最新中文第二章卡尔曼滤波器
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卡尔曼滤波器 ppt课件
卡尔曼滤波器的应用
• 卡尔曼滤波器对于解决阿波罗计划的轨 道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航 电脑使用了这种滤波器。
• 它的广泛应用已经超过30年，包括导航 ，控制，传感器数据融合甚至在军事方 面的雷达系统以及导弹追踪等等,尤其是 在自动或辅助导航系统。近年来更被应 用于计算机视觉领域，例如人脸识别， 运动物体跟踪等等。
卡尔曼滤波器的思想
• 基本思想：卡尔曼滤波器提供了一种有 效的以最小均方误差来估算系统状态计 算递归方法。若有一组强而合理的假设， 给出系统的历史测量值，则可以建立最 大化这些早前测量值的后验概率的系统 状态模型。并且无需存储很长的早前测 量历史，我们也可以最大化后验概率， 即重复更新系统状态模型，并只为下一 次更新保存模型。这样就大大地简化了 这个方法的计算机实现。
• 最常用的是最小二乘估计，其他如风险准则的 贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法 也都有应用。不管是维纳滤波还是卡尔曼滤波， 这些方法都只适用于线性系统，而且需要对被 估计过程有充分的知识。对于非线性系统或对 动态系统特性不完全了解的复杂估计问题，还 需要深入研究。工程上可用一些近似计算方法 来处理，常见的有基于局部线性化思想的广义 卡尔曼滤波器、贝叶斯或极大后验估值器和可 以根据滤波过程的历史知识自动修改参数的自 适应滤波或预报技术等
卡尔曼滤波器
1
卡尔曼滤波器
精品资料
你怎么称呼老师？ 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭 “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
• 卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统 的状态向量。它以“预测—实测—修正” 的顺序递推，根据系统的量测值来消除 随机干扰，再现系统的状态，或根据系 统的量测值从被污染的系统中恢复系统 的本来面目。
卡尔曼滤波器
Ak (xk1 xˆk1 H kCk Ak (xˆk1 xk1) k1 H kCk Akk1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) (I H kCk )k1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) k1 H kvk
(2.5.17)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
所以(xˆskuǒ1yǐ) 仅依赖于xk-1,vk-1，而与vk不相关，即 E[(xk1 xˆk1)vkT ] E[vk (xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.18)
E[(xk1 xˆk1)kT1] E[k1(xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.19)
(2.5.24)
令
U T (Pk'CkT )T Ck Pk'T Ck Pk'
(2.5.25)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
定义:设A∈Cn×n是Hermite矩阵,如果对任意0≠x∈Cn,都有 xHAx＞0,则A是Hermite正定阵; 若xHAx≥0,则A是Hermite半正定阵.
定理(dìnglǐ):设A∈ Cn×n 是Hermite矩阵,则下列条件等价 (1)A是Hermite矩阵,AH=A (2)A的特征值全为正实数 (3)存在矩阵P ∈Cn×n,使得A=PHP
(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.5.1 卡尔曼滤波的状态方程(fāngchéng)和量测方程(fāngchéng)
假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程(fāngchéng)和量 测方程(fāngchéng)（也称为输出方程(fāngchéng)）表示为
卡尔曼滤波器分类及基本公式
式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，
