初中数学 八九年级全等与旋转模型归纳 讲义

八九年级全等与旋转模型归纳
考察点1：手拉手模型
手拉手模型，亦称为共顶点等腰型，一定会出现旋转型全等。

其衍生模型有等腰对补角模型和等腰旁等角模型
模型回顾：
一 . 绕点旋转
1.如图，已知△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连AD. 若∠BDC=120°，求证：
（1）∠ADB=∠ADC=60°（2）DA=DB+DC.
2.如图，已知△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连AD. 若∠ADB=60°，求证：
（1）∠ADC=60°（2）DA=DB+DC.
3.如图，已知△ABC，AB=AC，∠ADB=∠ADC=60°，求证：（1）△ABC为等边三角形，
（2）DA=DB+DC.
考察点2：”脚拉脚”模型。

构造辅助线思路是先中线倍长，再证明旋转全等。

如图AB=AC ，CD=ED ，∠BAC +∠CDE =180°，若P 为BE 中点，求证：
P DP A ⊥
如图，∠A +∠C=180°，E ，F 分别在BC,CD 上，且AB=BE ，AD=DF ，M 为EF 中点，求证：DM ⊥BM
BEF BEF=90G DF EG CG EG=CG
ABCD Rt ∆∠︒如图，正方形，等腰，。

为中点，连接，，求证：
巩固练习
如图，已知等边△ABC ，D 是BC 上任意一点，以AD 为边作等边△ADE ，连CE ，求证：（1）CD +CE =AC ，（2）CE 是△ABC 的外角平分线.
如图，已知△ABC ，以AB 、AC 为边作正△ABD 和正△ACE ，CD 交BE 于O ，连OA ，求OE
OD OC
OB OA +++2的值.
Rt ABC A=B=60ABC A 060)A'BC',B'C'BC E AC F AEF =______
ααα∆∠︒∠︒︒<≤∆∆中，90，，将三角形绕逆时针旋转（到与交于，与交于，当为等腰三角形时，则
ABC DEF AB=AC DE=DF BAC=EDF== 6060AB AD ααα∆∆∠∠︒≠=如图，和均为等腰三角形，，，（1）若，求证：AF=AE+AD
（2）若，，求证：AF=AE+BC
(1) 如图1，AB ＝AC ， D 为BC 上一点，DA ＝DE ，∠BAC=∠ADE ＝90°，
求∠BCE 的度数．
(2) 如图2，AB=AC ，D 为BC 上一点，DA ＝DE ，∠BAC ＝∠ADE = α°（α<90），
求证: AB // CE
(3) 如图3，若△ABC 和△ADE 都是钝角三角形，那么（2）中结论是否变化 ？
5，如图△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，D为AB上一点，若∠ADE=15°，
M为BE中点，，试求AC长度。

如图1，等边三角形ABC和等边三角形DEC，CE和AC重合
(1) 求证：AD＝BE
3AC时，若CE绕点C顺时针旋转30°，连BD交AC于点G，取AB的中点F连(2) 当CD＝
2
FG（如图2），求证：BE＝2FG
(3) 在(2)的条件下AB＝2，则AG＝__________（直接写出结果）
正方形中的旋转问题
6.如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形
(1) 如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明
(2) 将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE 相交于点M，连接MB，求∠EMB的度数
(3) 若BE＝2，BC＝6，连接DG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），则在这个旋转过程中线段DG的取值范围为_______________（直接填空，不写过程）
半角模型加强
原题呈现：
半角模型，又称为夹半角模型，半角旋转模型。

常用辅助线做法，旋转或折叠。

其中核心处理思路是通过几何变换把图形条件转化和集中，从而找到问题的突破口
举一反三：
（2017原创）
2，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，(武汉中考2017)如图，在△ABC中，AB＝AC＝3
∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为___________．
已知在△ABC 中，AB=AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H 如图1，若∠ABC=60°、∠MBN=30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ①求证：CE=AG ；
②若BF=2AF ，连接CF ，求∠CFE 的度数；
（2）如图2，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE=∠BAC=2∠CFE ，直接写出= ．
（硚口九月2017）在正方形ABCD 中，AB ＝6，P 为边CD 上一点，过P 点作PE ⊥BD 于点E ，连接BP. O 为BP 的中点，连接CO 并延长交BD 于点F.
① 如图1，连接OE ，求证：OE ⊥OC ；
② 如图2，若
5
3 EF BF ，求DP 的长。