几何平均数PPT讲稿
合集下载
高考数学 算术平均数与几何平均数 5 PPT课件
（1）长为8，宽为2
（2）长为7，宽为3
（3）长为6，宽为4
(1)
于是他就猜想出结果： 矩形面积最大值为24
(2) (3)
转化为二次函数求最值
设长方形的长为x,宽为y则y=10x 则面积P=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25. 即当长方形长和宽均为5时,面积最大 为25.
设长方形的长为x,宽为y.则x+y=10，
几 何 平 均 数
算 术 平 均 数 与源自 考一考数学王国有一个正数村, 村里有一
个四口之家,爸爸正数a ,妈妈正b数 ,两个孩
子a b 与 ab 你能判断这两个孩子的大小 吗2?
我
我
是
是
哥
弟
哥
弟
请你猜一猜
问题１
1.比较a2 b2 与2ab 的大小
2.如果 a 0,b 0 求证: a b ab
定理2: 如果a, b 是正数,那么 a b ab
2
(当且仅当 a b 时取 " " 号)
定理异同点:
(1)取值范围不同:定理1中 a,b R ,定理2中a,b R
(2)等号成立条件相同:
(当且仅当a b 号)
时取" "
“当且仅当 a b 时取" " 号”
即ab
a b ab (a, b R ) 2
因面积P=xy,由均值不等式得 x y 2 xy
即 P xy ( x y )2 25
2
当且仅当x=y=5,等号成立
即长方形长和宽均为5时,面积最大为25
xy
在周长给定后，长x和宽y的和x+y不
变(定值)，但长和宽还可以在一定范
算术平均数调和平均数几何平均数PPT课件
第一节 集中趋势指标概述
类型
统计平均数
静态平均数 动态平均数
数值平均数 位置平均数
算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数
分位数
第二节 数值平均数
➢ 本节重点 算术平均数、调和平均数的概念、性质
及其计算方法 ➢ 本节难点
众数、中位数、数值平均数等度量方法 的选择问题
第二节 数值平均数
一、算术平均数 基本公式
x x 1 f1 f x 2 f2 f ...... x n fn f (x ff)
第二节 数值平均数
（四）需要注意的几个问题
⒊简单算术平均数是加权算术平均数
的特例。
若 f f ...... f f ,则 有 ：
1
2
n
x
x1 f
1
x2f
......
2
xn
f
n
f f ...... f
⑤了解计算平均数和离中趋势指标应注意的问 题。
2
学习重点
平均数和标志变异指标的概念
众数、中位数、数值平均数和 标准差的特点及其计算方法
3
学习难点
众数、中位数、数值平均数（算术平均数、 调和平均数、几何平均数）等度量方法的 选择问题
第一节 集中趋势指标概述
本节重点
平均数的概念
本节难点
平均数的特点、分类
第五章 离中趋势和集中趋势的度量
第一节 集中趋势指标概述 第二节 数值平均数 第三节 位置平均数 第四节 离中趋势的度量 第五节 偏度与峰度（选讲）
1
学习目的和要求
①明确平均数和标志变异指标的概念和作用
②熟练掌握数值平均数和标准差计算方法
③了解众数、中位数的概念、特点及其计算方 法
算术平均数与几何平均数完整版PPT资料
2 10 5
2x＋y 的最大值是__________．
解析：∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1. 即(2x＋y)2－32·2x·y＝1.∴(2x＋y)2－322x＋ 2 y2≤1.
解得：(2x＋y)2≤85.即－2 510≤2x＋y≤2 510.
②( 年重庆)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的
1．利用均值不等式 a＋b≥2 ab以及变式 ab≤
等求函
－2 即：积定和最小，和定积最大．
中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；
值是______________．
4 cm 的空白，上下留有 3 cm 的空白，则矩形的长为_____ cm，宽
t －4t＋1 1 (数2)的如值最和值为x＋时_y，＝_要_S注(_定意_值_到)．，合_理__拆_分__项__或2__配__凑_因__式__，__而_.拆与凑的过程 解析：y＝ ＝t＋ －4≥－2(∵t＞0)，当且仅当 t＝1 4．若 x>0，则 x＋— 的最小值为______. t t 整体，如何构造出只含2x＋y(2x·y 亦可)与 x＋2y(x·2y 亦可)形式的
【互动探究】
1．(2011 年重庆)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最
小值是( C )
A.72
B．4
C.92
D．5
解析：y＝1a＋4b＝1a＋4ba＋2 b＝12×1＋4＋ba＋4ba＝92.
