第5讲逆运动学与速度雅可比
机器人第五章
v
的传递比；
v J l 1 J a1
Jl2 J a2
于是，手爪的线速度v 和角速度ω 可表示为各关节 速度 q i 的线性函数，
v J l1q1 J l 2 q2 J ln qn ; ω J a1q1 J a 2 q2 J an qn .
的轴 z i 作微分转动 d i ，相当于微分运动矢量
d
0 0 0 , δ 0 d i 0 1
( p ( p ( p
利用式(5.13)得出手爪相应的微分运动矢量为
xi (q ) 第i行第j列元素为 J ij (q ) q , i 1,2,,6; j 1,2,, n. j
表达了关节空间第j个关节速度对于操作空间第i方向的速度变换；
q R n ，雅可比矩阵 J (q )是从关节空间速度 q 向 对于关节变量
操作空间速度
x
映射的线性变换。
J 式中， li 和 J ai 分别表示关节i的单位关节速度引
起手爪的线速度和角速度。
第三节
2、矢量积的方法
Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅 可比的矢量积方法。如下图所示，末端手爪的线速 度v 和角速度 ω 与关节速度 q i 有关。
（1）对于移动关节i，则
z i v z i 0 qi , J i 0 ω
T
之间的关系
第三节
5.3 微分运动和广义速度
刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量 d 和微分转动矢量δ 。 前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者 由绕三坐标轴的微分转动组成，即
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
5速度分析和雅克比矩阵
线速度 角速度
例：图示4自由度机械臂为例分别求 线速度Jv和角速度Jw部分
求线速度Jv
将红色3*1部分对关节空间向量 [θ1 d2 θ3 θ4]求导可得
求角速度Jw 以2R为例说明
为θ1和θ2单独旋转后的合成，单独旋转角 度与a相同
列：关节
…
X qn Y qn Z qn X qn Y qn Z qn
…
线位移
…
J(q)
…
…
角位移
…
5、机器人速度分析和雅可比矩阵
5.4. 机器人的速度雅可比
由运动学方程可得：
X X (1 , 2 ) Y Y (1 , 2 )
求微分，得：
X X d X d d 2 1 1 2 dY Y d Y d 1 2 1 2
X 1 dX dY Y 1 X 2 d1 Y d 2 2
关节角度微小变化Δθ
雅可比矩阵J
手部位姿微小变化ΔX
如果已知两者之间的微分关系，就可以解决机器人微分运动的两类基本问题： 1）是在已知机器人各个关节变量的微小变化时求机器人手部位姿的微小变化；
2）是在已知机器人手部位姿的微小变化时求机器人各个关节变量相应的微小变化。
类似与运动学方程M=f(θ)建立映射关系
dX=J(q)dq
J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为n自由度机器人雅可比
4、机器人运动学
5.3. 雅可比矩阵
X q J为机器人的雅可比矩阵，它 1 反映了机器人手部在空间的速 Y 度与各个关节速度之间的线性 q1 变换关系，也可认为是机器人 关节速度与手部速度之间的传 Z 动比 q1 X T q X 速度分析和静力分析 q 1 Y 行列关系：如第5行第3列表示当第3关 q1 节移动或转动微小量时在第5自由度上 相应的平移或转动量。 Z 行：自由度 那个是第5自由度？？ q1 X q2 Y q 2 Z q2 X q2 Y q2 Z q2
3.4机器人运动学雅可比矩阵
nm6
r f ( )
对位置方程进行求微分得：
dr J d r J dt dt
两边乘以dt，可得到微小位移之间的关系式
dr Jd
J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系， 称之为雅克比矩阵。
f1 1 f J T f m f ( )
T m1 n1
r r1 , r2 , , rm R
1 , 2 , , n R
rj f j (1,2 ,,n )
j 1,2,, m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
J J1 J2
机器人雅可比矩阵机器人运动学机器人逆运动学雅可比矩阵matlab雅可比矩阵机器人正逆运动学雅克比矩阵机器人雅可比迭代矩阵家可比矩阵安堂机器人
3.4
机器人的雅可比矩阵
微分运动与速度
1、
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。 机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。 前面介绍过机器人运动学正问题
f1 n m n R f m n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 Oe xe ye ze
