高考数学一轮复习专题讲座2三角函数解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关理北

专题讲座2 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与

求解策略

1．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150° 解析：选B.(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，

所以a 2－6b 2－a·b ＝－18，

因为|a |＝3，|b |＝2，

所以9－24－a ·b ＝－18，

所以a·b ＝3，

所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝36＝12

， 所以〈a ，b 〉＝60°.

2．(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图像如图所示，点B ，

C 是该图像与x 轴的交点，过点C 的直线与该图像交于

D ，

E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)的

值为( )

A ．－1

B ．－12 C.12

D ．2 解析：选D.注意到函数f (x )的图像关于点C 对称，因此C 是线段D

E 的中点，BD →＋BE →＝2BC →

.又BE →－CE →＝BE →＋EC →＝BC →，且|BC →|＝12T ＝12×2ππ

＝1，因此(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝2BC →2＝2. 3．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝

________．

解析： 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝AB sin∠ADB ，

所以sin ∠ADB ＝22

.所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B

＝BC sin ∠BAC

，所以AC ＝6. 答案：6

4．(2015·高考天津卷改编)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为

________． 解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx

＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，

因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x ＝ω对称，

所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋

2k π，k ∈Z . 又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2， 所以ω2＝π4， 所以ω＝π2. 答案：π2

5. 已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R 的图像的一部分如图所示． (1)求函数f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－2

3时， 求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．

解：(1)由题图知A ＝2，T ＝8，

因为T ＝2π

ω＝8，

所以ω＝π

4.

又图像经过点(－1，0)，

所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π

4＋φ＝0.

因为|φ|<π

2，所以φ＝π

4.

所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π

4.

(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)

＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π

4＋2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4x ＋π2＋π

4 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

4x ＋π

2＝22cos π

4x .

因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－2

3，

所以－3π

2≤π

4x ≤－π

6.