2015年高考数学复习学案：课堂实录：圆锥曲线中的最值问题
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用
第二课时 圆锥曲线的综合应用考点一 最值范围问题|(2015·高考浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.(1)最值问题的求解方法：①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值． ②建立不等式模型，利用基本不等式求最值． ③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值． (2)求参数范围的常用方法：①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． ②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． ③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． ④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点在y 轴上，抛物线上的点(x 0,1)到焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过直线l ：y ＝x －2上的动点P (除(2,0))作抛物线C 的两条切线，切抛物线于A ，B 两点．①求证：直线AB 过定点Q ，并求出点Q 的坐标；②若直线OA ，OB 分别交直线l 于M ，N 两点，求△QMN 的面积S 的取值范围． 解：(1)由已知条件得1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1＋p2＝2， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ′＝x2，A 处切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，又∵4y 1＝x 21，∴y ＝x 12x －x 214，a同理B 处切线方程为y ＝x 22x －x 224，bab 联立可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.直线AB 的斜率显然存在，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4m ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，即P (2k ，－m )， ∵P 在直线l ：y ＝x －2上， ∴m ＝－2k ＋2，即AB 直线为y ＝k (x －2)＋2， ∴直线AB 过定点Q (2,2)． ②∵O 不会与A ，B 重合．定点Q (2,2)到直线l ：y ＝x －2的距离h ＝ 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，⇒x M ＝2x 1x 1－y 1＝84－x 1，同理得x N ＝2x 2x 2－y 2＝84－x 2.∴|MN |＝2|x M －x N |＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－x 1－14－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2(4－x 1)(4－x 2)＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 2＋16m －4m －16k ＋16. ∵m ＝－2k ＋2，∴|MN |＝42·(k －1)2＋1|k －1|＝4 21＋1(k －1)2.∴S △QMN ＝12|MN |·h ＝41＋1(k －1)2∈(4，＋∞)． 考点二 定点最值问题|已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y Bx B＝－12， 即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系．(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时， 可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时， 此时|AB |＝3，|CD |＝4； 或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712. 考点三 探索存在性与证明问题|(2015·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．解决存在性问题注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．3．(2015·高考安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是线段AC 的中点知， 点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b2， 可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .A 组 考点能力演练1.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 2．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知|MN |＝8，且|PM |＝2|MF |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A ，B ，求证：∠AFM ＝∠BFN ； (3)求三角形ABF 面积的最大值． 解：(1)∵|MN |＝8，∴a ＝4，又∵|PM |＝2|MF |得a 2c －a ＝2(a －c )，即2e 2－3e ＋1＝0⇒e ＝12或e ＝1(舍去)．∴c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)当AB 的斜率为0时，显然∠AFM ＝∠BFN ＝0.满足题意． 当AB 的斜率不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 方程为x ＝my －8，代入椭圆方程整理得： (3m 2＋4)y 2－48my ＋144＝0，则Δ＝(48m )2－4×144(3m 2＋4)，y 1＋y 2＝48m 3m 2＋4，y 1·y 2＝1443m 2＋4. ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1－6＋y 2my 2－6＝2my 1y 2－6(y 1＋y 2)(my 1－6)(my 2－6)＝0，∴k AF ＋k BF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN . 综上可知：恒有∠AFM ＝∠BFN .(3)S△ABF ＝S△PBF －S△P AF＝12|PF |·|y 2－y 1|＝72m 2－43m 2＋4＝72m 2－43(m 2－4)＋16＝723m 2－4＋16m 2－4≤7223·16＝3 3. 当且仅当3m 2－4＝16m 2－4即m 2＝283(此时适合Δ>0的条件)取得等号．三角形ABF 面积的最大值是3 3.3．已知点A ，B ，C 是抛物线L ：y 2＝2px (p >0)上的不同的三点，O 为坐标原点，直线OA ∥BC ，且抛物线L 的准线方程为x ＝－1.(1)求抛物线L 的方程；(2)若三角形ABC 的重心在直线x ＝2上，求三角形ABC 的面积的取值范围．解：(1)抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)设直线OA ，BC 的方程分别为y ＝kx 和y ＝kx ＋b (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x联立消去y 得k 2x 2＝4x ， 解得点A 的坐标为A ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k . 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0.Δ＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝16－16kb >0，即kb <1. 又由韦达定理可得x 1＋x 2＝4－2kb k 2，∴三角形ABC 的重心的横坐标为4k 2＋4－2kb k 23＝8－2kb 3k 2＝2，化简得b ＝4－3k 2k ，代入kb <1可得k 2>1.又三角形ABC 的面积为 S ＝12×k 2＋1×16－16kbk 2×|b |1＋k 2＝|2b |1－kb k 2＝2|4－3k 2|k 2|k |×3k 2－3＝2⎪⎪⎪⎪4k 2－3 3－3k2. 令t ＝1k2，则S ＝23×(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)．考虑函数f (t )＝(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)， 则易得函数f (t )在⎝⎛⎭⎫0，34和⎝⎛⎭⎫1112，1上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫34，1112上单调递增，且f (0)＝9，f ⎝⎛⎭⎫34＝0，f ⎝⎛⎭⎫1112＝127， ∴△ABC 的面积的取值范围是(0,63)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k， 即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .a ．求|OQ ||OP |的值；b ．求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1， 又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. a ．设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. b ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0<t≤1，因此S＝2(4－t)t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时，S取得最大值23，由a知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。
高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线中的范围、最值问题教学案 文 北师大版-北师
第八节 圆锥曲线中的X 围、最值问题(对应学生用书第165页)⊙考点1 X 围问题圆锥曲线中X 围问题的五个解题策略解决有关X 围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值X 围； (2)利用参数的X 围，求新参数的X 围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值X 围； (4)利用的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值X 围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值X 围．(2019·某某模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，离心率为12，点F 1为圆M ：x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，过点F 2且与直线l 垂直的直线l 1与圆M 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的取值X 围．[解](1)由题意知c a ＝12，那么a ＝2c .圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，即c ＝1.所以a ＝2. 由b 2＝a 2－c 2，得b ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知椭圆右焦点F 2(1,0)．①当直线l 与x 轴垂直时，此时斜率k 不存在，直线l ：x ＝1，直线l 1：y ＝0，可得|AB |＝3，|CD |＝8，四边形ACBD 的面积为12.②当直线l 与x 轴平行时，此时斜率k ＝0，直线l ：y ＝0，直线l 1：x ＝1，可得|AB |＝4，|CD |＝43，四边形ACBD 的面积为8 3.③当直线l 与x 轴不垂直也不平行时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.显然Δ＞0，且x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12k 2＋14k 2＋3. 过点F 2(1,0)且与直线l 垂直的直线l 1：y ＝－1k(x －1)，那么圆心到直线l 1的距离为2k 2＋1，所以|CD |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝121＋14k 2＋3. 可得当直线l 与x 轴不垂直时，四边形ACBD 面积的取值X 围为(12,83)． 综上，四边形ACBD 面积的取值X 围为[12,83]．过点F 2的直线l 与l 1，有斜率不存在的情况，应分类求解．[教师备选例题](2019·某某模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0,2)到焦点F 的距离|PF |＝2x 0. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤2)的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与抛物线C 的另一交点分别为A ，B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值X 围．[解](1)由抛物线定义，得|PF |＝x 0＋p2，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝x 0＋p2，2px 0＝4，p ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x 0＝1.