分式方程的定义,便于学生理解.[知识拓展]1.根据定义判断一个方程是不是分式方程,应该看原方程,而不是化简后的方程.2.分式方程与整式方程的区分:=-次方程-=2,+1=分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.1.下列关于x 的方程中,不是分式方程的是 ( ) A.= B.=C.=4 D .-=解析:选项D,方程的分母中不含有未知数.由分式方程的定义知不是分式方程.故选D .2.某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,则原计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设原计划每天加工x套,则根据题意可得方程为()A.+=18B.+=18C.+=18D.+=18解析:本题的关键是寻找两个不同工作效率下完成任务的时间,一个是先前加工160套所需的时间,另一个是提高工作效率后,加工剩余的运动装所需要的时间,由题意列出等量关系.故选B.第1课时一、列分式方程二、分式方程的定义一、教材作业【必做题】教材第125页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第126页习题5.7的1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列关于x的方程中,是分式方程的有 ()①x2+=0;②x+5x-6=0;③+3=0;④-=0.A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列方程是分式方程的是()A.=B.=-2C.2x2+x-3=0D.2x-5=3.运动会上,八(3)班拉拉队买了两种价格的雪糕,其中甲种雪糕共花费40元,乙种雪糕共花费30元,甲种雪糕比乙种雪糕多20根,乙种雪糕的价格是甲种雪糕价格的1.5倍,若设甲种雪糕的价格为x元,根据题意可列方程为 ()A.-=20B.-=20C.-=20D.-=204.甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加工一件,乙加工服装24件所用的时间与甲加工服装20件所用的时间相同.如何用方程来描述其中数量间的相等关系?【能力提升】5.一个两位数的个位数字是4,如果把个位数字与十位数字对调,那么所得的两位数与原两位数的比值是.如何用方程来描述其中数量之间的相等关系?6.某校学生到离学校15 km处植树,部分学生骑自行车出发40 min后,其余学生乘汽车出发,汽车速度是自行车速度的3倍,全体学生同时到达.如何用方程来描述其中数量之间的相等关系?【拓展探究】7.一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,加一台乙型拖拉机,两台合耕,1天耕完这块地的另一半.如果乙型拖拉机单独耕另一半需x天,求x满足的方程.【答案与解析】1.C2.A3.B(解析:由题中的等量关系知选B.)4.解:设甲每天加工服装x件,可得方程=.(答案不唯一)5.解:设对调前这个两位数的十位数字是x,可得方程=.6.解:设自行车的速度为x km/h,则汽车的速度为3x km/h,可得方程=+.(答案不唯一)7.解:因为甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,所以甲型拖拉机耕完这块地需要8天,乙型拖拉机单独耕另一半需x天,则乙型拖拉机耕完这块地需要2x天,两台合耕,1天耕完这块地的另一半,耕完这块地需要2天,由题意得+=.本节课循序渐进,合理设计教学问题,有效地组织教学活动,既发挥教师的主导作用,又体现学生的主体地位,较好地完成了教学目标.个别学生对分式方程的理解还有难度,对分式方程和整式方程的区别也有待加强.从整式方程和分式方程的定义入手,加以区别,让学生从实际中领悟.随堂练习(教材第125页)1.解:x=,x-950=12%·x,(1-12%)·x=950,=12%,=1-12%等.其中=12%,=1-12%是分式方程.2.提示:=.习题5.7(教材第126页)1.提示:=.2.提示:+=1或+=.3.提示:-=45.某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成;现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成;如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?三位同学都给出了自己的答案.甲同学:+=1;乙同学:+=1;丙同学:2+=1.老师表扬了三位同学,并说道:“你们其中有一位的结论是错误的,你知道谁的错了吗?”请同学们分析这个问题,列出的方程是整式方程吗?该如何解呢?第课时掌握解分式方程的基本方法和步骤.经历和体会解分式方程的基本步骤,使学生进一步了解“转化”思想,能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的方法.培养学生养成自觉反思、求解和自觉检验的良好习惯,运用“转化”的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得一种成就感和学习数学的自信心.【重点】1.掌握解分式方程的基本方法和步骤.2.掌握将分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.【难点】1.解分式方程的基本方法和步骤.2.检验分式方程的解.【教师准备】复习分式方程的定义和讲解教材例题的课件.【学生准备】复习分式方程的定义.导入一:【问题1】写出与的最简公分母.【问题2】解一元一次方程-1=.[设计意图]通过回顾找最简公分母、解一元一次方程的步骤,引导学生过渡到解分式方程.提醒学生注意解一元一次方程每一步易犯的错误,同时老师还应强调检验方程的根的重要性,并为解分式方程的验根打下基础.导入二:【问题】什么是方程的解?你能设法求出分式方程-=9的解吗?生1:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.生2:解法1:-=9,=9,x=100.生3:解法2:=9,=9,=9,x=100.生4:解法3:1400-500=9x,9x=900,x=100.生5:解法4:1400×2.8-1400=2.8x×9,2.8×9x=1.8×1400,x=100.[设计意图]由复习的内容引出本节内容,激发学生的求解欲望,引导学生利用不同的方式解决这个问题.例题讲解(教材例1)解方程=.〔解析〕根据等式的基本性质,方程两边都乘x(x-2),化分式方程为整式方程.解:方程两边都乘x(x-2),得x=3(x-2).解这个方程,得x=3.检验:将x=3代入原方程,得左边=1,右边=1,左边=右边.所以,x=3是原方程的根.[设计意图]通过观察,使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题的讲解,让学生明确解分式方程的一般步骤.通过观察类比,学生容易发现只要方程两边同时乘最简公分母,可以约去分母,使方程转化为学过的一元一次方程,从而解决问题.(教材例2)解方程-=45.解:方程两边都乘2x,得960-600=90x.解这个方程,得x=4.经检验,x=4是原方程的根.[设计意图]使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法,并强调一定要检验.[教学注意]让学生规范书写过程.在解题过程中,要提醒学生可先化简原方程,从而达到简便运算的目的.(教材议一议)在解方程=-2时,小亮的解法如下:方程两边都乘x-2,得1-x=-1-2(x-2).解这个方程,得x=2.你认为x=2是原方程的根吗?与同伴交流.〔解析〕在这里,x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是,我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式.因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零,有时也要看是否符合实际意义.[设计意图]让学生通过解这个方程,展开讨论,了解分式方程会产生增根的原因,体会分式方程检验的必要性.[知识拓展]1.把分式方程化为整式方程的方法是去掉分式方程中的分母.如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤.2.用分式方程中各式的最简公分母分别乘方程的两边,从而约去分母.但要注意用最简公分母乘方程两边的每一项,切勿漏项.3.解分式方程可能产生使最简公分母为零的增根,因此检验是解分式方程必要的步骤.解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解,必须舍去.1.(重庆中考)关于x的方程=1的解是()A.x=4B.x=3C.x=2D.x=1答案:B2.(湘潭中考)分式方程=的解为 ()A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4答案:C3.(温州中考)方程=的根是.解析:方程两边同乘最简公分母x(x+1),得3x=2x+2,解这个方程,得x=2,经检验,x=2是原方程的根.所以方程=的根是x=2.故填x=2.4.解方程=.解:方程两边都乘最简公分母x(x-2),得:5x=3(x-2).解这个方程,得x=-3.检验:把x=-3代入原方程的左边和右边,得:左边==-1,右边==-1,左边=右边,因此,x=-3是原方程的解.5.解方程-=.解:方程两边同乘x2-4,得:(x-2)2-16=(x+2)2,即x2-4x+4-16=x2+4x+4,解这个方程,得x=-2.检验:把x=-2代入x2-4,得x2-4=0.所以原方程无解.第2课时例题讲解一、教材作业【必做题】教材第128页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第128页习题5.8的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.解分式方程-=-时会产生增根,则增根的值是()A.x=0B.x=0和x=-1C.x=-1D.无法确定2.把分式方程=转化为一元一次方程时,方程两边需同乘()A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.(孝感中考)分式方程=的解是.【能力提升】4.(荆州中考)若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是()A.m>-1B.m≥1C.m>-1且m≠1D.m≥-1且m≠15.若关于x的方程+=无解,求k的值.【拓展探究】6.已知方程x+=2+的解是x1=2,x2=;x+=3+的解是x1=3,x2=;x+=4+的解是x1=4,x2=……(1)写出下面两个方程的解:①x+=10+,;②x+=a+,.(2)试写出方程x+=a+的解.7.(嘉兴中考)小明解方程-=1的过程如图.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.【答案与解析】1.C(解析:增根是使原分式方程的分母为零的x的值.)2.D(解析:方程两边都乘最简公分母x(x+4).)3.x=解析:方程两边同乘x(x+3),得x+3=5x,解得x=.经检验,x=是原方程的解.故填x=.4.D(解析:去分母,得m-1=2x-2,解得x=,由题意,得≥0且≠1,解得m≥-1且m≠1,故选D.)5.解:去分母,得x+2+k(x-2)=3,x=,所以当k=-1时原分式方程无解;当=2时情况不存在,当=-2,即k=-时原分式方程无解.(分式的分母不能为零)6.解:(1)①x1=10,x2=,②x1=a,x2=. (2)x1=a,x2=-.7.解:小明的解法有三处错误:步骤①去分母错误;步骤②去括号错误;步骤⑥之前缺少“检验”步骤.正确的解答过程如下:去分母,得1-(x-2)=x,去括号,得1-x+2=x,移项,得-x-x=-1-2,合并同类项,得-2x=-3,两边同除以-2,得x=.经检验,x=是原方程的解,所以原方程的解是x=.学生已经明确解分式方程时,在方程的两边要同乘最简公分母,将分式方程化为整式方程.个别学生在解方程时会忽略验根,这时候应该教给学生必要的方法策略.在教学中,注意引导学生理解化归的思想,即将分式方程转化为整式方程.随堂练习(教材第128页)1.提示:(1)x=4. (2)x=1.2.提示:x=480.习题5.8(教材第128页)1.提示:(1)x=1. (2)x=3. (3)y=3是增根,原方程无解.2.提示:不对,x=是原方程的增根.3.解:设原计划每天铺设x m管道,根据题意,得-=30,解得x=20,经检验,x=20是原方程的解,(1+25%)x=25,所以实际每天铺设25 m管道.4.解:设甲厂产品的合格率为x%,则乙厂产品的合格率为(x-5)%,根据题意得=,解得x=80.经检验,x=80是原方程的解,所以甲厂产品的合格率为80%.读下列材料:方程-=-的解为x=1;方程-=-的解为x=2;方程-=-的解为x=3;(1)请你观察上述方程与解的特征,写出能反映上述方程一般规律的方程,并猜想这个方程的解;(2)利用(1)所得的结论,写出一个解为x=2014的分式方程.解:(1)-=-.其解为x=n+2.(2)n+2=2014,n=2012,其对应方程为-=-.1.分式方程的增根或无解问题关于x的方程+=-1无解,求m的值.〔解析〕分式方程无解时有两种情况:①所得整式方程的解恰好是原分式方程的增根;②最后化成整式方程是“0·x=非0常数”的形式.解:原方程去分母,得3-2x-(2+mx)=-(x-3).整理,得(m+1)x=-2.①当x=3时,原方程无解,此时m=-;②当m=-1时,方程(m+1)x=-2无解,即原方程也无解.故当m=-或m=-1时,原方程无解.[解题技巧]当题目只是说分式方程有增根时,只需对第①种情况进行讨论;当题目说分式方程无解时,则需同时对①②两种情况进行讨论.2.确定字母系数的取值范围已知关于x的方程-2=有一个正数解,求m的取值范围.〔解析〕先根据解分式方程的步骤求出分式方程的解,并根据x>0且x≠3列出不等式,即可求出m的取值范围.解:方程两边同乘x-3,得:x-2(x-3)=m,解得x=6-m.∵x>0且x≠3,∴6-m>0且6-m≠3,解得m<6且m≠3.故m的取值范围是m<6且m≠3.[解题技巧]此类题型中要注意x的取值不能是原分式方程的增根,例如此题中易漏掉对x≠3的讨论.第课时通过创设日常生活中的情境,经历探索分式方程应用的过程,会检验根的合理性.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学数学、用数学的意识.通过创设贴近学生生活实际的现实情境,增强学生的应用意识.【重点】分式方程的应用.【难点】在实际问题中建立分式方程的模型.【学生准备】复习分式方程的有关知识.导入一:【活动内容】1.解分式方程的一般步骤.2.解方程-=1.3.一元一次方程解应用题的一般步骤.生1:解分式方程的一般步骤:(1)在方程的两边同乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解,必须舍去.生2:解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=(x+1)(x-1),解得x=1,经检验,x=1是原方程的增根,所以原方程无解.生3:可以简单记为:审——设——列——解——验——答.[设计意图]回顾上节课知识,检查学生的掌握情况,引导学生回忆一元一次方程解应用题的一般步骤,以及每一步应注意的问题.自然过渡到列分式方程解应用题.导入二:情境:某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%.求这种服装的成本.(要求用多种方法解答)生1:这种服装的成本为=120(元).生2:设这种服装的成本为x元,根据题意,得x·(1+25%)=150,解得x=120,即这种服装的成本为120元.生3:设这种服装的成本为x元,根据题意,得=25%,解得x=120,经检验,x=120是所列方程的解.即这种服装的成本为120元.[设计意图]从学生已有知识入手,创设一个发生在学生身边的问题情境,让学生带着任务去学习,激发他们的好奇心和探究问题的兴趣,自然又快捷的揭示本节课要研究的问题,同时启发学生解决问题的策略是多样化的,防止学生形成思维定势.一、引例某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.