考点2 利用基本不等式求参数的取值范围
例2：①( 年浙江)设 x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则
算术平均数与几何平均数
（优选）算术平均数与几何平 均数
2．几个常用的重要不等式
2x＋y 的最大值是__________．
解析：∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1. 即(2x＋y)2－32·2x·y＝1.∴(2x＋y)2－322x＋ 2 y2≤1.
解得：(2x＋y)2≤85.即－2 510≤2x＋y≤2 510.
②( 年重庆)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的
1．利用均值不等式 a＋b≥2 ab以及变式 ab≤
等求函
－2 即：积定和最小，和定积最大．
中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；
值是______________．
4 cm 的空白，上下留有 3 cm 的空白，则矩形的长为_____ cm，宽
t －4t＋1 1 (数2)的如值最和值为x＋时_y，＝_要_S注(_定意_值_到)．，合_理__拆_分__项__或2__配__凑_因__式__，__而_.拆与凑的过程 解析：y＝ ＝t＋ －4≥－2(∵t＞0)，当且仅当 t＝1 4．若 x>0，则 x＋— 的最小值为______. t t 整体，如何构造出只含2x＋y(2x·y 亦可)与 x＋2y(x·2y 亦可)形式的
【互动探究】
1．(2011 年重庆)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最
小值是( C )
A.72
B．4
C.92
D．5
解析：y＝1a＋4b＝1a＋4ba＋2 b＝12×1＋4＋ba＋4ba＝92.
考点2 利用基本不等式求参数的取值范围
例2：①( 年浙江)设 x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则
算术平均数与几何平均数
（优选）算术平均数与几何平 均数
2．几个常用的重要不等式
高考数学 算术平均数与几何平均数 第一课时 PPT课件
算术平均数与几何平均数 （第一课时）
引例：
求证：在直径为常数 2r 的圆的内 接矩形中，面积最大的是正方形， 且这个正方形的面积等于 2r 2 ．
新课：
1．重要不等式：
2．定理：
如果a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“”号)
D
ab
2 ab
A
B
aO
Cb
D
ab
2 ab
A
B
a
O
Cb
D
ab
2 ab
A
a O
B Cb
D
ab
2ab
A
a
B
O
C
b
D
ab
a2b
A
a
OC
b
B
D
aabb
2
A
B
a
OC
b
D
aab b
2
A
B
a
CO
b
D
aba b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 : 等号成立的条件必须存在.
随堂练习：
一段长为L米的篱笆围成一个一边靠墙的 长方形菜园，问这个长方形的长宽各为几 时，菜园的面积最大？
x
y
L
2
A
B
aC
O
b
D
ab
ab
2
A
引例：
求证：在直径为常数 2r 的圆的内 接矩形中，面积最大的是正方形， 且这个正方形的面积等于 2r 2 ．
新课：
1．重要不等式：
2．定理：
如果a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“”号)
D
ab
2 ab
A
B
aO
Cb
D
ab
2 ab
A
B
a
O
Cb
D
ab
2 ab
A
a O
B Cb
D
ab
2ab
A
a
B
O
C
b
D
ab
a2b
A
a
OC
b
B
D
aabb
2
A
B
a
OC
b
D
aab b
2
A
B
a
CO
b
D
aba b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 : 等号成立的条件必须存在.
