四面体外接球的球心、半径求法(经典)

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

第一节 原理部分一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D 3，，ACCy设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。

五、四个面都为直角三角形的四面体。

如图：四面体S —ABC ，其中AB ⊥AC 、SC ⊥面ABC ， AB ＝a AC ＝b SC ＝c ，求其外接球的直径。

分析：可把S —ABC 拼补成以AB 、AC 、SC 为棱的长方体.四面体S —ABC 的外接球就是补成的长方体的外接球。

则四面体S —ABC 的外接球的直径2R ＝BS四面体S —ABC 的内切球的半径也可由等体积法求得。

六、等腰四面体（三组对棱分别相等的四面体）如图：四面体ABCD ，其中AB ＝CD ＝a AC ＝BD ＝b AD ＝BC ＝c ，求其外接球的直径。

分析：可把四面体ABCD 拼补成长方体，其中四面体每组对棱为长方体一组对面上的两条异面的对角线。

四面体ABCD 的外接球就是补成的长方体的外接球。

可设长方体的三条棱长为x 、y 、z ，则：222222222,,c z y b z x a y x =+=+=+，则外接球的直径2R ＝22222222222222222c b a b c a a c b c b a ++=-++-++-+.附：角四面体的性质的证明有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；DCBABDCAABCDOH③体积 V=16a b c ； ④底面面积S △ABC =22222212a b b c c a ++；⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c=++; ⑧外接球半径 R= 22212a b c ++；⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++由正四面体的性质，运用联想类比的思想方法来探求直角四面体的性质。

所谓直角四面体就是有一个三面角的各个面角都是直角的四面体。

如图，四面体OABC 在点O 处的三个面角都是直角。

所以四面体OABC 是直角四面体。

直角四面体的性质：① 直角四面体的对棱互相垂直.证明：如图OB ⊥ OC ，OB ⊥ OA 。

OB ⊥ 平面OAC ， 又，同理可得:直角四面体的对棱互相垂直.②二面角A-OB-C、二面角A-OC-B、二面角B-OA-C都是直二面角.证明：由（1）得OB ⊥平面OAC，∠AOC是二面角A-OB-C的平面角，即二面角A-OB-C是直二面角。

同理可得:OC ⊥平面OAB，二面角A-OC-B是直二面角，OD ⊥平面OBC，二面角B-OA-C是直二面角。

③直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心.证明：连结，并延长交于，连结由三垂线定理的逆定理得同理，④S2△BOC=S△BHC·S△ABC证明：⑤.证明：即同理，在⑥不含直角的底面ABC是锐角三角形.证明：设OA = a，OB = b，OC = c，则，，，在中，由余弦定理得，所以∠BAC是锐角.同理可得∠ABC、∠ACB是锐角，所以△ABC是锐角三角形.⑦S2△BOC+S2△△AOB+S2△AOC=S2△ABC（底面面积S△ABC=）证明：由（6）得：⑧体积V=.证明：⑨外接球半径R= .如图所示，以点O为长方体的一个顶点，OA、OB、OC为长方体的三棱作长方体OBEC-AFGH，则四面体OABC的外接球也是长方体OBEC-AFGH的外接球.设四面体OABC的外接球半径是R，则.⑩内切球半径r=设△OAB的面积是S1，△OAC的面积是S2，△OBC的面积是S3，△ABC的面积是S4，则，，，由⑦得: .由等体积原理得:所以,内切球半径r=第二部分高考真题一、直接法1、求正方体的外接球的有关问题例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27 .例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是.故该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好14π.例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π解析：正四棱柱也是长方体。

由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.二、构造法1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9π.(如图1)例 6 （2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. D. 6π解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A BDE -满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE BE ==1，体对，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A.B.C.D. 解析：（如图3） 因为AE=EB=DC=1，0DAB=CBE=DEA=60∠∠∠，所以AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，这与例图1图26就完全相同了，故选C.例8 （2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA ABC⊥平面，AB BC⊥，O的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC⊥平面，AB BC⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于92π.（如图4）CD CE图3图42、构造长方体例9（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在Rt ABC ∆中，求出=4BC ，所以0C=60BO ∠，故B 、C 两点间的球面距离是43π.（如图5）C图5。