第二编 专题八 第2讲

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2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种 新运算：x*y＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数 a，b，c，给出如下结论： ①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是 ()
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解析 令 2n－1＝287⇒n＝144⇒2187是数列2n1－1的第 144 项，由 S7＝ 227－－11＝127⇒A(8,17)．
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考向 3 实际应用型问题 例 3 (1)小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头 方向经过点 B 跑到点 C，共用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察 小明跑步的过程，设小明跑步的时间为 t(s)，他与教练间的距离为 y(m)，表 示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中 的( )
第二编 讲专题
专题八 数学文化与创新应用
第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破
「考情研析」
本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁
移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题
的形式出现，分值 5 分，题目新而不难，备考时要高度重视．
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(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之 间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取 出的两种物质恰是相克关系的概率为( )
2211 A.3 B.5 C.2 D.5 答案 C
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2
PART TWO
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考向 1 新定义型问题 例 1 (1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合 M＝{(x，y)|y＝ f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得 x1x2＋y1y2＝0 成立，则称 集合 M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝ {(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝ex}；M4＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“互 垂点集”集合的为( ) A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
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解析 本题考查古典概型和排列组合．依题意，从 5 种物质中任取 2 种， 共有 C52＝10 种选法，根据相生相克原理，可知恰有 5 种选法具有相克关系， 故恰是相克关系的概率为 P＝21，故选 C.
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高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没 有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理 解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推 理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理 论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问 题的基本思想方法和解题策略．
A．－2 B．2 C．1 D．0
答案 B
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解析 首先注意到(0，a)没有对称点，当 x>0 时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a， 则－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根， 即 a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)有两个实数根．画出 y＝－x3－6x2－9x－2(x<0) 的图象如图所示，由图可知 a＝2 时有两个解．
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(2)若函数 y＝f(x)的图象上存在两个点 A，B 关于原点对称，则称点对[A， B]为 y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”， 若函数 f(x)＝2－，x3x＋<06，x2－9x＋a，x≥0 恰好由两个“友情点对”，则实数 a 的值为( )
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3．实际应用型问题 将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、 图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名 词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型， 运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．
A．－1 B．1 C．6 D．12
答案 C
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解析 由已知得 1⊕x＝1x2xx≤>11，，
2⊕x＝ 2x2xx≤>22，，
x－2x≤1，
所以 f(x)＝x3－21<x≤2， x3－x2x>2，
可求出当 x≤1 时，函数的最大值是－1；当 1<x≤2 时，函数的最大值是 6.所以当 x∈[－2,2]时，函数 f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值等于 6，选 C.
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1．(2019·南充Βιβλιοθήκη Baidu高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则 (“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下： 当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a<b 时，a⊕b＝b2，则当 x∈[－2,2]时，函数 f(x)＝ (1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值等于( )
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(2)(2019·湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某 企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 f(x)＝21x2＋2x＋20(万元)，商 品的售价是每件 20 元，为获取最大利润(利润＝收入－成本)，该企业一个月 应生产该商品的数量为( )
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2．把数列2n1－1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第 k 行有 2k－1 个数，第 t 行的第 s 个数(从左数起)记为 A(t，s)，则数列2n1－1中 的项2817应记为________．
答案 A(8,17)
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1．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上 首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着 陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问 题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨 道运行．L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1，月球 质量为 M2，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万 有引力定律，r 满足方程：
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2．创新型问题 创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方 面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问 题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相 互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．
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求解应用题的一般步骤(四步法) (1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于 现实，作出解释或验证．
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考向 2 创新型问题 例 2 (1)关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名 的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估 计 π 的值：先请 360 名同学，每人随机写下一个 x，y 都小于 1 的正实数对(x， y)；然后统计 x，y 两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数 m； 再根据统计数 m 来估计 π 的值．假如统计结果是 m＝102，那么可以估计 π 的值约为( )
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遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按 新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对 于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
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1．若数列{an}满足an1＋1－apn＝0，n∈N*，p 为非零常数，则称数列{an}为 “梦想数列”．已知正项数列b1n为“梦想数列”，且 b1b2b3…b99＝299，则 b8＋b92 的最小值是( )
1
PART ONE
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1.新定义型问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运 算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新 的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读 理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学 知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是 制胜法宝．
22 47 51 60 A. 7 B.15 C.16 D.17
答案 B
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解析 (构造可行域求解)两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x，y)所
x＋y>1， 需满足的条件为x02<＋x<y12<，1，
0<y<1，
作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分
所示，依题意有130620＝π41－×121，解得 π＝4175.
A．② B．①② C．②③ D．①②③
答案 D
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解析 根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a ＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可 知 a*b＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c ＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)， 故③正确；所以正确的是①②③，故选 D.
A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B
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解析 依题意可得 bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列．又 b1b2b3·…·b99 ＝299＝b9590，则 b50＝2.b8＋b92≥2 b8·b92＝2b50＝4，当且仅当 b8＝b92，即该数 列为常数列时取等号．
答案 D
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解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合 M1，当 x1＝ 0 时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝x22＋1＝0 不成立，所以集合 M1 不是“互垂点 集”．对于集合 M2，x>0，当 x1＝1 时，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0 不成立，所 以集合 M2 不是“互垂点集”．对于集合 M3，当 x1＝0 时，y1＝1，x1x2＋y1y2 ＝y2＝ex2＝0 不成立，所以集合 M3 不是“互垂点集”．排除 A，B，C.故选 D.
A．9 万件 B．18 万件 C．22 万件 D．36 万件 答案 B
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解析 由题意可得，获得最大利润时的收入是 20x 万元，成本是21x2＋2x ＋20，所以此时的利润为 M＝20x－21x2＋2x＋20＝－12x2＋18x－20＝－12(x－ 18)2＋142≤142，当且仅当 x＝18 时，取最大值．故选 B.
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A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q
答案 D 解析 由题图 2 可知固定位置到点 A 距离大于到点 C 距离，所以舍去 N， M 两点，不选 B，A；若是 P 点，则从最高点到点 C 依次递减，与图 2 矛盾， 因此取 Q，即选 D.
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