随堂练习：
一段长为L米的篱笆围成一个一边靠墙的 长方形菜园，问这个长方形的长宽各为几 时，菜园的面积最大？
x
y
L
2
A
B
aC
O
b
D
ab
ab
2
A
最新文档-平均指标-2(几何平均、众数、中位数)-PPT精品文档
设最初投产100个单位 ，则 第一道工序的合格品为100×0.95； 第二道工序的合格品为（100×0.95）×0.92；
…… 第五道工序的合格品为 100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；
第二节 平均指标
几何平均数 A. 简单几何平均数
因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线 总的合格品应为: 100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80； 则该流水线产品总的合格率为：
第二节 平均指标
几何平均数 A. 简单几何平均数
思考：若上题中不是由五道连续作业的工序组成 的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各 车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均 为100件，求该企业的平均合格率。
第二节 平均指标
几何平均数 A. 简单几何平均数
因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：100×0.95； 第二车间的合格品为：100×0.92；
flX g f
XGexpX (G lg)
第二节 平均指标
几何平均数
B. 加权几何平均数
【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年 为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。
设本金为V，则至各年末的本利和应为：
第1年末的本利和为：
V13﹪
第2年的计息 基础
122.2154 10.8 6﹪ 5 平均年 利 XG率 110.8 6﹪ 516.8﹪ 5
第二节 平均指标
几何平均数
B. 加权几何平均数
若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的 利率与上相同，求平均年利率。
设本金为V，则各年末应得利息为：
第1年末的应得利息为：
…… 第五道工序的合格品为 100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；
第二节 平均指标
几何平均数 A. 简单几何平均数
因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线 总的合格品应为: 100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80； 则该流水线产品总的合格率为：
第二节 平均指标
几何平均数 A. 简单几何平均数
思考：若上题中不是由五道连续作业的工序组成 的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各 车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均 为100件，求该企业的平均合格率。
第二节 平均指标
几何平均数 A. 简单几何平均数
因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：100×0.95； 第二车间的合格品为：100×0.92；
flX g f
XGexpX (G lg)
第二节 平均指标
几何平均数
B. 加权几何平均数
【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年 为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。
设本金为V，则至各年末的本利和应为：
第1年末的本利和为：
V13﹪
第2年的计息 基础
122.2154 10.8 6﹪ 5 平均年 利 XG率 110.8 6﹪ 516.8﹪ 5
第二节 平均指标
几何平均数
B. 加权几何平均数
若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的 利率与上相同，求平均年利率。
设本金为V，则各年末应得利息为：
第1年末的应得利息为：
利用算术平均数与几何平均数求最值课件
利用算术平均数与几何平均数求最 值
目 录
• 引言 • 算术平均数与几何平均数的性质 • 利用算术平均数求最值 • 利用几何平均数求最值 • 算术平均数与几何平均数求最值的比较 • 总结与展望
01 引言
背景介绍
在数学和统计学中，平均数是一种重要的统计量，用 于描述一组数据的中心趋势。算术平均数和几何平均
需要解决的问题
尽管算术平均数和几何平均数已经有了广泛的应用， 但仍有一些问题需要解决。例如，如何更有效地利用 这些工具来解决复杂的数学问题，或者如何将这些方 法应用于其他领域，如物理学、工程学等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数是最常见的两种平均数。
算术平均数是一组数的和除以这组数的个数，用于描 述数据的集中趋势。几何平均数是n个数值连乘积的n
次方根，用于描述数据的离散程度。
在某些情况下，利用算术平均数和几何平均数可以求 得一组数的最值，即最大值和最小值。
算术平均数与几何平均数的定义
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，用公式表示为： $frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i$，其中$x_i$是数值，$n$是数值的个数。
03
算术平均数具有可加性，即(a+b)/2 ≥ sqrt(ab)。
几何平均数的性质
01
几何平均数总是小于等于算术平均数。
02 当且仅当所有数都为正数且相等时，几何平均数 等于算术平均数。
03 几何平均数具有可乘性，即sqrt(ab) ≤ (a+b)/2 。
算术平均数与几何平均数之间的关系
当所有数为正数时，算术平均数与几何平均数之 间的差值随数值的增大而增大。
几何平均数求最值的实例
目 录
• 引言 • 算术平均数与几何平均数的性质 • 利用算术平均数求最值 • 利用几何平均数求最值 • 算术平均数与几何平均数求最值的比较 • 总结与展望
01 引言
背景介绍
在数学和统计学中，平均数是一种重要的统计量，用 于描述一组数据的中心趋势。算术平均数和几何平均
需要解决的问题
尽管算术平均数和几何平均数已经有了广泛的应用， 但仍有一些问题需要解决。例如，如何更有效地利用 这些工具来解决复杂的数学问题，或者如何将这些方 法应用于其他领域，如物理学、工程学等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数是最常见的两种平均数。
算术平均数是一组数的和除以这组数的个数，用于描 述数据的集中趋势。几何平均数是n个数值连乘积的n
次方根，用于描述数据的离散程度。
在某些情况下，利用算术平均数和几何平均数可以求 得一组数的最值，即最大值和最小值。
算术平均数与几何平均数的定义
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，用公式表示为： $frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i$，其中$x_i$是数值，$n$是数值的个数。
03
算术平均数具有可加性，即(a+b)/2 ≥ sqrt(ab)。
几何平均数的性质
01
几何平均数总是小于等于算术平均数。
02 当且仅当所有数都为正数且相等时，几何平均数 等于算术平均数。
03 几何平均数具有可乘性，即sqrt(ab) ≤ (a+b)/2 。
算术平均数与几何平均数之间的关系
当所有数为正数时，算术平均数与几何平均数之 间的差值随数值的增大而增大。
几何平均数求最值的实例
高二数学算术平均数与几何平均数优秀PPT
ab
2
ab 2
(6)若a，b∈R且a≠b，在下列式 子中，恒成立的个数为（ ） ① a2＋3ab＞2b2
② a５＋b５＞a3b2＋a2b3
③ a2＋b2≥2（a－b－1）
④ ab2 ba
A．4 B．3 C．2 D．1
(7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个
互不相等的实数且p＝logc
a
2
b
，q
1．同向不等式 与异向不等式
（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值
(3)设a,b∈R,且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
定理3：如果a>b，那么a+c>b+c.
