5第五章 点的运动学描述和刚体的简单运动

a
ax a y 4R
2 2
2 2
2
a 4 x i 4 y j 4 ( x i y j ) 4 r
2 2
例7 半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。 设轮子保持在同一竖直平面内运动， t，试分析轮 子边缘一点M的运动。
o M


R
M
y
o
M

R
x C 解：取坐标系Axy如图所示，并设M 点所在的一个最低位置为 原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为
x AC OM sin R ( sin )
y OC OM cos R (1 cos )
A
这是旋轮线的参数方程。
M点的速度为：
二、点的速度 M A r(t) O 点的速度是矢量。
v
M' r(t+Δt)
Δr
动点的速度矢等于它的矢径r对 v* 时间的一阶导数，即 B
v dr dt r
动点的速度矢沿着矢径r的矢端曲线的切线，即沿动点轨
迹的切线，并与点的运动方向一致。 在国际单位制中，速度的单位为 m/s。
三、点的加速度 点的加速度也是矢量。 动点的加速度矢等于该点速度矢对时间的一阶导数， 或等于矢径对时间的二阶导数，即
v vτ ds dt τ
四、点的加速度
a
dv dt

dv dt
τ v
dτ dt
（1）反映速度大小变化的加速度at a t vτ 显然at是一个沿轨迹切线的矢量，因此称为切 向加速度(tangential acceleration)。 如 v 0 at指向轨迹的正向；如 v 0 at指向轨迹的负向。
vz dz dt
可见，速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的一阶导数。
三、点的加速度
a dv dt
dvx dt i dv y dt j dvz dt k
设动点的加速度矢a在直角坐标轴上的投影为ax、ay、az,即 则有
ax dvx dt
d x dt
2 2
a axi ay j azk
a dv dt
d r dt
2 2
r v
在国际单位制中，加速度的单位为 m/s2。
加速度的方向确定 如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时
的速度矢v0,v1,v2 ，…等都平行地移到点O，连接各矢
量的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连 续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。
v y y ( l a ) cos t
故点M的速度大小为
v vx vy
2 2
( l a ) sin t ( l a ) cos t
2 2 2 2 2 2

l a 2 al cos 2 t
2 2
其方向余弦为
cos( v , i ) vx v
任何瞬时点的法向加速度始终为零。
例：曲柄摇杆机构，曲柄长 OA=10cm，绕O轴转动，角

4 t （rad）(时间t的单位为s)，摇杆O1B=24cm，距离
O1O=10cm。求B点的运动方程、速度及加速度。
v
a
解：B点的运动轨迹是以O1B为半 径的圆弧,t=0时,B点在B0处。取B0 为弧坐标原点。则B点的弧坐标
3 . 7 cm/s
2
其方向如图。可见，B点作匀速圆周运动。
例6 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的 小护环M 运动，已知φ＝ωt (ω为常数)。求小环M 的运动方程、 速度和加速度。 y 解：建立如图所示的直角坐标系。则 B
x R sin 2 = R sin 2 t
令
s a t v
at是一个代数量，是加速度a沿轨迹切向的投影。 由此可得结论：切向加速度反映点的速度值对时间的 变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数， 或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。
（2）反映速度方向变化的加速度an
an v dτ dt
它反映速度方向τ的变化。上式可改写为
不断增加，点作加速运动；当速度v与切向加速度at指向
相反时，速度的绝对值不断减小，点作减速运动。
a a t an atτ an n
式中
at
dv dt
an
v
2

由于at，an均在密切面内，因此全加速度a也必在密切面 内。这表明加速度沿副法线上的分量为零，即
ab 0
全加速度的大小可由下式求出
s O1 B
由于Δ OAO1是等腰的,则φ=2θ，故
s O1 B

24

t 3 t cm
2
8
这就是B点的运动方程。 于是B点的速度及加速度为
v ds dt
3 9 . 42 cm/s
at
d s dt
2
2
0
a an
v
2


( 3 ) 24
2
ay dv y dt d y dt
2 2
az
dvz dt

d z dt
2
2
因此，加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐 标对时间的二阶导数。
例：椭圆规的曲柄OC可绕轴O转动，其端点C与规尺AB的 中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的 滑槽中运动。已知：OC=AC=BC=l，MC= a ，φ=ωt。求 规尺上点M的运动方程、轨迹方程、速度和加速度。
'
v lim
r t
t 0
lim
s t
t 0

ds dt
可见：速度的大小等于动点的弧坐 标对时间的一阶导数的绝对值。 弧坐标对时间的导数是一个代数量，以v表示
v ds dt s
s 绝对值表示速度的大小,正负表示点沿轨迹运动的方向。
由于τ是切线轴的单位矢量，因此点的速度矢可写为
y R co s 2 R cos 2 t
M
2
即为小环M 的运动方程。
O
x
v x x 2 R cos 2 t
A
v y y 2 R sin 2 t
故M点的速度大小为
v
v v
2 x
2 y
2R
其方向余弦为
co s( v , i ) vx v co s 2
速度矢端曲线
动点的加速度矢a的
M1
方向与速度矢端曲线在相应点
v
M2 v1 O v2
a
M3
M的切线相平行。
一、点的运动方程
由于矢径的原点与直角坐标系的 原点重合，因此有 其中
r xi yj zk
x f1 (t )
y f 2 (t )
z f 3 (t )
这些方程称为以直角坐标表示的点的 运动方程。 也是点的轨迹的参数方程。 如求点的轨迹方程，可将运动方程中 的时间t消去。 如点在某平面内运动，取该平面为坐标平面Oxy，则 点的运动方程为： x f 1 (t ) y f 2 (t ) 从上式中消去时间t，即得轨迹方程
v x i y j R (1 cos ) i ( R sin ) j
2 a i r sin ti x yj 2 r co s tj
解：取坐标系Oxy,点M的运动方程为
x ( OC CM ) cos ( l a ) cos t
y AM sin ( l a ) sin t
消去时间t，得轨迹方程
x
2 2
(l a )ຫໍສະໝຸດ y2 2(l a )
1
求点M的速度
v x x ( l a ) sin t
a at an
2 2
它与法线间的夹角的正切为
tan at an
几种特殊情况： 匀变速曲线运动
v v0 a tt
at=常量
1 2 a tt
2
s s0 v0t
v v0 2a t (s s0 )
2 2
匀速曲线运动 v=常量 直线运动 曲率半径

s s 0 vt
⑥
()t
2)刚体
( )t t 2 t 1
力学模型 运动分类
1)点
⑦
1)点的运动
2)刚体的运动
第五章 点的运动学描述和刚体的 简单运动
§5-1 点的运动学描述 §5-2 刚体的平移 §5-3 刚体的定轴转动 §5-4 轮系的传动比 §5-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢 积表示点的速度和加速度
△
s
M'

lim
S
s 0

d dS
t'
两个相关的计算结果
τ 2 τ sin 2
t
M O
1
△ △s
M'
△t
t'
dτ ds
lim
τ s
s 0
lim
s
t"
s 0
n

n
三、点的速度 点沿轨迹由M到M',经过Δt 时间,其矢径有增量Δr。 当Δt→0时， r MM s 故有
动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，弧长s 为代数量，
二、自然轴系
b τn
以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴 组成的正交坐标轴称为曲线在点M的自然坐标系，这三 个轴称为自然轴。