函数与导数复习课用教案
高中数学单元复习教案
高中数学单元复习教案
主题：函数
目标：通过本次复习，学生能够掌握函数的基本概念、性质和解题方法。
一、函数的基本概念
1. 函数的定义和表示方法
2. 函数的定义域和值域
3. 函数的图像和性质
二、函数的性质
1. 奇函数和偶函数的性质
2. 函数的单调性和最值
3. 函数的周期性和奇偶性
三、函数的解题方法
1. 求函数的导数和导函数
2. 求函数的极值和拐点
3. 求函数的零点和不等式解法
四、综合练习
1. 完成选择题、填空题和解答题
2. 解答实际问题中的函数应用题
五、作业布置
1. 完成课堂上的习题
2. 预习下节课的内容
六、自主学习
1. 利用课外时间复习函数相关知识
2. 尝试解决一些较难的函数题目
备注：本次复习教案主要围绕函数这一重要概念展开，学生需要掌握函数的基本定义和性质，能够熟练运用函数的解题方法。
希望学生能够认真复习，做到知识点全面掌握，能够灵活运用。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案马长琴
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：马长琴 审稿人：张林§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一．教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．二．教学重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用三．教学过程：（一）．创设情景复习五种常见函数y c =、y x =、应用 1（1 （2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x =与2x y =（2）3x y =与3log y x =2.（1推论：['()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导,前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）sin y x x =⋅；（3）2(251)x y x x e =-+⋅；（4）4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．四．典例精讲例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：当05p =时，()5(15%)t p t =+，根据基本初等函数导数公式和求导法则，有'()5 1.05ln1.05t p t =⨯所以'10(10)5 1.05ln1.050.4p =⨯≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨． 例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1） 因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．点评 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．五．课堂练习做导学案的当堂检测六．课堂小结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则七．布置作业八．教学后记。
高三数学第二章函数导数高考一轮复习教案三次函数与四次函数
芯衣州星海市涌泉学校3三次函数与四次函数一、学习目的三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。
近年高考中，在卷、卷、卷、卷、卷中都出现了这个函数的单独命题，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。
近年高考有多个份出现了四次函数高考题，更应该引起我们的重视。
单调性和对称性最能反映这个函数的特性。
下面我们就来讨论一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。
二、知识要点：第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数〔根的个数〕、极值情况三次函数图象说明a对图象的影响可以根据极限的思想去分析当a＞0时，在x→+∞右向上伸展，x→-∞左向下伸展。
当a＜0时，在x→+∞右向下伸展，x→-∞左向上伸展。
与x轴有三个交点假设032>-acb,且)()(21<⋅xfxf，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点假设032>-acb,且)()(21=⋅xfxf，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点与x 轴有一个交点1。
存在极值时即032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，既两个极值同号，图象与x 轴有一个交点。
2。
不存在极值，函数是单调函数时图象也与x 轴有一个交点。
1.()0f x =根的个数三次函数d cx bx ax x f +++=23)(导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，二次函数的判别式化简为：△=___________， (1)假设_____________，那么0)(=x f 恰有一个实根；(2)假设032>-ac b ,且_________，那么0)(=x f 恰有一个实根； (3)假设032>-ac b ,且__________，那么0)(=x f 有两个不相等的实根； (4)假设032>-ac b,且____________，那么0)(=x f 有三个不相等的实根.说明(1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数〔或者者两极值同号〕，所以032≤-ac b 〔或者者032>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f 〕.(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公一一共点且其中之一为切点，所以032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公一一共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f .2.极值情况：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(〔a ＞0〕,导函数为二次函数)0(23)(2/>++=a c bx ax x f ，二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-，(1)假设___________，那么)(x f 在),(+∞-∞上为增函数；(2)假设____________，那么)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=. 三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ,(1)假设032≤-ac b ，那么)(x f 在R 上无极值；(2)假设032>-ac b，那么)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处获得极大值，在2x x =处获得极小值.由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。
函数的极值与导数(教案)
函数的极值与导数(教案)第一章：极值的概念教学目标：1. 理解极值的概念；2. 能够找出函数的极值点；3. 能够判断函数的极值类型。
教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例讲解如何找出函数的极值点；4. 讲解极大值和极小值的概念；5. 举例讲解如何判断函数的极大值和极小值。
教学活动：1. 引入极值的概念，引导学生思考什么是极值；2. 通过示例讲解如何找出函数的极值点，引导学生动手尝试；3. 讲解极大值和极小值的概念，引导学生理解极大值和极小值的区别；4. 通过示例讲解如何判断函数的极大值和极小值，引导学生进行判断。
作业布置：1. 练习找出给定函数的极值点；2. 练习判断给定函数的极大值和极小值。
第二章：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的概念；2. 能够计算常见函数的导数；3. 能够利用导数判断函数的单调性。
教学内容：1. 引入导数的概念；2. 讲解导数的计算方法；3. 举例讲解如何利用导数判断函数的单调性；4. 讲解导数的应用。
教学活动：1. 引入导数的概念，引导学生思考什么是导数；2. 通过示例讲解如何计算常见函数的导数，引导学生动手尝试；3. 讲解导数的应用，引导学生理解导数在实际问题中的应用；4. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生进行判断。
作业布置：1. 练习计算给定函数的导数；2. 练习利用导数判断给定函数的单调性。
第三章：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 能够利用导数判断函数的单调性；3. 能够找出函数的单调区间。
教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解如何利用导数判断函数的单调性；3. 举例讲解如何找出函数的单调区间；4. 讲解函数单调性的应用。
