八下数学重难点整理
初二下册数学重难点
初二下册数学重难点初二下册数学重难点数学是一门需要逻辑思维和数学技巧的学科，对于初中生来说，数学课程是一门非常重要的学科。
初二下册的数学内容中，有一些知识点是学生较难理解和掌握的，下面将介绍一些数学重难点。
一、平面几何与空间几何1. 平面几何的基本性质：初二下册的平面几何内容主要是基于初一的知识进行拓展，学生需要掌握平面几何中的基本性质，例如：平行线与相交线的性质、三角形的基本性质、四边形的性质等等。
这些基本性质是以前的知识的基础，也是后面学习几何知识的基石。
2. 相似与全等：初二下册的几何内容中，相似和全等是一个重要的环节。
学生需要掌握相似三角形的判定条件，以及相似三角形的性质和特点。
全等三角形的判定条件也是学习的重点，需要学生理解和掌握。
3. 空间几何的基本概念：初二下册开始学习空间几何，学生需要了解和掌握空间中的基本概念，例如：空间点、直线、平面、棱、面等等。
同时，还需要了解空间中的几何关系，例如：直线和平面的位置关系、平行线和垂直线的性质等等。
二、代数运算与方程1. 代数式的拼凑与因式分解：初二下册开始涉及到代数式的拼凑与因式分解。
学生需要学会对代数式进行拼凑和因式分解的操作，特别是对于多项式的因式分解，需要学生理解因式分解的原理和方法。
2. 一元一次方程和一元一次不等式：初二下册开始学习一元一次方程和一元一次不等式。
学生需要了解和掌握一元一次方程和不等式的解题方法，特别是解题步骤和注意事项。
3. 二次根式与二次方程：初二下册的数学中开始学习二次根式和二次方程。
学生需要掌握二次根式的化简和计算方法，以及二次方程的解题方法和一些常见的二次方程解的性质。
三、统计与概率1. 统计表和图的制作与分析：初二下册开始学习统计与概率，其中涉及到统计表和图的制作和分析。
学生需要学会制作各种统计表和图形，并能够通过分析统计图来得出结论。
2. 概率的基本概念和计算：初二下册的数学中开始涉及到概率的基本概念和计算方法。
重难点手册数学八下电子版
重难点手册数学八下电子版数学是一门综合性的学科，在学习过程中我们难免会遇到一些重难点。
为了帮助同学们更好地理解和掌握数学知识，我们为大家准备了数学八下电子版重难点手册。
本手册以电子书的形式呈现，方便同学们在手机、电脑等设备上随时随地进行学习。
接下来，我们将逐一介绍本手册中的重难点内容。
一、有理数1. 整数的加减乘除运算本章重点介绍了整数的加减乘除运算法则，以及如何利用这些运算法则进行习题求解。
通过本章的学习，同学们可以更好地掌握整数运算的技巧。
2. 平方根和立方根平方根和立方根是数学中的重要概念，它们在解题过程中起到了关键作用。
本章详细介绍了求平方根和立方根的方法，并提供了大量的练习题供同学们锻炼。
二、代数式与方程1. 一元一次方程一元一次方程是初中数学的重点内容，同学们需要掌握解一元一次方程的方法。
本章结合具体的例题，详细讲解了解方程的步骤和技巧。
2. 一元一次方程的应用一元一次方程的应用是数学知识在实际问题中的运用。
本章通过实例，介绍了解一元一次方程应用题的常见方法和思路，帮助同学们更好地应用数学知识解决实际问题。
三、平面图形的认识1. 四边形的认识和分类四边形是平面图形的一种，它的分类和性质在几何学中非常重要。
本章介绍了四边形的分类标准，并通过实例展示了不同类别的四边形的特点和性质。
2. 倒置与全等倒置与全等是平面图形中常见的概念，它们在许多证明题中起到了重要作用。
本章通过图例和实例，讲解了倒置与全等的基本定义，帮助同学们理解和掌握这些概念。
四、数与式1. 多项式的乘法多项式的乘法是数与式中的重难点，同学们需要掌握多项式的乘法规则和运算方法。
本章通过多个实例，讲解了多项式乘法的步骤和技巧，帮助同学们提高运算效率。
2. 分式的概念与计算分式是数与式中的重要内容，同学们需要理解和掌握分式的概念和运算法则。
本章详细介绍了分式的基本概念，并提供了大量的习题，供同学们练习和巩固所学知识。
本电子版重难点手册数学八下主要围绕了数学八下册的核心知识展开，通过系统的讲解和大量的实例，帮助同学们理解和掌握数学知识。
八年级数学下册知识点重点总结重点难点
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”或“≤”, “>”或“≥”连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系,不等式表示是不相等的关系;3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0≥0 <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0≤0 <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:1 不等式的两边加上或减去同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.2 不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cb c a >. 3 不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:a 、b 分别表示两个实数或整式 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1不等号的改变问题 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b 或ax<b ①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为ab x <; 5. 不等式应用的探索利用不等式解决实际问题列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3. 解一元一次不等式组的步骤:1分别求出不等式组中各个不等式的解集;2利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况a 、b 为实数,且a<b第二章 分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系;因式分解与整式乘法的区别和联系: 1整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; 2因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: )(c b a ac ab +=+2. 概念内涵:1因式分解的最后结果应当是“积”;2公因式可能是单项式,也可能是多项式;3提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+3. 易错点点评:1注意项的符号与幂指数是否搞错;2公因式是否提“干净”; 3多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:1平方差公式: ))((22b a b a b a -+=-2完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 3. 因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底.4. 运用公式法:1平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项不含符号都是一个单项式或多项式的平方;③二项是异号.2完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤:1先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;2再看能否使用公式法;3用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;4因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;5因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法:1.对于二次三项式c bx ax ++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅= , 21c c c ⋅=, 且满足1221c a c a b +=,往往写成c 2a 2c 1a 1的形式,将二次三项式进行分解.如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++ 2. 二次三项式q px x ++2的分解:3. 规律内涵:1理解:把q px x ++2分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同.2如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4. 易错点点评:1十字相乘法在对系数分解时易出错;2分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第三章 分式一. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称BA为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有: ⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变.4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二. 分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即:BD AC D C B A =⋅, CB DA C DB A DC B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A nn n=⎪⎭⎫⎝⎛逆向运用nn n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n nB A B A =⎪⎭⎫⎝⎛成立.3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三. 分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.1同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:CBA CBC A ±=± 2异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=±3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四. 分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去. 2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出分式方程; ④解方程,并验根;⑤写出答案.第四章 相似图形一. 线段的比1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. 