初三数学讲义相似三角形的B字型

初三数学讲义（6）相似专题二B 字型相似

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引例 已知：如图，在正方形ABCD 中，Q 是边CD 上的一点, QP ⊥AQ 交 BC 于Q, .求证：ΔADQ 与ΔQCP 相似。

1、 如图，已知P 是等边ABC △的边BC 上一点，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°。 求证：△ABP ∽△PCD 。

2、 如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45°. 求证：△ABD ∽△DCE 。

解题总结：

1）请根据三道例题归纳出一个相似基本图形：

练习1.如图, 边长为4的正方形ABCD 中, P 是边BC 上的一点, QP ⊥AP 交 DC 于Q, 设 BP= x, △ADQ 的面积为y.

(1) 求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围; (2) 问P 点在何位置时,△ADQ 的面积最小?最小面积是多少?

A

D C

P

B

60°

练习2.如图，梯形ABCD 中 AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在线段BC 上任取一点P ，作射线PE ⊥PD ，与线段AB 交于点E. （1）试确定CP=5时点E 的位置；

（2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.

练习3．.矩形ABCD 中，把DA 沿AF 对折，使D 与CB 边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,则EF=______

练习4.在直角梯形ABCF 中，CB=14，CF=4, AB=6,CF ∥AB,在边CB 上找一点E,使以E 、A 、B 为顶点的三角形和以E 、C 、F 为顶点的三角形相似，则CE=

练习5.如图，点A 在反比例函数x y 4=

的图像上,点B 在反比例函数x

k

y =(k<0)的图像上,且∠AOB=90°，tan ∠OAB=4:3，则k 的值是

练习6.如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45°. （1）求证：△ABD ∽△DCE ；

（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出当BD 为何值时AE 取得最小值；

（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长。

练习7.在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .

（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ；

（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；

.

练习8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝10．一把三角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A 、D 不重合），一直角边始终经过点C ，另一直角边与AB 交于点E ． （1）证明△DPC ∽△AEP ；

（2）当∠CPD ＝30°时，求AE 的长；

（3）是否存在这样的点P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．

练习9.如图，已知抛物线与x 轴交于A （2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点P ，满足以PC 为直径的圆交抛物线与点B ，求点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，问在y 轴上是否存在点E ，使得以A 、O 、E 为顶点的三角形与⊿PBC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.

练习10.(2011湖南)孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2

(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：

（1）若测得22OA OB ==（如图1），求a 的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．

； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

y

x

B

A

O

图

F E

y x

B

A

O