例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该
值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信 温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
52 因为， 2 2 H 0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 H 5 4 刻的最优温度值为：23 0.78* (25 23) 24.56 度（*公式四）。
度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻
的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后，
Qk
为过程噪声的协方差，其为非负定阵； 为测量噪声的协方差，其为正定阵。
Rk
1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式 1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式
授之以渔： 卡尔曼滤波器
一片绿油油的草地上有一条曲折的小径，通向一棵大树。
一个要求被提出：从起点沿着小径走到树下。
“很简单。
”A说，于是他丝毫不差地沿着小径走到了树下。
现在，难度被增加了：蒙上眼。
“也不难，我当过特种兵。
” B说，于是他歪歪扭扭地走到了树……….旁。
“唉，好久不练，生疏了。
”“看我的，我有DIY 的GPS！” C说，于是他像个醉汉似地走到了树……….旁。
“唉，这个GPS 软件没做好，漂移太大。
”“我来试试。
” 旁边一人拿过GPS, 蒙上眼，居然沿着小径走到了树下。
“这么厉害！你是什么人?”“卡尔曼! ”“卡尔曼？！你是卡尔曼？”众人大吃一惊。
“我是说这个GPS 卡而慢。
”这段时间研究了一下卡尔曼滤波器，有一些心得，写出来与大家分享。
卡尔曼滤波器与我以前讲过的FIR, IIR 滤波器完全不一样，与其说属于滤波器，不如说是属于最优控制的范畴。
下面的内容涉及相当多的控制理论知识，对于在这方面不足的同学可能有些吃力。
不过不要紧，大家关注结果，会应用就够了, 那些晦涩的理论和推导可以忽略。
我也会用图片让大家更直观的理解卡尔曼滤波器首先回顾一下传统数字滤波器。
对于一个线性时不变系统，施加一个输入 u(t) ，我们可以得到一个输出 y(t) . 如果输入是一个冲击，则输出y(t) 被称作冲击响应，用 h(t) 来表示，是系统的内核。
对于任意u(t), 输出 y(t) 可以通过 u(t) 与冲击响应 h(t) 的卷积得到，这是 FIR 滤波器的基本原理。
我们还可以通过系统微分方程转换为差分方程，或是通过 laplace 传递函数转换到差分方程，最后得到一个递推公式，这种形式的滤波器就是IIR 滤波器。
以前讲过，一个系统可以用时域的微分方程来建立，然后可以用laplace 的传递函数来处理，把解微分方程变为多项式乘法，可以简单的求解。
还有另外一种处理形式就是状态空间，以矩阵形式来处理微分方程或微分方程组，利用矩阵变换求解，类同齐次方程组的矩阵形式。
卡尔曼滤波器
本章思路
首先介绍新息过程的概念，然后导出 卡尔曼滤波算法，最后介绍卡尔曼滤波在 维纳滤波中的应用。
一、基于新息过程的最小均方误差估计
z(n)ZFra bibliotek-1z(n-1)
Z
-1
z(n-2)
Z-1 w*1
z(1) d(n)=z(n) d (n) + + + ^
w*n-1
w*n-2 +
a(n)=z(n)
n-1抽头线性预测器结构
^
∑ Bi(k )a(k ) + Bi(n − 1)a(n − 1)
k =1
n− n− 2
= x (i|Zn-2)+Bi(n-1)a(n-1) (令i=n-1得) ^ ^ x (n-1|Zn-1)= x (n-1|Zn-2)+ E[x(n-1) aH(n-1)]A-1(n-1)a(n-1) ^ =x (n-1|Zn-2)+ K(n-1)a(n-1) (4)
二、卡尔曼滤波算法
卡尔曼滤波计算步骤 步骤1 状态一步预测，即 x^(n|Zn-1)=F(n,n-1) x^(n-1|Zn-1) 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 a(n)=z(n)-z^(n|Zn-1)=z(n)-C(n)x^(n|Zn-1) 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 P(n,n-1)=F(n,n-1)P(n-1)FH(n,n-1)+ T(n,n-1)Q1(n-1)TH(n,n-1) 步骤4 新息过程的自相关矩阵 A(n)=C(n)P(n,n-1) CH(n) )+Q2(n) 步骤5 卡尔曼增益 K(n)=P(n,n-1) CH(n)A-1(n)
