向量积的运算公式及度量公式

张喜林制
2.3.2 向量数量积的运算律
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
考点知识清单
1．向量数量积的运算律：
(1)交换律：
(2)分配律：
(3)数乘向量结合律：
2．常用结论：
3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a
4．设).,(),,(2121b b b a a a ==
如果,b a ⊥则
如果,02211=+b a b a 则
对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．
5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b
6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB
要点核心解读
1．向量数量积的运算律
a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）；
)()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）；
c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）．
2．向量数量积的运算律的证明
a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）
证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅
)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）
证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①
当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ
当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ
,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ
综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ
③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ
综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b a
c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）
证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．
如图2-3 -2 -1，作==AB a OA ,,b 则.b a OB +=
设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、
O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有 但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB +=
即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+
上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：
∴ 得证．
3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点
(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．
(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有
(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律
(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．
(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：
4．向量内积的坐标运算
建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则
因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：
5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设),,(),,(2121b b b a a a ==
则.02211=+⇔⊥b a b a b a
6．向量的长度、距离和夹角公式
(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2
221a a +
因此 ①
这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，
这个公式用语言可以表述为：
向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则
),,(1212y y x x AB --=从而
②
AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．
(3)设),,(),,(2121b b b a a a ==
则两个向量夹角余弦的坐标表达式
7．如何运用坐标来解决垂直问题
(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x
利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．
例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．
解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++
又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-
.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+
(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：
8．利用数量积求两个向量的夹角
一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．
设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，
典例分类剖析
考点1 判断向量运算的正误
[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；
④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．
其中真命题为 （填序号）．。