(1)你能找出这一情境的等量关系吗?(2)根据这一情境你能提出哪些问题?(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?〔解析〕引导学生从不同的角度寻求等量关系是解决这一问题的关键.解:(1)第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数.出租房屋间数=.(2)求出租的房屋总间数;求出第一年每间房屋的租金.(答案不唯一)(3)设第一年每间房屋的租金是x元,则第二年每间房屋的租金是(x+500)元,根据题意,得:=.解得x=8000.经检验,x=8000是所列方程的根.即第一年每间房屋的租金是8000元.[设计意图]引导学生通过独立思考和小组讨论的形式,用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题,形成解决问题的一些基本策略,并从中体验解题策略的多样性,培养学生的实践能力与创新精神.引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.二、例题讲解(教材例3)某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨.小丽家去年12月的水费是15元,而今年7月的水费则是30元.已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3,求该市今年居民用水的价格.〔解析〕此题的主要等量关系是:小丽家今年7月的用水量-小丽家去年12月的用水量=5 m3.所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量,而用水量可以用水费除以水的单价得出.于是,设该市去年居民用水的价格是x元/m3,则今年的水价是x元/m3.填表如下:x解:设该市去年居民用水的价格是x元/m3,则今年居民用水的价格是x 元/m3.根据题意,得:-=5.解这个方程,得x=.经检验,x=是所列方程的根.×=2(元/m3).所以,该市今年居民用水的价格是2元/m3.[设计意图]引导学生从不同角度寻求等量关系,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识,引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.强调验根的必要性.(补充例题)某列车平均提速v km/h,用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?〔解析〕这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km所用的时间为 h,提速后列车的平均速度为 km/h,提速后列车运行(s+50)km所用的时间为 h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为 h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它运行(s+50)km所用的时间。
《分式方程》word教案 (公开课获奖)2022北师版 (4)
《分式方程》第1课时教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．教学重难点教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法．教学难点：检验分式方程解的原因．教学过程〔一〕复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．〔二〕新课分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断以下各式哪个是分式方程．在同学讨论的根底上分析：由于我们比拟熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．〔三〕应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，那么轮船顺流航行的速度为〔20＋v 〕千米/时，逆流航行的速度为〔20－v 〕千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时，逆流航行60千米所用的时间为v-2060小时． 可列方程v +20100=v-2060， 方程两边同乘〔20+v 〕〔20－v 〕，得100〔20－v 〕= 60〔20＋v 〕，解得v =5．检验：将v =5代入方程，左边=右边，所以v ＝5为方程的解．所以水流速度为5千米/时．〔四〕总结解分式方程的一般步骤：1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．2．解这个方程．3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．第2课时教学目标1．使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．教学重难点1．了解分式方程必须验根的原因．2．培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力．教学过程〔一〕复习引入解方程：思考：上面两个分式方程中，为什么〔1〕去分母后所得整式方程的解就是〔1〕的解，而〔2〕去分母后所得整式的解却不是〔2〕的解呢？学生活动：小组讨论后总结〔二〕新课〔1〕为什么要检验根？在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解〔或根〕．对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程那么没有这个要求．如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式〔各分式的最简公分母〕的值为零，它就不适合原方程，那么不是原方程的解．〔2〕验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么整式方程的解是原分式方程的解，否那么，这个解不是原分式方程的解．〔三〕应用例1：解方程32-x =x3 解：方程两边同乘x 〔x －3〕，得2x ＝3x －9；解得x ＝9，检验：x ＝9时，x 〔x －3〕≠0，9是原分式方程的解．例2：解方程1-x x －1=)2)(1(3+-x x 解：方程两边同乘〔x －1〕〔x ＋2〕，得x 〔x ＋2〕－〔x －1〕〔x ＋2〕＝3；化简，得x ＋2＝3；解得x ＝1，检验：x ＝1时〔x －1〕〔x ＋2〕＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解． 〔四〕课时小结：解分式方程的一般步骤．第3课时教学目标1．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的根底上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．2．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的根本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成问题，从而渗透数学的转化思想．教学重点和难点教学重点：〔1〕可化为一元一次方程的分式方程的解法．〔2〕分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．教学难点：理解解分式方程的根本思想是把分式方程转化成整式方程．教学过程〔一〕复习提问1．解分式方程的步骤〔1〕能化简的先化简；〔2〕方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；〔3〕解整式方程；〔4〕验根．2．列方程应用题的步骤是什么？〔1〕审；〔2〕设；〔3〕列；〔4〕解；〔5〕答．3．由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的根本公式是什么？ 在学生讨论的根底上，教师归纳总结根本上有五种：〔1〕行程问题：根本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．〔2〕数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．〔3〕工程问题根本公式：工作量=工时×工效．〔4〕顺水逆水问题v 顺水=v 静水＋v 水．v 逆水=v 静水－v 水．〔二〕新课例1．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：甲队一个月完成总工程的31，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的x1，那么甲队半个月完成总工程的61，乙队半个月完成总工程的x 21，两队半个月完成总工程的61＋x21． 等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量，那么有31＋61＋x21＝1 例2：从2021年年5月起某列列车平均提速v 千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？分析：这里的字母v ，s 表示数据，设提速前的平均速度为x 千米/时，那么提速前列车行驶s 千米所用的时间为xs 小时，提速后列车的平均速度为〔x ＋v 〕千米/时，提速后列车行驶〔s ＋50〕千米所用的时间为v x s ++50小时． 等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶〔s ＋50〕千米所用的时间； 列方程得：x s ＝vx s ++50 〔三〕小结对于列方程解应用题，一定要善于把生活语言转化为数学语言，从中找出等量关系．对于我们常见的几种类型题，我们要熟悉它们的根本关系式．第五章反比例函数一、学生知识状况分析通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。
分式方程的教学设计一等奖3篇
1、分式方程的教学设计一等奖一、教学目标1．使学生掌握的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点。
二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：的解法．2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0。
三、教学步骤（一）教学过程1．复习提问（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？（3）解方程，并由此方程说明解方程过程当中产生增根的原因。
通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：的解法相同。
在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的`解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量。
在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力。
2．例题讲解例1 解方程。
分析对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程当中，发现问题并及时纠正。
解：两边都乘以，得去括号，得整理，得解这个方程，得检验：把代入，所以是原方程的根。
分式方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案小学
分式方程教案（小学）一、教学目标：1. 了解分式方程的概念及其应用。
2. 掌握解分式方程的基本方法和技巧。
3. 能够运用所学知识解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学重点：1. 理解分式方程。
2. 掌握解分式方程的步骤和方法。
三、教学难点：1. 解决涉及分式的复杂方程。
2. 运用分式方程解决实际问题。
四、教学准备：1. 课件或黑板、白板。
2. 教学用具：纸和笔。
3. 练习题和解答。
五、教学过程：步骤一：导入（5分钟）教师通过讲解例子或提问的方式引入分式方程的概念，激发学生对分式方程的兴趣和思考。
步骤二：概念解释和例题演示（10分钟）1. 教师简要解释什么是分式方程，并给出一些简单分式方程的例子。
2. 教师通过具体的例题演示，展示解决分式方程的步骤和方法。
步骤三：小组讨论和解题练习（20分钟）1. 学生分成小组，讨论并解决一些给定的分式方程问题。
2. 学生通过解题练习，巩固所学知识和技巧。
步骤四：解题方法总结（10分钟）教师总结解决分式方程的基本方法和技巧，并与学生一起进行归纳总结。
步骤五：拓展应用（15分钟）教师通过实际生活中的例子，引导学生将所学的分式方程知识应用于实际问题的解决中。
步骤六：练习和评价（15分钟）1. 学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
2. 教师对学生的练习进行评价和反馈。
步骤七：课堂总结（5分钟）教师对本节课的学习内容进行总结，并展示学生的学习成果和进步。
六、教学延伸：1. 可以通过提供更多的分式方程练习题来锻炼学生的解题能力。
2. 可以引导学生尝试解决更复杂的分式方程问题，培养他们的数学思维和推理能力。
七、教学反思：本节课采用了导入、概念解释和例题演示、小组讨论和解题练习等多种教学方法，使学生在积极思考和互动中学习和掌握了分式方程的基本内容和解题方法。
通过课堂练习和评价，可以了解学生的学习情况并及时进行调整和反馈。
未来可以多进行实际问题的拓展应用，培养学生将所学知识运用于实际问题解决的能力。
分式方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案模版
分式方程教案模版一、教学目标：1. 理解分式方程的概念和性质；2. 学会解分式方程并应用解题技巧；3. 培养学生的推理和解决问题的能力。
二、教学重点：1. 分式方程的基本概念；2. 求解分式方程的方法和技巧；3. 实际问题中的分式方程应用。
三、教学难点：1. 解决复杂的分式方程；2. 分析实际问题并建立相应的分式方程。
四、教学准备：1. 教材：教材中有关分式方程的理论知识和习题；2. 教具：黑板、粉笔、而外写字工具；3. 其他辅助材料：教案、PPT等。
五、教学流程：1. 导入（5分钟）教师通过提问或举例的方式引入分式方程的概念，激发学生对数学问题的兴趣，并回顾分式的定义和性质。
2. 知识讲解（15分钟）a. 将分式方程的定义和性质进行详细讲解，包括分式方程的形式、解的概念和分式方程解的判断。
b. 介绍一元一次分式方程的解法和步骤，解释清楚解分式方程时需要注意的常见错误。
3. 解题方法与技巧（20分钟）a. 讲解解分式方程的常用方法和技巧，如通分、化简、消去等。
b. 通过具体的例题进行演示，并带领学生逐步分析解题的步骤和逻辑。
4. 练习与巩固（20分钟）a. 教师提供一些简单的练习题，让学生进行个别或小组讨论；b. 学生进行课堂练习，加深对分式方程解法的理解和掌握。
5. 拓展与应用（20分钟）a. 提供一些实际生活中能够建立分式方程的问题，并分步骤指导学生解题；b. 鼓励学生思考和探索更多分式方程的应用情境，并指导他们建立相应的方程。
6. 总结与归纳（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，提醒学生掌握和记忆要点，并鼓励学生自主学习和思考。
七、教学反思：本节课以分式方程为主题，通过介绍分式方程的定义、性质和解题方法，培养学生对分式方程的理解和应用能力。
在教学过程中，利用多种教学方法，如讲解、演示、练习和探索等，激发学生的学习兴趣，以提高课堂效果。
整个教学流程清晰，环环相扣，有助于学生理解和掌握分式方程的解题方法和技巧，培养他们的数学思维和问题解决能力。
分式方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案幼儿园
分式方程教案幼儿园一、教学目标：1. 让幼儿了解并理解分式方程的概念；2. 培养幼儿解决分式方程问题的能力；3. 培养幼儿的逻辑思维和推理能力；4. 培养幼儿的合作意识和团队精神。