二、卡尔曼滤波算法
卡尔曼滤波的黎卡蒂方程 式（15）给出了n-1时刻估计状态误差自相关 矩阵P(n-1)到n时刻一步预测误差自相关矩阵 P(n,n-1)的递推算法，它被称为黎卡蒂差分方程， 也常简称为黎卡蒂方程。 又x^(n|Zn )=x^(n|Zn-1)+ K(n)a(n) =x^(n|Zn-1)+ K(n)[C(n)h(n,n-1)+v2(n)] 因此有 h(n)=x(n)-x^(n|Zn) =h(n,n-1)- K(n)C(n)h(n,n-1)-K(n)v2(n)
卡尔曼滤波器介绍 --- 最容易理解
10.6 卡尔曼滤波器简介本节讨论如何从带噪声的测量数据把有用信号提取出来的问题。
通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。
如前所述，为了消除噪声，可以把 FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。
但在许多应用场合，需要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。
虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论,即针对随机信号的估计理论,是自成体系的。
人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。
为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。
最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。
典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器与卡尔曼滤波器。
对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的。
当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作。
这项研究是用于防空火力控制系统的。
维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。
为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳-霍夫方程。
这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。
这与卡尔曼滤波（Kalman filtering）是很不相同的。
卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差最小的递推算法。
在维纳进行滤波理论研究并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。
对于维纳-霍夫方程的研究，20世纪五十年代涌现了大量文章，特别是将维纳滤波推广到非平稳过程的文章甚多，但实用结果却很少。
这时正处于卡尔曼滤波问世的前夜。
维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年代中期确定卫星轨道的问题上遇到了。
1958年斯韦尔林（Swerling）首先提出了处理这个问题的递推算法，并且立刻被承认和应用。
1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。
他严格地把状态变量的概念引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。
卡尔曼滤波器原理详解课件
利用卡尔曼滤波器对机器人进行路径规 划，通过传感器数据和运动模型对机器 人进行最优路径规划。
VS
机器人避障
通过卡尔曼滤波器对机器人进行避障控制， 实现机器人在复杂环境中的安全导航。
06
卡尔曼滤词
详细描述
无迹卡尔曼滤波器
总结词 详细描述
自适应卡尔曼滤波器
缺点分析
假设限制
01
初值问题
02
计算复杂度
03
改进方向
扩展到非线性系统 优化算法 融合其他方法
05
卡尔曼滤波器的应用实例
无人机定位与控制
无人机定位
无人机控制
通过卡尔曼滤波器对无人机进行控制， 实现无人机的稳定飞行和精确控制。
航天器轨道确定