教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生思考什么是函数单调性；2. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生动手尝试；3. 讲解如何找出函数的单调区间，引导学生理解单调区间的概念；4. 通过示例讲解如何找出给定函数的单调区间，引导学生进行判断。
函数的极值与导数的教案
函数的极值与导数一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会求函数的导数3. 理解函数的极值概念4. 学会利用导数研究函数的极值二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 常见函数的导数3. 函数的极值概念4. 利用导数研究函数的单调性5. 利用导数求函数的极值三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义和几何意义，常见函数的导数，函数的极值概念，利用导数求函数的极值2. 难点：导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义、常见函数的导数及函数的极值概念2. 利用例题解析法讲解利用导数研究函数的单调性和求函数的极值3. 组织学生进行小组讨论和互动，巩固所学知识五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考如何求函数的导数2. 新课：讲解常见函数的导数，引导学生掌握求导数的方法3. 案例分析：利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，引导学生理解和应用所学知识4. 练习与讨论：布置练习题，组织学生进行小组讨论，解答练习题5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考如何利用导数研究更复杂的函数极值问题六、课后作业1. 复习导数的定义和几何意义，常见函数的导数2. 练习求函数的导数3. 利用导数研究函数的单调性，求函数的极值七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态2. 练习与讨论：评估学生在练习题和小组讨论中的表现，检验学生对知识的掌握程度3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度六、教学策略的调整1. 根据学生的课堂反馈，适时调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上教学进度。
2. 对于学生掌握不够扎实的知识点，可以通过举例、讲解、练习等多种方式加强巩固。
3. 鼓励学生提出问题，充分调动学生的主动学习积极性，提高课堂互动性。
七、教学案例分析1. 通过分析具体案例，让学生理解导数在实际问题中的应用，例如在物理学中的速度、加速度的计算。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
函数与导数复习教案
函数与导数1.导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(002.导数的几何意义1.函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜 率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
2、利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？先求斜率k=)(0/x f ，再用)(00x x k y y -=-求出直线方程。
3.常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；特殊的，211()x x '=-，'=③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； 特殊的，x x e e =')(； ⑥a x x a ln 1)(log '=；特殊的，xx 1)(ln '= 。
4.导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v v u v u vuv u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±考点一：导数的定义例1.已知：x x f x x f a x ∆-∆+=→∆)()(lim000， xx f x x f b x ∆-∆-=→∆)()(lim 000，x x f x x f c x ∆-∆+=→∆)()2(lim000， xx x f x x f d x ∆∆--∆+=→∆2)()(lim 000，0)()(limx x x f x f e x x --=→。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿 教案
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．【教法指导】本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．本节学习难点：复合函数的求导法则．【教学过程】☆复习引入☆前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lg x.解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出 f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10， 利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ； (2)f (x )＝2－2sin 2x2.例2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝x －1x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′ ＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x ＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x . (2)∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.探究点二 导数的应用 例2 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0.探究点三 复合函数的定义思考1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答 y ＝2x cos x 是由u ＝2x 及v ＝cos x 相乘得到的；而y ＝ln(x ＋2)是由u ＝x ＋2与y ＝ln u (x >－2)经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．所以它们称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？思考3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？答 A ⊆B .小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例3 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y ＝(3＋5x )2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x .解 (1)y ＝(3＋5x )2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．例4 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ；(3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝11－2x1－2x ； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．探究点五 导数的应用例5 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．。
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。
学会通过图像来观察函数的极值。
掌握利用导数求函数极值的方法。
1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。
2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。
3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。
掌握利用导数来判断函数的单调性。
2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。
2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。
3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。
2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。