二、教学准备：1. 教师准备一些简单的分式方程题目，如：1/x + 1/(x+1) = 1/2；2. 幼儿学习材料，如纸和铅笔；3. 幼儿游戏道具，如计数棒等。
三、教学过程：1. 导入新知：教师介绍分式方程的概念。
并以真实生活中的例子引出：如果小明的一半糖果加上他弟弟的三分之一糖果等于他们家里一共有的五分之二糖果，那么小明和他弟弟一共有多少个糖果？2. 给出解题方案：教师引导幼儿使用分式方程的方法来解决这个问题。
首先，设小明有x个糖果，弟弟有y个糖果，根据题意可以得到以下两个方程：1/2x + 1/3y = 5/2；x + y = ?；3. 进行解题练习：教师辅导幼儿使用适当的方法解决这个分式方程。
可以通过通分、消元等方法来解决，最终得到x和y的值。
4. 检查学习成果：教师提供其他类似的分式方程题目，让幼儿独立解决，并进行互相分享和讨论。
5. 游戏活动：教师引导幼儿进行分组活动，每个小组设计一个分式方程游戏，其他小组进行挑战。
通过游戏的方式，巩固幼儿对分式方程的理解和应用能力。
6. 小结：教师回顾今天学习的内容，提醒幼儿掌握了什么知识和技能，帮助他们总结经验和教训，形成正确的学习态度和方法。
四、教学反思：通过本课的教学，幼儿可以了解到分式方程的概念和应用方法，锻炼他们的逻辑思维和推理能力。
同时，通过游戏活动，培养了幼儿的合作意识和团队精神，使学习更加有趣和有意义。
然而，在教学过程中，教师需要注意引导幼儿的解题思路和方法，确保他们理解和掌握基本概念与技能。
另外，教师还需要根据幼儿的实际情况进行个性化的教学，确保每个幼儿都能够参与到学习中来，从而更好地达到教学目标。
分式方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案模板
分式方程教案模板一、教学目标：1. 了解分式方程的基本概念和性质；2. 学会解决基本的分式方程；3. 能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 分式方程的基本概念；2. 分式方程的性质；3. 解决分式方程的方法；4. 实际问题的分式方程应用。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）：通过提问、举例等方式，引入分式方程的基本概念，引起学生的兴趣。
2. 知识讲解（20分钟）：a. 分式方程的定义和性质；b. 分式方程的解法：通分，约分，化简，方程两边乘以相应因式等；c. 解决实际问题时的应用。
3. 解题演示（15分钟）：在黑板上讲解并演示解决几个简单的分式方程的例子，引导学生掌握解题方法和步骤。
4. 练习与巩固（30分钟）：把学生分成小组进行练习，每组完成一些分式方程的练习题，既可以巩固所学知识，又可以增强合作意识。
5. 拓展应用（15分钟）：使用实际问题来应用所学的分式方程知识，帮助学生更好地理解和掌握。
6. 总结与评价（5分钟）：对本节课所学内容进行总结，并针对学生的表现进行评价和激励。
四、教学工具：黑板、白板笔，多媒体投影仪。
五、教学评价：1. 学生能够正确理解分式方程的基本概念和性质；2. 学生能够熟练解决基本的分式方程；3. 学生能够应用所学知识解决实际问题。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生对分式方程有了初步的了解，能够掌握一些基本的解题方法和步骤。
但是，在实际问题的应用方面，还需要进一步指导和引导，以提高学生的应用能力。
教师在教学过程中应注意引导学生思考、启发学生学习的兴趣，创设良好的学习氛围。
在巩固练习环节中，可以使用更加贴近学生实际生活和感兴趣的例子，以提高学生的学习积极性和主动性。
通过及时的评价和激励，增强学生对分式方程的学习兴趣和自信心。
省优获奖教案《分式方程》word(部优)
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
《分式方程》教学目标1、知识目标：理解分式方程的意义. 了解解分式方程的基本思路和解法. 理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法.2、能力目标：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.教学重、难点重点：分式方程的概念和解分式方程的基本步骤；难点：理解解分式方程时可能无解的原因.教学过程：创设情境，导入新课：问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设水流的速度是v 千米/时．填空：（1）轮船顺流航行速度为______千米/时，逆流航行速度为____千米/时．（2）顺流航行100千米所用时间为 小时；（3）逆流航行60千米所用时间为 小时；（4）根据题意可列方程为________ ．议一议 方程特征：教师提出问题，学生思考、讨论后在全班交流.学生归纳出：该方程的特征是分母中含有未知数.写出分式方程的意义.想一想 方程x +31×（x +1）=16是不是分式方程? 归纳 确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程才属于分式方程．由此可知：有理方程包含整式方程和分式方程，分式方程转化整式方程．做一做 在方程①73x -=8+152x -，②1626x -=x ，③281x -=81x x +-，④x -112x -=0中，是分式方程的有（ ） A ．①和② B．②和③ C．③和④D ．①和④解一解 解方程163242=--+x x讨论 怎样解方程 v 20100+=v-2060 鼓励学生寻求解决问题的办法，引导学生将分式方程转化为整式方程，学生自然会想到去分母来实现这种转变.1、让学生自己解这个方程，并让学生说明方法，并验证2、你能结合解法，归纳出解分式方程的基本思路和做法吗？试一试 解方程11x -=221x -巩固练习：一、解分式方程：（1）623-=x x（2）1613122-=-++x x x二、方程2515--=-x x m 有增根，求m 的值.练习一：由学生在练习本上独立完成，同时找两名学生到黑板上板演.教师巡视指导，对学习有困难的学生及时帮助指点.学生做完后，同桌互相批阅.练习二：让学生分组讨论：有增根的话，增根是什么？如何求出m 的值？[教学反思]学生对生活中的立体图形感兴趣，气氛极好，能认识圆柱、圆椎、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言简单描述它们的某些特征，也能分别举出生活中的物体哪些是属于圆柱、圆椎、正方体、长方体、棱柱、球．本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。
《分式方程》word教案 (公开课获奖)2022浙教版 (1)
分式方程教学目标知识与技能：（1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。
（2）通过观察，归纳分式方程的概念。
（3）体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。
过程与方法：采用的是尝试——归纳相结合的方法，根据开始提出的多个实际问题。
教师鼓励学生进行尝试，利用具体情境中的等量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义。
情感与态度：在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。
教学重点：探索分式方程的概念，分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性教学难点：列方程解应用题教学方法：尝试归纳相结合教学过程本节课设计了6教学环节：小麦实验田问题——高速公路问题——电脑网络培、训问题——捐款问题——管理问题——课时小节。
一．板书课题，揭示目标二．自学指导请同学们认真考虑下列问题：第一环节小麦实验田问题甲、乙两地相距1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h ，那么x 满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h ，那么y 满足怎样的方程？活动目的为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程在解决实际生活问题中作用，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
第二环节 高速公路问题从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600km 的普通公路，另一条是全长480km 的高速公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45h km /，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
初中七年级数学教案 分式方程(一)(全国一等奖)
分式方程（一）教学目标1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。
2、经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根。
教学分析重点：分式方程及其解法难点：理解增根的意义，会检验舍去增根。
教具：PPT（分式方程（第1课时））教学过程（一）复习旧知分式的定义：分母中含有字母的式子，且分明不能为0.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。
解一元一次方程的步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤把系数化为1⑥检验（二）情景导入一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少分析：设江水流速为V千米/时，请同学们表示出顺流航行速度、逆流航行速度、顺流航行时间，逆流航行时间后找出等量关系列出方程。
10020+V =6020−V给出同类式子，引入分式方程的定义。
（三） 探究方程的解法尝试解方程： 提出问题：（1）这个方程和我们以前的方程有什么区别（2）以前学过的方程如果有分母该怎么办（3）对于这个分式方程该怎么解生：观察方程，寻找分式方程的解法。
师:PPT 展示这个方程的过程，让学生初步归纳这种方程的解法步骤。
解分式方程： 1x−5=10x 2−25方程两边同时乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：x+5=10解得：x=5检验：将x=5代入原分式方程，这时发现分母x-5和x 2-25的值都为0，相应分式无意义。
这时x=5叫做原分式方程的增根，应舍去，所以原分式方程无解。
通过这道题引入增根的定义，讨论增根产生的原因。
增根:在去分母时,将分式方程转化为整式方程过程中出现的不适合于原分式方程的根。
即：使最简公分母值为零的根。
总结解方程的一般步骤：1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
2、解这个整式方程。
vv -=+2060201003、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。
省优获奖教案《分式方程》word(优秀获奖教案)
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
9.3 分式方程【教学目标】一、知识与技能了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程，了解分式方程增根产生的原因，掌握验根的方法。
二、过程与方法经历探索分式的概念和分式方程解法的过程，发展抽象思维能力。
三、情感、态度与价值观通过区别可化为一元一次方程的分式方程或一元一次方程，体会数学知识的严密性；通过检验分式方程的根，培养反思精神。
四、渗透转化思想。
【教学重点】解可化为一元一次方程的分式方程。
【教学难点】方程根的检验及产生增根的原因【教学过程】一、创设情景，引入新课（出示节前图片）某地电话公司调低了长途电话的话费标准，每分费用降低了25％，因此按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分时间，问前后两种收费标准每分收费各是多少？（1）本题中的主要等量关系是什么？（2）如果设原来的收费标准是x元/分，可列怎样的方程？（3）该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？与学生讨论后得到题中的等量关系，并列出方程：8 x －6x=5 ，再举例：如12x213x-=，2233xx+=+12xx+=等，让学生观察这些方程与以前学过的方程有什么不同之处？待学生说出后，师生共同归纳得出分式方程的概念：板书：像这样只含分式或整式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
〖设计说明：通过创设情景，让学生了解分式方程来源于实际，学习解分式方程是为了解决生活中的实际问题，体会到解分式方程的重要性〗二、理解应用，体验成功。
《分式方程》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (1)
《分式方程》教学目标：1.理解分式方程的意义2.了解解分式方程的基本思路和解法3．理解解分式方程时，可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法教学重点：解分式方程的基本思路和解法教学难点：理解解分式方程时可能无解的原因教学过程（一）创设情景，引入新课[活动1]（情景图片）问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？1.这个问题中给出了哪些信息，等量关系是什么？2.设江水的流速为V千米/时轮船顺流航行速度为______千米/时,逆流航行速度为______千米/时,顺流航行100千米所用时间为______小时,逆流航行60千米所用时间为______小时,列方程_____（二）引导自学、合作探究[活动2]1.问题:(1)方程 与以前所学的整式方程有何不同？ (2)满足什么特点的方程叫分式方程？像这样分母中含有未知数的方程，叫做分式方程.确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程的分母中含有未知数，像这样的方程才属于分式方程. （三）应用迁移，巩固提高 [活动3]问题:（1）解分式方程：上面两个方程中,为什么去分母后所得整式方程的解是它的解,而去分母所得整式方程的解却不是它的解呢? （3）探究:分式方程无解的原因是什么？(分式方程去分母后的整式方程的解代入原分式方程分母中,分母为0无意义,所以分式方程无解) （4）探究:如何检验分式方程的解?1.直接代入原方程(计算量大,很少用)2.间接代入最简公分母(常用检验方法) （四）总结反思，拓展升华 探究:解分式方程基本思路是什么？有哪些步骤？每一步的目的是什么？ 解分式方程的基本思路是：分式方程通过去分母转化成整式方程.100 20+V =6020-V 1x-5=10 X 2-25100 20+V=60 20-V1 x-5=10 X 2-25步骤：口诀：一化二解三检验探究：解分式方程有哪些误区警示？失误一:解分式方程忘记检验失误二:去分母时忘记加括号失误三:去分母时漏乘不含分母的项失误四:分母中有多项式忘记因式分解,后再找最简公分母.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
人教初中数学八上 《分式方程》教案 (公开课获奖)1
