浙江省2019高考数学优编增分练：数列

(三)数 列

1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R )．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨

⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，

所以(t ＋1)S 1＝a 2

1＋3a 1＋2，所以t ＝5.

所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①

当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②

①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，

所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，

因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，

又因为a 1＝1，

所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，

所以a n ＝3n －2(n ∈N *)．

(2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1，

所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，

所以当n ≥2时， b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1

＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2

－n 2

. 又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n 2

(n ∈N *)． 所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n

＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝16·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 12(n ＋1)(n ＋2). 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 52

，S 4成等差数列，a 5＝3a 2＋2a 1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2n －1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

a n

b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

由S 3，S 52

，S 4成等差数列， 可知S 3＋S 4＝S 5，得2a 1－d ＝0，①

由a 5＝3a 2＋2a 1－2，②

得4a 1－d －2＝0，

由①②，解得a 1＝1，d ＝2，

因此，a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)令c n ＝a n b n ＝(2n －1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1， 则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，

∴T n ＝1·1＋3·12＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1，③ 12T n ＝1·12＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ，④ ③－④，得

12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 －(2n －1)·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ＝ 3－2n ＋32n ， ∴T n ＝6－2n ＋32

n －1(n ∈N *)． 3．已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2

＋n ＋k ，k ∈R .

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝4n 2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .

解 (1)方法一 由(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，

令n ＝1,2,3，

得到a 1＝3＋k 2，a 2＝10＋k 3，a 3＝21＋k 4

， ∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3，

即20＋2k 3＝3＋k 2＋21＋k 4

，

解得k ＝－1.

由于(n ＋1)a n ＝2n 2

＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)，

又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．

方法二 ∵{a n }是等差数列，设公差为d ，

则a n ＝a 1＋d (n －1)＝dn ＋(a 1－d )，

∴(n ＋1)a n ＝(n ＋1)(dn ＋a 1－d )

＝dn 2＋a 1n ＋a 1－d ，

∴dn 2＋a 1n ＋a 1－d ＝2n 2＋n ＋k 对于任意n ∈N *均成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a 1＝1，

a 1－d ＝k ，

解得k ＝－1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由b n ＝4n 2a n a n ＋1＝4n 2

(2n －1)(2n ＋1)

＝4n 24n 2－1＝1＋14n 2－1

＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1－12n ＋1＋1， 得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋1＋…＋12⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1－12n ＋1＋1 ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＋n ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12n ＋1＋n ＝n 2n ＋1＋n ＝2n 2＋2n 2n ＋1(n ∈N *)． 4．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知数列{a n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋1e n x +－1，证明：当n ∈N *

时，

(1)0

(2)x n x n ＋1>x n －2x n ＋1； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤x n ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1. 证明 (1)用数学归纳法证明x n >0，

当n ＝1时，x 1＝1>0，

假设x k >0，k ∈N *

，k ≥1，成立，

当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，