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，过P 引圆(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤2)的切线斜率存在且不为0，设切线PA＝|2k 1＋2|k 21＋1＝＝8r 2－4，＝k ，＝k ＝k －t ＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228＝4k 2－22＋4k 1－228＝2(k 21＋k 22)－2(k 1＋k 2)＋1＝2(k 1＋k 2)2－2(k 1＋k 2)－3，设λ＝k 1＋k 2，那么λ＝8r 2－4∈[－4，－2)， 所以t ＝2λ2－2λ－3，其图像的对称轴为λ＝12＞－2，所以9＜t ≤37.(2019·某某模拟)椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值X 围．[解](1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.故椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)为弦MN 的中点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0.那么x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－14k 2＋1. Δ＝(8km )2－16(4k 2＋1)(m 2－1)＞0，所以m 2＜1＋4k 2.① 所以x 0＝x 1＋x 22＝－4km 4k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝m4k 2＋1.所以k AP ＝y 0＋1x 0＝－m ＋1＋4k 24km.又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，那么－m ＋1＋4k 24km ＝－1k，即3m ＝4k 2＋1.②把②代入①得m 2＜3m ，解得0＜m ＜3. 由②得k 2＝3m －14＞0，解得m ＞13.综上可知，m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3.⊙考点2 最值问题求解圆锥曲线中最值问题的两种方法(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，再求这个函数的最值，最值通常用基本不等式法、配方法、导数法求解．利用基本不等式求最值抛物线E ：y 2＝2px (0＜p ＜10)的焦点为F ，点M (t,8)在抛物线E 上，且|FM |＝10.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A ，B ，C ，D ，P 、Q 分别为弦AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值．[解](1)抛物线E 的准线方程为x ＝－p2.由抛物线的定义可得|FM |＝t ＋p 2＝10，故t ＝10－p2.由点M 在抛物线上，可得82＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－p 2，整理得p 2－20p ＋64＝0，解得p ＝4或p ＝16，又0＜p ＜10，所以p ＝4. 故抛物线E 的方程为y 2＝8x .(2)由(1)知抛物线E 的方程为y 2＝8x ，焦点为F (2,0)， 由可得AB ⊥CD ，所以两直线AB ，CD 的斜率都存在且均不为0. 设直线AB 的斜率为k ，那么直线CD 的斜率为－1k，故直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝k x －2，消去x ，整理得ky 2－8y －16k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝8k，因为P (x P ，y P )为弦AB 的中点，所以y P ＝12(y 1＋y 2)＝4k ，由y P ＝k (x P －2)得x P ＝y P k ＋2＝4k2＋2，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2，4k .同理可得Q (4k 2＋2，－4k )． 故|QF |＝4k 2＋2－22＋－4k2＝16k 4＋16k 2＝4k21＋k2，|PF |＝16k 4＋16k 2＝41＋k2k2. 因为PF ⊥QF ，所以△FPQ 的面积S ＝12|PF |·|QF |＝12×41＋k 2k2×4k 21＋k2＝8×1＋k 2|k |＝8⎝⎛⎭⎪⎫|k |＋1|k |≥8×2|k |·1|k |＝16，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时，等号成立．所以△FPQ 的面积的最小值为16.求点Q 的坐标时，可根据直线AB 与CD 的斜率关系，把点P 坐标中的k 换成－1k，即可得到点Q 的坐标．[教师备选例题]点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． [解](1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，那么t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 利用二次函数求最值(2019·某某模拟)直线l ：x －y ＋1＝0与焦点为F 的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 的直线m 与抛物线C 分别相交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．[解](1)∵直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2py ＋2p ＝0，从而Δ＝4p 2－8p ＝0，解得p ＝2或p＝0(舍)．∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，可设直线m 的方程为ty ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x －1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，∵Δ＞0，∴y 1＋y 2＝4t ，即x 1＋x 2＝4t 2＋2， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2＋1,2t )．设点A 到直线l 的距离为d A ，点B 到直线l 的距离为d B ，点M 到直线l 的距离为d ，那么d A ＋d B ＝2d ＝2·|2t 2－2t ＋2|2＝22|t 2－t ＋1|＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34，∴当t ＝12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为322.本例第(2)问的关键是根据梯形中位线定理得到d A ＋d B ＝2d .[教师备选例题](2019·某某模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点Q (1,1)作直线交抛物线C 不同于R (1,2)的D ，E 两点，假设直线DR ，ER 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于M ，N 两点，求|MN |取最小值时直线DE 的方程．[解](1)由题意知，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为x ＝y ＋p2，＋p2，＝(1±2)＝x A －x B2＋y A －y B2＝2y A －y B2＝＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝4m 2－m ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1＋2，y ＝2x ＋2，解得x M ＝k 1k 1－2.又k 1＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， ∴x M ＝4y 1＋24y 1＋2－2＝－2y 1.同理得x N ＝－2y 2.∴|MN |＝5|x M －x N |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 2－2y 1＝25·⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－y 1y 1y 2＝25·m 2－m ＋1|m －1|. 令m －1＝t ，t ≠0，那么m ＝t ＋1. ∴|MN |＝25t 2＋t ＋1t 2＝251t2＋1t＋1＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋34≥15. ∴当t ＝－2，m ＝－1时，|MN |取得最小值．此时直线DE 的方程为x ＝－(y －1)＋1，即x ＋y －2＝0.(2019·某某模拟)点M (1，n )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，且点M 到抛物线焦点的距离为2.直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为P (3,2)．(1)求直线l 的方程．(2)点Q 是直线y ＝x 上的动点，求QA →·QB →的最小值．[解](1)由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，所以1＋p2＝2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 那么y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42×2＝1， 所以直线l 的方程为y －2＝x －3， 即x －y －1＝0.(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以A (x 1，x 1－1)，B (x 2，x 2－1)，设Q (m ，m )， QA →·QB →＝(x 1－m ，x 1－(m ＋1))·(x 2－m ，x 2－(m ＋1))＝(x 1－m )(x 2－m )＋[x 1－(m ＋1)][x 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝2x 1x 2－(2m ＋1)(x 1＋x 2)＋m 2＋(m ＋1)2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，得x 2－6x ＋1＝0，那么x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，所以QA →·QB →＝2－(2m ＋1)×6＋m 2＋m 2＋2m ＋1＝2m 2－10m －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －522－312，当m ＝52时，QA →·QB →取得最小值，为－312.利用导数求最值(2017·某某高考)如图，抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值X 围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解](1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值X 围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32k 2＋1. 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －1k ＋12k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.|PA |·|PQ |用含k 的高次多项式表示，宜用导数求最值．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，假设|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，假设线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．[解](1)∵点A 在抛物线C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝32，∴p ＝2，word- 11 - / 11 ∴C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝4k ，∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， ∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1，△OPQ 的面积S ＝12·b ·16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)， 设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增，∴b ＝1时，△OPQ 的面积取得最大值为2.。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案第一章：圆锥曲线概述1.1 圆锥曲线的定义与性质了解圆锥曲线的定义及基本性质掌握圆锥曲线的标准方程1.2 圆锥曲线的基本图形椭圆、双曲线、抛物线的图形特点分析圆锥曲线图形之间的关系第二章：圆锥曲线中的最值问题概述2.1 最值问题的定义与意义了解最值问题的概念明确最值问题在圆锥曲线中的应用2.2 圆锥曲线中最值问题的解法掌握解析几何方法解决最值问题学会运用代数方法求解最值问题第三章：椭圆中的最值问题3.1 椭圆中最值问题的类型及解法分析椭圆中最值问题的特点掌握椭圆中最值问题的解法3.2 椭圆中最值问题实例解析举例讲解椭圆中最值问题的求解过程第四章：双曲线中的最值问题4.1 双曲线中最值问题的类型及解法分析双曲线中最值问题的特点掌握双曲线中最值问题的解法4.2 双曲线中最值问题实例解析举例讲解双曲线中最值问题的求解过程第五章：抛物线中的最值问题5.1 抛物线中最值问题的类型及解法分析抛物线中最值问题的特点掌握抛物线中最值问题的解法5.2 抛物线中最值问题实例解析举例讲解抛物线中最值问题的求解过程本教案通过讲解圆锥曲线的基本概念、性质以及最值问题的解法，使学生掌握圆锥曲线中最值问题的求解方法。
通过实例分析，让学生熟练运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