15．3分式方程(一)一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检 验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 三、教学过程：〔一〕板书标题，呈现教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.〔二〕引导学生自学：阅读P26-29练习，并思考以下问题: 1.分式方程的概念？2.解整式方程的一般步骤？解分式方程的一般步骤又是什么？3.为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解？4．分式方程为什么要检验？检验的方法的理论根据是什么？8分钟后，检查自学效果〔三〕学生自学，教师巡视： 学生认真自学，并完成P29练习 〔四〕检查自学效果：1．学生答复老师所提出的问题 2．学生答复P29练习〔五〕引导学生更正，归纳： 1．更正学生错误；2．分母中含未知数的方程叫做分式方程.3．要使学生掌握解分式方程的根本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母〞，即方程两边同乘最简公分母.4．P28例1.找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积〞，这样做也比拟简便. 5．P28例2.找对最简公分母(x -1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,不要整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根. 〔六〕课堂练习 1．解方程(1) 01152=+-+x x (2) xx x 38741836---=- (3)01432222=---++x x x x x (4) 4322511-=+-+x x2．X 为何值时，代数式xx x x 231392---++的值等于2？ 作业：1．习题15.3第1题(B 本)2．《感悟》P14-16 分式方程(一) 3.预习P29-31练习.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，D CA BD CABDCA B求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3．练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．D CA B〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析EDCABP四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
《分式方程》word教案 (公开课获奖)2022北师版 (3)
<分式方程>第1课时教学目标1、使学生理解分式方程的意义 ,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．2、培养学生自主探究的意识 ,提高学生观察能力和分析能力．教学重难点教学重点：理解分式方程的意义．教学难点：会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．教学过程〔一〕问题情境导入问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同． 水流的速度是3千米/时 ,求轮船在静水中的速度．〔二〕实践与探索1：分式方程的概念：[分析]：设轮船在静水中的速度为x 千米/时 ,根据题意 ,得360380-=+x x方程〔1〕有何特点 ?[概括]方程〔1〕中含有分式 ,并且分母中含有未知数 ,像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗 ?〔三〕实践与探索2：分式方程的解法1、思考：怎样解分式方程呢 ?为了解决本问题 ,请同学们先思考并答复以下问题：1〕回忆一下一元一次方程时是怎么去分母的 ,从中能否得到一点启发 ?2〕有没有方法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢 ?方程〔1〕可以解答如下：方程两边同乘以〔x +3〕(x -3) ,约去分母 ,得80〔x -3〕 =60〔x +3〕．解这个整式方程 ,得x =21．所以轮船在静水中的速度为21千米/时2、概括．上述解分式方程的过程 ,实质上是将方程的两边乘以同一个整式 ,约去分母 ,把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最|简公分母．3、例1、解方程：11-x =122-x ．解：方程两边同乘以〔x 2 -1〕 ,约去分母 ,得x +1 =2．解这个整式方程 ,得x =1．事实上 ,当x =1时 ,原分式方程左边和右边的分母〔x －1〕与〔x 2－1〕都是0 ,方程中出现的两个分式都没有意义 ,因此 ,x =1不是原分式方程的根 ,应当舍去．所以原分式方程无解．4、在将分式方程变形为整式方程时 ,方程两边同乘以一个含未知数的整式 ,并约去了分母 ,有时可能产生不适合原分式方程的解〔或根〕 ,这种根通常称为增根．因此 ,在解分式方程时必须进行检验．5、那么 ,可能产生 "增根〞的原因在哪里呢 ?6、验根的方法解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见 ,也可将它代入所乘的整式〔即最|简公分母〕 ,看它的值是否为零．如果为零 ,即为增根．如例1中的x =1 ,代入x 2－1＝0 ,可知x =1是原分式方程的增根．7、有了上面的经验 ,我们再来完整地解二个分式方程．例2、解方程：〔1〕1－x -45 =41-x 〔2〕22+-x x －4162-x =22-+x x 可先放手让学生自主探索 ,合作学习并进行总结．深入理解．学生尝试解题 ,并思考产生增根的原因．总结解分式方程的步骤 ,并真正理解增根．〔四〕小结①、什么是分式方程 ?举例说明；②、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最|简公分母 ,约去分母 ,化为整式方程．解这个整式方程．验根 ,即把整式方程的根代入最|简公分母 ,看结果是不是零 ,假设结果不是0 ,说明此根是原方程的根；假设结果是0 ,说明此根是原方程的增根 ,必须舍去．3、解分式方程为什么要进行验根 ?怎样进行验根 ?第2课时教学目标1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．2、通过分式方程的应用教学 ,培养学生数学应用意识．教学重难点教学重点：让学生学习审明题意设未知数 ,列分式方程．教学难点：在不同的实际问题中 ,设元列分式方程．教学过程〔一〕复习并问题导入1、复习练习解以下方程：〔1〕34211x x x x -+=-++ 〔2〕6272332+=++x x 2、列方程解应用题的一般步骤 ?[概括]这些解题方法与步骤 ,对于学习分式方程应用题也适用．这节课 ,我们将学习列分式方程解应用题．讨论后答复．〔二〕实践与探索1：列分式方程解应用题例1某校招生录取时 ,为了防止数据输入出错 ,2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍 ,然后让计算机比较两人的输入是否一致．甲的输入速度是乙的2倍 ,结果甲比乙少用2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩 ?[分析]〔1〕如何设元 ?〔2〕题目中有几个相等关系 ?〔3〕怎样列方程 ?解：设乙每分钟能输入x 名学生的成绩 ,那么甲每分能输入2x 名学生的成绩 ,根据题意得 x 22640＝6022640⨯-x ．解得x ＝11．经检验 ,x ＝11是原方程的解．并且x ＝11 ,2x ＝2×11＝22 ,符合题意．答：甲每分钟能输入22名学生的成绩 ,乙每分钟能输入11名学生的成绩．概括：列分式方程解应用题的一般步骤：〔1〕审清题意；〔2〕设未知数〔要有单位〕；〔3〕根据题目中的数量关系列出式子 ,找出相等关系 ,列出方程；〔4〕解方程 ,并验根 ,还要看方程的解是否符合题意；〔5〕写出答案〔要有单位〕．实践与探索2：例2：A ,B 两地相距135千米 ,两辆汽车从A 开往B ,大汽车比小汽车早出发5小时 ,小汽车比大汽车晚到30分钟 ,小汽车与大汽车的速度之比为5：2 ,求两车的速度． 解析：设大车的速度为2x 千米/时 ,小车的速度为5x 千米/时 ,根据题意得21551352135-=-x x ；解之得x =9 , 经检验x =9是原方程的解 ,当x =9时 ,2x =18 ,5x =45．答：大车的速度为18千米/时 ,小车的速度为45千米/时．练习：我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务 ,由于情况发生了变化 ,急行军速度必需是原方案的1．5倍 ,才能按要求提前2小时到达 ,求急行军的速度．〔三〕小结：列分式方程与列一元一次方程解应用题的差异是什么 ?你能总结一以下分式方程应用题的步骤吗 ?第3课时教学目标1、使学生能较熟练的列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．2、提高分析问题和解决问题的能力．教学重难点教学重点：分析应用题中的数量关系 ,提高思维能力．教学难点：使学生能较熟练的列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．教学过程〔一〕复习并问题导入复习练习1、某农场挖一条960m 长的渠道 ,开工后每天比原方案多挖20m ,结果提前4天完成了任务．假设设原方案每天挖xm ,那么根据题意可列出方程〔 〕A ．960960204x x -+=B ．960209604x x +-=C ．960960204x x --=D ．960209604x x--= 2、为了绿化江山 ,某村方案在荒山上种植1200棵树 ,原方案每天种x 棵 ,由于邻村的支援 ,每天比原方案多种了40棵 ,结果提前了5天完成了任务 ,那么可以列出方程为〔 〕 A ．x 1200－401200+x =5 B ．401200-x －x 1200 =5 C ．401200+x －x 1200 =5 D ．x 1200－401200-x =5 〔二〕创新例题讲解与练习稳固例1：购一年期债券 ,到期后本利只获2700元 ,如果债券年利率12．5% ,那么利息是多少元 ?解：〔1〕设利息为x 元 ,那么本金为〔2700 -x 〕元 ,依题意列分式方程为：xx -2700 =12.5% 解此方程得x =300 ,经检验x =300为原方程的根．答：利息为300元．练习：一组学生乘汽车去春游 ,预计共需车费120元 ,后来人数增加了41 ,费用仍不变 ,这样每人少摊3元 ,原来这组学生的人数是多少个 ?此题是策略问题 ,应让学生合作交流解法．注意分类讨论思想．合作交流解法例2：某一工程 ,在工程招标时 ,接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天 ,需付甲工程队工程款1.5万元 ,乙工程队工程款1.1万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算： 〔1〕甲队单独完成这项工程刚好如期完成；〔2〕乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；〔3〕假设甲、乙两队合做4天 ,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．在不耽误工期的前提下 ,你觉得哪一种施工方案最|节省工程款 ?练习：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购置铅笔300枝以上 ,〔不包括300枝〕 ,可以按批发价付款 ,购置300枝以下 ,〔包括300枝〕只能按零售价付款．小明来该店购置铅笔 ,如果给八年级|学生每人购置1枝 ,那么只能按零售价付款 ,需用120元 ,如果多购置60枝 ,那么可以按批发价付款 ,同样需要120元 ,〔1〕这个八年级|的学生总数在什么范围内 ?〔2〕假设按批发价购置6枝与按零售价购置5枝的款相同 ,那么这个学校八年级|学生有多少人 ?〔三〕小结：列分式方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题注意分析题目中的数量 ,分清哪些是未知数 ,哪些是数 ,再找出这些数量间的关系 ,尽量找出多的数量关系 ,一般地 ,其中一个用来设立未知数 ,另一个用来立方程．第五章反比例函数一、学生知识状况分析通过本章的学习 ,学生已经经历抽象反比例函数概念的过程 ,理解了反比例函数的概念 ,会作出反比例函数的图象 ,并探索和掌握其性质 ,能从函数图象中获取信息来解决实际问题 .本章的教学主要以直观操作 ,观察 ,概括和交流作为主要的活动方式 .通过这些活动 ,对函数的三种表示方法进行有机的整合 ,逐步形成对函数概念的整体性认识 ,逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力 ,提高学生的感知水平 ,逐步形成从函数视角处理问题的意识 ,体验数形结合的数学思想方法.教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发 ,以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况 ,考查学生对反比例函数的定义 ,图象 ,性质及其应用掌握的程度 ,以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.二、教学任务分析函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的根底上抽象出来的数学概念, 是研究现实世|界变化规律的重要内容及数学模型, 学生已经在七年级|下册和八年级|上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容, 对函数已有了初步的认识, 在此根底上讨论反比例函数, 可以进一步领悟函数的概念 ,并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响 .教学目标(一)知识与能力1.经历抽象反比例函数概念的过程 ,理解反比例函数的概念.2.会作反比例函数的图象 ,并探索和掌握反比例函数的主要性质.3.会从函数图象中获取信息 ,能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.(二)过程与方法1.熟练掌握本章的整体知识结构 ,培养学生的概括和归纳能力 ,形成知识体系.2.在经历抽象反比例函数概念的过程中 ,领会反比例函数的意义 ,理解反比例函数的概念 ,进一步培养学生的抽象思维能力.3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程 ,在合作与交流中开展学生的合作意识和交流能力.4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象 ,并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.(三)情感与价值观通过本章内容的回忆与思考 ,开展学生的数学应用能力 ,经历函数图象信息的识别与应用过程 ,开展学生的形象思维能力 ,激发学生学习的热情 ,培养学生学习数学的兴趣 .教学重点本章知识的网络结构体系.反比例函数的概念.会作反比例函数的图象 ,并掌握其性质.反比例函数的相关应用.教学难点利用反比例函数的图像 ,探索反比例函数的主要性质.反比例函数的相关应用.教学方法自主探究、合作交流.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第|一环节：复习提问 ,引人入胜；第二环节：知识串联 ,形成体系；第三环节：例题精练 ,稳固新知；第四环节：交流探讨、收获小结；第五环节：课后作业第|一环节：复习提问 ,引人入胜活动目的给学生设置疑问 ,激发学生的思考和回忆 ,明确本节课的学习任务 .活动过程：本章的内容已全部学完 ,请大家先回忆一下 ,本章学习了哪些主要内容?学生答复预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用 .. 教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习 ..第二环节：知识串联 ,形成体系活动目的：引导学生对本章的所学的根底知识进行系统的归纳和整理 ,使学生明确各个知识点之间的联系 , 将根底知识网络化 ,形本钱章知识的框架结构体系 .活动过程：〔一〕本章知识结构引导学生构造本章知识结构图 . (可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图 ,上课进行展示和交流)本章内容框架活动效果：学生可以根据以上内容框架 ,对自己整理的知识框架进行补充和整理 ,完善自己的知识体系 ,并能用自己的语言归纳总结本章内容.