2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即dcb a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数;⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a = 二. 黄金分割1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 四. 相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 五. 相似三角形_ 图1 _B_C _A1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.5. 相似三角形周长的比等于相似比.6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的条件 1. 相似三角形的判定方法:基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边或两边的延长线相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图2, l 1EF BCDE AB3. 平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九. 图形的放大与缩小1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 位似变换: ①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心. ②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.第五章 数据的收集与处理_ 图2 _F_E _D_C_B _A _l _3_l _2 _l _1一. 每周干家务活的时间1. 所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.二. 数据的收集1. 抽样调查的特点: 调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章证明一一. 定义与命题1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.二. 为什么它们平行1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.并由此得到平行的判定定理2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.三. 如果两条直线平行1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等;2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等;3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补.四. 三角形和定理的证明1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°2. 一个三角形中至多只有一个直角3. 一个三角形中至多只有一个钝角4. 一个三角形中至少有两个锐角五. 关注三角形的外角1. 三角形内角和定理的两个推论:推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.。
最新北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总 附解析
北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总第一章三角形的证明1等腰三角形1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（）A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°【答案】D【解析】①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=45°，∴∠A=45°，即顶角的度数为45°.②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=45°，∴∠BAD=45°，∴∠BAC=135°.故选：D．2．如图，在△AB C中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE ＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个【答案】D【解析】在△AB C中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形；因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACD=∠DCB=36°，所以△ACD是等腰三角形；在△BD C中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°，所以△BDC是等腰三角形；所以BD=BC=BE，所以△BDE 是等腰三角形；所以∠BDE=72°，∠ADE=36°，所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D3．如图，在△AB C中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【答案】A【解析】在△AB C中，AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A．4．如图，在△AB C中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】D【解析】∵△AB D中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选：B．5．如图，在△AB C中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为____.【答案】72°【解析】∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°-36°）÷2=72°，∠DCB=36°．∴∠BDC=72°．故答案为：72°6．在△AB C中，AB＝AC，且BC＝8cm，BD是腰AC的中线，△ABC的周长分为两部分，已知它们的差为2cm，则等腰三角形的腰长为__________.【答案】10cm或6cm【解析】如图∵BD是腰AC的中线，∴AD=CD，①当△ABD的周长与△BCD的周长差为2时，即AB+AD+BD-(BD+BC+CD)=2,∴AB-BC=2,∵BC=8cm，∴AB=10cm.②当△BCD的周长与△ABD的周长差为2时，即BD+BC+CD -(AB+AD+BD)=2,∴BC - AB =2,∵BC=8cm，∴AB=6cm.所以等腰三角形的腰长为10cm或6cm.7．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）求出∠AFB的度数．【答案】（1）见解析；（2）120°．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC（等边三角形三边都相等），∠C=∠ABE=60°，（等边三角形每个内角是60°）．在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS）．（2）∵△ABE≌△BCD（已证），∴∠BAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），∵∠AFD=∠ABF+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°．2直角三角形1．（2019·河北初二期末）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=12∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=1 2∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=12∠CGE，故正确．故选C．2. （2019·福建初二期中）如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH=∠ADB=90°．∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE，∴∠HBD=∠EAH．∵DH=DC，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD=AD，BH=AC；②∵BC=AC，∴∠BAC=∠ABC．由①知，在Rt△ABD中，∵BD=AD，∴∠ABC=45°，∴∠BAC=45°，∴∠ACB=90°．∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，∴结论②为错误结论．③由①证明知，△BDH≌△ADC，∴BH=AC；④∵CE=CD，∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°，∴△BEC≌△ADC，由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，∴结论④为错误结论．综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选B．3. （2019·江西初二期中）三角形的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵(a+2b−60)2+|b−，∴a+2b−60=0，b−18=0，c−30=0，∴a=24，b=18，c=30，∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形，故选：D.4. （2019·湖南初一期末）已知两个分别含有30°，45°角的一幅直角三角板．（1）如图1叠放在一起，若∠CAD=4∠BAD，请计算∠CAE的度数；（2）如图2叠放在一起，使∠ACE=2∠BCD，请计算∠ACD的度数．【解析】解：（1）由∠CAD+∠BAD=90°，∠CAD=4∠BAD，∴5∠BAD=90°，∴∠BAD=18°，∴∠CAE=18°；（2）设∠BCE=α，∵∠ACE=2∠BCD，∴90-α=2（60-α），∴α=30°，即∠BCE=30°，∴∠BCD=30°，∴∠ACD=120°．5. （2019·全国初二课时练习）如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．【解析】连接AC ，∵∠ADC=90°∴在Rt△ADC中，AC2= AD2+CD2=42+32=25，∵AC2+BC2=25+122=169, AB2=132=169，∴AC2+BC2= AB2 ，∴∠ACB=90°，∴S=S△ACB－S△ADC=12×12×5－12×4×3=24m2答：这块地的面积是24平方米6. （2019·江苏初二月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；（2）判断△ABC的形状；（3）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．