空间解析几何知识点

第七章空间解析几何与向量代数

向量的有关定义和性质

定义坐标表示备注

将a的起点放原点，其终点坐标为

向量

（矢量）具有大小和方

向的量

(X, y,z)，贝U a ={x,

y,z}

=Xi yj zk

设A(X i,y i,Z i) , B(X2,y2,Z2)则①向量：

a

②零向量：0

向量的模向量的大小（或

长度）

AB ③设

A(x i,

y i,z i)

X i)2卜2 y i)2(Z2 乙)2

B(X2,

y2,Z2) 设a与三坐标

轴正向的夹角

设向量a={x, y, z}，

则

向量的

方向余

弦则

cos 、

cos 、cos 为

a的方向余弦

厂2 2 2

V X y z

y

/ 2 2 2

V X y z

z

J x2 2

y 2

z

cos ,cos

X

cos

cos

cos

cos

AB

y2

{X2 X I,

y i, z2 z}

向量的运算

几类常见的二次曲面及其标准方程

曲面名称方程

旋转曲面曲线

c (y，)

绕y轴旋转构成f(y, J x2 z2) 0 X 0 绕

z

轴旋转构成f ( J x2y2,z) 0

球面(x a)2(y b)2(z c)2R2，半径R，球心(a,b, c)

椭球面

2 2 2

务与勺i，a, b,c为椭球面的半径a b c

圆柱面

2 2 ^2 2 2 ^2 2 2 ^2

x y R ，x z R ，y z R

定义坐标表示备注

向量

的数

量积

a b cos(ab) a b X i X2 y i y2 Rz?

向量的向量积

a b| |a|

b (sinab)方

向与a、b都垂直，且X i

x

j

y i

y2

z

Z2

a与b平行a、

b

与

a b

成右手系

x i y i z i

x

2

y2 z2

椭圆柱面

2 2 2 2 2 2

x_ 1,二£_ 1, 2-三 1 a b a c be

抛物柱面

x 2py , x 2pz ；y 2px , y 2 pz; z 2 px ,

z2 2py （p为正数）

双曲柱面

2 2 2 2 2 2

x y x z / y z

—1, r p 1，△—1（a,b,e为正a b a e b e

数）

圆锥面z2 a2(x2 y2),由直线或

y

绕z轴旋转而

y o x o

成

椭圆抛物面

2 2 2 2 2 2

z 2 y2 , y 2 2 , x y2 2 （a,b,e 为正数）

a b a e b e

双曲抛物面

2 2 2 2 2 2

x y x z y z

z （ 2 门），y （ 2 2），x C 2 2 ）

（ a,b,e

a b a e b e

单叶双曲面

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z 1 x y z 1 x y z 1

2.2 2 , 2.2 2 ， 2 .2 2

a b e a b e a b e

双叶双曲面

2 2 2 2 2 2

X £ z 1 X 乂z 1

2 .2 2 ‘ 2 .2 2

a b e a b e

四、平面的表示

方程的形式相关系数的意义

点法式

A（x X0）B（y y。）M (X o , y o , Z o)为平面上一点，

方程

C（z z。）0 n A , B , C为平面的法向量

一般式Ax By Dz D 0 n A, B,C为平面的法向量

三点式方

程x x i y y i z z i

X2 x i y2 y i Z2 乙

X3 x i y3 y i Z3 z i

M i(x i,y i,z i)，M2(X2,y2, Z2)

M 3(X3,y3,Z3)为平面上的三点

截距式x y三1 a b c

a,b,c分别为平面在X，y，z轴上

的截距

五、直线的表示

方程的形式相关系数的意义

参数式方程X x0mt y y o

nt z Z o pt

M （X0，y0，Z0）为直线上一点，s

m，n, p为直线的方向向量

标准方程（对

称式）x x o y y。

z z

m n p

同上

一般式方程A,x B i y C i z D i 0

A2x B2y C2z D20

直线的方向向量为

S A i，B i , Ci A2 , B2 ,C2

两点式方程

x x i y y i z z i

M i（X i, y i,Z i），M2（X2,y2,Z2）为直

线上两点，直线的方向向量为

S X2 X i，y2 y i, Z2 Z i

X2 X i y2 y i Z2 Z i