高二数学算术平均数与几何平均数课件
(7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且p＝logc
定理3：如果a>b，那么a+c>b+c.
定理3：如果a>b，那么a+c>b+c. 3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”． 高二数学算术平均数与几何平均数课件 (11)若a,b,c∈R＋,且a＋b＋c＝1 (8)已知x＞y＞0，xy＝1，求证：
推论2 : 若a>b>0,则 an bn D．即不充分也不必要条件
求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)
C． ab ≥2
B．1 1 ≥1
ab
D． a 1 b 14 ，q＝
，r＝
，则p,q,r的大小关系是( )
2
2
(5)若a＞b＞0，则下面不等式正 确的是( )
A．2ab a b ab B．a b 2ab ab
算术平均数与几何平均数优秀课件
16
注意
运用算术平均数与几何平均数的大 小关系证明不等式，关键是揭示已 知条件与目标不等式的运算结构特 征，找出差异，并将其与基本不等 式的运算结构进行类比，选择相应 的基本不等式化异为同转化证明 .
!!
17
例题
(2)
1 2 1. 设 a 、b ， b 1. 2 . 设、 a b 0 0 ， a 1 , a b 4 4 求 a b 的 最 小 值 . 求ab的最小值.
n n
3
( 1 ) 证 明 :a bb , c a b 0 ,b c 0 ( a b ) ( b c ) 0 a c 0 a c . ( 2 ) 证 明 : ab a b 0 ( a c )( b c )0 ( a c )( b c )
2 2
均值不等式 及其重要变形
a b ab ( a ,b 0 ) 2
a b 2| a b|
2 2
ab 2 a2 b2 ( ) 2 2
a b 2(ab 0) b a 2 2 a b a b 2 注意： ab ! 1 1 2 2 注意：含 是 " 和积互化 " , a b 含 是 " 和和互化 " !
15
例题
略解:
1 6 已 知 函 数 f(x )x (x 2 ) , x 2 求 此 函 数 的 最 小 值 .
x 2, x 2 0,由基本不等式
16 16 得 x ( x 2) 2 x2 x2 16 2 ( x 2) 26 x2 16 当且仅当x 2 时取 " "号. x2
4 4 4 2 2 2 2 2
算术平均数与几何平均数PPT优秀课件
(1) a b 2; ba
(2)a 1 2. a
5.求函数f (x) x 1 (x 0)的值域. x
二.略解.
f
(x)
x
1 x
2
x 1 2 x
((x)
1) (x)
2
(x 0) (x 0)
f (x)的值域为(,22,.
2
复习不等式的有关性质 :
(1) a b ,b c a c;
(2) a b a c b c;
a b,c 0 ac bc;
(3)
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b,c
0
ac
bc.
(4) a b,c d a c b d ;
(5) a b 0,c d 0 ac bd
14
若x0, y0,且1 9 1, xy
则x y的最小值为_______.