第六章：圆锥曲线中最值问题的转化策略6.1 利用几何性质转化最值问题利用圆锥曲线的几何性质简化问题学会将复杂的最值问题转化为简单问题6.2 利用代数方法转化最值问题运用代数变形技巧简化问题掌握代数方法在圆锥曲线中最值问题中的应用第七章：圆锥曲线中最值问题的常见题型7.1 动点轨迹问题分析动点轨迹问题特点解决动点轨迹问题的方法7.2 边界值问题理解边界值问题的含义掌握解决边界值问题的技巧7.3 范围问题解析范围问题的求解思路解决范围问题的方法第八章：圆锥曲线中最值问题的综合训练8.1 综合训练题目设计设计具有代表性的综合训练题目题目涉及不同类型的最值问题8.2 综合训练题目解析解析综合训练题目的求解过程第九章：圆锥曲线中最值问题的拓展与提高9.1 圆锥曲线中最值问题的拓展探讨圆锥曲线中最值问题的延伸问题引导学生思考问题的深度和广度9.2 圆锥曲线中最值问题的提高分析高难度最值问题的解题策略提高学生解决圆锥曲线中最值问题的能力10.1 复习重点知识回顾本教案所学的主要知识点巩固圆锥曲线中最值问题的解法引导学生形成解决圆锥曲线中最值问题的思维框架通过本教案的系统学习，使学生掌握圆锥曲线中最值问题的解题方法，提高学生的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力。
圆锥曲线最值问题常见类型与解法教学设计
圆锥曲线最值问题常见类型及解法的教学设计摘要：教学设计是教师运用系统的教学方法分析问题和完成教学目标，将教师的教和学生的学有些结合的一种形式.在教学设计下，不仅仅学生的学习成绩得以提高，还培养了学生的团队意识和创新理念，同时也有助于教师的专业素养的提升，可谓“一箭多雕”.在学习了圆、椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线外，我们除了了解了它们各自的定义、标准方程以及一些性质外，还应该知道这部分知识在高考中的命题形式.通过对历年高考真题分析，发现这部分内容涉及面较广，并且求解的灵活性较强，使许多同学在面对这类题时“举步维艰．本文主要针对这一问题，通过对不同圆锥曲线的最值问题进行分类解析，然后总结出常用的几种解决方法.同时也有利于进一步培养学生数形结合、化归、类比和联系的思想.关键词：圆锥曲线；最值；数形结合；化归思想Teaching Design of Common Type and Solution for the Problem of the MaximumValue of Conic CurveAbstract:Learning and teaching design, the teaching design is the teachers use the teaching method of problem analysis and complete teaching objectives, teachers teach and students learn some combination of a kind of form, not only the students academic performance can be improved, but also cultivate the students' consciousness of team innovation concept, also is helpful to teachers' professional quality, can be described as "an arrow carved". In the circular, elliptic, hyperbolic and parabolic taper curve, in addition to our understanding of their respective definition, the standard equationand some properties, but also should know the knowledge in the college entrance examination proposition form. According to all previous years college entrance examination analysis. It is found that this part of the Content covers a broad area and solving the flexibility is strong, the many students in the face of this kind of topic "difficult. This paper mainly to solve the problem by different conic curve of the most value problem classification analysis, and then summarizes several commonly used solution. At the same time, to further develop the students number shape union, reduction, analogy and relation of thought.Key words: conic curve；maximum or minimum；idea of conversion目录1.引言 02. 教学设计的理论基础 03.教学设计案例 03.1课前准备 (1)3.1.1内容分析 (1)3.1.2学情分析 (1)3.1.3目标分析 (1)3.1.4重、难点分析 (2)3.1.5教学方法 (2)3.1.6教学媒体 (2)3.2教学过程 (2)3.2.1导入新课 (2)3.2.2讲授新课 (2)3.2.3巩固检测 (16)3.2.4课后小结 (16)3.2.5板书设计 (17)3.3教学反思 (17)4. 总结 (18)参考文献 (19)圆锥曲线最值问题常见类型及解法的教学设计1.引言教学设计作为一种新的教学方式，通过对教材、考情、教学目标、重难点、教学方法等的分析，在克服传统教案的弊端的基础上，有效的提高了教师的课堂教学质量，有助于学生学习成绩和各种能力的提升.本文是在对近几年数学高考试题的分析的基础上，发现圆锥曲线的最值问题是不少学生的“头疼点”，而分析其原因有：其一，圆锥曲线的题型设计大多涉及面较广、综合性较强，而我们学生学习这部分知识时都相对零散，缺乏系统的归纳总结，所以在遇到综合性较强的问题时就存在“难下手”、“干瞪眼”的现象，最后得不到分；其二，圆锥曲线的研究大多以“运动”为主，而我们的学生习惯了静态的思维，所以很难在这些变化中找到那些不变的量或者是它们之间存在的某种关系，以及变量的一些变化趋势，从而便认为“难”.综上所述，本文对这部分内容进行了教学设计，在帮助学生解决圆锥曲线的最值问题的同时，了解它的常见解法，更重要的是培养学生数形结合、善于联想的思维模式，从而让学生在面对综合性强的题目时能做到游刃有余.2.教学设计的理论基础基于这部分知识在考题中涉及范围比较广泛，而课本中的知识比较分散，所以我的教学设计的理论基础是联想、类比和转化的思想，其中最主要的是转化思想，让学生学会转化问题，化难为易.3.教学设计案例3.1课前准备3.1.1内容分析圆锥曲线这部分内容主要涉及到椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、简单几何性质、直线及圆锥曲线的位置关系等，我们在掌握这些基本知识的基础上，还应该学习有关圆锥曲线的一些综合性较强的应用，其中相对重要的是圆锥曲线的定点、定值问题，圆锥曲线的最值问题等.而圆锥曲线的最值问题是巩固这部分知识相对综合性强的内容,主要包括研究变化的距离、弦长、面积、斜率等的最值以及相关问题.3.1.2学情分析在本课的学习中，学生一般可能存在的问题是圆锥曲线的题型设计大多涉及面较广、综合性较强，学生学习这部分知识时都相对零散，缺乏系统的归纳总结，所以在遇到综合性较强的问题时就存在“难下手”、“干瞪眼”的现象，最后得不到分；另外我们的学生习惯了静态的思维，而圆锥曲线的研究大多以“运动”为主，所以很难在这些变化中找到那些不变的量或者是它们之间存在的某种关系，以及变量的一些变化趋势，从而便认为“难”.所以本节课既是一节习题课又是一节新授课，旧在所涉及的知识点都是学过的，新在授课的目标在于培养学生联系和类比的思维.3.1.3目标分析3.1.3.1知识及技能使学生在理解圆锥曲线的定义、标准方程和性质的基础上，学会求圆、椭圆、抛物线和双曲线等圆锥曲线的不同类型的最值问题，并总结出解决这些问题的一些方法.3.1.3.2过程及方法过程依次为认识圆锥曲线最值问题在高考中的地位—列举不同的题型—总结其对应的解法—变式训练—小结.主要用到的数形结合、化归、类比和联系的方法.3.1.3.3情感、态度、价值观通过对问题的探究、分析、解决的过程中，使学生理解事物之间普遍联系和辩证统一的观点，养成质疑和创新的意识，体验获得成功的快乐，从而激发学生的主观能动性.3.1.4重、难点分析重点是求圆锥曲线的最值问题的基本方法.难点是形及数的转化、化归思想的运用.3.1.5教学方法探究法、发现法等.3.1.6教学媒体PPT、小黑板.3.2教学过程（本次教学设计总共用时45分钟）3.2.1导入新课（本环节设计用时5分钟）椭圆的标准方程：、参数方程：；双曲线的标准方程：；抛物线；了解圆锥曲线的简单几何性质，函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，点到直线的距离公式，斜率公式、均值定理等.3.2.2讲授新课（讲解例题，讨论，归纳用时35分钟）3.2.2.1求解圆锥曲线不同类型的最值问题（讲解例题，讨论用时20分钟）类型1 两条线段的最值问题例1 已知点F 是双曲线的左焦点，定点A （1,4），P 是双曲线右支上的动点，则的最小值是（ ).解题思路 根据题意做出相应的图1根据双曲线的定义，建立A 、P 两点及焦点之间的关系利用两点之间线段最短.解 设双曲线的右焦点为G ，则===9 .答案：9例2 已知椭圆的右焦点F ，且有定点A （1,1）,又点M 是椭圆上一动点.问是否有最值，若有，求出最值并指出点M 的坐标.解题思路 通过作图（图2）发现，由椭圆上的点到两定点之间的距离为定值，即所以=10-=10+(进而可知，当最大时是最大值.解 设椭圆的左焦点为G,则G 的坐标为（-4,0）， 由椭圆的定义知：， 所以有=10-，而要使有最大值，即要使（最大，连接,延长交椭圆于点Q ，则当且仅当M,A,G 三点共线取“=”号. 所以，的最大值为,此时刚好M 和Q 重合.M FAGQxy图2AxPyFG图1又.所以的最大值为10+.同理可知，最小值为10-.例3 已知抛物线，定点A （3,1），F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P 使得取最小值，并求出最小值.老师：请同学们根据上边两个例题的学习，完成这道题.现在我来做个小提示：这道题的解题思路是利用准线定理有=，所以可以转化成什么？学生：的最小值转化为求的最小值.老师：现在我们来看一下具体解法.解 如图3，由题可知，p=2,所以焦点F 的坐标为（1,0），. 过A 点作准线的垂线于点Q ，又，则=，而的最小值为4， 故的最小值为4. 所以由把代入得； 因此取最小值时P 点的坐标为.（设计意图：以习题展示的方式进行复习回顾，帮助学生分析变量间的关系，列出关系式后对求最值的方法进行总结对比.） 类型2 距离的最值问题分为两类：圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值； 圆锥曲线上点到坐标轴上某定点的距离的最值. 先看第类：圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值Qx=-1FAP xy 图3例4 在圆上求一点P，使它到直线L：的距离最短.解法1 由点到直线的距离公式知圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最短距离为；老师：思考一下这道题还有没有其他解法？学生：我们可以将其转化为求两条平行线的距离.老师：这位同学回答是否正确呢？现在一起来看一下解法2.解法2 首先，设平行于L且及圆相切的直线的方程为：，然后，将其代入圆中，整理得：；因为直线及圆相切，所以方程有一个解即也即即所以圆上点到直线的最短距离[5]即为两条平行线之间的距离且当取到最小值，即.此时P点坐标为.老师：那除了上边的这两种普遍解法外，大家还能想到哪些方法？回忆之前学过知识，想想用其他方法行不行？学生：可以用参数方程求解.老师：现在我们看一下解法3.解法3 由题可知：圆的参数方程为；所以我们不妨设P点的坐标为.由点到直线的距离知其中；所以在上式中，当即，也即时，d取到最小，即；此时，即P点的坐标为.例5 求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求最值时椭圆上点的坐标.解题思路类比上题的解法2，转化为求两条平行线之间的距离最值问题,切点就是所求的点.解设及椭圆相切且及直线平行的切线方程为所以联立切线方程和椭圆方程即，然后消去y得：因为相切，所以得.所以当时，此时切线方程为，从而由两条平行线的距离公式得；此时切点坐标为，即椭圆上点的坐标为.当时，此时切线方程为，同理得；此时切点坐标为，即椭圆上点的坐标为.老师：当然，这道题是不是也可以用参数方程进行求解，我们现在有请一位同学来做一下，其他同学在下边做.同学甲：解由题可知，椭圆的参数方程为，所以设椭圆上点的坐标为；由点到直线的距离公式得：==（其中，）所以知，当=-1，即=，也即时，，此时，即椭圆上点的坐标为同理，当=1，即=0，也即时，，此时，即椭圆上点的坐标.老师：这位同学做的完全正确，但是通过比较这两种解法，大家会发现什么？学生：这道题用参数方程求最值相对简单一点.老师：下面给大家布置一个课后习题，同学们可以尝试用不同的解法求解.变式训练1 动点P在抛物线上，则点P到直线的距离最小时，P 点的坐标为（）.(设计意图：开放性的提出问题是学生的“弱点”，但在复习课的教学中，有必要给学生机会重新审视过去做过的大量问题的特征，并尝试让学生用不同的解法进行求解，使得学生对所学知识进行一个系统的归纳总结.)再看第类：圆锥曲线上点到坐标轴上某定点的距离的最值例6 求点到椭圆上点的最大距离，并求出此时椭圆上点的坐标.解题思路这道题我们可以根据椭圆方程设出满足条件的点的坐标根据两点间的距离公式转化为二次函数的最值问题求出最大值及其对应的点的坐标.解设是椭圆上任意一点，则由两点间的距离公式有又所以=.注意此时y的取值范围为.故当时，取到最大值7，进而得.另外把代入得.因此，此时椭圆上点的坐标为Q.老师：这道题还有别的解法吗？可以仿照上一类型用椭圆的参数方程求解吗？我们请一位同学做一下.同学乙：解由题可知，椭圆的参数方程为，所以我们不妨设椭圆上任意一点Q的坐标为，则由两点间的距离公式得(因为) =注意这里的所以当时，取到最大值7，进而得此时因此，此时椭圆上点的坐标为Q.老师点评：首先把所要求的最值用一个函数表示出来，然后找到函数的定义域，最后在这个定义域上求出函数的最值，这就是解答此题的思路.