【解析】解：（1）由题意可知：A(-1,5),B(-2,0),C(-4,3); (2)根据勾股定理可得：2221526AB =+= 2223213BC =+=2223213AC =+=∴BC=AC，且222BC AC AB += ∴△ABC 是等腰直角三角形； (3) △A 'B 'C '如图所示：7. （2019·广东初二期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，CD ＝3，AD ＝1，且∠ABC ＝90°，连接AC ． （1）求AC 的长度．（2）求证△ACD 是直角三角形． （3）求四边形ABCD 的面积？【解析】解：（1）在直角△ABC中，AC为斜边，且AB＝BC＝2，则AC＝22AB BC+＝2222+＝22．（2）∵AD＝1，CD＝3，AC＝22∴AC2+AD2＝CD2，即△ACD为直角三角形，且∠DAC＝90°，（3）四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝12AB×BC+12AD×AC＝12×2×2+12×1×22＝2+2．答：四边形ABCD的面积为2+2．3线段的垂直平分线1．如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为（）A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°【答案】D【解析】根据作图方法可得BD=CD，则∠DCB=∠B=25°，则∠CDA=50°，∵CD=AC，则∠A=∠CDA=50°，则∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°．2. 在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（）A. 10°B. 15°C. 40°D. 50°【答案】A【解析】∵在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，∴∠ACB=50°．∵AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠BCA﹣∠ACD=50°﹣40°=10°．故选A．3. 点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是( )A. 11B. 16C. 24D. 64【答案】C【解析】∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴OB=OC=OA=8cm，∴OA+OB+OC=24cm，故选C．4. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】∵∠A=65°，∠ABC=85°，∴∠ACB=30°．∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠ACB=60°．∵直线MN为BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴△BCD是等边三角形．5. 如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④【答案】C【解析】因为AB＝AC∠∠A＝36°∠MN垂直平分AC，所以∠B＝∠ACB＝72°，DA＝DC，所以∠A＝∠ACD＝36°.①因为∠BDC＝∠A＋∠ACD，所以∠BDC＝36°＋36°＝72°，所以∠B＝∠BDC，所以△BCD是等腰三角形.则①正确；②因为∠ACB＝72°，∠ACD＝36°，所以CD平分∠ACB.则②正确；③因为DA＝DC，所以C△BCD＝BC＋CD＋DB＝BC＋DA＋DB＝BC＋AB.则③正确.④△ADM是直角三角形，△BCD不是直角三角形，则④不正确.故选C.6. ∠∠∠∠△ABC∠∠AB=BC∠∠ABC=110°∠AB∠∠∠∠∠∠DE∠AC∠∠D∠∠∠BD,∠∠ABD= __°∠∵∠△ABC∠∠AB=BC∠∠ABC=110°∠∴∠A=∠C=35°∠∵AB∠∠∠∠∠∠DE∠AC∠∠D∠∴AD=BD∠∴∠ABD=∠A=35°∠∠∠∠∠35∠7. 如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？【解析】∠1∠∵在△ABC中，边AB∠AC的垂直平分线分别交BC于D∠E∠∴AD=BD∠AE=EC∠∵BC=8∠∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8∠∠2∠∵∠BAC=118°∠∴∠B+∠C=62°∠∵DA=DB∠EA=EC∠∴∠BAD=∠B∠∠EAC=∠C∠∴∠BAD+∠EAC=62°∠56∠DAE=ο8.如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF=FC．【解析】连接AF∠∵AB=AC∠∠BAC=120°∠∴∠B=∠C=30°∠∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF∠∴∠BAF=∠B=30°∠∴∠FAC=120°-30°=90°∠∵∠C=30°∠∴AF=CF∠∵BF=AF∠∴BF=FC∠4角的平分线1．如图，已知点P到AE∠AD∠BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC∠∠CBE∠∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是()A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③【答案】A【解析】∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选A.2.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A. 1︰1︰1B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰5【答案】C【解析】三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O点为△ABC的内心，则O点到△ABC三边的距离相等，设距离为r，有S∠ABO=×AB×r∠S∠BCO=×BC×r∠S∠CAO=×CA×r，所以S∠ABO:S∠BCO:S∠CAO=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.故答案选C.3. 如图，在Rt∠ABC中，∠C∠90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC∠AB 于点M∠N，再分别以点M∠N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD∠5∠AB∠18，则△ABD的面积是（）A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】C【解析】由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ，又∵∠C ＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积等于AB ⋅DE ＝×18×5＝45.故选C.4. 如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ，下列结论中不一定成立的是（ ）A. PA PB =B. PO 平分APB ∠C. OA OB =D. AB 垂直平分OP【答案】D 【解析】∵OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB∴PA=PB∴∴OPA∴∴OPB∴∴APO=∴BPO ，OA=OB∴A 、B 、C 项正确设PO 与AB 相交于E∴OA=OB ，∴AOP=∴BOP ，OE=OE∴∴AOE∴∴BOE∴∴AEO=∴BEO=90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D．5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90º∠BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E∠BC=6∠CD=3∠AE=4，则DE=_______∠AD=_______∠△ABC的周长是_______∠【答案】(1). 3(2). 5(3). 24【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90º∠BD是角平分线，DE⊥AB∠∴CD=DE=3∠∴Rt△BCD ≌Rt△BED∠∴BC=BE=6∠又∵AE=4∠∴AB=10∠∴AC=8∠∴AD=5∠∴△ABC周长=24.故答案为3,5,24.6. 如图，△ABC中，∠C=90º∠BD平分∠ABC交AC于D∠DE是AB的垂直平分线，DE= 12BD，且DE=1.5cm，则AC等于________.【答案】4.5【解析】∵∠C=90º∠BD平分∠ABC交AC于D∠12BD∠∴BD=3.∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD=3.∴AC=4.5∠故答案为4.5.7. 如图，已知CD∠AB于点D，BE∠AC于点E，CD交BE于点O.(1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB.【解析】(1)连接AO，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CEB=∠BDO=90°，又∵∠COE=∠BOD（对顶角相等），∴∠C=∠B（等角的余角相等），∴△CEO和△BDO中，C BOC OBCOE BOD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEO≌△BDO（ASA），∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上；∴DE=CD=1.5∠又∵DE=(2)∵AO 平分∠BAC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴OD=OE ，在△DOB 和△EOC 中，DOB EOC OD OEODB OEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DOB ≌△EOC （ASA ），∴OB=OC ．8. 如图，已知AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，且BC=CD.（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求证：AB+AD=2AE.【答案】详见解析【解析】（1）证明：∵AC 是角平分线，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ， ∴CE=CF ，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE 和Rt△DCF 中，∴△BCE ≌△DCF ；（2）解：∵CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC 和Rt△EAC 中，， ∴Rt △FAC ≌Rt △EAC ，∴AF=AE ，。
