专题二第2讲

第2讲立体几何中的空间角问题

高考定位以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解.

真题感悟

(2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P－ABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.

(1)证明：CE∥平面P AB；

(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

法一(1)证明如图，

设P A中点为F，连接EF，FB.

因为E，F分别为PD，P A中点，

所以EF∥AD且EF＝1

2AD，

又因为BC∥AD，BC＝1

2AD，

所以EF∥BC且EF＝BC，

即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.

又因为CE⊄平面P AB，BF⊂平面P AB，

因此CE∥平面P AB.

(2)解分别取BC，AD的中点为M，N，

连接PN交EF于点Q，连接MQ.

因为E，F，N分别是PD，P A，AD的中点，所以Q为EF中点，

在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE . 由△P AD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD . 由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD . 因为PN ∩BN ＝N ，所以AD ⊥平面PBN . 由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ，

因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBN .

过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，则QH ⊥平面PBC .连接MH ，则MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角.设CD ＝1. 在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2， 在△PBN 中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝1

4， 在Rt △MQH 中，QH ＝1

4，MQ ＝2， 所以sin ∠QMH ＝2

8，

所以，直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是2

8.

法二 过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H .不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝1

2，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直.故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.

(1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得：

D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，

E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，14，34，

则CE →

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－54，34，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－32，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，32，－32.

设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝x ＋12y －3

2z ＝0，n ·PB →

＝32y －3

2z ＝0.

令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，z ＝3，

∴n ＝(1，1，3)，∴CE →

·n ＝12×1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－54×1＋34×3＝0.

又∵CE ⊄平面P AB ，∴CE ∥平面P AB . (2)解 由(1)得PC →

＝⎝

⎛⎭⎪⎫

－1，32，－32.

设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝32y －3

2z ＝0，m ·PC →

＝－x ＋32y －3

2z ＝0.

令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，z ＝3，

∴m ＝(0，1，3).

设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，CE →〉|＝|m ·CE →

|

|m ||CE →|

＝

1

24×2＝2

8.

∴直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为2

8.

考 点 整 合

1.求异面直线所成角的方法

方法一：几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.

方法二：空间向量法.用空间向量法求两条异面直线a ，b 所成角θ的步骤为：①求出直线a ，b 的方向向量，分别记为m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n

|m ||n |；③利用cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|，以及θ∈(0°，90°]，求出角θ. 2.求直线与平面所成角的方法

方法一：几何法.用几何法求直线l 与平面α所成角的步骤为：①找出直线l 在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.

方法二：空间向量法.用空间向量法求直线AB 与平面α所成角θ的步骤为：①求

出平面α的法向量n 与直线AB 的方向向量AB →

；②计算cos 〈AB →

，n 〉＝AB →

·n |AB →||n |

；

③利用sin θ＝|cos 〈AB →

，n 〉|，以及θ∈[0°，90°]，求出角θ. 3.求二面角的方法

方法一：几何法.用几何法求二面角α－l －β的平面角θ的步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.

方法二：空间向量法.用空间向量法求二面角α－l －β的平面角θ的步骤为：①求两个半平面α，β的法向量m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n

|m ||n |；③根据图形和计算结果判断θ是锐角、直角，还是钝角，从而得出θ与〈m ，n 〉是相等关系还是互补关系.

热点一 求线线角

【例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2，求异面直线BC 与AE 所成角的