例7 点A、B分别是椭圆的长轴的左右端点，F为右焦点，P在椭圆上位于x轴的上方，且,若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求椭圆上点到点M的距离的最小值.解题思路：我们可以把所求距离表示为椭圆上的横坐标的函数，然后求这个函数的最小值.解由题可知，点A(-6，0),B(6，0),F(4,0)；设P(x,y)（y>0),则得,，而所以；又；联立方程、消去x得从而解得或(舍）又故将代入得；因此P点的坐标为.所以AP的直线方程为：；设M点的坐标为（m,0),则由点到直线的距离公式得：，，则由已知得 =，从而得；所以M点的坐标为（2,0）；设椭圆上到点M的距离最小的点的坐标为Q，又在椭圆上，所以就有，则由两点间的距离公式得=；因为，所以当，取到最小值，即.老师：这就是这道题的解法，大家一定要熟悉掌握，了解所求问题及已知条件的关系，或者能建立怎样的关系，然后进行适当的转化，进而解得.另外，再给大家留一个课后思考题：求点P（0，m)，使其到椭圆上的最大距离是.类型3 面积的最值问题例8 已知抛物线，以抛物线上两点A（4,4），B（1，-2）的连线为底边的三角形ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求：的最大面积以及此时点P的坐标.解题思路由题可知：动点P在弧AB上运动，所以我们要想使求得的ABP的面积最大，就是使得点P到线段AB的距离最大，所以就转化为点到直线的距离的最值问题.解因为，所以得＝；直线的方程为；我们不妨设P点的坐标为；所以要想使得ABP的面积最大，就是使得点P到线段AB的距离最大；然后由点到直线的距离公式得：=；又由已知得y的取值范围为，故由得当y=1时，d取到最大，即；此时；因此；此时点P的坐标为.老师：除了这种解法，大家还有其他想法吗？通过前边的学习我们知道求距离除了可以用点到直线的距离，还可以怎么求？同学甲：老师，还可以通过求两条平行线之间的距离进行解答.老师：是的.这道题我们同样可以先求出及线段AB所在直线平行且及抛物线相切的直线方程，进而转化为求两条平行线间的距离，从而得到的最大面积以及此时点P的坐标.现在我们一起来用这种解法求一下.解法2 由题知：直线的方程为，所以设及线段AB所在直线平行且及抛物线相切的直线L的方程为.然后联立消去x得；所以由；代入得直线L 的方程为；代入得；所以两平行线的距离为；因此；此时点P 的坐标为.例9 设椭圆中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线及椭圆交于、两点，求四边形面积的最大值.解题思路 先根据题意作草图知要想四边形面积取最大值，即让的面积达到最大，因为的距离是定值，所以我们需要使得点到直线和点到直线的距离最大，即通过方程联立把距离表示成k 的式子，进而把四边形的面积也表示成了k 的式子，最后根据基本不等式求最值. 解 设、的坐标分别为； 根据题意可知椭圆的标准方程为；直线的方程为; 直线的方程为；联立消去y 得；从而得；设点和点到直线的距离分别为，又有.所以由点到直线的距离公式有；y=BFA Exy 图4；又；所以四边形的面积为=====；当且仅当时，取等号；所以.老师：下面给同学们留一个课后练习，来进一步熟悉对此类题的解法.变式训练2 已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且,求四边形的面积的最小值.(设计意图：可以建立及斜率的关系，再由基本不等式求得取值范围，也可以从几何的角度求.同样的思想方法可以训练学生的学习能力，形成解决问题的策略.)3.2.2.2归纳解决圆锥曲线最值问题的不同方法（归纳用时15分钟）老师：通过上节课的学习，我们已经了解了常见的圆锥曲线最值问题的几个不同类型以及其解法思路，那么我们能知道在解决这些问题的时候，我们都运用了哪些知识点？是有关圆锥曲线的定义还是性质？是用几何方法还是代数方法？是通过数形结合还是单纯的数的计算？还是这些的结合体？现在我们不妨来看一下相关例题.方法一定义法参照例1、例2和例3，我们不难发现，这三道的最值问题分别涉及到双曲线、椭圆和抛物线的定义以及其相应的一些性质，然后通过画草图即结合相应的图形，将所求问题进行转化，找到最值.所谓定义法即根据圆锥曲线的定义或性质，得到一个关系式，然后适当借助草图，通过代数或几何的方法把所求的最值转化为平面上两点间的距离、点到直线的距离等，使题目中的数量关系更直观、更简洁.这是求圆锥曲线最值问题的基本办法.值得注意的是，使用此方法的关键是用好圆锥曲线的定义.方法二切线法参照例4和例5，我们可以看出，当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，我们往往可以通过作及这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两条平行线之间的距离就是所求的最值，而切点就是曲线上取得最值的点，这样们就将所求问题进行了转化.当然，如果圆锥曲线是圆时，我们便可以之间利用圆的特殊性的性质，直接求解.所谓切线法即当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，通过作及这条直线平行的圆锥曲线的切线，然后利用二次函数的判别式法，将所求距离最值转化为求两条平行线间的距离问题，所求最值点为切点.值得注意的是，使用此方法的关键是将切线方程及已知圆锥曲线联立.方法三基本不等式法参照例9，我们发现这个题是先用k表示，所以就把四边形的面积也表示成了k的式子，最后根据基本不等式求最值.所谓基本不等式法即先将所求最值的量用一个变量表示出来，然后利用基本不等式求这个表达式的最值，即利用“等号成立”的条件求解.这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法.值得注意的是，使用此方法的关键是列出最值关系式.方法四函数法参照例6、例7、例8、变式训练2和例4、例5，我们发现这几道题中再求最值问题时都最后涉及到化为一个二次函数或三角函数，然后转化为在某个范围内求这个二次函数或三角函数的最值问题.所谓函数法即把所求最值得目标表示为关于某个变量的函数（二次函数或三角函数），然后通过研究这个函数，即利用配方法求得最值.这个方法是求各类最值最为广泛的方法.值得注意的是，使用此方法的关键是建立函数关系式.方法五参数法参照例4解法3、例5同学甲的解法和例6的另解，我们不难发现，这两道题都运用了圆锥曲线的参数方程，把所求点用其对应的参数方程表示出来，进而转化为某个范围内三角函数最值问题.所谓参数法即利用圆、椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，最后通过求三角函数的最值来求解.相比一般通法，这类方法更加简单.值得注意的是，使用此方法的关键是写出圆锥曲线的参数方程.3.2.3巩固检测（本环节用时3分钟）老师：下面请同学们做一个随堂训练已知双曲线C：，P为C上任意一点，点A（3,0），则|PA|的最小值为（）.同学们：设，又P满足，所以由两点间的距离公式得=.所以当时，取到最小值，即.答案：.老师：同学们答的完全正确，当然，解决这道题同样可以用双曲线的参数方程，把双曲线上任意一点的坐标设为，然后用两点间的距离公式，进而转化为二次函数的最值问题.有兴趣的同学可以课后自己下去解一下，这里老师就不再赘述.下面我们再看一个例题：3.2.4课后小结（本环节用时2分钟）圆锥曲线最值问题的解法有很多，但是常见的有五种，就是我们这一讲的五种：⑴定义法⑵切线法⑶基本不等式法⑷函数法⑸参数法；对于这五种方法大家一定要熟悉掌握.由于有些题目可以用多种办法解答，所以大家在遇到此类题目时，一定要选择一个最佳方法进行求解.譬如例5和例6，显然用参数法比切线法和函数法简单，所以在解答此类型题目时我们可以优先选择参数法.解析几何是一种研究“形”的科学，所以在解决圆锥曲线的最值问题时，一定要善于结合图形，根据草图知道何时取最大值，何时取最小值，即通过数形结合把抽象的问题、繁杂的问题化归为动态的形的问题，从而使问题得到解决.当涉及到焦点、准线、离心率的问题时，一定要灵活的利用圆锥曲线的定义或焦半径去解决.因此对一些基本的概念、性质一定要充分理解.3.2.5板书设计圆锥曲线最值问题常见类型及解法1.圆锥曲线的最值问题的几种常见类型：(1)两条线段的最值问题；(2)距离的最值问题：圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值；圆锥曲线上点到坐标轴上某定点的距离的最值.(3)面积的最值问题.2.归纳解决圆锥曲线最值问题的不同方法:⑴定义法⑵切线法⑶基本不等式法⑷函数法⑸参数法3.3教学反思优点：通过本节课的学习，我们学到的是在解答不同题型之后，在教师的引导下学生能够进行自主反思，对不同的题型能够找到相应相对简单的方法，使得学生的解题技能提升为策略，并内化为自身的能力.另外也培养了学生分析问题和解决问题，在向学生渗透数形结合、问题转化的思想的同时让他们进一步体会到“解析法”的思想，会从代数和几何两个角度分析圆锥曲线最终问题，进而选择几个最优的思路来进行求解，从而把复杂的问题简单化.不足：部分例题的讲解不够细化，使得基础较差的学生不容易接受，所以有必要在新课导入中尽量能包含本节课会涉及的一些知识点的复习，从而达到这堂课的教学目的.4.总结希望通过本次的教学设计使得同学们在面对综合性较强的一些问题时不要“望而却步”，而是能够将其一步步“解剖”，最后转化为用一些基础知识进行求解.在“解剖”的过程中要对不同题型进行分类讨论，从而归纳出不同的解法.对其中涉及的数形结合、化归、类比和联系的方法有进一步的理解，通过不断的探究讨论互动，设计出合适的教学设计来满足不同基础的学生，调动学生学习的积极性，从而取得一个好成绩.。
圆锥曲线中的最值问题教案
圆锥曲线中的最值问题教学目标：通过本节课使学生能掌握一些解决圆锥曲线中的最值问题的基本方法；教学重点：1.利用参数求范围、最值问题； 2. 利用数形结合求解范围、最值问题； 3. 利用判别式求出范围；4. 利用圆锥曲线的定义求范围、最值问题； 教学难点：如何从圆锥曲线中的最值问题转化为代数法和几何法来解决。
教学过程： 一、例题讲解解法一：（换 元 法）设x=4cos θ，y=3sin θ; 3x+4y = 12cos θ+ 12sin θ= sin(θ+45o ) 所以3+4的最大值为，最小值为－。
212212212._____________431916.122最小值是，的最大值是则满足，设实数例y x y x y x +=+解法二：（判别式法）由消去y 得，18x2 — 6tx + t2 —144=0由Δ=0，解得t=±利用几何意义：看成PQ 的斜率212(][)+∞⋃∞-∈,,21k k kx如何求其范围呢？换成若将3443.2--+x y y x 3x+4y =t9x 2+16y 2= 144 1k变题：解法一：设P(4cos θ，3sin θ)是椭圆上任意一点，P 点到直线AB ：3x+4y — 12=0的距离 d 则 D点和C 点到AB 的最大距离分别为 ， ；则S max =0.5×5×( + )= 。
解法二：两切线 3x+4y+ = 0， 3 x + 4 y —= 0212212212.________191622面积的最大值是两侧，则四边形且分别在是椭圆上两点，、的两个顶点，是椭圆、如图，已知ABCD AB D C y x B A =+512)4sin(212512sin 12cos 12-+=-+=πθθθd 512212+512212-512212+512212-与直线3x+4y —12=0的距离分别为： ， 。
则S max =0.5×5×(+ )=例2：P 为抛物线x 2=4y 上的一动点，定点A(8,7), 则P 到x 轴与到A 点的距离之和的最小值？ 解：数形结合法∵∣PF| = |PQ|∴ d = |PA | + |PF |— 1 ≥ | AF | — 1 =9212yxOF AP512212+512212-512212+512212-变题：解：（1）根据椭圆的第二定义= |PB |+ | PQ| ≥|BQ 1 | =6.25—2 =4.25.__________||||_________;||45||).1,2(192522=+=+=+的最小值的最小值则是其上一点，定点的右焦点，是PF PB PF PB B P y x F |PF |=e |PQ |，e=54（2）| PB|+ | PF|=PB |+（2a －|PF 1|) =10+(| PB| －|PF 1|) ≥10－|F1B|例3：已知e 1，e 2是共轭双曲线x 2/a 2－y2/b 2=±1 的离心率，求e 1+ e 2的最小值？ 解：e 1=c/a,e 2=c/b,c 2=a 2+b 2 e 1+e 2=c/a+c/b=c(a+b)/(ab) =(a+b)√(a 2+b 2)/(ab) ≥2√(ab)·√(2ab)/(ab) =2√2所以最小值为2√2,当且仅当a=b 时可以取到。
高中数学《圆锥曲线-复习课》课堂实录
圆锥曲线复习课（一）课堂实录一、创设情境、引入课题1．圆锥曲线的实际背景.[师]我们知道用平面截圆锥，通过改变平面与圆锥轴线的夹角，可得到不同的截口曲线.如用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是什么？[生] 圆[师] 改变平面与圆锥轴线的夹角，截口曲线又是什么？（播放动画）[生]椭圆、双曲线、抛物线[师]用不同的平面去截圆锥，可得到的截口曲线分别是：圆、椭圆、双曲线、抛物线，我们把它们统称为圆锥曲线.圆锥曲线与科研、生产及人类生活有着紧密的关系，它在刻画现实世界和解决实际问题中有重要作用.2．圆锥曲线在高考中的地位[师]在近几年的高考中圆锥曲线试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题，分值约为30分左右， 占总分值的20%，是高考重点考查内容.今天我们就一起来复习这部分的内容.（板书课题）3．展示本章知识框架.［师]首先我们来看看本章的知识框架（出示幻灯片5）本章我们学习了三大圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质，本节课我们重点复习三大圆锥曲线的定义.二、复习建构[师]请同学们快速完成问题1并通过问题1回顾三大圆锥曲线的定义.（出示幻灯片7）问题1[生]第（1）小问的轨迹是椭圆，第（2）小问的轨迹是双曲线，第（3）小问的轨迹是抛物线.[师]很好！请说明理由.[生] 根据三大圆锥曲线的定义而得到的.[师]若将第（1）小问的6改为4，第（2）小问的2改为4，它们的轨迹又是什么？（出示幻灯片8、9）[生]线段和射线（学生回顾归纳，教师补充特殊情况）（出示幻灯片10）1、P 为动点，F 1、F 2为定点,L 为定直线椭圆:| PF 1 |+ | PF 2 |=2a(2a>|F 1F 2| )当2a=|F 1F 2|时,轨迹是线段F 1F 2双曲线: | | PF 1 |-| PF 2 | | =2a(2a<|F 1F 2| )当2a=|F 1F 2|时,轨迹是两条射线;212122(2,0),(2,0)6,2,2F F P PF PF P PF PF P PF P x P -+===-1已知：，为平面内一动点（1）若则的轨迹是?（2）若－则的轨迹是?（3）若等于点到直线的距离,则的轨迹是?