垂直于弦的直径(公开课)
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24.1.2 垂直于弦的直径 ——垂径定理及其推论
R·九年级上册
圆有哪些对称轴？ O
圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.
• 如何来证明圆是轴对称图形呢？
已知：如图，AB为圆O直径，点C为圆上任
A
意一点
求证：点C关于AB的对称点一定在圆O上
O
C B
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． C
• 解：OM＜ON. • 理由如下：连接OA、OC.
• 则OA＝OC.∵ON⊥CD, OM⊥AB,
C N ＝ 1 2C D ,A M ＝ 1 2A B .
• 又∵AB＞CD,∴CN＜AM, ∴CN2＜AM2. • 在Rt△OCN和Rt△OAM中， • OM2＝OA2-AM2, • ON2＝OC2-CN2, • ∴OM2＜ON2. ∴OM＜ON.
课堂小结
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 垂 的两条弧. 径 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 定 弦，并且平分弦所对的两条弧. 理 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意
作出辅助线，构造出直角三角形利用勾股定理解答.
∴EM＝OM-OE＝7cm.
• 第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时， • 如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm， • • ∴EM=OM+OE=17cm. • 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
拓展延伸
• 10. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是 OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？
பைடு நூலகம்EO
A
B
D
垂径定理
C
CD是直径，AB是弦， CD⊥AB
AE＝BE
A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
O E
A
B
①过圆心 ②垂直于弦
③平分弦
D
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ A
图1
O E
C
D
B
D
图3 A E O B C
O
图2
A
E
B
A C
E
图4 B O
• 解：分两种情况讨论. • 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. • 如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.连接OB、OD.
• ∵AB∥CD. ∴OE⊥AB.
B E ＝ 1 2 A B ＝ 1 2 c m ,D M ＝ 1 2 C D ＝ 5 c m .
则 O E ＝ O B 2 B E 2 ＝ 5 c m .O M ＝ O D 2 D M 2 ＝ 1 2 c m .
A C
M
O
D
B N
• 垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
有C哪些等量关系？
d+h=r
r2 d2 (a)2 2
rO
dE
A
B
h
Da
在a，d，r，h中，
已知其中任意两个量， 可以求出其它两个量．
随堂演练
基础巩固
• 1.下列说法中正确的是( B)
• 3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 10 ，最短 弦的长是 6 .
• 4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D， OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形.
• 5.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求： • (1)∠AOB的度数； • (2)点O到AB的距离.
C
7.23
A
18.5 D 37
B
R
R-7.23
O
• 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.
•
则R2=18.52+(R-7.23)2
C
•
解得：R≈27.3
•
因此，赵州桥的主桥拱
7.23
• 半径约为27.3m.
A
18.5 D 37
B
R
R-7.23
O
• 6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M 是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求 ⊙O的半径.
• A.在同一个圆中最长的弦只有一条 • B.垂直于弦的直径必平分弦 • C.平分弦的直径必垂直于弦 • D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
• 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
• A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
• C.OD=DC
D.AC=BC
• 解：设半径为r.
•
∵OC⊥AB，∴AD=BD=
1 2
AB=150m.
• 在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2.
• 解得r =272.5m.
• 因此，这段弯路的半径为272.5m.
综合应用
• 9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm， CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
• 解：连接OC.
• ∵OM平分CD,
•
∴OM⊥CD且CM=MD=
1 2
CD=2m.
• 设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,
• 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= 1 0 .
• 即⊙O的半径为 1 0 m.
3
3
• 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m， C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.
• 5.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. • 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, • 则AE=BE，CE=DE， • ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
• 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代 人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
D
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
①过圆心 ②垂直于弦
①过圆心 ③平分弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
O
⑤平分弦所对的劣弧
E
A
B
②垂直于弦
D
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
为什么强调这里的弦不是直径？
一个圆的任意两条 直径总是互相平分，但 它们不一定互相垂 直. 因此这里的弦如果是直 径，结论不一定成立．
R·九年级上册
圆有哪些对称轴？ O
圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.