3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。
第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。
4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。
2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。
2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。
二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。
2. 求解函数极值与最值的方法。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。
四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。
2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。
3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。
2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
教案将继续编写后续章节，敬请期待。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。
2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。
3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。
七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。
2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。
3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。
八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：导数与函数的极值、最值
§3.3导数与函数的极值、最值考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．知识梳理1．函数的极值(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有①f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值；②f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点就是在其附近函数值最大的点，极小值点就是在其附近函数值最小的点．(2)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0.(3)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义域，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(√)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(×)(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(√)教材改编题1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案A解析由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个．2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>6或a<－ 6.x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.3．若函数f(x)＝13答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max ＝f(0)＝4，所以m＝4.题型一利用导数求解函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是()A．当x＝－1时，f(x)取得极小值B.f (x )在[－2,1]上单调递增C ．当x ＝2时，f (x )取得极大值D.f (x )在[－1,2]上不具备单调性答案AC解析由导函数f ′(x )的图象可知，当－2<x <－1时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减；当x ＝－1时，f ′(x )＝0；当－1<x <2时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当2<x <4时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减；当x ＝4时，f ′(x )＝0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值，故选项A 正确；f (x )在[－2,1]上有减有增，故选项B 错误；当x ＝2时，f (x )取得极大值，故选项C 正确；f (x )在[－1,2]上单调递增，故选项D 错误．命题点2求已知函数的极值例2(2022·西南大学附中模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋2ax 2＋2(a ＋1)x (a ≠0)，讨论函数f (x )的极值．解因为f (x )＝ln x ＋2ax 2＋2(a ＋1)x ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋4ax ＋2a ＋2＝(2ax ＋1)(2x ＋1)x，若a <0，则当x f ′(x )>0；当x －12a，＋f ′(x )<0，故函数f (x )－12a，＋故f (x )在x ＝－12a 处取得唯一的极大值，且极大值为f －12a－1.若a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0恒成立，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．综上，当a <0时，f (x )的极大值为－12a －1，无极小值；当a >0时，f (x )无极值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2023·福州质检)已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则c 的值为()A ．2B ．4C ．6D ．2或6答案A解析由题意，f ′(x )＝(x －c )2＋2x (x －c )＝(x －c )·(3x －c )，则f ′(2)＝(2－c )(6－c )＝0，所以c ＝2或c ＝6.若c ＝2，则f ′(x )＝(x －2)(3x －2)，当x ∞f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，函数f (x )在x ＝2处有极小值，满足题意；若c ＝6，则f ′(x )＝(x －6)(3x －6)，当x ∈(－∞，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2,6)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，函数f (x )在x ＝2处有极大值，不符合题意．综上，c ＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f (x )＝e x －ax 2－2ax 有两个极值点，则实数a 的取值范围为()－12，答案D解析由f (x )＝e x －ax 2－2ax ，得f ′(x )＝e x －2ax －2a .因为函数f (x )＝e x －ax 2－2ax 有两个极值点，所以f ′(x )＝e x －2ax －2a 有两个变号零点，令f ′(x )＝0，得12a ＝x ＋1ex ，设g (x )＝x ＋1e x，y ＝12a ；则g ′(x )＝－xex ，令g ′(x )＝0，即－xe x ＝0，解得x ＝0，当x >0时，g ′(x )<0；当x <0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．分别作出函数g (x )＝x ＋1ex 与y ＝12a 的图象，如图所示，由图可知，0<12a <1，解得a >12，所以实数a 的取值范围为12，＋∞思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a ＋b 的值为()A ．－1或3B ．1或－3C ．3D ．－1答案C解析因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a ，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，①f (1)＝1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，②联立①②，解得a ＝－2，b ＝1或a ＝－6，b ＝9.