抛物线：| PF2 |＝d(P到定直线L的距离）F2不在L上当F2在L上时,轨迹是直线三、探索研究、归纳猜想[师]通过对问题１的交流及对定义的回顾，椭圆、双曲线的定义是用动点与两定点的距离的和（或差）的形式给出的，而抛物线的定义则用动点与定直线距离的比的形式给出的，椭圆和双曲线的定义能否也用动点与定直线距离的比的形式给出呢？[生]可以、不可以（大部分同学说可以，少部分同学说不可以）[师]好，到底可不可以呢？请同学们完成问题2（出示幻灯片11）问题2：点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹.（46P例6）[师]请罗婷给大家展示一下.[生][师] 罗婷讲得很有条理，请你告诉大家你求的椭圆方程中的?,?,?a b c=== [生]5,3,4a b c===[师]大家观察这个定点(4,0)F恰好是什么？定直线是什么？常数45又是什么？[生]焦点、准线、离心率[师]现在把这个常数45换成54，改变相应的定点和定直线，动点的轨迹又是什么？[生]双曲线[师]好，请大家快速的检证一下，完成变式（出示幻灯片13）（学生快速检证，果然是双曲线）变式：点(,)M x y与定点(5,0)F的距离和它到直线16:5l x=的距离的比是常数54，求点M的轨迹.（59P例5）22224,545925225125910M lMFdx yx yM→==+=+=∴解：由题意知：即将上式两边平方化简得：即是长轴为，短轴为6的椭圆[师] 对比问题2和变式，你有什么发现？（出示幻灯片15）[生] 椭圆和双曲线的定义也能用动点与定直线距离的比的形式给出.[师]请大家结合这两个特殊问题以及抛物线的定义猜想一般圆锥曲线的另外一种定义.（学生归纳，教师补充）（出示幻灯片16、教师板书） 归纳猜想2．M 为动点，F 为定点，l 为定直线()M l MFe F l d →=∉（1） 0<e<1轨迹为椭圆；（2） e=1轨迹为抛物线；（3） e>1轨迹为双曲线[师]三大圆锥曲线还有其它的生成方式吗？请同学们完成问题3（出示幻灯片17）问题3：设点A ，B 的坐标分别是(5,0),(5,0)-.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹的方程.（41P 例3） [师]请宋阳给大家展示一下.[生][师] 宋阳同学讲得很好，很有条理，大家有没有补充的？[生]因为两直线的斜率存在，所以5x ≠±[师]很好，若将问题3中的“49-”改为“59-或69-”，动点的轨迹又是什么？ [生]依然是椭圆[师] 很好，若将问题3中的的“49-”改为“49”；或将“斜率之积” 改为“斜率的差”动点的轨迹又是什么？请大家完成变式一、二（出示幻灯片18）变式一：点A ，B 的坐标分别是(5,0),(5,0)-.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程.（55P 探究） 变式二：点A ，B 的坐标分别是(1,0),(1,0)-.直线AM ，BM 相交于点M ，且直2244,95591100259AM BM y y k k x x x y =-=-+-+=解:设点M 的坐标为(x,y),由题意知即化简,得点M 的轨迹方程为线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，求点M 的轨迹方程.（74P B 组第3题）[师]请周月同学给大家展示一下[生] 变式一 变式二[师] 周月同学讲得非常清晰，同时也考虑了5x ≠±，1x ≠±的情况，很不错.[师]对比问题3和变式，你有什么发现？（出示幻灯片19）[生]当动点与两定点所确定的直线的斜率之积为负数时，动点的轨迹是椭圆，为正数时，轨迹是双曲线，当动点与两定点所确定的直线的斜率之差为常数时，动点的轨迹是抛物线.（学生自主归纳，教师补充）归纳猜想（出示幻灯片20、教师板书）3．M 为动点，A 、B 为定点若(0,1)AM BM k k a a a ⋅=<≠-且，轨迹是椭圆若(0)AM BM k k a a ⋅=>，轨迹是双曲线若(0)AM BM k k a a -=≠，轨迹是抛物线思考：若AM BM k k a ÷=轨迹是什么？若AM BM k k a +=轨迹是什么？（出示幻灯片21）四、反思小结、优化认知1．本节课你有哪些收获？2．圆锥曲线的生成方式是否是唯一的，还可以用什么来刻画圆锥曲线？3．本节课我们用到了哪些数学思想和方法？[师] 本节课我们练习的题目，全部来自教材中的例题和习题，通过对它们的研究和对比，我们又对圆椎曲线的定义进行了再认识，我们发现生成圆椎曲线的方式并不是唯一的，可用动点和两定点距离的差与和的形式给出，也可用动点和两定点所确定直线斜率的形式呈现，也可以用动点和定点及定直线距离的比值给出，课后希望大家阅读教材相关内容，加强对圆锥曲线的认识.五、作业回馈，落实目标（出示幻灯片22）2244,(5)95591(5)100259AM BM y y k k x x x x y x ==≠±+--=≠±解:设点M 的坐标为(x,y),由题意知即化简,得点M 的轨迹方程为22,2(1)111(1)AM BM y y k k x x x y x x -=-=≠±+-=-+≠±解:设点M 的坐标为(x,y),由题意知即化简,得点M 的轨迹方程为1.阅读教材，回归定义.（1）阅读教材5051P ，“用几何画板探究点的轨迹：椭圆”（2）阅读教材76P ，“圆锥曲线的离心率与统一方程” 2.80P A 组第10题，B 组第5题，62P B 组第3题 42P 第4题。
高一数学《圆锥曲线中的最值问题》教案
高一数学《圆锥曲线中的最值问题》教案生的做，让学生对此类问题及其解法有切身的感受与体验注重学生在
解题后的反思活动，通过相互的交流和表达，对解决的策略进行反思提炼，并作进一步的明确，是使策略性知识内化的重要过程预设：解决圆锥曲线
中的最值问题主要有两种策略：一是几何方法：根据图形的特点，借助圆
锥曲线的定义及几何图形的一些性质，进行直接判断二是代数方法：核心
是函数思想，具体步骤：设参变量，找关系，建立目标函数，求函数的最
值一般地，当条中几何关系比较明显时，可借助几何直观，否则选用代数
的方法（二）了解策略——简单应用——形成基本技能你能否用前面所总
结的解题策略解决下列问题：问题二练一练（1）点P是抛物线：上的动点,F是抛物线的焦点，(2,4),则的最小值为（2）若P，Q分别椭圆与圆
上的两个动点，则的最小值和最大值分别为，设计意图：题(1)是动点到
两定点的距离的最值问题，由于涉及到抛物线上的点到焦点的距离问题，
可以利用抛物线的定义转化为点P到准线的距离,从而利用平面几何中点
到直线的所有距离中垂线段最短的结论得到问题结果解决此类问题，要求
学生有结合曲线的几何性质进行转化与化归的能力题(2)对象涉及椭圆与圆，目标是动点到动点的距离最值问题，与问题一相比在结构上有较大差异；设计成填空题的形式可以引导学生优先选择图形直观解决问题，同时
强调推导需要理性，本题先借助“形”的结构特点，得到，从而将问题转
化为求椭圆上动点P到定点(0,3)的距离的最值问题，进而从代数的角度，设点的坐标，建立目标函数进行求解实际教学中学生易凭直觉判断，需要
进行适当的变式如“压扁椭圆”使学生直观地感。
(新课标)高考数学专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题学案理新人教A版
第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题最值问题函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等．(2019·安徽宣城二模)已知椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于－1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D .(1)证明：直线BD 的斜率为定值； (2)求△ABD 面积的最大值．【解】 (1)证明：设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A (－x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2，因为k AB ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，所以k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12，故直线BD 的斜率为定值12.(2)连接OB ，因为A ，D 关于原点对称， 所以S △ABD ＝2S △OBD ，由(1)可知BD 的斜率k ＝12，设BD 的方程为y ＝12x ＋t ，因为D 在第三象限，所以－2<t <1且t ≠0，O 到BD 的距离d ＝|t |1＋14＝2|t |5， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得3x 2＋4tx ＋4t 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－4t 3，x 1x 2＝4(t 2－2)3，所以S △ABD ＝2S △OBD ＝2×12×|BD |×d＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·2|t |5＝|t |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|t |·96－32t 23＝423·t 2(3－t 2)≤2 2. 所以当且仅当t ＝－62时，S △ABD 取得最大值2 2.最值问题的2种基本解法(2019·广州市综合检测(一))已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y ＝32x与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2，椭圆C 的另一个焦点是F 1，且MF 1→·MF 2→＝94.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过点(－1，0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△F 2PQ 的内切圆面积的最大值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为点M 在直线y ＝32x 上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2(c ，0)，所以点M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2.因为MF 1→·MF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－32c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32c ＝94，所以c ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1a 2＝b 2＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，F 1(－1，0)，过点F 1(－1，0)的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，则△F 2PQ 的周长为4a ＝8，又S △F 2PQ ＝12·4a ·r (r 为△F 2PQ 的内切圆半径)，所以当△F 2PQ 的面积最大时，其内切圆面积最大． 设直线l 的方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 23＝1，消去x 得(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k3k 2＋4y 1y 2＝－93k 2＋4，所以S △F 2PQ ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4. 令k 2＋1＝t ，则t ≥1，所以S △F 2PQ ＝123t ＋1t，令f (t )＝3t ＋1t，则f ′(t )＝3－1t2，当t ∈[1，＋∞)时，f ′(t )>0，f (t )＝3t ＋1t在[1，＋∞)上单调递增，所以S △F 2PQ ＝123t ＋1t≤3，当t ＝1时取等号，即当k ＝0时，△F 2PQ 的面积取得最大值3， 结合S △F 2PQ 12·4a ·r ，得r 的最大值为34，所以△F 2PQ 的内切圆面积的最大值为916π.范围问题1．几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．中点为M ，证明：PM 垂直于是半椭圆x 2＋y 24＝1(x PAB 面积的取值范围式，然后利用求解不等式、基本不等式、函数值域(导数与不等式、导数与方程)等方法求出范围，要特别注意变量的取值范围．[典型例题](2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|且cos ∠F 1PF 2＝35.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围．【解】 (1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则3r 1＝5r 2，又r 1＋r 2＝2a ，所以r 1＝54a ，r 2＝34a .在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2－222×54a ×34a ＝35， 解得a ＝2，因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，且Δ＝48(3＋4k 2－m 2)＞0，①设AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM ，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k2， 因为|AQ |＝|BQ |，所以AB ⊥QM ，又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，M 为AB 的中点，所以k ≠0，直线QM 的斜率存在，所以k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km 3＋4k 2－14＝－1，解得m ＝－3＋4k24k，②把②代入①得3＋4k 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋4k 24k 2，整理得16k 4＋8k 2－3＞0，即(4k 2－1)(4k 2＋3)＞0，解得k ＞12或k ＜－12，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.求解范围问题的常见方法(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用基本不等式求出参数的取值范围．