：基准坐标系
：指尖坐标系
ze
z0
P e
Oe
xe
ye
O0
x0
y0
指尖的平移速度为： dPe df dq dq v JL J Lq dt dq dt dt J L : 与平移速度相关的雅可比矩阵
3.1.1 逆运动学与速度雅可比
程的方法.其中n,o,a共9个元素表示手部姿态.实际只有三个独
立的.这种方法对坐标变换运算十分方便,但利用它做手部姿态 描述不方便. • 如何用3个独立参数描述姿态? 这3个独立变量可以取作绕3个 轴的转角。
• 机器人手部位姿的六维列矢量表示:
X=[x,y,z,φx,φy,φz]T
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
(3.47)
. . . . 若已知关节上θ1与θ2是时间的函数,θ1=f1(t),θ2=f2(t), 则可求出 该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速度。反之, . -1 . 给定机器人手部速度 , 可由 V=J(q)q 解出相应的关节速度 ,q=J V, 式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。
或
(3.45) (3.46)
V=J(q) q
其中: V——机器人末端在操作空间中的广义速度,V=X;
J(q)——速度雅可比矩阵;
q——机器人关节在关节空间中的关节速度。
若 把 J(q) 矩 阵 的 第 1 列 与 第 2 列 矢 量 记 为 J1 、 J2, 则 有
V=J1θ1+J2θ2, 说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不 动而某一关节运动时产生的端点速度。
3.1.1 机器人逆运动学及速度分析
5.1 工业机器人的运动学方程简介 • 运动方程
– 末端执行器(对多数机器人常表现为夹持型工具 )上的坐标系 (也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵Te0，就是操作机的 运动方程。
•
正解
– 已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位置
和姿态，称作机器人运动学正问题；对于移动关节，取 d 为 关节变量。
ห้องสมุดไป่ตู้
速度雅克比矩阵分析
速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法 雅克比的性质：6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。
行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。
雅克比的应用：1、判断奇异状态：|J|=02、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。
3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。
条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。
4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。
5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。
附件1：矢量积法矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。
末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。
对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且0i i v z qw ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此得到雅可比矩阵的第i 列0i i Z L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(移动关节i)对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0()i i n i v z p q =⨯，产生的角速度为i i w z q= 。
因此，雅可比矩阵的第i 列为()00ii i in i n i i i Z R P Z P J z Z ⎡⎤⨯⎡⎤⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式中，⨯表示矢量积符号，0in P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0}的表示，0i n P =()0i in R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。