当a ＝－2，b ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)，f (x )－∞，13(1，＋∞)上单调13，1上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极小值10，不符合题意；当a ＝－6，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝(x －1)(3x －9)，f (x )在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极大值10，符合题意．综上可得，a ＝－6，b ＝9.则a ＋b ＝3.(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[2，＋∞)C.－∞，e2 D.－∞，e 24答案D解析由题意，f (x )＝e xx2＋2k ln x －kx (x >0)，f ′(x )＝x －2x ·令f ′(x )＝0得x ＝2或k ＝e xx 2，令φ(x )＝e xx 2(x >0)，∴φ′(x )＝e x (x －2)x 3，∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(2)＝e 24，又当x →＋∞时，φ(x )→＋∞，∴若φ(x )＝k 无实数根，则k <e 24，∵当k ＝e 24时，φ(x )＝k 的解为x ＝2，∴实数k ∞，e 24.题型二利用导数求函数最值命题点1不含参函数的最值例4(2022·全国乙卷)函数f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A ．－π2，π2B ．－3π2，π2C ．－π2，π2＋2D ．－3π2，π2＋2答案D解析f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1，x ∈[0,2π]，则f ′(x )＝－sin x ＋sin x ＋(x ＋1)·cos x ＝(x ＋1)cos x ，x ∈[0,2π]．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1(舍去)，x ＝π2或x ＝3π2.因为f cos π2＋π2＋1＝2＋π2，f cos 3π2＋3π2＋1＝－3π2，又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝f2＋π2，f(x)min＝f ＝－3π2.故选D.命题点2含参函数的最值例5已知函数f(x)＝x－ax－ln x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在1e，e上的最大值g(a)．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－x x2，①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．(2)f′(x)＝a－xx2，当a≤1e时，f(x)在1e，e上单调递减，所以f(x)max＝f2－a e；当1e<a<e时，f(x)在1e，a上单调递增，在[a，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝－ln a；当a≥e时，f(x)在1e，e上单调递增，所以f(x)max＝f(e)＝－a e，综上，g(a)－ae，a≥e，ln a，1e<a<e，－a e，a≤1e.思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案1解析函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x ，当12<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x ，12上单调递减，所以f (x )min ＝f 2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1.(2)已知函数h (x )＝x －a ln x ＋1＋ax(a ∈R )在区间[1，e]上的最小值小于零，求a 的取值范围．解由题意得，h ′(x )＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －(1＋a )x 2＝[x －(1＋a )](x ＋1)x 2，且定义域为(0，＋∞)，①当a ＋1≤0，即a ≤－1时，h ′(x )>0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上单调递增，则h (x )在[1，e]上单调递增，故h (x )min ＝h (1)＝2＋a <0，解得a <－2；②当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，a ＋1)上，h ′(x )<0，在(a ＋1，＋∞)上，h ′(x )>0，所以h (x )在(0，a ＋1)上单调递减，在(a ＋1，＋∞)上单调递增，若a ＋1≤1，求得h (x )min >1，不合题意；若1<a ＋1<e ，即0<a <e －1，则h (x )在(1，a ＋1)上单调递减，在(a ＋1，e)上单调递增，故h (x )min ＝h (a ＋1)＝2＋a [1－ln(a ＋1)]>2，不合题意；若a ＋1≥e ，即a ≥e －1，则h (x )在[1，e]上单调递减，故h (x )min ＝h (e)＝e －a ＋a ＋1e<0，得a >e 2＋1e －1>e －1，综上，a 的取值范围为(－∞，－2)课时精练1．(多选)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A ．f (x )在区间(－2,3)上有2个极值点B ．f ′(x )在x ＝－1处取得极小值C ．f (x )在区间(－2,3)上单调递减D ．f (x )在x ＝0处的切线斜率小于0答案BCD解析根据f ′(x )的图象可得，在(－2,3)上，f ′(x )≤0，∴f (x )在(－2,3)上单调递减，∴f (x )在区间(－2,3)上没有极值点，故A 错误，C 正确；由f ′(x )的图象易知B 正确；根据f ′(x )的图象可得f ′(0)<0，即f (x )在x ＝0处的切线斜率小于0，故D 正确．2．函数f (x )＝12x －sin x 在0，π2上的极小值为()A.π12－32B.π12－12C.π6－12D.π6－32答案D解析由f (x )＝12x －sin x ，得f ′(x )＝12－cos x ，当x f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以π3是函数f (x )的极小值点，且极小值为f ＝π6－32.3．已知x ＝2是f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 的极值点，则f (x )在13，3上的最大值是()A ．2ln 3－92B ．－52C ．－2ln 3－1718D ．2ln 2－4答案A解析由函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x ，可得f ′(x )＝2x ＋2ax －3，因为x ＝2是f (x )的极值点，可得f ′(2)＝1＋4a －3＝0，解得a ＝12，所以f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，x >0，当13≤x <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当2<x ≤3时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，由f (1)＝－52，f (3)＝2ln 3－92，又由f (3)－f (1)＝2ln 3－92＋52＝2ln 3－2>2ln e －2＝0，所以f (1)<f (3)，所以当x ＝3时，函数f (x )取得最大值，最大值为2ln 3－92.4．(2022·全国甲卷)当x ＝1时，函数f (x )＝a ln x ＋bx 取得最大值－2，则f ′(2)等于()A ．－1B ．－12C.12D ．1答案B解析因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，1)＝－2，(1)＝0，而f ′(x )＝a x －bx 2，＝－2，－b ＝0，＝－2，＝－2，所以f ′(x )＝－2x ＋2x2，因此函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x ＝1时取最大值，满足题意．所以f ′(2)＝－1＋12＝－12.故选B.5．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋ln x 有两个不同的极值点x 1，x 2，则实数a 的取值范围为()D ．(0,2)答案C 解析由f (x )＝ax 2－2x ＋ln x (x >0)，得f ′(x )＝2ax －2＋1x ＝2ax 2－2x ＋1x(x >0)，若函数f (x )＝ax 2－2x ＋ln x 有两个不同的极值点x 1，x 2，则方程2ax 2－2x ＋1＝0有两个不相等的正实根，＝4－8a >0，1＋x 2＝1a >0，1x 2＝12a>0，解得0<a <12.6．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则()A ．f (x )有两个极值点B ．f (x )有三个零点C ．点(0,1)是曲线y ＝f (x )的对称中心D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线答案AC 解析因为f (x )＝x 3－x ＋1，所以f ′(x )＝3x 2－1.