55曲线与方程

第55课时 曲线与方程

编者：陈彩余 审核：陆海蓉 第一部分 预习案

一、学习目标

1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程；

2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法．

二、知识回顾

1．曲线与方程

如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．

2．求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系．

(2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )．

(3)列式——列出动点P 所满足的关系式．

(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简．

(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

3．两曲线的交点

(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．

4．注意点

求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0；

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(4)代入法(相关点法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；

(5)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．

班级_________ 学号_________

姓名_________

三、基础训练

1．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________．

2．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积

为________．

3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是__________________．

4．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，

且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是______________．

5．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为__________．

第二部分 探究案

探究一 直接法求轨迹方程

问题1已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线l ：x ＋2y －12＝0的距离的最小值．

问题2、如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．

探究二 定义法求轨迹方程

问题3、已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

问题4、已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14

，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________．

探究三 相关点法求轨迹方程

问题5、设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动

时，求点N 的轨迹方程．

问题6、已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，

且AP →＝22

PB →，求点P 的轨迹C 的方程．

探究四 利用参数法求轨迹方程

问题7、已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程．

我的收获

第三部分 训练案 见附页