附件2：微分变换法速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。
第4章-操作臂速度运动学与雅可比矩阵
r
cos
cos
sin
q
J
(q)q
式中，x x yT 为末端手爪的操作速度矢量；
q
T
r
为关节速度矢量；
速度雅可比矩阵J(q)表示从关节速度矢量 q到操作速度矢量 x
的线性映射。
q J 1(q)x
J
1
(q)
y / r
x/r
2
x / r2
y
/
r
称为逆雅可比矩阵。当r = 0时，逆雅可比矩阵J -1(q)不存在
原点相对于坐标系｛A｝的速度。
A B
RBVP是点P相对于坐标系｛B｝的运动速
度在坐标系｛A｝下的表示；
假定姿态
A B
R
不随时间变化，即坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态保持不
变，此时点P相对于坐标系{A}的运动是由于AOB或BP随时间的变化引起的，
则上式可简化为：
AVP
=
AVBO
+
A B
R
BVP
AVP称为线速度。因此，线速度是指当坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝的姿
上式可改写为：
AVP BAR BP AB BAR BP
2）由坐标系旋转引起的速度的矩阵解法 假定点P相对于坐标系｛B｝不变，则有
AP
A B
R
B
P
如果坐标系｛B｝是旋转的（
A B
R
的导数非零）
BP为常数，上式两边求导，可以得到
代入BP的表达式，得：
AVP BAR BP
AVP
A B
R
R A 1
雅可比矩阵行列式∣J(q)∣等于零时， 机器人所处状态为奇异状态。
雅可比矩阵线速度和角速度
雅可比矩阵线速度和角速度
（最新版）
目录
1.介绍雅可比矩阵
2.解释线速度和角速度
3.阐述雅可比矩阵与线速度和角速度的关系
4.如何根据旋转矩阵计算欧拉角和角速度之间的雅可比
5.总结
正文
雅可比矩阵是一种数学矩阵，用于描述刚体在三维空间中的旋转。
它可以通过旋转矩阵计算得出，是由旋转矩阵的线性变换得到的。
雅可比矩阵具有以下特性：它是一个正交矩阵，它的行列式等于 1，并且它的逆矩阵等于它的转置矩阵。
线速度和角速度是描述物体旋转的两种方式。
线速度是指物体在单位时间内沿着旋转轴移动的距离，通常用矢量表示。
角速度是指物体在单位时间内绕旋转轴旋转的角度，通常用弧度或度数表示。
雅可比矩阵与线速度和角速度有着密切的关系。
根据雅可比矩阵的定义，它可以通过旋转矩阵计算得出，而旋转矩阵又可以通过线速度和角速度计算得出。
因此，雅可比矩阵可以用于计算物体的线速度和角速度。
如何根据旋转矩阵计算欧拉角和角速度之间的雅可比呢？我们可以使用以下步骤：
1.根据旋转矩阵计算出雅可比矩阵。
2.使用雅可比矩阵计算出欧拉角。
3.根据欧拉角计算出角速度。
在计算机视觉和机器人领域，雅可比矩阵线速度和角速度被广泛应用。
它们可以用于描述物体的运动状态，以及计算物体在不同坐标系下的位置和姿态。
总之，雅可比矩阵是一种重要的数学工具，它可以用于描述物体在三维空间中的旋转，并且可以用于计算物体的线速度和角速度。
逆运动学雅可比矩阵
逆运动学雅可比矩阵逆运动学雅可比矩阵是机器人学中的重要概念，用于描述机器人末端执行器的运动学性质。
通过逆运动学雅可比矩阵，我们可以推导出机器人在给定末端执行器速度时，关节的运动速度。
本文将介绍逆运动学雅可比矩阵的定义、推导方法和应用场景。
逆运动学雅可比矩阵是描述机器人末端执行器速度与关节速度之间关系的矩阵。
在机器人学中，关节速度是指机器人各个关节的运动速度，末端执行器速度是指机器人末端执行器在笛卡尔坐标系下的速度。
逆运动学雅可比矩阵将这两种速度联系起来，帮助我们理解机器人的运动学特性。
逆运动学雅可比矩阵的定义如下：假设机器人有n个关节，末端执行器在笛卡尔坐标系下的速度为v，关节速度为q̇，则逆运动学雅可比矩阵J的定义如下所示：J = (∂f/∂q̇)⁻¹其中，f表示末端执行器的位置和姿态函数，∂f/∂q̇表示末端执行器速度对关节速度的偏导数。
逆运动学雅可比矩阵的维度为6xN，其中N表示机器人关节数量。
在推导逆运动学雅可比矩阵时，我们可以使用几何法或微分法。
几何法是基于坐标变换和几何关系的推导方法，而微分法则是基于微分运算的推导方法。
这两种方法在不同情况下都有其适用性。
逆运动学雅可比矩阵在机器人学中有广泛的应用。
首先，逆运动学雅可比矩阵可以用于机器人轨迹规划和路径优化。
通过计算机器人末端执行器速度和关节速度的关系，我们可以优化机器人的运动轨迹，使其更加平滑和高效。
逆运动学雅可比矩阵还可以用于机器人的运动控制和力控制。
通过控制机器人的关节速度，我们可以实现对机器人末端执行器的精确控制。
在力控制中，逆运动学雅可比矩阵可以帮助我们估计机器人末端执行器受到的外部力和力矩，并进行相应的控制。
逆运动学雅可比矩阵还可以用于机器人的碰撞检测和避障。
通过计算机器人末端执行器速度和关节速度的关系，我们可以判断机器人是否会与周围环境发生碰撞，并采取相应的避障策略。
总结起来，逆运动学雅可比矩阵是机器人学中的重要概念，用于描述机器人末端执行器的运动学性质。