令f ′(x )＝3x 2－1＝0，得x ＝±33.由f ′(x )＝3x 2－1>0得x >33或x <－33；由f ′(x )＝3x 2－1<0得－33<x <33.所以f (x )＝x 3－x ＋1在∞－33，f (x )有两个极值点，故A 正确；因为f (x )的极小值f－33＋1＝1－239>0，f (－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f (x )在R 上有且只有一个零点，故B 错误；因为函数g (x )＝x 3－x 的图象向上平移一个单位得函数f (x )＝x 3－x ＋1的图象，函数g (x )＝x 3－x 的图象关于原点(0,0)中心对称且g (0)＝0，所以点(0,1)是曲线f (x )＝x 3－x ＋1的对称中心，故C 正确；假设直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线，切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，解得x 0＝±1；若x 0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y ＝2x 上；若x 0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y ＝2x 上，所以假设不成立，故D 错误．故选AC.7．(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案sin x (答案不唯一)解析正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．甲、乙两地相距240km ，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v 36400元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h 的速度行驶．答案80解析设全程运输成本为y 元，由题意，得yv >0，y ′＝－160v 2＋令y ′＝0，得v ＝80.当v >80时，y ′>0；当0<v <80时，y′<0.所以函数y(0,80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增，所以当v ＝80时，全程运输成本最小．9．设函数f (x )＝a ln x ＋3x＋2a 2x －4a ，其中a >0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．解(1)f′(x)＝ax－3x2＋2a2＝2a2x2＋ax－3x2＝(2ax＋3)(ax－1)x2，x>0，∵a>0，∴－32a <0<1a.∴f′(x)<0，f(x)单调递减；f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，f(x)(2)由(1)可知，f(x)min＝f＝a ln 1a＋3a＋2a－4a＝a ln 1a＋a＝a(1－ln a)，∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，∴1－ln a>0，∴0<a<e.∴a的取值范围为(0，e)．10．(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝e x＋e－x－ax2－2.(1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数．(1)证明当a＝1时，f(x)＝e x＋e－x－x2－2，f′(x)＝e x－e－x－2x.令φ(x)＝e x－e－x－2x，当x>0时，φ′(x)＝e x＋e－x－2>0，所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)解由题意知，g(x)＝e x－ax2－2，当a＝0时，g(x)＝e x－2单调递增，无极值点，当a≠0时，g′(x)＝e x－2ax，由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点．令e x －2ax ＝0(x ≠0)，得2a ＝e x x，令h (x )＝e x x，则h ′(x )＝e x (x －1)x 2，当x <0时，h (x )<0，且h ′(x )<0，当a <0时，方程2a ＝e x x有唯一小于零的解，故函数g (x )存在一个极值点；当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h (1)＝e 为函数h (x )的极小值，所以当0<a <e 2时，方程2a ＝e x x无解，函数g (x )无极值点；当a ＝e 2时，方程2a ＝e x x有一个解，但当0<x <1时，e x x>2a ，g ′(x )＝e x －2ax >0，当x >1时，e x x>2a ，g ′(x )＝e x －2ax >0，故函数g (x )无极值点．当a >e 2时，方程2a ＝e x x有两解，函数g (x )存在一个极大值点和一个极小值点．综上，当a <0时，函数g (x )存在一个极值点，当0≤a ≤e 2时，函数g (x )无极值点，当a >e 2时，函数g (x )存在一个极大值点和一个极小值点．11．(2021·全国乙卷)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则()A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2答案D 解析当a >0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图1所示，观察可知b >a .当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图1图2综上，可知必有ab >a 2成立．12．已知函数f (x )－1x，x <0，ln x ＋1，x >0，若a <b ，且f (a )＝f (b )，则b －a 的最小值为()A ．1B.e 2C ．e －1D ．2答案D 解析令f (a )＝f (b )＝t (t >0)，因为f (x )－1x，x <0，ln x ＋1，x >0，且a <b ，所以－1a＝t ，ln b ＋1＝t ，所以a ＝－1t ，b ＝e t －1，因此b －a ＝e t －1＋1t，令f (t )＝e t －1＋1t (t >0)，则f ′(t )＝e t －1－1t2，当t ∈(0,1)时，f ′(t )<0，f (t )单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，f ′(t )>0，f (t )单调递增，所以f (t )在t ＝1处取得极小值，也是最小值，f (1)＝e 1－1＋11＝2，因此b －a 的最小值为2.13.如图所示，已知直线y ＝kx 与曲线y ＝f (x )相切于两点，函数g (x )＝kx ＋m (m >0)，则对函数F (x )＝g (x )－f (x )描述正确的是()A ．有极小值点，没有极大值点B ．有极大值点，没有极小值点C ．至少有两个极小值点和一个极大值点D ．至少有一个极小值点和两个极大值点答案C 解析由题意得，F (x )＝kx ＋m －f (x )，则F ′(x )＝k －f ′(x )，设直线y ＝kx 与曲线y ＝f (x )的两个切点的横坐标分别为x 1，x 2且x 1<x 2，所以F′(x)＝0的两个零点为x1，x2，由图知，存在x0∈(x1，x2)使F′(x0)＝0，综上，F′(x)有三个不同零点x1<x0<x2，由图可得在(0，x1)上F′(x)<0，在(x1，x0)上F′(x)>0，在(x0，x2)上F′(x)<0，在(x2，＋∞)上F′(x)>0，所以F(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x0)上单调递增，在(x0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．故F(x)至少有两个极小值点和一个极大值点．14．设函数f(x)＝mx2e x＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为________．答案－1 2e，解析设函数g(x)＝x2e x，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)e x.当－3≤x<－2或0<x≤1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当－2<x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．又g(－3)＝9e3，g(0)＝0，g(－2)＝4e2，g(1)＝e，所以g(x)的值域为[0，e]．当m≥0时，2×1>m e＋1，解得0≤m<1 e；当m<0时，2(m e＋1)>1，解得－12e<m<0.综上可得，－12e<m<1e.。
高中数学复习教案：导数与函数的单调性