本卷须知：1. 应以学生自主总结和归纳为主 ,教师要在适时适当的给予指导；2.对于学生个性化的结构框架的整理设计 ,只要合理 ,老师都应给予肯定 .（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例 ,并归纳出反比例函数概念.学生答复预设：例：当三角形的面积是16 cm 2时 ,它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数. 解：a ＝h32. 在上式中 ,任意给定h 一个值 ,相应地就确定了一个a 的值.因此a 是h 的函数 .所以一般地 ,如果两变量x ,y 之间的关系可以表示成y =x k (k 是常数 ,k ≠0)的形式,那么称y 是 x 的反比例函数.〔三〕说说函数y ＝x 2和y ＝ -x2的图象的联系和区别. 联系：(1)图象都是由两支曲线组成；(2)它们都不与坐标轴相交；(3)它们都不过原点 ,既是中|心对称图形 ,又是轴对称图形.(4)虽然y ＝x 2和y = -x2的图象不同 ,但是在这两个函数图象上任取 -点 ,过这两点分别作x 轴、y 轴的平行线 ,与坐标轴围成的矩形面积相等 ,都为2. 区别：(1)它们所在的象限不同 ,y =x 2的两支曲线在第|一象限和第三象限；y = -x 2的两支曲线在第二象限和第四象限.(2)y ＝x 2的图象在每个象限内 ,y 随x 的增大而减小；y = -x2的图象在每个象限内 ,y 随x 的增大而增大.〔四〕回忆反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝|对值相等而符号相反的 -对一对的数值 ,并尽量多取一些点 ,连线时要连成光滑的曲线 ,而不是折线.反比例函数图象的性质有〔课件演示〕：1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.2.位置：当k>0时 ,图象分别位于第|一、三象限；当k<0时 ,图象分别位于第二、四象限.3.增减性：当k>0时.在每一个象限内 ,y 随x 的增大而减小；当k<0时 ,在每一个象限 ,y 随x 的增大而增大.4.因为在y =xk (k ≠0)中 ,x 不能为0 ,y 也不能为0 ,所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交 ,也不可能与y 轴相交.5.在一个反比例函数图象上任取两点P ,Q ,过点P ,Q 分别作x 、轴 ,y 轴的平行线 ,与坐标轴围成的矩形面积为S 1 ,S 2那么S 1＝S 26.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形 ,又是中|心对称图形 ,它有两条对称轴 ,对称中|心是坐标原点.第三环节：例题精练 ,稳固新知活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题 ,提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力 .活动过程：课件展示例一1.以下函数中 ,其图象位于第|一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内 ,y 的值随x 值的增大而增大的是哪些 ( ) (1)y =x 31 (3)y =x 2.0 (2)y = x10 (4)y = -x 1007 2.在函数y ＝x 3的图象上任取一点P ,过P 分别作x 轴、y 轴的平行线 ,与坐标轴围成的矩形面积是多少?分析：根据反比例函数图象的性质 ,当k ＞0时 ,图象位于第|一、三象限 ,在每一个象限内 ,y 随x 的增大而减小；当k<0时 ,正好相反 ,但在y ＝x31中 ,形式虽然和反比例函数的形式不相同 ,但可以化成y =x31的形式 . 答案：1.图象位于第|一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内 ,y 的值随x 值的增大而增大的有(3)(4).2. S =｜k ｜ =3.例二41 ,当下底面放在桌子上时 ,对桌面的压强是200 Pa ,倒过来放 ,对桌面的压强是多少?2 ,当体积v ＝5米3ρ＝1.98千克／米3 ,求(1)ρ与v 的函数关系式；(2)当v =9米3时 ,CO 2的密度.分析：压强p 、受力面积S 、压力F 三者之间的关系为p =S F ,因为是同一物体 ,所以F 是一定的 ,由于受力面积不同 ,因此压强也不同.质量m 、密度ρ、体积v 三者之间的关系为：ρ =v m ,由v =5米3 ,ρ =1.98千克／米3,可知质量m ,实际代表反比例函数中的k ,求出m ,就确定了反比例函数的关系式. 答案：解：1.当下底面放在桌面上时 ,对桌面的压强为p 1＝S F ＝200Pa,所以倒过来放时 ,对桌面的压强p 2＝S F S F 441 ＝800Pa. 2的质量为m 千克 ,将v =5米3 ,ρ =1.98千克／米3代入公式ρ＝vm 中 ,得m =9.9千克. 故所求ρ与v 间的函数关系式为ρ＝v 9.9. (2)当v ＝9米3时 ,ρ =v 9.9＝1.1(千克／米3) . 课堂练习 课件演示：1.对于函数y =x 2 ,当x>0时 ,y_______0 ,这局部图象在第______象限；对于y ＝ -x 2 ,当x<0时 ,y____0 ,这局部图象在第_____象限.2.函数y =x10的图象在第____象限内 ,在每一个象限内 ,y 随x 的增大而______. 3.根据以下条件 ,分别确定函数y ＝x k 的表达式 (1)当x =2时 ,y ＝ -3；(2)点( -31,21-)在双曲线y ＝x k 上. 答案：1.> 一、三 < 二、四2.一、三 减小3.(1)y =x6- (2)y =x 61； 本卷须知：在本环节教学中 ,教师可以引导学生首|先进行独立思考 ,防止替代思维 ,然后可以通过小组讨论、合作交流等形式 ,启发学生对问题进行探究 ,分析 ,完善解题思路 ,进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律 .第四环节：交流探讨 收获小结活动内容： 教师引导学生进行回忆和整理 ,然后通过师生交流和生生交流 ,答复以下问题：本节课我们都一起回忆和复习了哪些内容 ?交流预设：1.反比例函数概念2.反比例函数图像的做法及性质3.反比例函数在生活中的应用4.做题时要注意数形结合5.具体题目的解题思路活动目的：使学生通过再次的回忆和总结 ,完善自己知识框架 ,进一步培养了学生归纳和交流能力 .第五环节：课后作业〔一〕复习题〔二〕活动与探究反比例函数图象与矩形的面积假设点A 是反比例函数y =xk (k ≠0)图象上的任意一点 ,且AB 垂直于x 轴 ,垂足为B ,AC 垂直于y 轴 ,垂足为C,那么矩形面积S ABOC =｜k ｜.如图(1).1.如图(2) ,P 是反比例函数)y =x k (k ≠O)图象上的一点 ,由P 点分别向x 轴 ,y 轴引垂线 ,得阴影局部(矩形)的面积为3 ,那么 这个反比例函数的表达式______.2. 如图〔3〕过双曲线y =x2上两点A 、B 分别作x 轴 ,y 轴的垂线 ,假设矩形ADDC 与矩形BFOE 的面积分别为S 1,S 2,那么S 1与S 2的关系是_____.答案：1.解：由题意得｜k ｜ =3.又双曲线的两支分布在第二、四象限 ,所以k<0 ,故k ＝ -3.∴k =x3-. 2.解：由题意得S 1 =S 2 =｜k ｜ =2.〔三〕补充练习(课件展示〕〔四〕反比例函数与正比例函数图象性质比较分析正比例函数y=kx(k ≠0) x k y = (k 为常数，且k ≠0) 关系式K ＞0 K ＜0 K ＞0K ＜0 图象 x y 0 xy 0性质 图象经过点 ，与第 象限。
《分式方程》word教案 (公开课获奖)2022苏教版 (3)
10.5 分式方程〔1〕教学目标:1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的根底上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的根本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成问题，从而渗透数学的转化思想．教学重点:(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．教学难点:检验分式方程解的原因课时数:3第一课时教学过程复备栏(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．(二)新课板书课题：分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断以下各式哪个是分式方程．在同学讨论的根底上分析：由于我们比拟熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．〔三〕应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，那么轮船顺流航行的速度为〔20＋v〕千米/时，逆流航行的速度为〔20－v〕千米/时，顺流航行100千米所用的时间为10020v+小时，逆流航行60千米所用的时间为6020v-小时。
可列方程10020v+=6020v-方程两边同乘〔20+V〕〔20－V〕，得100〔20－V〕= 60〔20＋V〕解得 V=5检验：将V=5代入方程，左边=右边，所以v＝5为方程的解。
所以水流速度为5千米/时。
(四)总结解分式方程的一般步骤：1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．2．解这个方程．3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．教学反思：9.1 单项式乘单项式力．教学重点：理解单项式相乘的法那么，会进行单项式的乘法运算．教学难点：能运用单项式乘以单项式的法那么解决实际问题．【情景创设】用6个边长为a的小正方体拼成一个长方体，并用不同的方法表示你所拼出来的长方体的体积，从不同的表示方法中，你能发现些什么？〔1〕体积的表示方法；〔2〕面对你的侧面积的表示方法．探索新知让学生在交流的根底上思考以下问题：〔1〕体积的表示方法：①3a ·2a ·a ＝________________＝6a 3，②3a ·2a ·b ＝________________＝6a 2b ．侧面积的表示方法：3a ·2a ＝________________＝6a 2． 〔2〕从不同的表示中你发现了什么？ 〔3〕通过下面两个计算我们来进一步的探讨：〔2a 2b 〕〔3ab 2〕＝［2 ×3］•〔a 2•a 〕〔b •b 2〕＝6a 3b3系数相乘 相同字母 相同字母〔4ab 2〕〔5b 〕＝［4×5］•〔b 2• b 〕•a ＝20ab 3系数相乘 相同字母 只在一个单项式中出现的字母你能告诉大家你算出的结果吗？你是怎样来思考的呢？ 通过探索得到单项式乘单项式的计算法那么： 〔1〕将它们的系数相乘； 〔2〕相同字母的幂相乘；〔3〕只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．【展示交流】例 1 计算：① －13a 2·(－6ab )； ② 6x 2·(－2x 2y )．注：教师强调格式标准，板书过程．〔通过计算引导学生发现单项式与单项式相乘时，一找系数，二找相同字母的幂，三找只在一个单项式里出现的字母．〕 练习1： 判断正误：〔1〕3x 3·(－2x 2)＝5x 3； 〔2〕3a 2·4a 2＝12a 2； 〔3〕3b 3·8b 3＝24b 9； 〔4〕－3x ·2xy ＝6x 2y ； 〔5〕3ab ＋3ab ＝9a 2b 2． 练习2：课本练一练 第1、2题．例 2 计算：〔1〕(2x )3·(－3xy 2)； 〔2〕(－2a 2b )·(－a 2)·14bc ．注：遇到乘方形式先用积的乘方公式展开，然后转化为单项式乘以单项式的形式，再根据今天所学内容计算． 练习3：计算：〔1〕(a 2)2·(－2ab )； 〔2〕－8a 2b ·(－a 3b 2) ·14b 2 ；〔3〕(－5an ＋1b ) ·(－2a )2；〔4〕[－2(x －y )2]2·(y －x )3．【盘点收获】【课后作业】 补充习题和同步练习。
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按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
9.3 分式方程【教学目标】一、知识与技能使学生学会运用分式方程的思想和方法，解决有关实际问题；利用解分式方程把公式变形。
二、过程与方法经历“实际问题—分式方程模型—求解—解解释的合理性”的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力。
三、情感、态度与价值观通过列分式方程解决实际问题，体会分式方程是解决实际问题的重要模型，发展应用意识。
【教学重点】列分式方程解决实际问题【教学难点】会由实际问题列出分式方程及例4的教学【教学过程】一、创设情景，引入新课物体运动时，经过时间t，速度从原来的v变为v，人们把a=t vv0叫做物体在时间 t内运动的平均加速度。
请求出下列各题的结果。
⑴过山车在下滑的过程中，经过3秒，速度从原来的4米/秒增大到22米/秒，求过山车这段时间内的平均加速度。
⑵请比较下列各速度的大小：①若飞机起飞阶段的平均加速度为8米/秒2，求起飞4秒时飞机的速度；②一只鹰从15米/秒的速度开始加速，在4秒内平均加速度为47米/秒2，求加速4秒时这只鹰的飞行速度；③汽车广告中，一辆汽车从静止开始，经9秒速度达到90千米/时，求该汽车启动后经4秒的速度。
分析：（1）已知平均加速度的公式，很明显把已知量代入即可。
（2）为了比较加速后的速度的大小，必须把它们各自的大小计相关以往知识：________________________________________________________________________________________ 教学内容和方法：____________________________________________________________________________________________________________________________________个性化教学思路及改进建议：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________算出来，给学生足够的时间讨论得到两种方法：解分式方程或公式变形。
《分式方程》word教案 (公开课获奖)2022北师版 (2)