19 x y (x y)1 (x y)( )
xy
1 y 9x 9 10 2 y 9x
xy
xy
16(当且仅当 y 9 x 取 " ")
xy
15
例 题 已知函数f(x)x 16 (x2),
p%
1 ( p q)% 2
24
例题
一船航行时所耗时燃料费与其航 速的平方成正比，已知航速为每小 时a海里时，每小时所耗燃料费为b 元，此外，该船航行时每小时的其 它费用为c元(与航速无关)，若该船 匀速航行d海里，求其航速为多少 时,可使航行的总费用最省？
(若船的航行速度不超过v0)
33算术平均数与几何平均数-19页PPT精选文档
x 2
y
p
∴ x y2 p
∵上式当 x y 时取“=”
2 ∵
∴当
当 x
上式
x
当
y 时有
ys
x y时 取
(x
(定 值 “ =”
y ) min
)时 ， ∴
2
xy
当x
ps
2y
时
∴ xy 有 ( xy
) max
1 s2
4
1
4
s2
18.09.2019
广州市花都区高中数学学科带头人 陈文运 10
广州市花都区高中数学学科带头人 陈文运
2
一 、 定 理 ： 如 果 a , b R ， 那 么 a 2 b 2 2 ab
（ 当 且 仅 当 a b 时 取 “ = ”）
证 明 ： a 2 b 2 2 ab ( a b ) 2
当a b时，(a b)2 0
x2 2x 2
例 3：若 4 x 1，求 2x 2 的最大值
解
x 2 2 x 2 1 ( x 1 ) 2 1 1 [( x 1 ) 1 ] 1 [ ( x 1 ) 1 ]
2x 2 2 x 1
2
x1 2
(x 1)
4
abcdacbd4abcd
18.09.2019
广州市花都区高中数学学科带头人 陈文运 13
例 2．证明下列各题：
(1) lg x log x 10 2 证：∵ x 1∴ lg x 0
(x 1)
log x 10
lg 10 lg x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7
2、几何平均数计算的例子 假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5
几何平均数的计算 年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问此5年内
该地平均储蓄年利率。该地平均储蓄年利率：
G 1.52.511.051.5 1.032.5 1.0221 100%
5 1.183935 100 % 103 .43%
10
几何平均数的使用
由于平均发展速度是一定时期内各期环比发展速度的序时平均数， 各时期对比的基础不同，所有不能采用采用一般序时平均数的计 算方法。目前计算平均发展速度通常采用几何平均法。采用这一 方法的原理是：一定时期内现象发展的总速度等于各期环批发展 速度的连乘积。根据平均数的计算原理，就应当按连乘法，即几 何平均数公式计算个指标值的平均数。即：
(a b)2 0
故 : a2 b2 2ab
3
重要不等式的推导
2、定理 如果a,b是正数,那么
a
b 2
ab
(当且仅当 a b 时 ，取“=”
号）, 证明：
因为:
. ( a )2 ( b )2 2 ab
a b 2 ab
即
ab 2
ab
显然,当且仅当
时, a b
ab 2
ab
4
概念及定义
1我们称 a b 为a,b的算术平均数;
2
ab为a, b的几何平均数.
(2)几何平均数：几何平均数（geometric mean）是 指n个观察值连乘积的n次方根。
根据资料的条件不同，几何平均数有加权和不加 权之分。
设一组数据为X1，X2，…，Xn，且均大于0，则几 何平均数Xg为： X g n X1 X2 X3 Xn
yn/y0=y1/y0×y2/y1×...×yn/yn-1=b1×b2×...×bn b表示平均发展速度，n表示环比发展速度的时期数，则：
bn
yn y0
n
b1 b2 bn
11
几何平均数的使用
（2）、根据平均速度指标可以计算平均增长速度指标，
即：平均速度-1（或100%）=平均增长速度。 增长速度则是以相减和相除结合计算的动态比较指标，其计算
均数为0。 2、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末水平的影响。 3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。
（4）几何平均数的特点 1、几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。 2、如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或
虚数。 3、它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。 4、几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。
8
几何平均数的使用
主要用途
计算几何平均数要求各观察值之间存在连乘积关系，它的主要 用途是：
1、对比率、指数等进行平均； 2、计算平均发展速度； 其中：样本数据非负，主要用于对数正态分布。
9
几何平均数的使用
（1）、平均发展速度反映现象在一定时期内逐期
发展变化的一般程度，这个指标在国民经济管理和统计分 析中有广泛的应用，是编制和检查计划的重要依据。还可 以用于一个国家或地区不同阶段发展状况的比较，以及同 一时期不同国家或地区发展状况的比较。
国民生产总值这十年速度及平均增长速度？
10年发展速度：1.152 1.123 1.095 2.85879 平均发展速度： 10 2.85879 1.11075
平均增长速度： 1.11075 1100 %要不等式的推导
概念及定义 几何平均数
几何平均数的计算 几何平均数的使用
2
重要不等式的推导
1、一个重要的不等式
如果 a, b R ,那么 a2 b2 2ab
(当且仅当 a b 时取 “=”号）.