航天器轨道估计
航天器导航
机器人导航与避障
机器人路径规划
状态方程和观测方程
状态方程 观测方程
卡尔曼滤波器的递推算法
预测步骤
根据当前状态和输入预测下一个状态。
更新步骤
根据观测值和预测值更新状态估计。
递推算法
通过重复执行预测步骤和更新步骤，逐步更新状态估计。
卡尔曼滤波器的最优估计
最优估计
在给定观测数据和模型的情况下，使用某种准则（如最小方差）找到的最佳估计。
卡尔曼滤波器的基本原理
01
02
数学模型
递归估计
03 最优估计
02
卡尔曼滤波器的数学模型
线性动态系统
线性系统
如果系统的状态变量可以表示为输入和输出的 线性组合，则该系统是线性的。
动态系统
如果系统的状态随时间变化，则该系统是动态的。
线性动态系统
如果一个系统既是线性的又是动态的，则该系统被称为线性动态系统。
VS
机器人避障
通过卡尔曼滤波器对机器人进行避障控制， 实现机器人在复杂环境中的安全导航。
06
卡尔曼滤词
详细描述
无迹卡尔曼滤波器
总结词 详细描述
自适应卡尔曼滤波器
缺点分析
假设限制
01
初值问题
02
计算复杂度
03
改进方向
扩展到非线性系统 优化算法 融合其他方法
05
卡尔曼滤波器的应用实例
无人机定位与控制
无人机定位
无人机控制
通过卡尔曼滤波器对无人机进行控制， 实现无人机的稳定飞行和精确控制。
航天器轨道确定
航天器轨道估计
航天器导航
机器人导航与避障
机器人路径规划
状态方程和观测方程
状态方程 观测方程
卡尔曼滤波器的递推算法
预测步骤
根据当前状态和输入预测下一个状态。
更新步骤
根据观测值和预测值更新状态估计。
递推算法
通过重复执行预测步骤和更新步骤，逐步更新状态估计。
卡尔曼滤波器的最优估计
最优估计
在给定观测数据和模型的情况下，使用某种准则（如最小方差）找到的最佳估计。
卡尔曼滤波器的基本原理
01
02
数学模型
递归估计
03 最优估计
02
卡尔曼滤波器的数学模型
线性动态系统
线性系统
如果系统的状态变量可以表示为输入和输出的 线性组合，则该系统是线性的。
动态系统
如果系统的状态随时间变化，则该系统是动态的。
线性动态系统
如果一个系统既是线性的又是动态的，则该系统被称为线性动态系统。
(中文)第二章 卡尔曼滤波器
两个步骤递归计算就构成了最优的贝叶斯估计。遗憾的是，式和在很多场合
下没有可分解的计算方法，所以它们只是一个理论上的解。基于特定分布的
假设，如高斯分布可以获得最优估计的解析的计算方法 。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波器认为后验概率在任何时刻都是高斯分布的，这样由均
值和方差就可以完全确定其概率分布。可以证明，如果 p xk1 | z1:k1 是高 斯的，那么要使 p xk | z1:k 也是高斯的话，隐含了下面的假设：
结构框图
计算步骤
Pn a2 n 1 Q
Gn
R
cPn c2Pn
n 1 cGn Pn
sˆn n a sˆn 1n 1Gnxn acsˆn 1n 1
Initiation sˆ00,0 P1 G1 1, sˆ11
信号矢量：例1
（同时估计若干个信号）
si n aisi n 1 wi n , i 1, 2, , q
2.2 维纳滤波器的迭代实现
信号模型和测量模型： sn asn 1 wn xn csn vn
因果IIR维纳滤波器 （前面推导结果）：
sˆ n n , sˆ n n 1 , xˆ n n 1
分别代表用n时刻以及n-1时刻及以 前所有数据对s(n)和x(n)的估计值
迭
代
差分方程
形
sˆn n f sˆn 1n 1Gnxn
使用观察值更新预测（求后 验分布均值）
mk|k mk|k1 Kk zk Hk mk|k 1
求估计误差功率（求后验分 布方差）
Pk|k Pk|k 1 Kk Hk Pk|k 1
初始估计：m0|0 P0|0
2.4 卡尔曼滤波器扩展（非线性）
1。Extended Kalman Filter(EKF)
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在k时刻可以获得新的观测矢量Zk，基于贝叶斯准则可以利
用测量模型来更新先验概率分布，从而获得需要的滤波结果：
pxk|z1:kpzkp |x k zkp |z 1 x :kk 1 |z1:k1
(2)
p z k |z 1 :k 1 p z k|x k p x k|z 1 :k 1 d x k
两个步骤递归计算就构成了最优的贝叶斯估计。遗憾的是，式和在很多场合
0 0 ck 0
xn Cs n vn
测量模型的矩阵形式
矢量卡尔曼滤波器的计算公式
snAsn1wn xnCsnvn
标量算术 矢量算术