逆运动学的解析法原理及推导过程 详细
逆运动学的解析法原理及推导过程详细逆运动学是机器人学中的一个重要概念，其主要研究机器人末端执行器的位置和姿态，以及如何通过控制机器人关节的运动来实现所需的末端位置和姿态。
逆运动学的解析法是一种常用的解决方法，其原理及推导过程如下：一、逆运动学的基本概念在机器人学中，逆运动学是指从已知机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人各个关节的角度值，以实现末端执行器的位置和姿态的变化。
逆运动学与正运动学相对应，正运动学是指从已知机器人各个关节的角度值，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
二、逆运动学的解析法原理逆运动学的解析法是指通过数学公式和推导方法，将机器人的运动学模型转化为一个数学方程组，通过求解方程组，得到机器人各个关节的角度值。
逆运动学的解析法有多种方法，如雅可比矩阵法、牛顿-拉夫逊法、李群-李代数法等。
三、逆运动学解析法的推导过程以雅可比矩阵法为例，推导过程如下：1.建立机器人末端执行器的位置和姿态描述方式，通常用一个4x4的变换矩阵T表示机器人末端执行器的位置和姿态；2.根据机器人的运动学模型，将末端执行器的位置和姿态表示为机器人各个关节角度的函数，即T=T(q1,q2,…,qn)，其中q1,q2,…,qn为机器人各个关节的角度；3.对上述函数进行求导，得到雅可比矩阵J，J=T/q，其中J为一个6xN的矩阵，N为机器人关节数量；4.将末端执行器的期望位置和姿态表示为Td，通过求解方程J(q)Δq=Td-T(q)，得到关节角度的增量Δq=(J(q)TJ(q))-1J(q)T(Td-T(q))，其中(J(q)TJ(q))-1是J(q)TJ(q)的逆矩阵，T为矩阵的转置。
通过上述推导过程，得到机器人各个关节角度的增量Δq，从而可以控制机器人的关节运动，实现末端执行器的位置和姿态的变化。
四、总结逆运动学的解析法是一种常用的解决方法，在机器人控制和应用中具有广泛的应用。
不同的解析法有不同的优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。
速度运动学-雅可比矩阵
第4章 速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数）2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵S ρ被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘3）)()(Ra S R a RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T旋转矩阵的导数)(θθSR R d d= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
雅可比矩阵和动力学分析
雅可比各列旳计算公式：
6 x
6 y
n x ny nz ( p n)x o x oy oz ( p o)x
6 z
6 x
a x 0
ay 0
az 0
( pa)x nx
6 y
6 z
0 0
0 0
0 0
ox ax
( p n)y ( p o)y
( p n)z ( p o)z
i x
i y
(2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重叠时，机 器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。相应旳机器 人形位叫做内部奇异形位。
当机器人处于奇异形位时会产生退化现象，丧失一种或更 多旳自由度。这意味着在工作空间旳某个方向上，不论怎 样选择机器人关节速度，手部也不可能实现移动。
当l1l2s2＝0时无解，机器人逆速度雅可比J-1奇异。 因l10，l20，所以，在2＝0或2＝180时，机器 人处于奇异形位。
2
Y
2
d1 d2
写成矩阵形式为
X
dX dY
1
Y
1
X
2
Y
2
d1 d2
X X
令
J
1
2
Y Y
1
2
简写为： dX=J dθ
关节空间微小运 动dθ与手部作业 空间微小位移 dX旳关系。
2R机器人旳速度雅可比矩阵为：
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
当雅可比不是满秩矩阵时，J旳行列式为0。
当雅可比不是满秩矩阵时，可能出现奇异解，机器人旳奇 异形位，相应操作空间旳点为奇异点。
机器人旳奇异形位分为两类：
(1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时， 手部处于机器人工作空间旳边界上或边界附近，逆雅可比 奇异。相应旳机器人形位叫做边界奇异形位。
机器人学_第五讲 微分运动和速度
• 微分变换 -一组平移和旋转共同组成。
4
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 微分旋转