第十一节导数与函数的单调性[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)＞0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)＜0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f′(x)＝0,则f(x)在这个区间内是常数函数．[常用结论]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0. ()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0,则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(4)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f′(x)≤0,则函数f(x)在区间(a,b)上是减函数．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4,＋∞) D．(－∞,0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4),由f′(x)<0,得0<x<4,∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列判断中正确的是()A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(1,3)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(3,4)上是增函数A [当x ∈(－3,0)时,f ′(x )＜0,则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 4．(教材改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0,π)上的单调性是( ) A ．先增后减B ．先减后增C ．增函数D ．减函数D [f ′(x )＝－sin x －1,又x ∈(0,π),所以f ′(x )＜0,因此f (x )在(0,π)上是减函数,故选D.] 5．已知f (x )＝x 3－ax 在[1,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________． (－∞,3] [f ′(x )＝3x 2－a ,由题意知f ′(x )≥0,即a ≤3x 2对x ∈[1,＋∞)恒成立． 又当x ∈[1,＋∞)时,3x 2≥3,所以a ≤3.]不含参数的函数的单调性1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(1,＋∞)D ．(0,＋∞)B [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0,＋∞), y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x ,令y ′＜0,得0＜x ＜1,所以单调递减区间为(0,1),故选B.] 2．已知函数f (x )＝x ln x ,则f (x )( ) A ．在(0,＋∞)上递增 B ．在(0,＋∞)上递减 C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减D [因为函数f (x )＝x ln x ,定义域为(0,＋∞),所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0), 当f ′(x )＞0时,解得x ＞1e ,即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞;当f ′(x )＜0时,解得0＜x ＜1e ,即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ,故选D.]3．已知定义在区间(－π,π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ,则f (x )的单调递增区间是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x , 令f ′(x )＝x cos x ＞0,则其在区间(－π,π)上的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 即f (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.] [规律方法] 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域; (2)求f ′(x );(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0,得单调递增区间; (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0,得单调递减区间.易错警示：(1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f (x )＝x 3,f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时,f ′(x )＝0),但f (x )＝x 3在R 上是增函数.含参数的函数的单调性【例1】 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞), f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时,f ′(x )＞0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递增;②当a ≤0时,f ′(x )＜0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递减; ③当0＜a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x ＝1－a 2a ,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时,f ′(x )＞0,故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．[规律方法] 解决含参数的函数单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(1)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R ),求函数f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上,Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0,即a ≥1时,f ′(x )≥0恒成立, f (x )在R 上单调递增．②当1－a ＞0,即a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x 1＝－1－1－a ,x 2＝－1＋1－a ,令f ′(x )＞0,解得x ＜－1－1－a 或x ＞－1＋1－a ;令f ′(x )＜0,解得－1－1－a ＜x ＜－1＋1－a ,所以f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞); f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )． 综上所述：当a ≥1时,f (x )在R 上单调递增;当a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞), f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )．(2)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a ＞0)．求f (x )的单调区间． [解] 由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0), 令f ′(x )＝0,解得x 1＝0,x 2＝2－2a a .①当0＜a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞,单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ;②当a ＝1时,f (x )在(－∞,＋∞)内单调递增;③当a ＞1时,f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0,＋∞),单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 函数单调性的应用►考法1 【例2】 (2019·莆田模拟)设函数f ′(x )是定义在(0,2π)上的函数f (x )的导函数,f (x )＝f (2π－x ),当0＜x ＜π时,若f (x )sin x －f ′(x )cos x ＜0,a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,b ＝0,c ＝－32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜bA [由f (x )＝f (2π－x ),得函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称,令g (x )＝f (x )cos x ,则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )·sin x ＞0,所以当0＜x ＜π时,g (x )在(0,π)内递增,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6,即a ＜b ＜c ,故选A.]