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
初二数学下册重点难点知识归纳
初二数学下册重点难点知识归纳初二数学下册重点难点知识归纳很多初二的学生在学习的数学的时候都会选择做习题练习，其实我们也不能忽视最基本的概念、公理、定理和公式，这些基础知识点都是需要理解明白的。
下面是店铺帮大家整理的初二数学下册重点难点知识归纳，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
初二数学下册重点难点知识归纳篇11、分式：（1）分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。
（2）分式是否有意义的条件：分式的分母是否等于0，有意义则分母不为0，无意义则分母为0。
（3）分式值为零的条件：分式A/B=0的条件是A=0，且B≠0。
注意：求出使分子为0的字母的值，一定要注意检验这个字母的值是否使分母的值为0，一般当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
（4）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（5）分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
注意：通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：● “各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；● 如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；● 如果分母是多项式，一般应先分解因式。
（6）分式的约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
注意：约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式◆（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；◆（2）找公因式的方法：① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
八年级(初二)下册 数学 思维导图+重点知识梳理
思维导图+重点知识梳理二次根式加、减、乘、除运算二次根式性质最简二次根式2 = 0 a a a ≥()()()()==-⎧⎪⎨⎪⎩200＜a a a a a a ≥ ⋅⋅ = 0 0 a b a b a b (≥, ≥)()00＞，bba b a a ≥= 0 0a a ≥≥()【例题展示】 已知a ，b 为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足 ，求此三角形的周长．3264b a a =-+-+解：由题意得∴a =3，∴b =4.当a 为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b 为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．30260a a -⎧⎨-⎩≥，≥，【例题展示】 化简：(1)16;2(2)(5)-；解：2164 4.==22(2)(5)5 5.-==210;-2(3.14).-π()22111101010=10.----2(3.14) 3.14= 3.14.---πππ ，而3.14＜π，要注意a 的正负性.注意2a a =32327+63---（）；06(2)20163+312.2--（）-63336=--+解：(1)原式33.=-(2)原式333=--3 2.=-【例题展示】计算：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.归纳勾股定理 直角三角形边长的数量关系 勾股定理的逆定理 直角三角形的判定 互逆定理勾股定理【例题展示】 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?AB AB A 'B '解：油罐的展开图如图，则AB '为梯子的最短距离.∵AA '=2×3×2=12, A 'B '=5,∴AB '=13. 即梯子最短需13米.【例题展示】 如图，南北方向PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A 处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ 上B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC =10海里，BC =8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北P AB C Q D分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD ，然后再利用勾股定理便可求CD .解：∵AC =10，AB =6，BC =8，∴AC 2=AB 2+BC 2，即△ABC 是直角三角形.设PQ 与AC 相交于点D ，根据三角形面积公式有 BC·AB= AC·BD ，即6×8=10BD ，解得BD=在Rt △BCD 中，2222248 6.4().5CD BC BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭海里又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.东北P A B C QD 24.512125种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形【例题展示】如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周长及AD边的取值范围．解：由题意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,∴△OCD的周长为12+9+16=37.在△ACD中，24-16＜AD＜24+16，∴8＜AD＜40；在△ABD中，18-16＜AD＜18+16，∴2＜AD＜34；在△AOD中，12-9＜AD＜12+9，∴3＜AD＜21．综上所述，AD的取值范围应是8＜AD＜21．【例题展示】 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.在△ADC与△CEB中，AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC ,∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．【例题展示】 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.F∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE .【例题展示】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE ＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．1 212 12【例题展示】 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四边形ACFD是菱形．()22226810cm. AC AB BC∴=+=+=某些运动变化 的现实问题 函数建立函数模型定义自变量取值范围 表示法 一次函数 y =kx +b (k ≠0)应用图象：一条直线性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大 k ＜0，y 随x 的增大而减小数形结合一次函数与方程（组）、 不等式之间的关系一次函数【例题展示】小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家.如图，能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系图象D的是（ ）【例题展示】 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.又∵直线过点（0，2），∴2=-2×0+b,∴b=2,∴直线l的解析式为y=-2x+2.【例题展示】小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y （元）与存钱月数 x （月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：（1）求出y 关于x 的函数解析式.（2）根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？4080120y /元x /月12345o解: (1)设函数解析式为y =kx ＋b ，由图可知图象过(0，40),(4，120)，∴这个函数的解析式为y =20x +40.(2)当y =200时，20x +40=200, 解得x =8，∴小明经过8个月才能存够200元.解得20,40,k b =⎧⎨=⎩∴{040,4120,k b k b ⨯+=+=4080120y /元x /月12345o数据的集中趋势数据的波动程度 方差用样本平均数估计总体平均数 用样本方差估计总体方差平均数 中位数 众 数 用样本估计总体数据的分析 数据收集—数据整理—数据描述—数据分析 【例题展示】 已知一组数据10，10，x，8(由大到小排列)的中位数与平均数相等，求x值及这组数据的中位数.解：∵10，10，x，8的中位数与平均数相等∴ (10+x)÷2＝ (10+10+x+8)÷4∴x＝8(10+x)÷2＝9∴这组数据的中位数是9.【例题展示】.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a3 5.6=_____，这五个数的方差_____.。
重难点手册数学八下电子版
重难点手册数学八下电子版
摘要：
1.重难点手册数学八下电子版的概述
2.数学八下电子版重难点手册的内容
3.如何有效利用数学八下电子版重难点手册
4.数学八下电子版重难点手册的优点和局限性
正文：
数学是中学阶段非常重要的一门学科，对于学生的逻辑思维能力和解决问题的能力都有着重要的影响。
在学习数学的过程中，重难点手册是一种非常有用的学习工具，它能够帮助学生明确学习重点，理解难点，从而提高学习效率。
本文将对数学八下电子版重难点手册进行详细的介绍和分析。
数学八下电子版重难点手册的内容非常丰富，它包括了数学八下的所有重点和难点内容，例如几何图形的性质和计算，代数的基本运算和公式，以及函数和统计等内容。
此外，它还包括了一些典型的例题和习题，能够帮助学生深入理解和掌握知识点。
要如何有效利用数学八下电子版重难点手册呢？首先，学生应该在学习新知识之前，先预习手册中的内容，明确学习重点和难点。