定义：绕x,y,z轴的微分转动分别为δx, δy, δz。
由于旋转量很小，近似等式有：
sinx x
弧度
cosx 1
1
Rot(x,x) 0
0 0
0 1
x
0
0
x
1 0
0 0
Rot( y,y)
1 0
0 1
y
0
0 1 0 0
y
0 1 0
0
1
0 Rot(z,z) z
0
0
1
0
z
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
注意：这里 1 (x)2 1 违反了单位方向向量的要求，但是，高阶微分项 ( x)2可以看做忽略不计，所以依旧可以认为是满足的。
T
Tz
Ty
0
Tx
Tx T dy
0 T dz
0 0 0 0
其中：
Tx n
Ty o
Tz a
Tdx n p d Tdy o p d Tdz a p d
14
第五讲 3 雅克比矩阵定义
雅克比（Jacobian）矩阵：表示机械臂末端速度和各 个关节速度之间的关系。 对于在三维空间中运行的具有6个关节的机器人有：
dT代表什么？
还记得不？
dT T T T
注意：下面的左右乘的区别，依旧是绝对左乘，相对右乘
13
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 坐标系之间的微分变换
由于两者都是描述坐标系在固定参考坐标系中的相同变化，
速度运动学-雅可比矩阵
速度运动学-雅可⽐矩阵第4章速度运动学——雅可⽐矩阵在数学上，正运动学⽅程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了⼀个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可⽐矩阵来决定。
雅可⽐矩阵出现在机器⼈操作的⼏乎各个⽅⾯：规划和执⾏光滑轨迹，决定奇异位形，执⾏协调的拟⼈动作，推导运动的动⼒学⽅程，⼒和⼒矩在末端执⾏器和机械臂关节之间的转换。
1.⾓速度：固定转轴情形k θω =（k 是沿旋转轴线⽅向的⼀个单位向量，θ是⾓度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵⼀个n n ?的矩阵S 被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T,我们⽤)3(so 表⽰所有33?反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满⾜0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独⽴项，并且每个33?的反对称矩阵具有下述形式：---=000121323s s s s s s S 如果Tz y x a a a a ),,(=是⼀个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：---=000)(xy x zy z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ?=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ?表⽰向量叉乘3）)()(Ra S R a RS T=，左侧表⽰矩阵)(a S 的⼀个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表⽰与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于⼀个n n ?的反对称矩阵S ,以及任何⼀个向量nR X ∈，有0=SX X T旋转矩阵的导数)(θθSR R d d= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以⼀个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
3.⾓速度：⼀般情况)())(()(t R t w S t R= ，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p 。
雅可比公式
1．机器人的微运动
• 首先研究机器人连杆在作微小运动时位姿变化的 表达。机器人运动链中某一连杆对于固 • 定系的位姿为r，经过搬运动后该杆对固定系的位 姿变若这个微运动是相对于固定 • 系进行的，总可以用微小的平移和旋转来表示， 即 • 根据齐次变换的相对性，若微运动是相对于某个 杆系以进行的．则
机器人运动链中某一连杆对于固定系的位姿为r经过搬运动后该杆对固定系的位姿变若这个微运动是相对于固定可见无论对哪个杆系作微运动均会出现方括号内的公共部分将此式表示为这里下标不同是由于微运动是相对不同的坐标系进行的
雅可比公式
报告人：石凌云 2011年9月17日
内容提要
• 之前研究了机器人手部位姿与关节运动问的关 系，其目的是使机器人的手部达到空间某 一给定 的位置并满足一定的姿态。以下将研究机器人运 动中各坐标之间的微分关系，这个关系是机器人 微分运动学和动力学的基本点。在机器人运动中， 有时需要对手部位姿作微小的调整，因此要讨论 机器人连杆在作微小运动时的位姿变化。为了使 手部按给定的方向并以给定的速度运动，因此须 推导关节位移和末杆位置的微分关系，解出各关 节的速度，在此基础上可进行加速度和运动学分 析。