• 如何来证明圆是轴对称图形呢？
已知：如图，AB为圆O直径，点C为圆上任
A
意一点
求证：点C关于AB的对称点一定在圆O上
O
C B
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． C
• 解：OM＜ON. • 理由如下：连接OA、OC.
• 则OA＝OC.∵ON⊥CD, OM⊥AB,
C N ＝ 1 2C D ,A M ＝ 1 2A B .
• 又∵AB＞CD,∴CN＜AM, ∴CN2＜AM2. • 在Rt△OCN和Rt△OAM中， • OM2＝OA2-AM2, • ON2＝OC2-CN2, • ∴OM2＜ON2. ∴OM＜ON.
课堂小结
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 垂 的两条弧. 径 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 定 弦，并且平分弦所对的两条弧. 理 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意
作出辅助线，构造出直角三角形利用勾股定理解答.
∴EM＝OM-OE＝7cm.
• 第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时， • 如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm， • • ∴EM=OM+OE=17cm. • 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
拓展延伸
• 10. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是 OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？
பைடு நூலகம்EO
A
B
D
垂径定理
C
CD是直径，AB是弦， CD⊥AB
AE＝BE
A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
O E
A
B
①过圆心 ②垂直于弦
③平分弦
D
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ A
图1
O E
C
D
B
D
图3 A E O B C
O
图2
A
E
B
A C
E
图4 B O
• 解：分两种情况讨论. • 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. • 如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.连接OB、OD.
• ∵AB∥CD. ∴OE⊥AB.
B E ＝ 1 2 A B ＝ 1 2 c m ,D M ＝ 1 2 C D ＝ 5 c m .
则 O E ＝ O B 2 B E 2 ＝ 5 c m .O M ＝ O D 2 D M 2 ＝ 1 2 c m .
A C
M
O
D
B N
• 垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
有C哪些等量关系？
d+h=r
r2 d2 (a)2 2
rO
dE
A
B
h
Da
在a，d，r，h中，
已知其中任意两个量， 可以求出其它两个量．
随堂演练
基础巩固
• 1.下列说法中正确的是( B)
• 3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 10 ，最短 弦的长是 6 .
• 4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D， OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形.
• 5.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求： • (1)∠AOB的度数； • (2)点O到AB的距离.
C
7.23
A
18.5 D 37
B
R
R-7.23
O
• 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.
•
则R2=18.52+(R-7.23)2
C
•
解得：R≈27.3
•
因此，赵州桥的主桥拱
7.23
• 半径约为27.3m.
A
18.5 D 37
B
R
R-7.23
O
• 6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M 是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求 ⊙O的半径.
• A.在同一个圆中最长的弦只有一条 • B.垂直于弦的直径必平分弦 • C.平分弦的直径必垂直于弦 • D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
• 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
• A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
• C.OD=DC
D.AC=BC
• 解：设半径为r.
•
∵OC⊥AB，∴AD=BD=
1 2
AB=150m.
• 在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2.
• 解得r =272.5m.
• 因此，这段弯路的半径为272.5m.
综合应用
• 9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm， CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
• 解：连接OC.
• ∵OM平分CD,
•
∴OM⊥CD且CM=MD=
1 2
CD=2m.
• 设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,
• 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= 1 0 .
• 即⊙O的半径为 1 0 m.
3
3
• 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m， C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.
• 5.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. • 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, • 则AE=BE，CE=DE， • ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
• 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代 人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
D
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
①过圆心 ②垂直于弦
①过圆心 ③平分弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
O
⑤平分弦所对的劣弧
E
A
B
②垂直于弦
D
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
为什么强调这里的弦不是直径？
一个圆的任意两条 直径总是互相平分，但 它们不一定互相垂 直. 因此这里的弦如果是直 径，结论不一定成立．