ab aba2 a2 b 1ab A BAB ATA AB T A A B T
PnAnn1n1ATnQn
GnPnCTnCnPnCTnRn1
nnIGnCnPn
sn s1 n s2 n sq n T w n w1 n w2 n wq n T
信号矢量 噪声矢量
a1 0 A
0
a2
0 0
0 0 a q
sn As n 1 w n
参数矩阵 信号模型的矩阵形式
信号矢量：例2
s1 n as1 n 1 bs2 n 1 wn s2 n s1 n 1
sˆnnAnsˆn1n1GnxnAnCnsˆn1n1
2.3卡尔曼滤波的统计原理
状态模型和观察信号模型 贝叶斯滤波 卡尔曼滤波
状态模型和观测模型
假设实际系统的状态序列为xk,k ，其中k为时间序列标
号，xk nx 表示时间标号为k时的状态矢量，nx 为状态矢量的
维数。状态间的转移关系为
xkfk xk1,vk
pxk xk1 k0
系统观测到的序列为zk,k ，其中 zk nz 表示时间标
号为k时的观测矢量。观测量和系统状态之间的关系为：
zk hkxk,nk
pzk xk k0
v和n分别为方差为Q和R的高斯白噪声 需要注意的是：这里x表示信号状态，z表示观察/测量值。
贝叶斯估计
假设需要计算的后验分布 pxk1|z1:k1在时刻k-1已经得到，那
么我们利用状态模型可以获得时刻k状态的先验概率分布：
p x k |z 1 : k 1 p x k |x k 1p x k 1 |z 1 : k 1 d x k 1
(1)
注意：做了如下假设（即认为状态模型为一阶马尔科夫过程）：
px k|x k 1 ,z1 :k 1px k|x k 1
s
n
s1 s2
n n
wn
wn
0
sn Asn 1 wn
a b A 1 0
观察/测量矢量
xi n cisi n vi n i 1, 2, , k (k q)
xn x1n x2 n xk nT
vn v1n v2 n vk nT
c1
C
0
0
c2
0 0
0 0
P m k 1|k 1
k 1|k 1
px k|z 1 :k 1 N x k;m k |k 1 ,P k |k 1
P QFP F m Fm k|k1 k k1|k1
T k|k1 k1 k k1|k1 k
pxk|z1 :k Nxk;m k|k,P k|k PP KHP m k|km k|k 1K kzk H km k|k 1 k|k k|k1 k k k|k1
v和n都是参数已知的高斯分布
fk xk1,vk 是 x k 1 和 v k 的线性函数 hk xk,nk 是 x k 和n k 的线性函数
xk Fkxk1vk
zk Hkxknk
(1) (2)
px k 1 |z 1 :k 1 N x k 1 ;m k 1 |k 1 ,P k 1 |k 1
使用观察值更新预测（求后 验分布均值）
m k |k m k |k 1 K kz k H km k |k 1
求估计误差功率（求后验分 布方差）
P k|kP k|k1K kH kP k|k1
初始估计：m 0 |0 P 0 |0
2.4 卡尔曼滤波器扩展（非线性）
1。Extended Kalman Filter(EKF)
下没有可分解的计算方法，所以它们只是一个理论上的解。基于特定分布的
假设，如高斯分布可以获得最优估计的解析的计算方法 。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波器认为后验概率在任何时刻都是高斯分布的，这样由均
值和方差就可以完全确定其概率分布。可以证明，如果 pxk1|z1:k1 是高 斯的，那么要使 pxk |z1:k 也是高斯的话，隐含了下面的假设：
中文第二章卡尔曼滤波器
内容
2.1 卡尔曼滤波器 2.2 由因果IIR维纳滤波器看卡尔曼滤波器 2.3 从bayes滤波角度看卡尔曼滤波器 2.4 卡尔曼滤波器的扩展
信号矢量：例1
（同时估计若干个信号）
s i n a i s i n 1 w i n ,i 1 ,2 , ,q
K k P k |k 1H T k H kP k |k 1H T k R k 1
取后验均值作为状态的估计值-〉卡尔曼滤波
滤波过程
预测
（1）状态一步预测 （先验分布均值）
mk|k1Fkmk1|k1
（2）预测误差功率 （先验分布方差）
Pk|k1Qk1FkPk1|k1FkT
更新
计算卡尔曼增益 K k P k|k 1H T k H kP k|k 1H T k R k 1
fk xk1,vk hk xk,nk 非线性？
解决：使用他们的泰勒展开式的一阶线性近似。
2。The Unscented Kalman Filter(EKF) 思想：近似一个高斯的分布比近似一个任意的非线性函数 要容易的多。
EKF与无色变换的比