(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围．在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围．[对点训练](2019·洛阳模拟)已知A ，B 是x 轴正半轴上两点(A 在B 的左侧)，且|AB |＝a (a >0)，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与抛物线y 2＝2px (p >0)在第一象限分别交于D ，C 两点．(1)若a ＝p ，点A 与抛物线y 2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；(2)若O 为坐标原点，记△OCD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．解：(1)由题意知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋a ，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋a ，p 2＋2pa ， 又a ＝p ，所以k CD ＝3p －p3p 2－p 2＝3－1. (2)设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y 2＝2px ，得ky 2－2py ＋2pb ＝0， 所以Δ＝4p 2－8pkb >0，得kb <p2，又y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝2pb k ，由y 1＋y 2＝2p k >0，y 1y 2＝2pb k>0，可知k >0，b >0，因为|CD |＝1＋k2|x 1－x 2|＝a 1＋k 2，点O 到直线CD 的距离d ＝|b |1＋k2，所以S 1＝12·a 1＋k 2·|b |1＋k 2＝12ab . 又S 2＝12(y 1＋y 2)·|x 1－x 2|＝12·2p k ·a ＝apk ，所以S 1S 2＝kb2p， 因为0<kb <p2，所以0<S 1S 2<14.证明问题代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等．证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明．(2019·福州市第一学期抽测)已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，O为坐标原点，直线l ：xa 2－3y2b 2＝1的斜率与直线OA 的斜率乘积为－14. (1)求椭圆C 的方程； (2)不经过点A 的直线y ＝32x ＋t (t ≠0且t ∈R )与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R (与点A 不重合)，直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，求证：|AM |＝|AN |.【解】 (1)由题意知，k OA ·k l ＝－32·2b 23a 2＝－b 2a 2＝－14， 即a 2＝4b 2，① 又1a 2＋34b2＝1，② 所以联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则R (－x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋tx 24＋y 2＝1，得x 2＋3tx ＋t 2－1＝0， 所以Δ＝4－t 2>0，即－2<t <2， 又t ≠0，所以t ∈(－2，0)∪(0，2)，x 1＋x 2＝－3t ，x 1·x 2＝t 2－1.法一：要证明|AM |＝|AN |，可转化为证明直线AQ ，AR 的斜率互为相反数， 即证明k AQ ＋k AR ＝0.由题意知，k AQ ＋k AR ＝y 2＋32x 2－1＋y 1－32x 1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋32(x 1＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫y 1－32(x 2－1)(x 1＋1)(x 2－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋t ＋32(x 1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋t －32(x 2－1)(x 1＋1)(x 2－1)＝3x 1x 2＋t (x 1＋x 2)＋3(x 1＋1)(x 2－1)＝3(t 2－1)＋t (－3t )＋3(x 1＋1)(x 2－1)＝0，所以|AM |＝|AN |.法二：要证明|AM |＝|AN |，可转化为证明直线AQ ，AR 与y 轴的交点M ，N 连线的中点S 的纵坐标为－32，即AS 垂直平分MN 即可． 直线AQ 与AR 的方程分别为l AQ ：y ＋32＝y 2＋32x 2－1(x －1)，l AR ：y ＋32＝－y 1＋32－x 1－1(x －1)，分别令x ＝0，得y M ＝－y 2－32x 2－1－32，y N ＝－y 1＋32x 1＋1－32，所以y M ＋y N ＝－y 2－32x 2－1＋－y 1＋32x 1＋1－ 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 1－t ＋32(x 2－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2－t －32(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2－1)－ 3＝－3x 1x 2－t (x 1＋x 2)－3(x 1＋1)(x 2－1)－ 3＝－3(t 2－1)－t (－3t )－3(x 1＋1)(x 2－1)－ 3＝－3，y S ＝y M ＋y N 2＝－32，即AS 垂直平分MN .所以|AM |＝|AN |.几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[对点训练](2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过定点P (2，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：∠PFM ＝∠PFB .解：(1)依题意可设圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2， 因为圆O 与直线x －y ＋2＝0相切，所以b ＝|2|12＋12＝1，所以a 2－c 2＝1，又ca ＝22，所以a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：依题意可知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， 因为l 与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即2k 2－1<0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.因为F (1，0)，所以k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1－2)x 1－1＋k (x 2－2)x 2－1＝2k －k ⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －k ×x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝2k －k ×8k21＋2k 2－28k 2－21＋2k 2－8k 21＋2k 2＋1＝2k －k ×4k 2－22k 2－1＝0， 即∠PFM ＝∠PFB.1．已知F 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N 两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝3，所以c ＝ a 2－b 2＝1， 所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)， 设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )， 则x 2M 4＋y 2M3＝1， 所以|MF |2＝(x M －1)2＋y 2M ＝(x M －1)2＋3－34x 2M＝14x 2M －2x M ＋4＝14(x M －4)2， 又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9， 所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )， 设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1(x －x P )，消去y ，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0，由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝8k 1(k 1x P －y P )3＋4k 21， 所以x M ＝8k 1(k 1x P －y P )3＋4k 21－x P ＝4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21， 同理可得x N ＋x P ＝8k 2(k 2x P －y P )3＋4k 22， 又k 1·k 2＝－34，故x N ＋x P ＝8k 2(k 2x P －y P )3＋4k 22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P4k 21＋3， 则x N ＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3－x P ＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21＝－x M ， 从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数．2．(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF 1F 2的周长为4＋23，且面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设B 是椭圆上一动点，线段AB 的中点为P ，OA ，OB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－14，求|OP |的取值范围．解：(1)由椭圆的定义及△AF 1F 2的周长为4＋23，可得2(a ＋c )＝4＋23，所以a ＋c ＝2＋3①.当A 在上(或下)顶点时，△AF 1F 2的面积取得最大值，即bc ＝3②， 由①②及a 2＝c 2＋b 2，得a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，k 1＝－k 2，因为k 1k 2＝－14，所以k 1＝±12，不妨取k 1＝12，则直线OA 的方程为y ＝12x ，不妨取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22，P (2，0)，所以|OP |＝ 2. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋4y 2＝4可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2＋1－m 2)>0①，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为k 1k 2＝－14，所以4y 1y 2＋x 1x 2＝0，所以4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋x 1x 2＝(4k 2＋1)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4m 2－4－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0，化简得2m 2＝1＋4k 2(满足①式)，所以m 2≥12.设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2＝－2k m ，y 0＝kx 0＋m ＝12m. 所以|OP |2＝x 20＋y 20＝4k2m2＋14m 2＝2－34m 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2，所以|OP |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2. 综上，|OP |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2. 3．(2019·长春模拟)已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，点(－2，1)在椭圆D 上．(1)求椭圆D 的方程；(2)过椭圆D 内一点P (0，t )的直线l 的斜率为k ，且与椭圆D 交于M ，N 两点，设直线OM ，ON (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk ，求实数λ的取值范围．解：(1)椭圆D 的离心率e ＝a 2－b 2a ＝22，所以a ＝2b ，又点(－2，1)在椭圆D 上，所以2a 2＋1b 2＝1，得a ＝2，b ＝2，所以椭圆D 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意得，直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝kx ＋t，消元可得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2t 2－4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2t 2－42k 2＋1，k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝kx 1＋t x 1＋kx 2＋t x 2＝2k ＋t (x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋t ·－4kt 2k 2＋1·2k 2＋12t 2－4＝－4kt 2－2.由k 1＋k 2＝λk ，得－4kt 2－2＝λk ，因为此等式对任意的k 都成立，所以－4t 2－2＝λ， 即t 2＝2－4λ.