►考法2 根据函数的单调性求参数【例3】 (1)(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ,其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x ), 所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0,所以f (2a 2)≤－f (a －1),即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0, 所以f (x )在R 上单调递增, 所以2a 2≤1－a ,即2a 2＋a －1≤0, 所以－1≤a ≤12.](2)已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．[解] ①h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2,由于h (x )在(0,＋∞)上存在单调递减区间,所以当x ∈(0,＋∞)时,1x －ax －2＜0有解, 即a ＞1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ,所以只要a ＞G (x )min 即可． 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,所以G (x )min ＝－1,所以a ＞－1,即a 的取值范围为(－1,＋∞)． ②由h (x )在[1,4]上单调递减得,当x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立, 即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )ma x ,而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )ma x ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716,即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.(1)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4B.2f⎝⎛⎭⎪⎫π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫π4C．f(0)＞2f ⎝⎛⎭⎪⎫π3D．f(0)＞2f⎝⎛⎭⎪⎫π4(2)已知a≥0,函数f(x)＝(x2－2ax)e x,若f(x)在[－1,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12(1)A(2)C[(1)令g(x)＝f(x)cos x,则g′(x)＝f′(x)cos x＋f(x)sin xcos2x＞0,即g(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数,则有g⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜g⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即f⎝⎛⎭⎪⎫－π3cos⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4cos⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜2f⎝⎛⎭⎪⎫－π4.即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4,故选A.(2)f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x＝[x2＋(2－2a)x－2a]e x,由题意知当x∈[－1,1]时,f′(x)≤0恒成立,即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a,则有⎩⎨⎧g(－1)≤0，g(1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a)·(－1)－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，解得a≥34,故选C.]1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋a sin x在(－∞,＋∞)单调递增,则a的取值范围是()A．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 C [取a ＝－1,则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ,f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ,但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0,不具备在(－∞,＋∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1. 设x ＝2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x －1x . 由题设知,f ′(2)＝0,所以a ＝12e 2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1,f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时,f ′(x )<0; 当x >2时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增．3．(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x .讨论f (x )的单调性． [解] 函数f (x )的定义域为(－∞,＋∞), f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0,则f (x )＝e 2x 在(－∞,＋∞)上单调递增． ②若a ＞0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )＜0; 当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )＞0. 故f (x )在(－∞,ln a )上单调递减, 在(ln a ,＋∞)上单调递增．③若a <0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时,f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．综上所述,若a ＝0时,f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增．若a ＞0时,f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增．若a ＜0时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．。
( 高考第二轮教案)函数与导数(浙教版)
函数与导数一、考点回顾1.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。
2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。
3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。
二、经典例题剖析 考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3点评：本题考查多项式的求导法则。
考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
解析：因为21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。
解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。
通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。
1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。
解释极值的必要条件和充分条件。
第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。
2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。
通过实例来说明导数在判断极值中的作用。
第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。
3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。
第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。
4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。
第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。
5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。