<分式方程>第1课时教学目标1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示 ,体会分式方程的模型思想．2．经历探索分式方程概念 ,分式方程解法的过程 ,会解可化为一元一次方程的分式方程〔方程中分式不超过〕 ,会检验根的合理性 ,明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系．教学重难点教学重点：分式方程解法的过程 ,检验根的合理性．教学难点：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示 ,体会分式方程的模型思想． 教学过程1．创设情景 ,探索交流情景一：有两块面积相同的小麦试验田 ,第|一块使用原品种 ,第二块使用新品种 ,分别收获小麦9000kg 和15000kg ．第|一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ,分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中的所有等量关系吗 ?如果设第|一块试验田每公顷的产量为xkg ,那第二块试验田每公顷的产量是_______kg ． 根据题意 ,可行方程_____________________．答案：等量关系包括：第|一块试验田每公顷的产量 +3000kg =第二块试验田每公顷的产量．土地面积总产量每公顷的产量= 第|一块试验田的面积 =第二块试验田的面积；第二块试验田每公顷的产量是〔x +3000〕kg ． 方程为3000150009000+=x x ． 情景二：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km 的普通公路 ,另一条是全长480km 的高速公路．某客车在高速公路上的行驶的平均速度比在普通公路上快45km /h ,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半 ,求该客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间．这一问题中有哪些等量关系 ?如果设客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间为xh ,那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为___________h ．根据题意 ,可得方程_____________________．答案：等量关系包括：600km =客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地到乙地的时间． 480km =客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地到乙地的时间． 客车在高速公路上行驶的平均速度 -客车在普通公路上行驶的平均速度 =45km /h ． 由高速公路从甲地到乙地所需的时间 =1/2×由普通公路从甲地到乙地所需的时间．4526004802=-xx x ； 通过几个实际问题 ,让学生经历从实际问题抽象、概括分式这一 "数学化〞的过程．在教学过程中 ,引导学生努力寻找问题中的所有等量关系 ,开展学生分析问题、解决问题的能力．2．深入探讨 ,概括概念做一做：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园 ,某学校号召同学们自愿捐灾．第|一次捐款的总额为4800元 ,第二次捐款的总额为5000元 ,第二次捐款的人数比第|一次多20人 ,而且两次人均捐款额刚好相等．如果设第|一次捐款的人数为x 人 ,那么x 满足怎样的方程 ? 〔注意让学生努力寻找等量关系 ,加强学生的思维能力．〕 答案：等量关系为2050004800+=x x ． 议一议：上面所得到的方程有什么共同的特点 ?〔鼓励学生认真观察、独立思考 ,并用自己的语言描述 ,然后再与同拌讨论、交流自己的结果．通过这一过程加强学生的观察能力、语言概括能力．〕分母中含有未知数的方程叫做分式方程．3．稳固应用 ,拓展研究练习1：甲6小时完成的工作改由甲、乙合作4小时可以完成 ,问乙单独做多少小时可以完成 ?设乙单独做x 小时可以完成 ,那么x 应满足怎样的方程 ?练习2：|王军同学准备在课外活动时间组织局部同学参加电脑网络培训 ,按原定的人数估计共需费用300元 ,后因人数增加到原定人数的2倍 ,费用享受了优惠 ,一共只需要480元 ,参加活动的每个同学平均分摊的费用比原方案少4元 ,原定的人数是多少 ?这一问题中有哪些等量关系 ?如果设原定是x 人 ,那么每人平均分摊 元．人数增加到原定人数的2倍 ,每个平均分摊 元．根据题意 ,可行方程． ． 等量关系包括：人数总费用每人分摊的费用=． 实际参加培训的人数 =2×原定参加培训的人数．原方案每人平均分摊的费用 -实际每人平均分摊的费用 =4元； 方程为：42480-300=xx ． 4．回忆联系 ,形成结构什么是分式方程 ?怎样列分式方程 ?〔通过问题的提出 ,总结本节课的相关知识 ,让学生再次体会 "实际问题 - -分式方程模型〞的过程 ,嘉庆学生的建模意识．〕第2课时教学目标1．经历探索分式方程概念 ,分式方程解法的过程 ,会解可化为一元一次方程的分式方程〔方程中分式不超过〕 ,会检验根的合理性 ,明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系．2．经历 "实际问题 - -分式方程模型 - -求解 - -解释几解的合理性〞的过程 ,开展学生分析问题的能力 ,培养学生的应用意识．教学重难点教学重点：分式方程解法的过程 ,检验根的合理性．教学难点：掌握 "实际问题 - -分式方程模型 - -求解 - -解释几解的合理性〞的过程．教学过程1．创设情景 ,引出问题 解方程：1733+=x x ．你能设法求出上节课中的分式方程的解吗 ?2．探索交流 ,发现规律回忆： 解方程1733+=x x 时 ,我们一般是先去分母 ,两边同时乘以最|小的公分母3×7 ,得1737373373⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯x x ,即7x =9x +21 ,这种形式相对就容易计算．通过移项 ,合并同类项求得x = -10.5．联系： 对于分式方程300150009000+=x x ,如果两边同时乘以分母最|小的公因式 ,是不是也能像上面的方程一样的解决呢 ?请你试试看 !〔通过一元一次方程的解法的展示后让学生探索交流 ,发现解分式方程的一般步骤．〕 解：方程的两边都乘以x 〔x +3000〕 ,得9000〔x +3000〕 =15000x解这个方程 ,得x =0.5思考：如何检验x =0.5是方程的解 ?检验：将x =0.5代入原方程 ,如果得到的左边的值等于右边的值 ,那么它就是原方程的解． 请你检验一下x =0.5是不是方程的解 ?〔同过检验 ,体验方程解的意义 ,同时为分式方程的增根的研究作好准备．〕3．例题讲解 ,加深印象例1：解方程：xx 321=-． 解：方法一：方程两边都乘以2x ,得960 -600 =90x解这个方程 ,得x =4检验：将x =4代入原方程 ,得左边 =45 =右边 ,所以 ,x =4是原方程的根．方法二：先化简得方程两边都乘以x ,得32 -20 =3x 解这个方程 ,得x =4检验：将x =4代入原方程 ,得左边 =45 =右边 ,所以 ,x =4是原方程的根．4．应用拓展 ,深化研究 议一议：在解方程22121--=--xx x 时 ,小亮的解法如下： 方程两边都乘以x -2 ,得1 -x = -1 -2〔x -2〕解这个方程 ,得x =2．你认为x =2是原方程的根吗 ?与同伴交流．〔让学生充分进行讨论、交流 ,寻找增根产生的原因．〕在这里 ,x =2不是原方程的根 ,因为它使得原分式方程的分母为零 ,我们称之为原方程的增根．产生增根的原因是 ,我们在方程的两边同时乘了一个可能使分母为零的整式．事实上 ,对于分式方程 ,当分式中分母的值为零时没有意义 ,所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值 ,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后 ,这种限制取消了．换言之 ,方程中未知数允许取值的范围扩大了 ,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值 ,那么就会出现增根．因为解分式方程可能会出现增根 ,所以解分式方程时 ,验根是必要步骤．验根的方法有两种 ,一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验 ,这种方法道理简单 ,而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知数的值代入分式的分母 ,看分母的值只否为零 ,这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误．5．回忆联系 ,形成结构想一想：解分式方程一般需要经历哪几个步骤 ?〔让学生总结 ,通过问题的答复 ,引导学生自主总结 ,把分散的知识系统化、结构化 ,形成知识网络 ,完善学生的认知结构 ,加深对所学知识的理解．〕第3课时教学目标1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示 ,体会分式方程的模型思想．2．经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程 ,会解可化为一元一次方程的分式方程〔方程中分式不超过〕 ,会检验根的合理性 ,明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系．3．经历 "实际问题 - -分式方程模型 - -求解 - -解释几解的合理性〞的过程 ,开展学生分析问题的能力 ,培养学生的应用意识．教学重难点教学重点：分式方程解法的过程 ,检验根的合理性．教学难点：掌握 "实际问题 - -分式方程模型 - -求解 - -解释几解的合理性〞的过程．教学过程1．创设情景 ,探索交流做一做：某单位将沿街的一局部房屋出租．每间房屋的租金第二年比第|一年多500元 ,所有的房屋出租的租金第|一年为9.6万元 ,第二年为10.2万元．〔1〕你能找出这一情景中的等量关系吗 ?〔2〕根据这一情景你能提出哪些问题 ?〔3〕你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗 ?〔引导学生从不同角度寻求等量关系 ,让学生明白解决此类问题的关键是找出等量关系．〕 答案：〔1〕第二年每间房屋的租金 =第|一年每间房屋的租金 +500元；第|一年出租的房屋的间数 =第二年出租的房屋的间数；每间房屋的租金所有出租房屋的租金出租房屋的间数=． 〔2〕求出租的房屋总间数；分别求出两年每间房屋的租金．〔3〕设第|一年每间房屋的租金为x 元 ,那么第二年每间房屋的租金为〔x +500〕元 ,根据题意 ,得，50010200096000+=x x 解得x =8000． 2．例题讲解 ,分析应用例：某市从今年1月1日起调整居民用水价格 ,每立方米水费上涨1/3．小丽家去年12月份的水费是15元 ,而今年7月份的水费那么是30元．小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m 3,求该市今年居民用水的价格．此题的主要等量关系是什么 ?请大家找找看．主要的等量关系是：小丽家今年7月份的用水量 -小丽家去年12月份的用水量 =5m 3所以 ,首|先要表示出小丽家这两个月的用水量 ,而用水量可以用水费除以水的单价得出．解：设该市去年居民用水的价格x 元/m 3 ,那么今年的水价为〔1 +1/3〕x 元/m 3 ,根据题意 ,得51531130=-+x x ）（． 解这个方程 ,得x =1.5．经检验 ,x =1.5是所列方程的根．1.5×〔1 +1/3〕 =2〔元〕所以 ,该市今年居民用水的价格2元/m 3．〔本例密切联系学生生活实际 ,又关注社会热点 - -水资源问题．让学生将实际问题转化为数学模型 ,并进行解答、解释解的合理性 ,通过本例对学生进行节约用水的教育．〕3．练习稳固 ,促进迁移〔1〕为了方便广阔游客到昆明参加游览 "世博会〞 ,铁道部临时增开了一列南宁 - -昆明的直达快车 ,南宁 - -昆明两地相距828km ,一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明 ,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍 ,直达快车比普通快车晚出发2h ,比普通快车早4h 到达昆明 ,求两车的平均速度 ?解：设普通快车的平均速度为xhm /h ,那么直达快车的平均速度为1.5km /h ,依题意 ,得 xx x 5.18286-828=． 解得：x =46．经检验 ,x =46 ,是方程的根 ,且符合题意．∴x =46 ,1.5x =69〔2〕编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题 ,并解答 ,编题要求：①要联系实际生活 ,其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式 ,不含常数项 ,分式的分母均含有未知数 ,并且可化为一元一次方程；③题目完整 ,题意清楚．〔此题让学生去发现显示生活中的素材 ,可创编电费、卫生费等问题 ,开展学生提出、分析、解决问题的能力 ,增强他们的应用意识．〕解：所编应用题为：甲、乙二人做某种机器零件 ,甲每小时比乙多做2个 ,甲做10个所用时间与乙做6个所用的时间相等 ,求甲、乙每小时各做多少个 ?解：设甲每小时做x 个 ,那么乙每小时做〔x -2〕个 ,根据题意 ,有：2610-=x x ．∴x =5 ,x -2 =5 -2 =3答：甲每小时做5个 ,乙每小时做3个．〔3〕甲、乙两地相距500千米 ,两车都从甲地开往乙地 ,大汽车早出发2小时 ,小汽车比大汽车晚到20分钟 ,小汽车和大汽车速度比是5：3 ,求两车的速度．4．回忆联系 ,形成结构想一想：用分式方程解应用题一般需要经历哪几个步骤 ?〔让学生总结 ,通过问题的答复 ,引导学生自主总结 ,把分散的知识系统化、结构化 ,形成知识网络 ,完善学生的认知结构 ,加深对所学知识的理解．〕第五章反比例函数一、学生知识状况分析通过本章的学习 ,学生已经经历抽象反比例函数概念的过程 ,理解了反比例函数的概念 ,会作出反比例函数的图象 ,并探索和掌握其性质 ,能从函数图象中获取信息来解决实际问题 .本章的教学主要以直观操作 ,观察 ,概括和交流作为主要的活动方式 .通过这些活动 ,对函数的三种表示方法进行有机的整合 ,逐步形成对函数概念的整体性认识 ,逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力 ,提高学生的感知水平 ,逐步形成从函数视角处理问题的意识 ,体验数形结合的数学思想方法.教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发 ,以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况 ,考查学生对反比例函数的定义 ,图象 ,性质及其应用掌握的程度 ,以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.二、教学任务分析函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的根底上抽象出来的数学概念, 是研究现实世|界变化规律的重要内容及数学模型, 学生已经在七年级|下册和八年级|上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容, 对函数已有了初步的认识, 在此根底上讨论反比例函数, 可以进一步领悟函数的概念 ,并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响 .教学目标(一)知识与能力1.经历抽象反比例函数概念的过程 ,理解反比例函数的概念.2.会作反比例函数的图象 ,并探索和掌握反比例函数的主要性质.3.会从函数图象中获取信息 ,能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.(二)过程与方法1.熟练掌握本章的整体知识结构 ,培养学生的概括和归纳能力 ,形成知识体系.2.在经历抽象反比例函数概念的过程中 ,领会反比例函数的意义 ,理解反比例函数的概念 ,进一步培养学生的抽象思维能力.3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程 ,在合作与交流中开展学生的合作意识和交流能力.4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象 ,并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.(三)情感与价值观通过本章内容的回忆与思考 ,开展学生的数学应用能力 ,经历函数图象信息的识别与应用过程 ,开展学生的形象思维能力 ,激发学生学习的热情 ,培养学生学习数学的兴趣 .教学重点本章知识的网络结构体系.反比例函数的概念.会作反比例函数的图象 ,并掌握其性质.反比例函数的相关应用.教学难点利用反比例函数的图像 ,探索反比例函数的主要性质.反比例函数的相关应用.教学方法自主探究、合作交流.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第|一环节：复习提问 ,引人入胜；第二环节：知识串联 ,形成体系；第三环节：例题精练 ,稳固新知；第四环节：交流探讨、收获小结；第五环节：课后作业第|一环节：复习提问 ,引人入胜活动目的给学生设置疑问 ,激发学生的思考和回忆 ,明确本节课的学习任务 .活动过程：本章的内容已全部学完 ,请大家先回忆一下 ,本章学习了哪些主要内容?学生答复预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用 .. 教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习 ..