在学习过程中，如果遇到不理解的地方，可以及时查阅手册，寻找答案。
最后，在学习完一个单元后，学生可以对照手册进行复习，检查自己是否掌握了所有的知识点。
数学八下电子版重难点手册的优点是非常明显的。
它能够帮助学生明确学习重点，理解难点，提高学习效率。
同时，它也可以作为教师的教学参考书，
帮助教师更好地进行教学。
然而，它也存在一些局限性。
例如，它可能无法完全覆盖所有的知识点和题型，因此，学生还需要结合其他的学习资料进行学习。
总的来说，数学八下电子版重难点手册是一种非常有用的学习工具，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
八下数学第四章教学目标,教学重难点
4.1多边形（1）一.教学目标：1.使学生理解四边形的有关概念.2.使学生掌握四边形内角和定理及外角和定理的证明及简单应用. 3．体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想.二.教学重点：四边形内角和定理.三.教学难点：四边形内角和定理的证明思路.4.1多边形（2）一.教学目标：1.探索任意多边形的内角和，体验归纳发现规律的思想方法,掌握多边形内角和的计算公式及外角和等于360°.2.会用多边形的内角和与外角和的性质解决简单几何问题.二.教学重点：本节教学的重点是任意多边形的内角和公式.三.教学难点：例2的解题思路不易形成，是本节教学的难点.4.2平行四边形（1）一.教学目标：1.了解平行四边形的概念，会用符号表示平行四边形。
理解“平行四边形的对角相等”的性质，并初步运用性质进行有关的论证和计算。
了解平行四边形的不稳定性及其实际应用.2.培养学生严谨、科学的学习态度，勇于探索、创新的精神，并对学生进行由一般到特殊的辨证唯物主义观点教育.二.教学重点：平行四边形的定义和定义在证明中的应用.三.教学难点：本节范例的证明方法思路不易形成.4.2平行四边形的性质（2）一.教学目标：1.掌握“平行四边形的两组对边分别相等”的性质定理,会用平行四边形的上述性质定理解决简单的几何问题.2.掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”,“夹在两条平行线间的垂线段相等”.二.教学重点：平行四边形的性质定理“平行四边形的两组对边分别相等”.三.教学难点：例1涉及平行四边形性质的应用和根据定义判定四边形是平行四边形两方面推理过程.4.2平行四边形的性质（3）一.教学目标：1.掌握平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”,会应用平行四边形的上述定理解决简单几何问题.2.通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法，经历探索平行四边形性质的过程.二.教学重点：平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”.三.教学难点：例3比较复杂，并要求一题多解.4.3中心对称一.教学目标：1.了解中心对称的概念,了解平行四边形是中心对称图形，掌握中心对称的性质,灵活运用中心对称的性质，会作关于已知点对称的中心对称图形.2.通过提问、讨论、动手操作等多种教学活动，树立自信，自强，自主感，由此激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心.二.教学重点：中心对称图形的概念和性质三.教学难点：范例中既有新概念，分析又要仔细、透彻，是教学的难点.4.4平行四边形的判定（1）一.教学目标：1.平行四边形的判定定理及应用;会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题；会根据条件来画出平行四边形.2.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.二.教学重点：平行四边形的判定定理（一）及应用.三.教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.4.4平行四边形的判定（2）一.教学目标：1.掌握平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形；会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.2.在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识.二.教学重点：平行四边形的判定定理.三.教学难点：例2的证明步骤较多，且要综合运用平行四边形的判定定理和性质定理.4.5三角形的中位线一.教学目标：1.了解三角形的中位线的概念,了解三角形的中位线的性质.2.探索三角形的中位线的性质的一些简单的应用.二.教学重点：三角形的中位线定理.三.教学难点：三角形的中位线定理的证明中添加辅助线的思想方法.4.6反证法一.教学目标：1．通过实例，体会反证法的含义．2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．3．理解本节中关于两线相交与平行的又一判定方法．二.教学重点：本节教学的重点是反证法的含义和步骤．三.教学难点：课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点．。
重难点手册数学八下电子版
重难点手册数学八下电子版《重难点手册：数学八下电子版》一、整数和有理数整数和有理数是数学中的重要概念。
整数包括正整数、负整数和零，有理数是整数和分数的统称。
整数和有理数运算时需要掌握加法、减法、乘法和除法的规则，并能灵活运用于实际问题的计算中。
1.1 整数的加法和减法整数的加法和减法遵循同号相加取符号，异号相加取绝对值较大数的符号的原则。
例如，对于整数-3和5，-3+5=2；-3-5=-8。
1.2 有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法需要掌握分数的化简、分数的乘法和除法法则。
例如，对于有理数-2/3和4/5，(-2/3) × (4/5) = -8/15；(-2/3) ÷ (4/5) = -10/12。
二、图形的性质与变换图形的性质与变换是数学八下的重难点内容。
了解图形的基本性质，能够进行各种图形的变换，并能应用于解决相关问题。
2.1 三角形的性质三角形是最基本的图形之一，它具有重要的性质。
例如，三角形内角和为180°，等腰三角形的底角相等，全等三角形的对应边和对应角相等等。
掌握这些性质有助于解决与三角形相关的问题。
2.2 图形的相似与全等相似和全等是图形的重要变换类型。
相似图形的对应角相等，对应边成比例；全等图形的对应边和对应角都相等。
通过应用相似和全等的性质，可以解决与图形变换相关的题目。
三、代数初步代数是数学中的一个重要分支，它涉及到未知数、代数式和方程式的运算与应用。
理解代数的基本概念，能够进行代数式的化简和方程的求解。
3.1 代数式的化简代数式的化简是指根据运算法则将代数式进行简化的操作。
例如，对于代数式3x + 2y + 3x - 5y，可以进行合并同类项得到6x - 3y。
3.2 一元一次方程的解法一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程的关键是应用等式的性质进行变形。
例如，对于方程3x - 5 = 10，可以通过逆向运算得到x = 5。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题04一次函数重难点知识1(解析版).doc
学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题04 一次函数期末总复习重难点知识一遍过1一、基础知识点综述基础讲解基 础 知 识函数与变量一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.常见自变量取值范围：00100y x x y x xy x x =≥=≠=≠ ()() ()常量：其值在变化过程中始终保持不变的量叫常量. 变量：其值在变化过程中会发生变化的量叫变量. 正比例函数 解析式 y =kx （k ≠0）形状一条过（0,0）、（1，k ）的直线 坐标系中位置k >0时过一、三象限；k <0时过二、四象限 增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小一次函数解析式 y =kx +b （k ≠0）形状一条过（0,b ）、（bk-，0）的直线 坐标系中位置k >0，b >0时过一、二、三象限；k >0,b <0时过一、三、四象限；k <0，b >0时过一、二、四象限；k <0,b <0时过二、三、四象限增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3基 础 知 识一次函数图象的位置关系 l 1∥l 2，则k 1=k 2，b 1≠b 2；l 1⊥l 2，则k 1·k 2=－1一次函数图象平移 上下平移与b 有关，上加下减；左右平移与x 有关，左加右减一次函数图象的对称y =kx +b 关于y 轴对称的解析式为：y =－kx +b ；y =kx +b 关于x 轴对称的解析式为：y =－kx －b ；一次函数与二元一次方程组方程组的解是两条直线的交点坐标一次函数与不等式会借助图象判断y =0，y <0，y >0时自变量取值范围；会借助图象判断y 1=y 2，y 1<y 2，y 1>y 2时自变量取值范围；求一次函数解析式方法待定系数法上表中，l 1：y 1=k 1x +b 1；l 2：y 2=k 2x +b 2二、典型例题讲解题1. （1）函数11y x x=+-自变量的取值范围是（2）函数()02y x x=--自变量的取值范围是（3）函数214y x x =-+自变量的取值范围是（4）在三角形中，它的一条边是a ，这条边上的高是h ，则其面积S =0.5ah ，当a 为定长时，在此式中变量是，常量是（5）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为（ ）【答案】（1）x ≥－1且x ≠0；（2）x >0且x ≠2；（3）全体实数；（4）S 、h ；0.5、a ；（5）B ；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4【解析】解：（1）由10x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥－1且x ≠0；（2）由020x x >⎧⎨-≠⎩，解得：x >0且x ≠2；（3）由2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，得x 为全体实数；（4）由题意知S 随h 的变化而变化，所以S 和h 是变量，a 、0.5是常量；（5）通过分析可知，在注水开始至水面与小玻璃杯水面平齐过程中，水面高度不变，随后增大至最大后不再变化，故选B .