第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。
举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。
6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。
通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。
第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。
利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。
7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。
结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。
高中数学的函数和导数教案
高中数学的函数和导数教案
教学目标：
1. 理解函数的概念及其特性；
2. 掌握函数的基本操作和性质；
3. 熟练运用导数的定义和性质。
教学重点：
1. 函数的概念和性质；
2. 导数的定义和性质；
3. 导数的运算法则。
教学难点：
1. 导数的计算方法；
2. 函数和导数的实际应用。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入函数和导数的概念，通过举例让学生理解函数的定义及导数的意义。
二、讲解函数（15分钟）
1. 介绍函数的定义和性质；
2. 讲解函数的基本操作和图像表示；
3. 解释函数的奇偶性和周期性。
三、讲解导数（20分钟）
1. 引入导数的概念和定义；
2. 讲解导数的计算方法和性质；
3. 解释导数在函数中的应用。
四、练习与讨论（15分钟）
1. 学生进行导数的相关计算练习；
2. 学生讨论函数与导数的关系及实际应用。
五、作业布置（5分钟）
布置相关函数和导数的练习题目，要求学生掌握基本概念和计算方法。
六、课堂总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调重点和难点知识。
教学资源：
1. 教材《高中数学教程》；
2. 讲解PPT；
3. 相关函数和导数的练习题。
教学反思：
在教学过程中，要注意引导学生通过实际问题来理解函数和导数的概念，强化实际应用，提高学生的学习兴趣和主动性。
同时，要根据学生的不同情况，采用多种教学方法，提高教学效果和学生的学习水平。
高中数学教案函数的极值和导数
高中数学教案——函数的极值和导数教案内容：一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
2. 掌握函数的单调性，能够判断函数的单调区间。
3. 理解函数的极值概念，能够求出函数的极值。
二、教学重点与难点1. 重点：导数的计算方法，函数的单调性，函数的极值。
2. 难点：导数的应用，函数的极值的求法。
三、教学方法采用讲解法、例题解析法、学生自主探究法。
四、教学准备1. 教学课件。
2. 相关例题及练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性。
2. 讲解导数的概念：定义域内的函数在某一点的导数，即为该点的切线斜率。
引导学生理解导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 函数的单调性：通过例题，讲解函数单调性的判断方法，引导学生掌握如何判断函数的单调区间。
5. 函数的极值：讲解函数极值的概念，通过例题，引导学生掌握求函数极值的方法。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要注重引导学生主动思考，培养学生的动手能力及解决问题的能力。
要及时解答学生的疑问，确保学生能够掌握所学知识。
六、教学内容与要求1. 理解曲线的切线与函数导数的关系。
2. 掌握基本函数的导数求解方法。
3. 能够运用导数判断函数的单调性。
七、教学过程1. 复习导入：通过回顾上节课的内容，引导学生复习导数的基本概念和计算方法。
2. 讲解导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示曲线在某点的切线斜率。
3. 导数的计算：详细讲解和练习基本函数的导数求解，包括幂函数、指数函数、对数函数等。
4. 函数单调性的判断：利用导数的概念，解释如何判断函数的单调性。
5. 例题解析：通过具体例题，演示如何运用导数判断函数的单调区间和求极值。
八、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论。
《函数单调性与导数》教案
《函数单调性与导数》教案
一、教学目标
【知识与技能】
探索函数的单调性与导数的关系，会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
【过程与方法】
通过观察、分析、概括的数学活动，掌握用导数研究单调性的方法，同时渗透数形结合思想、转化思想。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。
二、教学重难点
【重点】
探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
【难点】
探索函数的单调性与导数的关系。
(一)复习导入
复习1：导数的几何意义
复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，(图像法，定义法)
问题提出：判断y=x2的单调性，如何进行?(分别用图像法，定义法完成)
那么如何判断的单调性呢?()引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题。
)
板书课题：函数的单调性与导数
(二)新知探究
探究任务一：函数单调性与其导数的关系：
问题1:如图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度h的图像.
四、板书设计。
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函数与导数
诊断练习
1、曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．
2、函数2ln y x x =-的单调增区间为 ，减区间为 ；
3、已知点P 在曲线y ＝
4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
4、函数2cos y x x =+在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ，最小值是 ． 5、曲线C ：211ln 22
y x x =++的斜率最小的切线与圆221x y +=的位置关系为 典型例题 例1：（1）若函数3(3)y a x x =-在区间(1,1)-上为减函数，则实数a 的取值范围
是 ；
（2）若函数3211()(1)132
f x x ax a x =
-+-+在区间(14)，内为减函数，在区间()6,+∞上是增函数，是求实数a 的取值范围．
（2）若函数32
4y x ax =-+在()0,2上单调递减，则实数a 的取值范围是 ；
例2：已知函数)ln()(m x e x f x +-=.
(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >.
变式：已知函数1()ln x f x x ax
-=+，0a R a ∈≠且． （1） 当2a =时，求函数()f x 在⎡⎤⎢
⎥⎣⎦1,e e 的最大值和最小值；
（2） 若函数()()g x af x =，求函数()g x 的单调递减区间；
课后练习：
1、曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________
2、设32
()31f x ax x x =+-+是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 ；
3、已知0a >，函数3()f x x ax =-在区间[)1,+∞上为增函数，则a 的取值范围是 ；
4、函数3()2f x x ax =-+在区间1(0,)3
上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ；
5、函数3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0成立，求实数a 的值．
6、()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不 等式()0xf x >的解集为 ．
7、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.
8、已知P,Q 为抛物线x 2
=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为
9、设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax =+
+> （Ⅰ）求()f x 的最小值；
（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32
y x =
，求,a b 的值。
10、已知函数ln ()x x k f x e
+=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '是()f x 的导函数．证明：对任意0x >，
2()1g x e -<+．。