因为点P (0，t )在椭圆内，所以0≤t 2<2， 即0≤2－4λ<2，解得λ≥2.所以实数λ的取值范围是[2，＋∞)．4．(2019·重庆七校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.不经过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 的面积取最大值时，直线l 的方程．解：(1)依题意知，e ＝c a ＝12，左焦点(－c ，0)到点P (2，1)的距离d 0＝(2＋c )2＋12＝10， 得a 2＝4，c 2＝1，所以b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)易得直线OP 的方程为y ＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点R (x 0，y 0)(y 0≠0)，其中y 0＝12x 0.因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 224－x 214＋y 223－y 213＝0，即(x 2－x 1)·2x 04＋(y 2－y 1)·2y 03＝0，故k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－34·x 0y 0＝－32. 由题意可设直线l 的方程为y ＝－32x ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1中，消去y 并整理得3x2－3mx ＋m 2－3＝0，由Δ＝(3m )2－4×3(m 2－3)＝3(12－m 2)>0，得－23<m <23且m ≠0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33，所以|AB |＝1＋94|x 1－x 2| ＝132(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝39612－m 2.又点P (2，1)到直线l 的距离d ＝|8－2m |13＝2|4－m |13，所以△ABP 的面积S △ABP ＝12·|AB |·d ＝36(4－m )2(12－m 2)，其中－23<m <23且m ≠0.令f (m )＝(4－m )2(12－m 2)(－23<m <23且m ≠0)，则f ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)， 令f ′(m )＝0，得m ＝1－7(4和1＋7不满足－23<m <23且m ≠0，舍去)， 当m ∈(－23，1－7)时，f ′(m )>0，当m ∈(1－7，23)且m ≠0时，f ′(m )<0，所以当m ＝1－7时，S △ABP 取得最大值，此时直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.。
圆锥曲线—最值、范围问题-高考数学复习
第八章 平面解析几何
高考一轮总复习 • 数学
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2．(2023·广东佛山市二模)双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左顶点 为 A，焦距为 4，过右焦点 F 作垂直于实轴的直线交 C 于 B、D 两点， 且△ABD 是直角三角形．
(1)求双曲线 C 的方程； (2)M、N 是 C 右支上的两动点，设直线 AM、AN 的斜率分别为 k1、 k2，若 k1k2＝－2，求点 A 到直线 MN 的距离 d 的取值范围．
第八章 平面解析几何
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圆锥曲线最值问题答题模板.
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第八章 平面解析几何
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【变式训练】 (2024·湖南三湘创新发展联合体联考)在直角坐标系xOy中，动点P到 直线x＝4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线
C．
(1)求曲线C的方程； (2)直线l：x＝my－1与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大 值．
则 y1＋y2＝－3m6m2－n 1，y1y2＝33mn22－－11(*)
第八章 平面解析几何
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由 k1k2＝－2，得 y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， 即 y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， 整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 将(*)式代入得 3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝ 0. 化简可消去所有的含 m 项，解得 n＝5 或 n＝－1(舍去)． 则直线 MN 的方程为 x－my－5＝0，则 d＝ m62＋1，
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中最值问题的解法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆中最值问题2. 双曲线中最值问题3. 抛物线中最值问题5. 圆锥曲线中最值问题的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 通过案例分析，让学生了解圆锥曲线中最值问题在实际中的应用。
3. 利用数形结合思想，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾圆锥曲线的定义及性质，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。
2. 讲解：（1）椭圆中最值问题：分析椭圆的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（2）双曲线中最值问题：分析双曲线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（3）抛物线中最值问题：分析抛物线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
4. 练习：布置课后作业，让学生巩固圆锥曲线中最值问题的解法。
5. 拓展：介绍圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子，激发学生兴趣。
六、课后作业：1. 复习圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 完成课后练习题。
3. 探索圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对圆锥曲线中最值问题的掌握程度。
3. 实践应用：评估学生在实际问题中运用圆锥曲线中最值问题的能力。
八、教学资源：1. 教材、教辅资料。
2. 圆锥曲线的图形软件。
3. 实际问题案例。
九、教学进度安排：1. 第一课时：导入及椭圆中最值问题讲解。
2. 第二课时：双曲线中最值问题讲解。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 让学生掌握圆锥曲线中的最值问题的解法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生对圆锥曲线的理解和运用能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 圆锥曲线中最值问题的解法。
3. 圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 采用案例分析法，分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的定义和性质，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。
2. 讲解：讲解圆锥曲线中最值问题的解法，结合实例进行讲解。
3. 案例分析：分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用，引导学生学会将理论应用于实际问题。
4. 小组讨论：让学生分组讨论圆锥曲线中最值问题的解法和应用，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调圆锥曲线中最值问题的关键点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 课后反思：教师对课堂教学进行反思，总结经验教训，为下一节课的教学做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对圆锥曲线中最值问题的理解程度和解题能力。
2. 评价方法：通过课堂提问、作业批改和课后讨论等方式进行评价。
3. 评价指标：学生对圆锥曲线中最值问题的定义、性质和解法的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
七、教学拓展1. 圆锥曲线中最值问题与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。
2. 圆锥曲线中最值问题在实际生活中的应用，如优化问题、物理学中的运动问题等。
3. 引导学生探索圆锥曲线中最值问题的深入研究，如求解更一般性的问题。
八、教学资源1. 教材：圆锥曲线的相关教材和辅导书。
圆锥曲线中的最值问题,复习课用教案
圆锥曲线中的最值问题1、已知点(1,3),(5,2)M N -,在x 轴上取一点P ,使得PM PN -最大,则点P 的坐标______2、已知点A ，双曲线2214y x -=的右焦点F ，P 为双曲线右支上任一点，则PA PF +最小值为变式：已知点)4,3(A ，F 是抛物线x y 82=的焦点，M 是抛物线上的动点，当MF MA +最小时，M 点坐标是 ．3、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在双曲线的右支上，且||4||21PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为4、 若P ，Q 分别抛物线C ：与圆上的两个动点，则PQ的最小值为例题1已知椭圆),1(1222>=+a y ax 直线l 过点)0,(a A -和点)0)(,(>t ta a B 交椭圆于M ，直线MO 交椭圆于N 。
（1）t a ,表示AMN ∆的面积S ；（2）若a t ),2,1[∈为定值，求S 的最大值变式：已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线 l 有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．例题2如图，已知椭圆C ：2213620x y +=的左顶点，右焦点分别为A 、F ，右准线为l ，N 为l 上一点，且在x 轴上方，AN 与椭圆交于点M ．(1)若AM=MN ，求证：AM ⊥MF ；(2)过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，求PQ 的最小值．作业：1、抛物线y 2=2x 上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为__________2、已知双曲线12222=-by a x 的左右两焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且215PF PF =，则此双曲线的离心率e 的取值范围为 ．3、若P ，Q 分别是两条曲线上的任意两点，则称长度的最小值为这两曲线之间的距离.给定直线062:=++y x l 与椭圆13422=+y x ，则直线与椭圆之间的距离为4、若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上存在一点M ，使021=⋅M F M F ,其中1F 、2F 为椭圆的左、右两焦点，求椭圆的离心率的取值范围．变式：已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点， 6021=∠PF F ．求椭圆离心率的范围；5、设椭圆中心在坐标原点，)0,2(A ，)1,0(B 是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于F E 、两点（1）若6=，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值．6、已知P 点在圆x 2+(y -2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。
高中数学《圆锥曲线中的最值问题》教学设计 精品
《圆锥曲线中的最值问题》教学设计一、内容与内容解析圆锥曲线的单元复习的基础内容包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系,在掌握以上一些陈述性知识和程序性知识的基础上，再学习圆锥曲线的一些综合应用.在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点关注变化中不变的量或关系，以及变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的定点、定值问题，圆锥曲线的中的参数取值范围问题，圆锥曲线中的最值问题等.圆锥曲线的最值问题是本单元复习综合性较强的内容.重点研究变化的距离、弦长、角度、面积、斜率、定比等几何量的最值及相关问题.本课重点是借助对常见的距离问题等的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.解决圆锥曲线的最值问题，不仅要用到圆锥曲线定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.几何方法主要结合图形的几何特征，借助圆锥曲线的定义以及平面几何知识作直接论证及判断;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,通过设动点坐标或动直线的方程，将目标表示为变量的函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.二、教学问题诊断圆锥曲线的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用圆锥曲线、平面几何、代数等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力.在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。