题2. （1）正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大,则一次函数y =x +k 的图象过象限；（2）若函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，则m 的取值范围（3）在平面直角坐标系中，将直线l 1：y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，则应向上平移个单位，或向右平移个单位；（4）已知点A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数y =﹣x +9的图象上，则y 1y 2（5）直线y =k 1x +b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围成的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于（6）一次函数y =（m 2-4）x +（1-m ）和y =（m -1）x +m 2-3的图象与y 轴分别交于点P 和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =（7）函数y =－2x ＋4的图象上存在点P ，使得点P 到y 轴的距离等于1，则点P 的坐标为 . （8）过点（﹣1，7）的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线123+-=x y 平行.则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是【答案】（1）一、二、三；（2）m <－1；（3）5，53；（4）>；（5）4或－4；（6）－1； （7）（1,2）或（－1,6）；（8）（1,4）、（3,1）；【解析】解：（1）∵正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k >0，则y =x +k 的图象过一、二、三象限；（2）∵函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5∴()10430m m +<⎧⎨-->⎩，解得：m <－1；（3）y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，可向上平移5个单位；设向右平移m 个单位，则y =－3（x －m ）－3，即－3（x －m ）－3=－3x +2，解得：m =53即向右平移53个单位； （4）y =﹣x +9中，y 随x 的增大而减小，因为A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数图象上， 而－5<10，所以y 1>y 2 （5）由题意知：12122S b b =⨯⨯-， 即121422b b =⨯⨯-解得：b 1﹣b 2=4或－4 （6）由题意知：221304010m m m m ⎧-+-=⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得：m =－1； （7）点P 到y 轴的距离等于1，则P 点的横坐标为1或－1， 在y =－2x ＋4中，当x =1时，y =2；x =－1时，y =6， 即P 点坐标为（1,2）或（－1,6）；（8）设直线AB 解析式为y =kx +b ，由题意知：k =32-， 将（﹣1，7）代入得：7=32-×（－1）+b ，解得：b =112， 即直线AB 解析式为：y =32-x +112，整理得：2y +3x =11，由题意知x 、y 均为整数时，有x =1，y =4；x =3，y =1，即符合要求的点的坐标是（1,4）、（3,1）. 题3. （1）一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，求k 、b 的值.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6【答案】见解析.【解析】解：①当k >0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =3；x =4，y =6，代入y =kx +b 得：346k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩ ②当k <0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =6；x =4，y =3，代入y =kx +b 得：643k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：17k b =-⎧⎨=⎩即k =1，b =2或k =－1，b =7.（2）如图3-1,函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4),则不等式2x <ax +4的解集为图3-1【答案】x <2.【解析】解：因为函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4)， 所以当y =4时，x =2，由图象知：不等式2x <ax +4的解集为x <2.（3）甲骑摩托车从A 地去B 地,乙开汽车从B 地去A 地,同时出发,匀速行驶，各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s (千米)，甲行驶的时间为t (小时)，s 与t 之间的函数关系如图3-2所示.有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中正确结论是.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7图3-2【答案】①②④.【解析】解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a 千米/小时， 则120140a=+，解得：a =80，∴乙开汽车的速度为80千米/小时， ∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80-40）=60（千米），故②正确； 乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误； ∴正确的结论是①②④.题4. 如图4-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,矩形ABCD 的AB 边在x 轴上,AB =3,AD =2,经过点C 的直线y =x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．（1）求：①点D 的坐标；②经过点D ,且与直线FC 平行的直线的函数表达式；（2）直线y =x ﹣2上是否存在点P ,使得△PDC 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）在平面直角坐标系内确定点M ,使得以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．图4-1【答案】见解析.【解析】解：（1）①设点C的坐标为（m，2），∵点C在直线y=x﹣2上，∴2=m﹣2，解得m=4，即点C的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∴点D的坐标为（1，2）；②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；（2）存在．∵△EBC为等腰直角三角形，∴∠CEB=∠ECB=45°，∵DC∥AB，∴∠DCE=∠CEB=45°，∴△PDC是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，如图4-2所示，图4-2①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x﹣2交于点P1，8【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9∵点D 的坐标为（1，2）， ∴点P 1的横坐标为1，把x =1代入y =x ﹣2得，y =﹣1，即P 1（1，﹣1）；②当∠DPC =90°时，作DC 的垂直平分线与直线y =x ﹣2的交点即为点P 2， 点P 2的横坐标为52， 将x =52代入y =x ﹣2得，y =12，即P 2（52，12）， 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（1，﹣1）、（52，12）； （3）当y =0时，x ﹣2=0，解得x =2， ∴OE =2，∵以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形， ①若DE 是对角线，则EM =CD =3， OM =EM ﹣OE =3﹣2=1， 点M 的坐标为（﹣1，0），②CE 是对角线，则EM =CD =3，OM =OE +EM =2+3=5， 点M 的坐标为（5，0），③CD 是对角线，则平行四边形的中心坐标为（52，2）， 设点M 的坐标为（x ，y ）， 则2522x +=，22y=， 解得x =3，y =4，此时，点M 的坐标为（3，4），综上所述，点M 的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．题5. 小华和爸爸上山游玩，爸爸乘电缆车，小华步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小华行走到缆车终点的路程是爸爸乘缆车到山顶的线路长的2倍，爸爸在小华出发后50min 才乘上电缆车，电缆车的平均速度为180m /min ．设小华出发x （min ）行走的路程为y （m ），图5-1中的折线表示小华在整个行走过程中y （m ）与x （min ）之间的函数关系．（1）小华行走的总路程是＿＿＿＿＿m ，他途中休息了＿＿＿＿＿min ； （2）当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10（3）当爸爸到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是多少？图5-1【答案】（1）3600，20；（2）（3）见解析. 【解析】解：（2）①当50≤x ≤80时， 设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ， 根据题意，当x =50时，y =1950； 当x =80时，y =3600，得：195050360080k bk b =+=+⎧⎨⎩解得k =55，b =－800，∴函数关系式为：y =55x －800；（3）缆车到山顶的线路长为3600×2=1800米， 缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟， 把x =60代入y =55x ﹣800，得y =55×60﹣800=2500， ∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米.题6. 某校运动会需购买A 、B 两种奖品.若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元.(1)求A 、B 两种奖品单价各是多少元？(2)学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍.设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值.【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11【解析】解：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，由题意，得：60329553x y x y =+=+⎧⎨⎩， 解得：1015x y ==⎧⎨⎩．