第二环节：知识串联 ,形成体系活动目的：引导学生对本章的所学的根底知识进行系统的归纳和整理 ,使学生明确各个知识点之间的联系 , 将根底知识网络化 ,形本钱章知识的框架结构体系 .活动过程：〔一〕本章知识结构引导学生构造本章知识结构图 . (可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图 ,上课进行展示和交流)本章内容框架活动效果：学生可以根据以上内容框架 ,对自己整理的知识框架进行补充和整理 ,完善自己的知识体系 ,并能用自己的语言归纳总结本章内容.本卷须知：1. 应以学生自主总结和归纳为主 ,教师要在适时适当的给予指导；2.对于学生个性化的结构框架的整理设计 ,只要合理 ,老师都应给予肯定 .（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例 ,并归纳出反比例函数概念.学生答复预设：例：当三角形的面积是16 cm 2时 ,它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数.解：a ＝h32. 在上式中 ,任意给定h 一个值 ,相应地就确定了一个a 的值.因此a 是h 的函数 .所以一般地 ,如果两变量x ,y 之间的关系可以表示成y =x k (k 是常数 ,k ≠0)的形式,那么称y 是 x 的反比例函数.〔三〕说说函数y ＝x 2和y ＝ -x2的图象的联系和区别. 联系：(1)图象都是由两支曲线组成；(2)它们都不与坐标轴相交；(3)它们都不过原点 ,既是中|心对称图形 ,又是轴对称图形.(4)虽然y ＝x 2和y = -x2的图象不同 ,但是在这两个函数图象上任取 -点 ,过这两点分别作x 轴、y 轴的平行线 ,与坐标轴围成的矩形面积相等 ,都为2. 区别：(1)它们所在的象限不同 ,y =x 2的两支曲线在第|一象限和第三象限；y = -x 2的两支曲线在第二象限和第四象限.(2)y ＝x 2的图象在每个象限内 ,y 随x 的增大而减小；y = -x2的图象在每个象限内 ,y 随x 的增大而增大.〔四〕回忆反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝|对值相等而符号相反的 -对一对的数值 ,并尽量多取一些点 ,连线时要连成光滑的曲线 ,而不是折线.反比例函数图象的性质有〔课件演示〕：1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.2.位置：当k>0时 ,图象分别位于第|一、三象限；当k<0时 ,图象分别位于第二、四象限.3.增减性：当k>0时.在每一个象限内 ,y 随x 的增大而减小；当k<0时 ,在每一个象限 ,y 随x 的增大而增大.4.因为在y =xk (k ≠0)中 ,x 不能为0 ,y 也不能为0 ,所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交 ,也不可能与y 轴相交.5.在一个反比例函数图象上任取两点P ,Q ,过点P ,Q 分别作x 、轴 ,y 轴的平行线 ,与坐标轴围成的矩形面积为S 1 ,S 2那么S 1＝S 26.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形 ,又是中|心对称图形 ,它有两条对称轴 ,对称中|心是坐标原点.第三环节：例题精练 ,稳固新知活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题 ,提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力 .活动过程：课件展示例一1.以下函数中 ,其图象位于第|一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内 ,y 的值随x 值的增大而增大的是哪些 ( ) (1)y =x 31 (3)y =x 2.0 (2)y = x10 (4)y = -x 1007 2.在函数y ＝x 3的图象上任取一点P ,过P 分别作x 轴、y 轴的平行线 ,与坐标轴围成的矩形面积是多少?分析：根据反比例函数图象的性质 ,当k ＞0时 ,图象位于第|一、三象限 ,在每一个象限内 ,y 随x 的增大而减小；当k<0时 ,正好相反 ,但在y ＝x31中 ,形式虽然和反比例函数的形式不相同 ,但可以化成y =x31的形式 . 答案：1.图象位于第|一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内 ,y 的值随x 值的增大而增大的有(3)(4).2. S =｜k ｜ =3.例二41 ,当下底面放在桌子上时 ,对桌面的压强是200 Pa ,倒过来放 ,对桌面的压强是多少?2 ,当体积v ＝5米3ρ＝1.98千克／米3 ,求(1)ρ与v 的函数关系式；(2)当v =9米3时 ,CO 2的密度.分析：压强p 、受力面积S 、压力F 三者之间的关系为p =S F ,因为是同一物体 ,所以F 是一定的 ,由于受力面积不同 ,因此压强也不同.质量m 、密度ρ、体积v 三者之间的关系为：ρ =v m ,由v =5米3 ,ρ =1.98千克／米3,可知质量m ,实际代表反比例函数中的k ,求出m ,就确定了反比例函数的关系式.答案：解：1.当下底面放在桌面上时 ,对桌面的压强为p 1＝S F ＝200Pa,所以倒过来放时 ,对桌面的压强p 2＝S F S F 441=＝800Pa. 2的质量为m 千克 ,将v =5米3 ,ρ =1.98千克／米3代入公式ρ＝vm 中 ,得m =9.9千克. 故所求ρ与v 间的函数关系式为ρ＝v 9.9. (2)当v ＝9米3时 ,ρ =v 9.9＝1.1(千克／米3) . 课堂练习 课件演示：1.对于函数y =x 2 ,当x>0时 ,y_______0 ,这局部图象在第______象限；对于y ＝ -x2 ,当x<0时 ,y____0 ,这局部图象在第_____象限.2.函数y =x10的图象在第____象限内 ,在每一个象限内 ,y 随x 的增大而______. 3.根据以下条件 ,分别确定函数y ＝x k 的表达式 (1)当x =2时 ,y ＝ -3；(2)点( -31,21-)在双曲线y ＝x k 上. 答案：1.> 一、三 < 二、四2.一、三 减小3.(1)y =x6- (2)y =x 61； 本卷须知：在本环节教学中 ,教师可以引导学生首|先进行独立思考 ,防止替代思维 ,然后可以通过小组讨论、合作交流等形式 ,启发学生对问题进行探究 ,分析 ,完善解题思路 ,进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律 .第四环节：交流探讨 收获小结活动内容： 教师引导学生进行回忆和整理 ,然后通过师生交流和生生交流 ,答复以下问题：本节课我们都一起回忆和复习了哪些内容 ?交流预设：1.反比例函数概念2.反比例函数图像的做法及性质3.反比例函数在生活中的应用4.做题时要注意数形结合5.具体题目的解题思路活动目的：使学生通过再次的回忆和总结 ,完善自己知识框架 ,进一步培养了学生归纳和交流能力 .第五环节：课后作业〔一〕复习题〔二〕活动与探究反比例函数图象与矩形的面积假设点A 是反比例函数y =x k (k ≠0)图象上的任意一点 ,且AB 垂直于x 轴 ,垂足为B ,AC 垂直于y 轴 ,垂足为C,那么矩形面积S ABOC =｜k ｜.如图(1). 1.如图(2) ,P 是反比例函数)y =x k (k ≠O)图象上的一点 ,由P 点分别向x 轴 ,y 轴引垂线 ,得阴影局部(矩形)的面积为3 ,那么 这个反比例函数的表达式______.2. 如图〔3〕过双曲线y =x2上两点A 、B 分别作x 轴 ,y 轴的垂线 ,假设矩形ADDC 与矩形BFOE 的面积分别为S 1,S 2,那么S 1与S 2的关系是_____.答案：1.解：由题意得｜k ｜ =3.又双曲线的两支分布在第二、四象限 ,所以k<0 ,故k ＝ -3.∴k =x3-. 2.解：由题意得S 1 =S 2 =｜k ｜ =2.〔三〕补充练习(课件展示〕〔四〕反比例函数与正比例函数图象性质比较分析 K ＜0双曲线的两个分支分别位于第 象限； ，y 随着x 。
《分式方程》word教案 (公开课获奖)2022北师版 (1)
《分式方程》第1课时教学目标 （一）教学知识点1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义． 2．通过观察，归纳分式方程的概念． （二）能力训练要求体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义． （三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力． 教学重难点教学重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义． 教学难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程． 教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月．根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4．（1）我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型． 接下来，我们再来看几个这样的例子． Ⅱ．讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程． ［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg ．根据题意，可得方程____________．［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积． ［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a ） ［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000kg =第二块试验田每公顷的产量（b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg 呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000）kg ． ［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x ．（2） ［师］x 9000，300015000+x 的实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程：x 9000+3000=x15000（3） ［师］接下来，我们再来看一个问题 ［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？ 这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊____________元； 人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元． 根据题意，可得方程____________． ［师］我们先来审题，找到题中的等量关系． ［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c ） ［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d ） ［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？ ［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？ 讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法：设原定是x 人，那么每人平均分摊x 300元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊x2480元，根据题意，利用等量关系（d ），得方程：x 300－4=x2480（4）［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y 元，那么原定人数为y300人；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y 人，根据题意，利用等量关系（c ），得方程：2×y 300=4480-y ．（5） ［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好．下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型．如上图，在等腰三角形ABC 中，底边BC =2a ，高AD =h ，求内接正方形PQRS 的边长． ［师生共析］由于SPQR 是正方形，SR ∥BC ，AE ⊥SR ，所以AE 是△ASR 的高且ED =SR =正方形SPQR 的边长，△ASR 的高AE 可表示为AD 与正方形边长的差．由SR ∥BC ，可得△ASR ∽△ABC ，于是有：BC SR =ADAE （相似三角形对应高的比等于相似比）．所以可设正方形的边长为x ，由BC SR = AD AE 得：a x 2=hxh -．（其中a 、h 为常数）（6）［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流．［生］从上图中可知SPQR 是正方形，所以RQ ⊥BC ，又因为AD ⊥BC ，所以AD ∥RQ ，△ADC ∽△RQC ．可得RQ AD =CQCD ． 即RQ AD =RQCD BC 2121-．所以，设内接正方形的边长为2x ，根据题意，得x h 2=xa a -．（a 、h 为常数）．（7） ［师］你们表现得真棒！ 观察方程：x 2400－302400+x =4 （1） x 9000=300015000+x （2） x 9000+3000=x 15000（3） x 300－4=x2480（4） 2×y 300=4480-y （5）a x 2=h x h -．（其中a 、h 为常数） （6） x h 2=xa a -（其中a 、h 是常数） （7） 上面所得到的方程有什么共同特点？［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．方程（6）是什么方程？［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程． Ⅲ．随堂练习1．已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x+102000元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程． 分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元． 解：x 满足的方程是：101×x+102000=200．2．补充练习某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，则x x +-8040=41．Ⅳ．课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程．第2课时教学目标 （一）教学知识点1．解分式方程的一般步骤． 2．了解解分式方程验根的必要性． （二）能力训练要求1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤． 2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径． （三）情感与价值观要求1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度．2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信． 教学重难点 教学重点：1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决． 2．明确解分式方程验根的必要性． 教学难点：明确解分式方程验根的必要性． 教学过程Ⅰ．