• 可见无论对哪个杆系作微运动，均会出现方括号 内的公共部分，将此式表示为 • 这里下标不同是由于微运动是相对不同的坐标系 进行的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
雅可比矩阵和动力学分析
手部瞬时速度为1 m/s。
三、雅可比矩阵的奇异性
J
1q
J *q J q
J *q ——J矩阵的伴随阵
若 Jq 0 则 J 1 q
q J 1q•V
由此可见，当雅可比矩阵的行列式为0时，要使手爪 运动，关节速度将趋于无穷大。
当雅可比不是满秩矩阵时，J的行列式为0。
与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。
反之，假如给定工业机器人手部速度，可解出 相应的关节速度，即：
q J 1V
式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。 当工业机器人手部在空间按规定的速度进行作 业，用上式可以计算出沿路径上每一瞬时相应 的关节速度。
例1 如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。 求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。
解 由推导知，二自由度机械手速度雅可比为
J
Байду номын сангаас
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
逆雅可比为
J 1
1
l1l2s2
l2c12
l1c1
l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
θ& J 1v 且vX=1 m/s，vY=0，因此
&&12
第3章 雅可比矩阵和动力学分析
上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器 人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学 方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关 节空间的映射关系。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义：
速度雅可比矩阵（Jacobian matrix of velocity）是一种数学工具，用于描述多变量函数之间的关系。
它常用于物理学、工程和机器人学等领域中，用于解决运动学和动力学问题。
速度雅可比矩阵是由函数的偏导数组成的矩阵。
对于一个具有m个输出变量和n个输入变量的函数，它的速度雅可比矩阵的维度是m×n。
每个元素Jij表示第i个输出变量相对于第j个输入变量的偏导数。
在机器人学中，速度雅可比矩阵可以帮助我们分析机器人末端执行器的运动学相关性。
通过将机器人的关节速度与末端执行器的速度进行关联，我们可以使用速度雅可比矩阵来计算末端执行器的速度与关节速度之间的变化率。
在动力学中，速度雅可比矩阵也被广泛应用。
它可以帮助我们研究系统的稳定性和控制性能，以及解决反向动力学问题。
通过分析系统的速度雅可比矩阵，我们可以评估系统的灵敏度和响应性能。
速度雅可比矩阵在工程领域中的应用也非常广泛。
例如，在流体力学中，速度雅可比矩阵可以帮助我们研究流体的速度场和压力场之间的关系。
在电力系统中，速度雅可比矩阵可以用于分析电力网络的稳定性和传输能力。
总结而言，速度雅可比矩阵是描述多变量函数之间关系的重要数学工具。
它在物理学、工程和机器人学等领域中具有广泛的应用，可以帮助我们解决运动学和动力学问题，分析系统的性能和响应特性。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义摘要：一、引言二、速度雅可比矩阵的定义1.雅可比矩阵的背景2.速度雅可比矩阵的概念3.速度雅可比矩阵的性质三、速度雅可比矩阵的应用1.机器人运动控制2.自动驾驶技术4.飞行器导航系统四、结论正文：一、引言在现代科技快速发展的背景下，机器人和自动驾驶等智能系统越来越受到人们的关注。
这些系统在运动控制和导航过程中，需要一个关键的数学工具来描述和分析系统的运动特性，那就是雅可比矩阵。
而速度雅可比矩阵作为其重要衍生，具有更丰富的内涵和应用价值。
本文将详细介绍速度雅可比矩阵的定义、性质及其在实际应用中的价值。