答：A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）由题意，得W =10m +15（100-m ）=-5m +1500∴()150051150310m m m -≤≤-⎧⎨⎩， 解得：70≤m ≤75．∵m 是整数，∴m =70，71，72，73，74，75．在W =-5m +1500中，∴-5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m =75时，W 最小=1125．∴应买A 种奖品75件，B 种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．题7. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx ＋4(k ≠0)与y 轴交于点A .(1)如图，直线y =-2x ＋1与直线y =kx ＋4(k ≠0)交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为－1.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y =－2x ＋1与直线y =kx ＋4与y 轴所围成的△ABC 的面积等于；(2)直线y =kx ＋4(k ≠0)与x 轴交于点E (x 0，0)，若－2＜x 0＜－1，求k 的取值范围．【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12【解析】解：（1）①∵直线y =-2x +1过点B ，点B 的横坐标为-1，∴y =2+1=3，即B （-1，3），∵直线y =kx +4过B 点，∴3=-k +4，解得：k =1；②∵k =1，∴直线AB 的解析式为：y =x +4，∴A （0，4），在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，∴C （0，1），∴AC =4-1=3， ∴△ABC 的面积为：12×1×3=32； 故答案为：32； （2）∵直线y =kx +4（k ≠0）与x 轴交于点E （x 0，0），-2＜x 0＜-1，∴当x 0=-2，则E （-2，0），代入y =kx +4得：0=-2k +4，解得：k =2，当x 0=-1，则E （-1，0），代入y =kx +4得：0=-k +4，解得：k =4，故k 的取值范围是：2＜k ＜4．中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]北师大版八年级下册数学重难点突破：等腰三角形（基础）研究目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的定义和概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形和等边三角形的性质，并能利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图；3.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法及其证明过程，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题。
要点梳理：要点一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A 是顶角，∠B、∠C是底角。
要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。
2.等腰三角形的对称性1) 等腰三角形是轴对称图形；2) ∠B＝∠C；3) BD＝CD，AD为底边上的中线；4) ∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。
3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
也称为正三角形。
等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。
要点诠释：1) 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180A/2.2) 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等腰三角形的重要线段性质之一是“等腰三角形三线合一”，即等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合。
八下数学【二次根式的乘除】6大重难点题型
八下数学重难点题型二次根式的乘除6大重难点题型1【求字母的取值范围】【例题】使√x-2/x-3=√x-2/√x-3成立的x的取值范围是（B）A．x≠3 B．x＞3 C．x≥2且x≠3 D．x≥3【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可．解：根据题意得：,x-2≥0，x-3＞0，解得：x＞3，【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组．题型2【二次根式乘除的运算】【例题】计算：√5÷√2•2√2÷2√5.解：原式=√5•1/√2•2√2•1/2√5＝1．【点评】本题考查了二次根式的乘除法：先把各二次根式化为最简二次根式，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分．题型3【二次根式的符号化简】【例题】把x√-x根号外的因式移到根号内，得（D）A．√x³B．√-x³C．-√x³D．-√-x³解：∵√-x有意义，∴﹣x≥0，∴x≤0，∴原式=√-x²•x=-√-x³.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．题型4【最简二次根式的概念】【例题】在下列根式：5√2，√2a5，√8x，√7中，最简二次根式有（B）A．1个B．2个C．3个D．4个解：在5√2，√2a5，√8x，√7中，最简二次根式有5√2和√7，共2个．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型5【分母有理化】【例题】实数1/3-√7的整数部分a＝2 ，小数部分b＝√7-1/2 ．解：1/3-√7=3+√7/（3+√7）（3-√7）=3+√7/2，∵4＜7＜9，∴2＜√7＜3，∴5/2＜3+√7/2＜3，即实数1/3-√7的整数部分a＝2，则小数部分为3+√7/2-2=√7-1/2.【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．题型6【分母有理化的应用】【例题】像√2•√2=2；（√3+1）（√3-1）=2；（√5+√2）（√5-√2）=3...两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）1/2√3=√3/2√3•√3=•3/6；（2）√2+1/√2-1=（√2+1）²/（√2-1）（√2+1）=2+2√2+1/2-1=3+2√2.勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：√（3+√5）-√（3-√5）.解：设x=√（3+√5）-√（3-√5），易知√（3+√5）＞√（3-√5）∴x＞0．由：x2＝3+√5+3-√5-2√（3+√5）（3-√5）=6-2√4=2.解得x=√2．即√（3+√5）-√（3-√5）=√2.请你解决下列问题：（1）2√3-3√5的有理化因式是2√3+3√5；解：2√3-3√5的有理化因式是2√3+3√5；（2）化简：3/√3+1/√2-1+1/2+√3；解：原式=√3+√2+1+2-√3=√2+3；（3）化简：√（6-3√3）-√（6+3√3）.解：设x=√（6-3√3）-√（6+3√3），可得√6-3√3＜√6+3√3，即x＜0，由题意得：x2＝6﹣3√3+6+3√3-2√（6-3√3）（6+3√3）=12﹣6＝6，解得：x=-√6，则原式=-√6．【点评】此题考查了分母有理化，无理数，平方差公式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
八下数学难点解析
八下数学难点解析一、一次函数与反比例函数一次函数和反比例函数是初中数学的重要内容，也是中考的重点。
在学习这部分内容时，学生需要掌握函数的定义、性质、图象以及应用，同时还需要理解函数的实际意义，能够运用函数解决生活中的问题。
此外，学生还需要掌握函数的增减性、极值等概念，能够运用这些概念解决一些实际问题。
二、分式与根式分式和根式是初中数学的难点之一，这部分内容较为抽象，学生需要掌握分式和根式的性质、运算以及应用。
在学习分式时，学生需要理解分式的约分、通分以及运算法则，同时还需要理解分式方程的解法。
在学根式时，学生需要掌握根式的性质、运算以及应用，同时还需要理解根式方程的解法。
三、直角三角形与勾股定理直角三角形和勾股定理是初中数学的重点之一，这部分内容较为抽象，学生需要掌握直角三角形的性质、判定以及应用。
在学习直角三角形时，学生需要理解直角三角形的角度、边长之间的关系，同时还需要理解直角三角形的勾股定理。
在应用直角三角形时，学生需要理解直角三角形的实际意义，能够运用直角三角形解决生活中的问题。
四、数据的分析与处理数据的分析与处理是初中数学的重点之一，这部分内容较为抽象，学生需要掌握数据的收集、整理、描述和分析的方法。
在学习数据的收集和整理时，学生需要理解数据的来源、分类和表示方法。
在学数据的描述时，学生需要掌握数据的图表表示方法，包括条形图、折线图、扇形图等。
在学数据的分析时，学生需要掌握数据的均值、方差、极差等统计量，同时还需要理解数据的分布规律和趋势。
五、相似图形与性质相似图形与性质是初中数学的重点之一，这部分内容较为抽象，学生需要掌握相似图形的性质、判定以及应用。
在学习相似图形时，学生需要理解相似图形的定义、性质和判定方法。
在应用相似图形时，学生需要理解相似图形的实际意义，能够运用相似图形解决生活中的问题。
此外，学生还需要掌握相似多边形的性质和应用。
六、解直角三角形的应用解直角三角形的应用是初中数学的难点之一，这部分内容较为抽象，学生需要掌握解直角三角形的方法和应用。
八年级数学重难点总结归纳
八年级数学重难点总结归纳数学作为一门重要的学科，对于八年级学生来说，可能会遇到一些比较难理解和把握的知识点。
为了帮助同学们更好地掌握这些难点，本文将对八年级数学的一些重难点进行总结和归纳，希望能够带给大家更多的帮助。
一、代数运算1. 平方差公式：平方差公式是指两个数的平方差可以通过两个数的和、差及乘积来表示。
具体公式如下：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2掌握平方差公式的运用，可以快速求得两个数的平方差，简化计算过程。
2. 分式运算：分式运算是指涉及到分数的四则运算。
在进行分式运算时，需要注意分母的处理、化简及约分等问题。
此外，还需要掌握分数的相加、相减、相乘和相除的运算规则。
二、图形几何1. 平行线与转角线：平行线和转角线是图形几何中常见的概念。
平行线指在同一个平面内永不相交的直线，而转角线指两条平行线之间的交叉线段。