提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法． 解方程213-x +325+x =2－624-x［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得 3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2）． （2）去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2， （3）移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4， （4）合并同类项，得23x =13，（5）使x 的系数化为1，两边同除以23，x =2313． Ⅱ．讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤．下面我们来看一个分式方程．［例1］解方程：21-x =x3． （1） ［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［师］同学们说他的想法可取吗？ ［生］可取．［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母．［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单．［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x （x －2）．［师生共析］方程两边同乘以x （x －2），得x （x －2）×21-x =x （x －2）·x3， 化简，得x =3（x －2）． （2）我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x ．即x =3x －6（去括号） 2x =6（移项，合并同类项）．x =3（x 的系数化为1）．［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论． （教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［生］x =3是由一元一次方程x =3（x －2） （2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解．［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法完成例2的解答． ［例2］解方程：x 300－x2480=4 （由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答） 解：方程两边同乘以2x ，得 600－480=8x 解这个方程，得x =15检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，所以x =15是原方程的根．［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯． 我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法） 议一议 解方程32--x x =x-31－2． （可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2 解：方程两边同乘以x －3，得2－x =－1－2（x －3） 解这个方程，得x =3．［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解． ［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根． ［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？ ［生］x =3是去分母后的整式方程的根．［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根． 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根．那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？ ［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误． Ⅲ．应用，升华 1．解方程： （1）13-x =x 4；（2）1210-x +x215-=2． 2．回顾，总结 想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根． 3．补充练习 解分式方程：（1）x 9000=300015000+x ； （2）x h 2=xa a -（a ，h 常数）Ⅳ．课时小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可． ［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．Ⅴ．活动与探究若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则m 的值是____________．第3课时教学目标 （一）教学知识点1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题． 2．用分式方程来解决现实情境中的问题． （二）能力训练要求1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力． 2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型． （三）情感与价值观要求1．经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣．2．培养学生的创新精神，从中获得成功的体验． 教学重难点 教学重点：1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型． 2．根据实际意义检验解的合理性． 教学难点：寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法． 教学过程Ⅰ．提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程． 接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题． Ⅱ．讲授新课 做一做某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元． （1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？［师］现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系．［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1） ［生］还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．同学们尽管提出符合情境的问题．［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元，根据题意，得x 102000=x96000+500 解这个方程，得x =12经检验x =12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得：第一年每间房屋的租金为1296000=8000（元）， 第二年每间房屋的租金为12102000=8500（元）．［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？［生］解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为（x +500）元．第一年租出的房间为x 96000间，第二年租出的房间为500102000+x 间，根据题意，得 x 96000= 500102000+x 解，得x =8000x +500=8500（元）经检验：x =8000是原分式方程的解，也符合题意． 所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元．［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．［例3］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m 3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m 3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的32，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m 3的部分每立方米收费多少元？［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？ ［生］审清题意，找出题中的等量关系．［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）你们找到题中的等量关系了吗？［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的32． ［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5m 3的水费与超出5m 3部分的水费． ［师］下面我们就来用等量关系列出方程．［师生共析］设超出5m 3部分的水，每立方米收费设为x 元，则1月份， 张家超出5m 3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5m 3的用水量为x55.15.17⨯-m 3，总用水量为5+x55.15.17⨯-；李家超出5m 3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5m 3的用水量为x55.15.27⨯-m 3，总用水量为（5+x55.15.27⨯-）m 3根据等量关系，得x 55.15.17⨯-+5=（x55.15.27⨯-+5）×32解这个方程，得x =2． 经检验x =2是所列方程的根．所以超出5m 3部分的水，每立方米收费2元． Ⅲ．随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？ ［师］我们先来找到题中的等量关系． ［生］题中的等量关系有两个：15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本． 硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+21） ［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．［生］解：设软皮本的价格为x 元，则硬皮本的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x 15本，硬皮本x )211(15+本．根据题意，得，x 15=x)211(15++1解，得x =5经检验x =5是原方程的根，也符合题意，所以（1+21）x =23×5=7.5（元） 故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、7.5元． Ⅳ．课时小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向． Ⅴ．活动与探究如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km ，由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？第五章反比例函数一、学生知识状况分析通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。
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10.5 分式方程（2）
教学目标:
1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法
教学重点:
1. 了解分式方程必须验根的原因
2. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力
教学难点:
了解分式方程必须验根的原因
课时数:3
第二课时
教学过程复备栏
（一）．复习引入
解方程：
思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解
就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？
学生活动：小组讨论后总结
（二）．总结
（1）为什么要检验根？
在将分式方程变形为整式方程时，
方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，
有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。
对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均
不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.
如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分
母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的
值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。
（2）验根的方法
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方
程中分母为0，因此应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。
（三）．应用
例1 解方程
3 2
3
x x -
=
解：方程两边同乘x（x－3），得
2x＝3x－9
解得 x＝9
检验：x＝9时 x（x－3）≠0，9是原分式方程的解。
例2 解方程
3
1(1)(2)
1
x
x x x
--+
-=
解：方程两边同乘（x－1）（x＋2），得
x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3
化简，得 x＋2＝3
解得x＝1
检验：x＝1时（x－1）（x＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原
分式方程无解。
四．随堂练习
课本上练习
五．课时小结：
解分式方程的一般步骤。
教学反思：
本课教学反思
英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。
写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。
因此, 写作教案具有重要地位。
然而, 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。
这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。
在教授语法
时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。
此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。
在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。
再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。
在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。