江苏省泰州市第二中学高三数学复习学案：圆锥曲线中的最值问题 无答案
圆锥曲线中的最值问题【教学目标】1。
进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解圆锥曲线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法；2。
进一步体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择;【教学重难点】重点：利用几何法和代数法解决圆锥曲线的最值问题难点：选择合理的方法解决圆锥曲线的最值问题【教学过程】(一）自主学习1．设AB 是过椭圆1162522=+y x 中心的弦，椭圆的左焦点为F 1 ，则△F 1AB 的面积最大值为_____2.在抛物线22x y = 上有一点P ，它到A （1，3）的距离与它到焦点F 的距离之和最小，则点P 的坐标是________.3。
焦点在x 轴上的椭圆14222=+b y x 的离心率e ＝21，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点,P 是椭圆上任意一点，则PA PF • 的最大值和最小值分别为______4. 已知椭圆)2014222<<=+b b y x （与y 轴交于A,B 两点,点F 为椭圆的一个焦点，则三角形ABF 面积的最大值为_______（二）合作探究例1。
已知椭圆13422=+y x 内一点P(1，-1），F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上一点，则MP+2MF 的最小值为_______,MP+MF 的最大值、最小值分别为_______例2.如图，已知直线2:-=kx y l 与抛物线C ：)0(22>-=p py x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB ＝（－4，－12）。
(1)求直线的方程和抛物线C 的方程；(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值。
(三）随堂巩固1. 已知双曲线1322=-y x ，F 为右焦点，M 为其右支上一动点，又点A(3，1) ， 则MF MA 23+的最小值为_______ ，MF MA +的最小值为_______ 2。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线中的最值问题的概念和意义。
2. 掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
3. 能够运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和分类。
2. 圆锥曲线中最值问题的解决方法和技巧。
3. 圆锥曲线中最值的性质和定理。
4. 圆锥曲线中最值问题的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解决方法和技巧，圆锥曲线中最值的性质和定理。
2. 教学难点：解决复杂圆锥曲线中最值问题，运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲解法、例题解析法、讨论法、实践法等。
2. 教学手段：黑板、PPT、数学软件、教具等。
五、教学安排1. 第一课时：介绍圆锥曲线中最值问题的定义和分类。
2. 第二课时：讲解解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
3. 第三课时：讲解圆锥曲线中最值的性质和定理。
4. 第四课时：通过例题解析，让学生掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法。
5. 第五课时：开展小组讨论，让学生运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
六、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的基础知识，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。
2. 讲解：详细讲解圆锥曲线中最值问题的定义和分类，让学生理解最值问题的意义。
3. 示范：通过例题解析，展示解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
4. 练习：让学生独立解决一些简单的圆锥曲线中最值问题，巩固所学方法。
5. 讨论：开展小组讨论，让学生分享解题心得，互相学习。
6. 拓展：引导学生运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
七、教学评价1. 课堂问答：通过提问，了解学生对圆锥曲线中最值问题的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置一些圆锥曲线中最值问题的练习题，检验学生的掌握情况。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和问题解决能力。
八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、参与程度、知识掌握情况等。
圆锥曲线中的最值问题教学设计
圆锥曲线的专题复习圆锥曲线中的最值问题（第一课时）教学设计教学目标：1.进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解圆锥曲线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法；2.体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决圆锥曲线的最值问题，会进行合理的选择；3形成圆锥曲线最值问题的方法体系和数学思想，形成处理最值问题的基本策略，培养创新意识。
（定义法、切线法、导数法、判别式法、基本不等式法）教学重点：求圆锥曲线中的最值问题的基本方法。
教学难点：形与数的相互转化，化归思想的应用，寻求解决问题的最优方案。
教学过程与方法：培养学生的分析问题和解决问题的能力。
渗透数形结合、转化与化归的思想。
一．情景引入思考：（1）用什么词语形容解析几何？在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化（2）运动中的变化又会引发什么问题？在变化中往往重点关注变化中不变的量或关系---------定点、定值问题；变量的变化趋势-------范围最值问题等二．活动探究在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，通过下面的题目，我们进行探究，体会这种变化。
（结合多媒体教学让学生去感受最值问题的解决途径，进而探究解决最值问题的最佳方案）探究一：设21,F F 分别是椭圆192522=+y x 的左右焦点，M 为椭圆上任一点，()2,2B ,则1MF MB +的最大值为 ，最小值为 。
设计意图：本小题入口简单，计算容易，在方法上回归定义，使学生感受与体验定义法解决最值的问题。
定义法解决本体是最佳方案。
探究2：抛物线y x 22-=与直线22:-=x y l 相交于B A ,两点，当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最值。
让学生进行分组讨论，然后进行小组展示，通过学生的展示进行点评，如有不足，进行补充。
设计意图：通过学生对本题的探索，发现解决本体的方法，如切线法、判别式法等。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生理解圆锥曲线中最值问题的意义和背景。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
二、教学内容：1. 圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 解决圆锥曲线中最值问题的基本方法。
3. 常见圆锥曲线中最值问题的类型及解题策略。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。
2. 教学难点：解决圆锥曲线中最值问题的策略和技巧。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解决方法。
2. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题的性质。
3. 运用案例分析法，让学生通过分析实际问题，提高解决圆锥曲线中最值问题的能力。
五、教学安排：1. 第一课时：介绍圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 第二课时：讲解解决圆锥曲线中最值问题的基本方法。
3. 第三课时：分析常见圆锥曲线中最值问题的类型及解题策略。
4. 第四课时：运用所学的知识和方法解决实际问题。
5. 第五课时：总结和复习，查漏补缺。
六、教学过程：1. 导入新课：通过复习圆锥曲线的基本概念，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。
2. 自主学习：让学生独立思考，探究圆锥曲线中最值问题的解决方法。
3. 合作交流：分组讨论，分享各自解决问题的方法和经验。
4. 教师讲解：针对学生讨论中的共性问题进行讲解，揭示解决圆锥曲线中最值问题的规律。
5. 练习巩固：布置适量习题，让学生巩固所学知识。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习作业：检查学生完成的习题，评估学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在合作交流中的表现，包括思考问题、解决问题等方面的能力。
八、教学反思：1. 总结本节课的收获：回顾教学内容，总结解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
2. 分析存在的问题：反思教学过程中学生遇到的问题，思考解决办法。
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美国心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线”。
探索得来的知识最难忘、最深刻，比教师直接给出的更有效，学生能体会到 “发现”的真正乐趣。
而探索并不神秘，又非不可高攀。
教学中，可以从最基本的问题开始，这也许就是数学探索课的可行之路。
下面是笔者粉笔生涯中的一堂数学探索课。
问题1 如图1，如何在直线L 上求一点P ，使PA PB +最小。
问题2目如图2，如何在直线L 上求一点P ，使PA PB -最大。
学生1：对于问题1，只要过A 作关于L 的对称点A '，再连结BA '交直线L 于P 点，即所求。
因为两点之间线段最短。
对于问题2，只要连结AB 并延长交直线L 于P 点，即所求。
因为三角形任意两边之差小于第三边。
教师：看来在一条直线上找一点到两个定点的距离之和最小、距离之差最大对我们来说很容易，现在看下面的问题。
'
图1
图2
问题3 若A （3， 2），F 为抛物线22y x =的焦点，在抛物线上找一点P ，使
PA PF +最小及取得最小值时P 点的坐标。
学生2：过A 点作抛物线22y x =的准线L 的垂线AD 交抛物线于P 点，此时
PA PF PA PD +=+，就是最小的。
因为点到直线的所有线中，只有点到直线的距离最短。
教师：与问题1比较，你发现了什么？
学生3：（3分钟后）我认为问题3与问题1的本质是一样的，都是在线（直线和曲线）找一点到两个定点的距离之和最小。
并且解决的方法也一样，问题3中的D 点就“好比”是F 点关于抛物线（曲线）的“对称”点。
如果我们把问题1中的直线想象成是拉直的曲线，那问题1不就是问题3的特殊情况吗？问题3不就是问题1的推广吗？（全班给予热烈的掌声）
变式问题：已知A （3，2），F （2，0），在双曲线22113
x y -=上求一点P ，使
其1
2
PA PF +的值最小。
学生4：与问题3的解题思路完全一样，只不过，此处要利用双曲线的定义来作“对称”。
（后略）
问题4：已知双曲线221
14
x y -=，1F 是左焦点，A （-3，-1），在双曲线上求
一点P 使1PA PF +的值最小。
（2分钟后）学生5：此题应作出双曲线的右焦点2F ，连结2AF 交双曲线于P
图4
点，即为所求。
因为由双曲线定义知，2122PF PF -=⨯，即124PF PF =-，
12244PA PF PA PF AF +=+-=-，此题是利用双曲线定义作的1F 关于双曲线的“对称点”2F ，转化成问题1的形式来求解的。
教师：你分析得很好！请大家课后去解答完。
下面谁来谈谈解决这类问题的收获？
学生6：老师，我觉得还有一点没有考虑到，对于问题1，如果A 、B 两点在直线L 的两侧，就用不着作对称，而直接连接AB 交直线L 于P 就行了。
同样对于问题3中的A 、F 和问题4中的A 、1F 也是一样的，如果它们在曲线的同侧，就用不着那么做了。
学生7：（连忙站起来）看来我们首先应判断这两点是否在曲线的两侧，而其中有一个点必是焦点，也就是说要判断另外那个点是否在曲线内就行了。
教师：刚才两位同学都说得很好，对我们讨论的问题进行了补充，希望同学们也要有这种严谨的学习态度。
谁再来谈收获。
学生8：我认为在曲线（包括直线）上找一点到两个定点（这两个定点在曲线的同侧）的距离之和最大的问题，一般说来可以作出其中一点关于曲线的“对称点”，对于曲线来说，是广义上的对称，是利用曲线的定义（第一和第二定义）来作对称的。
问题5：在椭圆
2
25x +最大。
X
（5分钟后）学生9：此题应属于问题2的类型，因为是求曲线上一点到两个定点的距离之和最大，故应连结1AF 交椭圆于点P ，即为所求。
这样就把和最大的问题转化为差最大的问题了。
即212PA PF PA a PF +=+-而只有当P 、A 、
1F 三点在同一直线上时，1PA PF -才最大。
教师：好！把未知的问题转化为我们熟知的问题来解决，这是我们解决数学问题常用的思想方法。
哪位同学来把把这类问题小结一下？（下面有很多同学都跃跃欲试，我抽了一位平时数学成绩一般的学生）
学生10：我认为在曲线（包括直线）上找一点到两个定点（这两点在曲线的同侧）的距离之差最大的问题，就是连结这两点并延长和曲线的交点，如果不是差最大，而是和最大，就应转化为差最大来解，其转化就要用到圆锥曲线的相关定义。
教师：同学10的小结很好，看来只要抓住了“本质”，就能以不变应万变！这节课的收获不小，为我们的成功而鼓掌！（全班掌声一片）。