二、速度雅可比矩阵的定义1.雅可比矩阵的背景- 雅可比矩阵来源于微积分，用于描述多元函数的切线斜率- 其定义为：J = f/x * x/q，其中f 表示函数，x 表示变量，q 表示参数2.速度雅可比矩阵的概念- 速度雅可比矩阵是在雅可比矩阵的基础上，对时间求导得到的- 定义为：v_j = v_i/q * q/x，其中v_i 表示第i 个变量在q 方向的速度，v_j 表示第j 个变量在x 方向的速度3.速度雅可比矩阵的性质- 速度雅可比矩阵具有行列式为1 的特性- 其元素表示系统各变量在某一方向上的速度变化率三、速度雅可比矩阵的应用1.机器人运动控制- 在机器人运动控制中，速度雅可比矩阵用于描述关节空间的速度变化- 通过计算和调整速度雅可比矩阵，可以实现对机器人的精确控制2.自动驾驶技术- 在自动驾驶中，速度雅可比矩阵用于描述车辆在行驶过程中的速度变化- 通过对速度雅可比矩阵的实时调整，可以实现对车辆的精确驾驶3.飞行器导航系统- 在飞行器导航系统中，速度雅可比矩阵用于描述飞行器在飞行过程中的速度变化- 通过对速度雅可比矩阵的分析，可以优化飞行器的飞行路径和速度四、结论速度雅可比矩阵作为描述系统速度变化的重要工具，在机器人和自动驾驶等领域具有广泛的应用。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义1. 引言速度雅可比矩阵是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍速度雅可比矩阵的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
2. 速度雅可比矩阵的定义速度雅可比矩阵是描述多变量函数之间的关系的一个矩阵。
它是一个m×n 的矩阵，其中 m 是函数的输出维度，n 是函数的输入维度。
速度雅可比矩阵的元素由函数的偏导数组成，每个元素表示函数输出关于函数输入的变化率。
假设有一个函数 f(x)，其中 x 是一个 n 维向量，表示函数的输入变量。
函数f(x) 的输出是一个 m 维向量，表示函数的输出变量。
那么函数 f(x) 的速度雅可比矩阵 J 的定义如下：J = ∂f/∂x = [∂f₁/∂x₁∂f₁/∂x₂ … ∂f₁/∂xₙ] [∂f₂/∂x₁∂f₂/∂x₂ … ∂f₂/∂xₙ] [… … … … ] [∂fₙ/∂x₁∂fₙ/∂x₂ … ∂fₙ/∂xₙ]其中∂f/∂x 表示函数 f(x) 的偏导数，∂fᵢ/∂xₙ 表示函数 f(x) 的第 i 个输出变量关于第 j 个输入变量的偏导数。
3. 速度雅可比矩阵的性质速度雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：3.1. 行和列的关系速度雅可比矩阵的行数等于函数的输出维度，列数等于函数的输入维度。
这是由于速度雅可比矩阵的每一行对应函数的一个输出变量，每一列对应函数的一个输入变量。
3.2. 偏导数的计算速度雅可比矩阵的每个元素都可以通过对函数的偏导数进行计算得到。
计算时，可以使用链式法则来求解。
具体而言，对于函数 f(x) 的第 i 个输出变量关于第 j 个输入变量的偏导数，可以通过求解∂fᵢ/∂xₙ = ∂fᵢ/∂y₁ * ∂y₁/∂xₙ + ∂fᵢ/∂y₂ *∂y₂/∂xₙ + … + ∂fᵢ/∂yₙ * ∂yₙ/∂xₙ 的方式得到，其中 y 是函数 f(x) 的中间变量。
3.3. 矩阵的性质速度雅可比矩阵可以视为一个线性变换的表示。
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1
y
1
x
2
y
d1 d2
2
令
x
J
1
y
1
则式(3.41)可简写为
x
2
y
• 1
dX=J dθ
其中,
dX
dx dy
,
d
d1
d
x l1 cos1 l2 cos12
y
l1
sin
1
l2
sin 12
即
x y
x(1,2 ) y(1,2 )
dx
x
1
d 1
x
2
d2
dy
y
1
d 1
• y
2
d2
x
d x
dy
开链操作机位姿逆解实例
解：1）求θ 1
2）求θ 3
3）求θ 2
求逆小结
求逆解：
1) 方法：等号两端的矩阵中对应元素相等； 2) 步骤：利用矩阵方程进行递推，每递推一次可解一个或多于
一个的变量公式； 3) 技巧：利用三角方程进行置换
关于关节角(θ )的多解(多值)问题
• 代数法和几何法进行位姿逆解时，关节角的解都是多解 (多值的)的。
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法 z-y-x欧拉角设定法
•
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法
• 三次旋转变换后的得到 的姿态矩阵如何？
2. 工业机器人速度分析
把式(3.44)两边各除以dt,
dX
dq
dt J (q) d•t
或
V=J(q) q
(3.45) (3.46)
其中: V——机器人末端在操作空间中的广义速度,V=X; J(q)——速度雅可比矩阵;
• 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。 • 为达到目标点，操作机的上臂(杆2)和下臂(杆3)可有两
种位形关系。对于下臂，可在基座右面，转到基座的左 面。这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。
关于关节角(θ )的多解(多值)问题
5.2
•