证明: 因为: a2 b2 2ab (a b)2
当a b时,(a b)2 0;当a b时,(a b)2 0
公式为: 增长速度＝（某指标报告期数值－该指标基期数值）÷ 该指标基 期数值
（计算结果若是正值，则叫增长速度，也可叫增长率；若 是负值，则为降低速度，也可叫降低率。）
12
某地区国民生产总值GNP在1988~1989年平均每 年递增15%，1999~1992年平均递增12%，
几何平均数的使用 1993~1997年平均每年递增9%，试计算：该地区
5
几何平均数的计算
1、几何平均数的计算
（1）简单几何平均法
N
G n X1 X 2 X n n Xi i 1 （2）加权几何平均法
N
G
f
X f1 1
X f2 2
X fn n
n f
i1
X fi i
i1
6
几何平均数的计算
（3）几何平均数计算应注意的问题 1、变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为0，则几何平
2、几何平均数计算的例子 假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5
几何平均数的计算 年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问此5年内
该地平均储蓄年利率。该地平均储蓄年利率：
G 1.52.511.051.5 1.032.5 1.0221 100%
5 1.183935 100 % 103 .43%
10
几何平均数的使用
由于平均发展速度是一定时期内各期环比发展速度的序时平均数， 各时期对比的基础不同，所有不能采用采用一般序时平均数的计 算方法。目前计算平均发展速度通常采用几何平均法。采用这一 方法的原理是：一定时期内现象发展的总速度等于各期环批发展 速度的连乘积。根据平均数的计算原理，就应当按连乘法，即几 何平均数公式计算个指标值的平均数。即：
(a b)2 0
故 : a2 b2 2ab
3
重要不等式的推导
2、定理 如果a,b是正数,那么
a
b 2
ab
(当且仅当 a b 时 ，取“=”
号）, 证明：
因为:
. ( a )2 ( b )2 2 ab
a b 2 ab
即
ab 2
ab
显然,当且仅当
时, a b
ab 2
ab
4
概念及定义
1我们称 a b 为a,b的算术平均数;
2
ab为a, b的几何平均数.
(2)几何平均数：几何平均数（geometric mean）是 指n个观察值连乘积的n次方根。
根据资料的条件不同，几何平均数有加权和不加 权之分。
设一组数据为X1，X2，…，Xn，且均大于0，则几 何平均数Xg为： X g n X1 X2 X3 Xn
yn/y0=y1/y0×y2/y1×...×yn/yn-1=b1×b2×...×bn b表示平均发展速度，n表示环比发展速度的时期数，则：
bn
yn y0
n
b1 b2 bn
11
几何平均数的使用
（2）、根据平均速度指标可以计算平均增长速度指标，
即：平均速度-1（或100%）=平均增长速度。 增长速度则是以相减和相除结合计算的动态比较指标，其计算
均数为0。 2、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末水平的影响。 3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。
（4）几何平均数的特点 1、几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。 2、如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或
虚数。 3、它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。 4、几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。
8
几何平均数的使用
主要用途
计算几何平均数要求各观察值之间存在连乘积关系，它的主要 用途是：
1、对比率、指数等进行平均； 2、计算平均发展速度； 其中：样本数据非负，主要用于对数正态分布。
9
几何平均数的使用
（1）、平均发展速度反映现象在一定时期内逐期
发展变化的一般程度，这个指标在国民经济管理和统计分 析中有广泛的应用，是编制和检查计划的重要依据。还可 以用于一个国家或地区不同阶段发展状况的比较，以及同 一时期不同国家或地区发展状况的比较。
国民生产总值这十年速度及平均增长速度？
10年发展速度：1.152 1.123 1.095 2.85879 平均发展速度： 10 2.85879 1.11075
平均增长速度： 1.11075 1100 %要不等式的推导
概念及定义 几何平均数
几何平均数的计算 几何平均数的使用
2
重要不等式的推导
1、一个重要的不等式
如果 a, b R ,那么 a2 b2 2ab
(当且仅当 a b 时取 “=”号）.
证明: 因为: a2 b2 2ab (a b)2
当a b时,(a b)2 0;当a b时,(a b)2 0
公式为: 增长速度＝（某指标报告期数值－该指标基期数值）÷ 该指标基 期数值
（计算结果若是正值，则叫增长速度，也可叫增长率；若 是负值，则为降低速度，也可叫降低率。）
12
某地区国民生产总值GNP在1988~1989年平均每 年递增15%，1999~1992年平均递增12%，
几何平均数的使用 1993~1997年平均每年递增9%，试计算：该地区
5
几何平均数的计算
1、几何平均数的计算
（1）简单几何平均法
N
G n X1 X 2 X n n Xi i 1 （2）加权几何平均法
N
G
f
X f1 1
X f2 2
X fn n
n f
i1
X fi i
i1
6
几何平均数的计算
（3）几何平均数计算应注意的问题 1、变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为0，则几何平