在解题过程中，要注意运用平行线和转角线的性质，推导出所需的结论。
2. 三角形的判定与性质：在八年级学习中，三角形的判定与性质也是一个重难点。
常见的三角形判定包括三边长关系、两边夹角和夹边关系等，这些判定对于解决一些几何问题非常重要。
三、函数与方程1. 一次函数与二次函数：一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。
需要掌握一次函数和二次函数的定义、性质和图像表示，以及对二次函数的判别式、顶点公式的运用等。
2. 一元一次方程与二元一次方程：一元一次方程和二元一次方程是代数方程组中的重要内容。
解一元一次方程需要掌握方程的等价变形、消元法等解方程的方法；而解二元一次方程需要补充方程、消元法和代入法等技巧。
四、概率与统计1. 事件与概率：概率与统计是数学中一个具有实际意义的分支。
在概率与统计中，需要学会理解事件的概念、概率的计算方法和常见的概率分布等内容。
2. 数据统计与分析：数据统计与分析是通过统计手段对一组数据进行整理、分析和描述。
在数据统计与分析中，需要掌握频数表、频率表、带频数字形式和统计图表等的制作和解读方法。
2024年北师大版八年级下册数学教案5篇
北师大版八年级下册数学教案5篇北师大版八年级下册数学教案（篇1）一、学习目标：1．经历探索平方差公式的过程。
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用；难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。
三、合作学习你能用简便方法计算下列各题吗？（1）20_×1999（2）998×1002导入新课：计算下列多项式的积．（1）（_+1）（_—1）；（2）（m+2）（m—2）（3）（2_+1）（2_—1）；（4）（_+5y）（_—5y）。
结论：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
即：（a+b）（a—b）=a2—b2四、精讲精练例1：运用平方差公式计算：（1）（3_+2）（3_—2）；（2）（b+2a）（2a—b）；（3）（—_+2y）（—_—2y）。
例2：计算：（1）102×98；（2）（y+2）（y—2）—（y—1）（y+5）。
随堂练习计算：（1）（a+b）（—b+a）；（2）（—a—b）（a—b）；（3）（3a+2b）（3a—2b）；（4）（a5—b2）（a5+b2）；（5）（a+2b+2c）（a+2b—2c）；（6）（a—b）（a+b）（a2+b2）。
五、小结（a+b）（a—b）=a2—b2北师大版八年级下册数学教案（篇2）教学目标：1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）． 2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学计数法表示小于1的数．教学重点：掌握整数指数幂的运算性质。
难点：会用科学计数法表示小于1的数。
情感态度与价值观：通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，服务于实践。
能利用事物之间的类比性解决问题．教学过程：一、课堂引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法：am?an = am+n（m，n是正整数）；（2）幂的乘方：（am)n = amn (m，n是正整数）；（3）积的乘方：（ab)n = anbn (n是正整数）；（4）同底数的幂的除法：am÷an = am?n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）；（5）商的乘方：（)n = (n是正整数）；2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a0 = 1．3．你还记得1纳米=10?9米，即1纳米=米吗？4．计算当a≠0时，a3÷a5 ===，另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质am÷an = am?n (a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么a3÷a5 = a3?5 = a?2，于是得到a?2 =(a≠0)。
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浙教版八下数学各章节知识点及重难点第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七:最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。
知识点八:同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。
知识点九:二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．二次根式的乘法：二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．强调：二次根式具有双重非负性。
（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与；③与；④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化． （6）分母有理化：分母有理化也称为有理化分母。
就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。
(1)形如：aab aa ab ab =∙= 或ba b a c ba b a b a c ba c ±±=±∙±±∙=±(2)形如：ba b a c b a b a b a c ba c ±=±∙=±2)())(()( 或b a b ac b a b a b a c b a c-=±∙=±)())(()( 7.关于具有双重根号的二次根式。
如：,二.重点和难点：重点：二次根式的运算。
难点：1.混合运算以及应用。
2.二次根式的内移和外移。
3.二次根式的大小比较。
【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．考点题型：1．分式概念（选择、填空）（3－4分）2．利用分式性质进行约分、通分（选择、填空）（8—10分）3．分式的运算（选择、填空、解答）4．分式的化简、求值（选择、填空、解答）（3-10分）5．二次根式的概念和性质（选择、填空）（4分）6．二次根式的化简与求值（选择、填空、解答）（3-8分）第二章 一元二次方程 一、教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．二、教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．三、教学难点1．一元二次方程配方法、十字相乘法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．四、教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导．五、知识点：1. 定义：形如)0(02≠=++a c bx ax 的方程叫做一元二次方程，其中，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
例：若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．m= —2 D ．2±≠m2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法;（5）换元法。
例：按要求解方程 （1）用配方法解方程：x2 —4x+1=0 （2）用公式法解方程：3x2+5(2x+1)=03.一元二次方程根的判别式：△=ac b 42- .△>0,方程有两个不相等的实数根；△=0 ，方程有两个相等的实数根；△<0，方程无实数根。
例1．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞–14B ．a ≥–14C ．a ≥–14 且a ≠0D ．a ＞–14 且a ≠0 例2．若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆和完全平方式2)2(b at M +=的关系是（ ）A.△=MB. △>MC. △<MD. 大小关系不能确定4.韦达定理： acx x a b x x =∙-=+2121,例1：（8分）设x 1、x 2是方程2x 2-4mx+2m 2+3m-2=0的两个实根，当m 为何值 时，x 12+x 22有最小值？并求这个最小值。
例2：若一个三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为 _______5.可化为一元二次方程的分式方程。
（分式方程要验根）例：1415112-=--+-x x x x ； 6、一元二次方程应用题（最大值、最小值问题）例：.某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销售100件。
为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。
问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润。
7、一元二次方程和二次函数之间的关系例1. 当m 为何值时，抛物线y x m x m m =-+-+2222与x 轴有两个交点，有一个交点，无交点。
例2. 已知二次函数y m x m x m =-++-2221()与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。
8、一元二次方程应用题例1.．如图，AO=OB=50cm ，OC 是一条射线，OC ⊥AB ，一只蚂蚁由A 以2cm/s速度向B 爬行，同时另一只蚂蚁由O 点以3cm/s 的速度沿OC 方向爬行，几秒钟后，•两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm2？OCBA六、易错点分析： 易错点一：（概念）1) 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 如：下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有--------① ax 2+bx+c = 0 ② x 2+ 3／x -5=0 ③ 2x 2-x-3 = 0 ④ x 2-2+x 3 = 02) 注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。
如：已知关于x 的方程（m-n ）x 2 + mx+n=0，(m ≠0),你认为：①当m 和n 满足什么关系时，该方程为一元二次方程？ ②当m 和n 满足什么关系时，该方程为一元一次方程？3) 没有化成一般形式，混淆a 、b 、c.易错点二：（解法）（1） 因式分解法没注意方程没有写成A*B=0形式。
实用标准文档文案大全如，解方程（x-1）(x-3)=8, 误解为 x1=1, x2=3. (2) 用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a、b、c。