四面体外接球的球心、半径求法(经典)

四面体外接球的球心、半径求法

在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

第一节 原理部分

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为

2

2

2

c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2

2

22c b a R ++=

【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：

因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=

1663142

2

22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S

二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，

5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22

210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，

在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==

所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心

52

1

==

AC R 所以该外接球的体积为3

500343π

π==R V

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解

【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，

2===AC AD AB

解：由已知建立空间直角坐标系

)000

(，，

A )002(，，

B )200(，，D 3，

，

A

C

C

y

设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知

222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++

解得 13

31==

=z y x

所以半径为3

21

1331222=

++=）（R

【结论】：空间两点间距离公式：2

21221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=

四、四面体是正四面体

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，

根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为

a 4

6

。 五、四个面都为直角三角形的四面体。

如图：四面体S —ABC ，其中AB ⊥AC 、SC ⊥面ABC ， AB ＝a AC ＝b SC ＝c ，求其外接球的直径。

分析：可把S —ABC 拼补成以AB 、AC 、SC 为棱的长方体.

四面体S —ABC 的外接球就是补成的长方体的外接球。则四面体S —ABC 的外接球的直径2R ＝BS

四面体S —ABC 的内切球的半径也可由等体积法求得。 六、等腰四面体（三组对棱分别相等的四面体）

如图：四面体ABCD ，其中AB ＝CD ＝a AC ＝BD ＝b AD ＝BC ＝c ，求其外接球的直径。

分析：可把四面体ABCD 拼补成长方体，其中四面体每组对棱为长方体一组对面上的两条异面的对角线。

四面体ABCD 的外接球就是补成的长方体的外接球。 可设长方体的三条棱长为

x 、y 、z ，则：

222222222,,c z y b z x a y x =+=+=+，则外接球的直径

2R ＝

22222222222222

222c b a b c a a c b c b a ++=-++-++-+.

附：角四面体的性质的证明

有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面体有下列性质：

如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则

①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；

②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；

D

C

B

A

B

D

C

A

A

B

C

D

O

H

③体积 V=

1

6

a b c ； ④底面面积S △ABC =22

222212

a b b c c a ++；

⑤S 2△BOC

=S △BHC ·S △ABC ；

⑥S 2

△BOC

+S 2

△AOB +S 2

△AOC =S 2

△ABC

⑦

22

221111

OH a b c

=++; ⑧外接球半径 R= 2

2212

a b c ++；

⑨内切球半径 r=

AOB BOC AOC ABC

S S S S a b c

∆∆∆∆++-++

由正四面体的性质，运用联想类比的思想方法来探求直角四面体的性质。所谓直角四面体就是有一个三面角的各个面角都是直角的四面体。如图，四面体OABC 在点O 处的三个面角都是直角。所以四面体OABC 是直角四面体。

直角四面体的性质：

① 直角四面体的对棱互相垂直.

证明：如图

OB ⊥ OC ，OB ⊥ OA 。

OB ⊥ 平面OAC ， 又