1. 数学上, 雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函数的偏 导矩阵。假设有六个函数, 每个函数有六个变量, 即
• 如何用3个独立参数描述姿态? 这3个独立变量可以取作绕3个 轴的转角。
• 机器人手部位姿的六维列矢量表示:
X=[x,y,z,φx,φy,φz]T
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
φ——滚转角(roll)； θ——俯仰角(pith)； ψ ——偏摆角(yaw)
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
第五讲 机器人逆运动学及速度分析
5.1 工业机器人的运动学方程简介
• 运动方程
–
末端执行器(对多数机器人常
表•现为夹
持型工具)上的坐标
系
(也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵Te0，就是操作机的
运动方程。
• 正解
– 已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位置
和姿态，称作机器人运动学正问题；对于移动关节，取d为
2
由此可求得
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2
c 12
l2s12
•
l2c12
对于n自由度机器人,关节变量q=［q1 q2…qn］T,当关节为转 动关节时,qi=θi; 当关节为移动关节时,qi=di,则dq=dq1 dq2…dqn］ T反映关节空间的微小运动。由X=X(q)可知,
q——机器人关节在关节空间中的关节速度。
若把J(q)矩阵的第1列与第2列矢量记为J1、J2,则有 V=J1θ1+J2θ2,说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不 动而某一关节运动时产生的端点速度。
•
(3.47)
若已知关节上θ1.与θ2是. 时间的函数,θ1=f1.(t),θ2=f2(.t), 则可求出 该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速度。反之, 给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解. 出相应的关节速度,q=. J-1V, 式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。
逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下:
① 工作域边界上的奇异: 机器人手臂全部伸开或全部折 回时,叫奇异形位。该位置产生的 解•称为工作域边界上的奇异。
② 工作域内部奇异: 机器人两个或多个关节轴线重合引 起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象, 即在某空间 某个方向(或子域)上, 不管机器人关节速度怎样选择, 手部也 不可能动。
关节变量。
• 逆解
– 已知作业要求时，末端执行器的空间位置和姿态以及各杆的
结构求关节变量
5.1.1
• 这两个问题，是机器人应用中
•
极为重要的问题，是对机器人 进行位置控制的关键。
• 由于末端执行器类型复杂，为 了便于研究，下面以末杆的位 姿矩阵T0n取代T0e作为研究对象。
5.1.2 反向运动学及实例
dX=J(q)dq
其中J(q)是(6×n)的偏导数矩阵. (X=[x,y,z,φx,φy,φz]T dX=[dx,dy,dz,δ φ x,δ φ y,δ φ z]T ), 称为n自由度机器人速 度雅可比矩阵。
3转角表示的姿态矩阵
• 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T6建立机器人运动学方 程的方法.其中n,o,a共9个元素表示手部姿态.实际只有三个独 立的.这种方法对坐标变换运算十分方便,但利用它做手部姿态 描述不方便.
• 位姿逆解法可分为3类：
–代数法 –几何法 –数值ห้องสมุดไป่ตู้法。
若已知末杆某一特定的位姿矩阵T06：
• 方法步骤
• 用qi代替θ i或di表示关节变量(qi称作广义关 节变量)
• 一般的递推解题步骤如下：
例：已知T06，求例PUMA560的位姿逆解。即：已知
以及A1，A2，A3，A4，A5，A6 求： θ 1，θ 2，…θ 6（代数法）
(3.36)
可写成 将其微分, 得
Y=F(X)
•
dY F dx X
式中, (6×6)矩阵 F 称为雅可比矩阵。 X
(3.37)
对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵, 我 们称为机器人的雅可比矩阵, 简称雅可比。
以二自由度平面关节机器人为例•,如图3.14所示,机器人的手 部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有